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\title{La mathématisation du continu par les Éléates et les Pythagoriciens}
\author{Stefan Neuwirth}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

Les traces d'une mathématisation du réel dans le monument de la
science grecque que sont les \emph{Éléments} d'Euclide sont circonscrites
aux premières définitions: «un \emph{point} est ce dont il n'y a
aucune partie», «une \emph{ligne} est une longueur sans largeur», «les
\emph{limites d'une ligne} sont des points», «une \emph{ligne droite}
est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui
sont sur elle», etc \cite[pages~151-154]{vi90}. La perfection de la géométrie d'Euclide est allée
de pair avec le développement d'une philosophie qui exclut le réel de
la construction des mathématiques, comme l'illustre cet extrait du
premier prologue des \emph{Commentaires sur le premier livre des
  \emph{Éléments} d'Euclide} de Proclus de Lycie, qui traite de l'étymologie du
mot «mathématiques» (dont le sens premier est «apprentissage»):
\begin{quotation}
  \noindent Mais on dit que les Pythagoriciens ont observé, d'une
  part, que \emph{tout ce qu'on appelle apprentissage est une
    réminiscence} (Platon, \emph{Phédon}~73b5s.), qui n'est pas placée de
  l'extérieur dans les âmes, comme les représentations à partir des
  sensibles s'impriment dans l'imagination, et qui n'est pas non plus
  épisodique, comme la connaissance par l'opinion, mais qui est, d'une
  part, éveillée par les apparences, d'autre part, projetée de
  l'intérieur par la pensée discursive même se retournant vers
  elle-même. (44.25-47.8, \cite[pages 91, 94, 105]{da10})
\end{quotation}

Plusieurs historiens ont voulu retracer les circonstances de
l'élaboration des \emph{Éléments}. Parmi ceux-ci, Árpád Szabó
\cite{sz69,sz00} se démarque en considérant la structure axiomatique des
\emph{Éléments} comme une réaction à la philosophie de Parménide
d'Élée.

Ce travail propose de relire les fragments du poème de Parménide, des paradoxes de
Zénon d'Élée et du traité du Pythagoricien Philolaos de Crotone comme des
entreprises de penser le réel. Parménide et Zénon enseignent qu'on ne
peut penser que le continu; Philolaos soutient qu'on ne peut connaître
que par le discret.

Les ouvrages consultés relèvent davantage de la philologie que de la
philosophie: plutôt que de chercher à reconstruire un système de
pensée, j'ai voulu comprendre ce qu'il y a d'intemporel dans les
questions posées par ces auteurs et saisir la matière de leurs
réponses dans l'épaisseur de leurs mots. Cela montrera combien
leurs réponses aussi sont toujours actuelles. Cette présentation
permettra, je l'espère, une lecture fraîche et directe de textes
fondateurs de la philosophie, et de faire revivre le feu qui a vu
naître l'axiomatique léguée par les Grecs.


\section{Parménide d'Élée}
\label{sec:parm}

Parménide est né à la fin du \siecle{6} avant notre
ère et son poème est considéré comme le début de la métaphysique. Il
raconte son initiation: après un long voyage, il rencontre
la déesse.
\begin{quotation}\obeylines
La déesse, avec bienveillance, me reçut.
Elle prit ma main droite en sa main et me dit:
«Jeune homme, toi qui viens ici, accompagné
De cochers immortels, portés par des cavales,
Salut! Car ce n'est point une Moire ennemie,
Qui t'a poussé sur cette voie (hors des sentiers
Qu'on voit communément les hommes emprunter),
Mais Thémis et Dikè. Apprends donc toutes choses,
Et aussi bien le cœur exempt de tremblement
Propre à la vérité bellement circulaire,                        
Que les opinions des mortels, dans lesquelles
Il n'est rien qui soit vrai ni digne de crédit;
Mais cependant aussi j'aurai soin de t'apprendre
Comment il conviendrait que soient, quant à leur être,
En toute vraisemblance, lesdites opinions, 
Qui toutes vont passant toujours.» (B\,\textsc{i}\,24-32 \cite[pages 255-256]{pr88})
\end{quotation}
Les Moires sont les divinités du destin. Thémis et Dikè sont
respectivement les déesses de la justice divine et humaine, mais il faut les voir ici comme représentations de la
«nécessité par nature», c'est-à-dire que Parménide a accédé à un état
et à des forces qui lui permettent d'emprunter la voie de la
connaissance (voir \cite[partie~\textsc{iii}]{fr55}). 

La vérité se dit \grec{>al'hjeia} (al\=etheia) en grec et signifie
«dévoilement» au sens propre; l'opinion se dit \grec{d'oxa} (doxa),
mot qui a donné le suffixe «-doxe» en français. La déesse oppose donc
l'une à l'autre: l'une est «exempte de tremblement», les autres «vont
passant toujours».  L'opinion se base sur les sensations et
l'apparence; pour accéder à la vérité, à ce qui est (dans un sens
absolu), il faut chercher à le penser. La déesse propose de les enseigner toutes les deux,
mais les quatre derniers vers sont surprenants: les opinions peuvent
être vraisemblables et l'homme peut les organiser de manière à les
rendre probables; la déesse lui enseignera aussi la manière dont les
opinions peuvent prendre cette forme pertinente. Cela reste une
nécessité pour l'homme qui, même si on lui a dévoilé la vérité,
continuera à user de ses cinq sens et voudra donner de la cohérence à
ses sensations.

La déesse présente ainsi la
vérité dévoilée.
\begin{quotation}\obeylines
Mais il ne reste plus à présent qu'une voie
Dont on puisse parler: c'est celle du «il est». (B\,\textsc{viii}\,1-2 \cite[page 261]{pr88})
\end{quotation}
Guido Calogero propose d'accéder à la leçon de Parménide par une
analyse logique des assertions: «[la pensée] ne peut s'effectuer sans
prendre corps dans une affirmation, dont le verbe être est le
constituant essentiel, parce qu'il est la forme commune et universelle
de toute qualification ou prédicat possible, qui ne peut être pensé
sans celle-ci, alors que celle-ci peut réciproquement être pensée pour
elle-même et sans aucun ajout» \cite[pages~8-9]{ca77}.  Je suis pour
ma part la voie de Parménide en concentrant ma pensée sur le fait même
d'être en faisant abstraction des étants.

Je cite de longs passages du poème pour leur donner une cohérence interne. La description du «il est», c'est-à-dire de l'être en soi (et non des étants) paraîtra fantastique. 
\begin{quotation}\obeylines
Sur cette voie il est de fort nombreux repères,
Indiquant qu'échappant à la génération,
Il est en même temps exempt de destruction:
Car il est justement formé tout d'une pièce,
Exempt de tremblement et dépourvu de fin.
Et jamais il ne fut, et jamais ne sera,
Puisque au présent il est, tout entier à la fois,
Un et un continu. Car comment pourrait-on
Origine quelconque assigner au «il est»?
Comment s'accroîtrait-il et d'où s'accroîtrait-il?
Je t'interdis de dire ou même de penser
Que le «il est» pourrait provenir du non-être,
Car on ne peut pas dire ou penser qu'il n'est pas.
Quelle nécessité l'aurait poussé à être
Ou plus tard ou plus tôt, si c'était le néant
Qu'il avait pour principe? Aussi faut-il admettre
Qu'il est absolument, ou qu'il n'est pas du tout.
Jamais non plus la force attachée au discours
Ne pourra concéder que du néant procède
Un être susceptible à lui de s'ajouter;
Aussi Dikè lui a, l'enserrant dans ses liens,
De naître ou de périr ôté toute licence:
En fait elle le tient. (B\,\textsc{viii}\,2-15 \cite[page 261]{pr88})
\end{quotation}
On accède au «il est» par une méditation et celle-ci a lieu dans une
étendue qui permet au «il est» d'être pensé comme «un et un
continu». Mais dans ce passage, l'accent est mis sur son rapport au
temps et sur l'impossibilité de penser le changement.  Nous nous
concentrerons sur le passage suivant qui étudie son rapport à
l'espace.
%[\dots]% L'arrêt en la matière
% Stipule simplement: il est ou il n'est pas.
% Il est donc notifié, de par nécessité,
% Qu'il faut abandonner la voie de l'impensé,
% Que l'on ne peut nommer (car celle-ci n'est pas
% La voie qui conduirait jusqu'à la vérité),
% Et tenir l'autre voie pour la voie authentique,
% Réelle et existante. Et comment aussi l'être
% Pourrait-il donc périr? Comment pourrait-il naître?
% S'il est né en effet, c'est qu'alors il n'est pas,
% Et s'il n'est pas non plus, s'il lui faut être un jour:
% Son naître s'évanouit, et sa disparition
% Apparaît impossible.
\begin{quotation}\obeylines
\leavevmode\hphantom{Apparaît impossible. }Et il n'est pas non plus
Divisible en effet, puisqu'il est en entier,
Sans avoir çà ou là quelconque chose en plus
Qui pourrait s'opposer à sa cohésion,
Ou quelque chose en moins. Il est tout rempli d'être.
Aussi est-il tout continu. En effet, l'être
Embrasse au plus près l'être. (B\,\textsc{viii}\,22-25 \cite[page 262]{pr88})
% \leavevmode\hphantom{Embrasse au plus près l'être. }Or il est immobile,
% Pris dans les limites de formidables liens;
% Il est sans commencement et il est sans fin,
% Car la génération comme la destruction
% Ont été écartées loin de lui, et la foi
% Véridique les a, elle aussi, rejetées.
% Identique à lui-même en lui-même il repose,
% Il est là en lui-même immobile en son lieu;
% Car la Nécessité puissante le retient
% Dans les liens l'enchaînant à sa propre limite;
% C'est pourquoi la sentence a été décrétée
% Que l'être ne saurait se dispenser de fin. 
% Il ne manque de rien, en effet. À rebours,
% En n'étant pas, de tout il serait dépourvu.
\end{quotation}
Reprenons les termes qui décrivent le «il est» dans son extension. Il
est «tout rempli d'être», «tout entier à la fois», «tout continu»,
«formé tout d'une pièce», rien ne «pourrait s'opposer à sa
cohésion». Il n'est «pas non plus divisible». Selon Ernst Cassirer,
«en vertu de cette conclusion, le concept mathématique de l'espace
«vide», tel qu'il a été pensé par les Pythagoriciens comme
«écartement», comme \grec{di'asthma} entre les corps, est dévalué ontologiquement et aboli» \cite[page 42]{ca25}. 
\begin{quotation}\obeylines
\indent\indent Mais puisque existe aussi une limite extrême,
Il est de toutes parts borné et achevé,
Et gonflé à l'instar d'une balle bien ronde,
Du centre vers les bords en parfait équilibre.
Car aussi bien en plus et aussi bien en moins,
Aucune variation ici ou là n'existe.
Car il n'est nul non-être à même d'empêcher
Qu'il atteigne partout son parfait équilibre,
Ni être qui en lui soit en plus ou en moins,
Étant donné qu'il est tout entier inviolable.
En toutes directions il s'égale à lui-même,
Et de même façon il touche à ses limites. (B\,\textsc{viii}\,42-49 \cite[pages 262-263]{pr88})
\end{quotation}
Nous verrons dans la partie sur Philolaos combien les limites et le caractère borné sont des propriétés essentielles pour pouvoir accéder à la connaissance. Soulignons en tout cas que Parménide crée et utilise des concepts mathématiques pour décrire l'être. 

Paula Philippson associe cette description à la mythologie grecque de l'o\-céan: «[Okeanos], genèse de toute chose et de tout phénomène qu'il renferme, n'a dans son circuit fermé ni début ni fin. [\dots] Son flux égal et calme, qui le fait apparaître partout identique à lui-même dans toute son extension, le flux s'accomplissant en lui-même du \grec{>Wkeano~io tel'hentos potamo~io} [Océan fleuve parfait] (Hésiode, \emph{Théogonie}~959) entre limites (\grec{pe'irata}) qu'Océan-même constitue comme sa forme circulaire et qui pourtant l'attachent lui-même à son lieu» \cite[pages~175-176, citée par Mario Untersteiner \cite{un58}]{ph44}.

% , «ne saurait se dispenser de fin», «existe une limite
% extrême», «de toutes parts borné et achevé», «gonflé à l'instar d'une
% balle bien ronde», «du centre vers les bords en parfait équilibre». 
Auparavant, Parménide semble énoncer l'identité du penser et de l'être.
\begin{quotation}\obeylines
\indent\indent Or le penser est identique à ce en vue
De quoi une pensée singulière se forme.
On chercherait en vain le penser sans son être,
En qui il est un être à l'état proféré.
Car rien d'autre jamais et n'est et ne sera
À l'exception de l'être, en vertu du décret
Dicté par le Destin de toujours demeurer
Immobile en son tout. C'est pourquoi ne sera
Qu'entité nominale \textlangle et pur jeu de langage\textrangle
Tout ce que les mortels, croyant que c'était vrai,
Ont d'un nom désigné: tel naître ou bien périr,
Être et puis n'être pas, changer de position,
Et changer d'apparence au gré de la couleur. (B\,\textsc{viii}\,34-41 \cite[pages 262-263]{pr88})
\end{quotation}
Pour Hermann Fränkel, ce passage exprime plutôt que «le penser aussi,
libéré de ses scories, n'est rien d'autre qu'être conscient» et que
«connaître est identique à la connaissance du «il est»»; «au lieu
de la confrontation entre sujet et objet subsiste une conscience
uniforme de l'être de lui-même» \cite[page 195]{fr55}.

\begin{quotation}\obeylines
\indent\indent Mais ici je mets fin au discours assuré
Ainsi qu'à la pensée visant la vérité.
Désormais apprends donc l'opinion des mortels
En ouvrant ton oreille à l'ordre harmonieux
Du discours composé pour ton enchantement.
Ils ont, par convention, en effet assigné
À deux formes des noms; mais des deux cependant
Un n'en est pas digne ---~et c'est bien en cela
Qu'ils se sont fourvoyés. Car ils ont estimé
Contraires leurs aspects, et leur ont assigné
Des signes qui fondaient leur distinction mutuelle.
Des deux, l'une est le feu éthéré de la flamme,
C'est le feu caressant et c'est le feu subtil,
Identique à lui-même en toutes directions,
Mais qui à l'autre forme identique n'est pas;
L'autre par son essence à l'exact opposé,
C'est la nuit sans clarté, dense et lourde d'aspect.
Voici, tel qu'il nous semble en sa totalité,
Le système du monde et son arrangement
Que je vais te décrire, afin que nul mortel
N'en sache plus que toi. (B\,\textsc{viii}\,50-61 \cite[pages 262-263]{pr88})
\end{quotation}
Comme promis, la déesse enseigne à présent l'opinion, le monde des
sensations. L'opposition par Parménide de la vérité aux opinions
continue à enflammer les philologues et les philosophes. On comprend
qu'il condamne l'idée que l'être se décrive avec l'aide du non-être,
ou que ce qui est soit un mélange d'être et de non-être. Or, aux vers
31-32 du premier fragment, il soutient que les opinions puissent être
formées «en toute vraisemblance». Les opinions ont donc leur place
dans le discours de Parménide. Ce n'est pas un discours de vérité,
mais ce discours est nécessaire pour rendre compte de la nature, des
sensations, du temps. Mario Untersteiner note d'ailleurs que le
jour/feu et la nuit sans clarté sont deux formes du temps; il soutient
que le discours de l'opinion qui suit le fragment~\textsc{viii} n'est
pas l'objet de la condamnation de Parménide: être et opinion sont sur
une même voie qui mène l'être à la vérité et l'opinion à la
vraisemblance. La vérité est définitive; la vraisemblance par contre
est un chemin pour toujours inachevé.

Il me semble ainsi que les mathématiques sont du domaine des opinions et que
le rapport des mathématiques à la vérité ou au monde restera un
problème philosophique majeur.

% Pour rendre ce texte moins incroyable, je propose deux approches.
% \begin{itemize}
% \item Essayez vous-même de penser ce que c'est que l'être, étudiez,
%   l'une après l'autre, les arguments du poème et demandez-vous s'ils
%   sont vrais. Par exemple, Parménide apprend que l'être ne provient
%   pas du non-être: imaginez qu'il n'y ait rien et demandez-vous pour
%   quelle raison quelque chose aurait commencé spontanément à être.
% \item Osez l'anachronisme qui consiste à penser l'espace-temps,
%   c'est-à-dire les quatre dimensions d'Albert Einstein. On se rend
%   compte alors que nombre de propriétés de l'être parménidien
%   mélangent l'espace et le temps.
% \end{itemize}

% En quoi ce texte est-il métaphysique, et en quoi a-t-il un rapport aux mathématiques? Parménide apprend de la déesse que pour accéder à la vérité, il faut laisser de côté les sensations, les apparences, les opinions et chercher à penser l'être. La première leçon de cette expérience est que le néant, le non-être ne peut pas être pensé: il n'est donc pas. Donc l'être est formé d'un seul tenant.De même,
% \begin{itemize}
% \item il échappe à la génération et à la destruction; il est immobile;
% \item il est fait d'un seul tenant;
% \item exempt de tremblement, un continu indivisible, gonflé à l'instar d'une balle bien ronde;
% \item sans commencement et sans fin;
% \item de toutes parts borné et achevé avec une limite extrême.
% \end{itemize}


La question du «il est» fait ainsi émerger la notion de lieu
mathématique et les qualificatifs choisis évoquent les grandes
questions de la topologie: les oppositions continu\slash discret, à
bords\slash sans bord, limité\slash illimité, un\slash multiple. La
pensée de ce qui est débouche sur une modélisation du réel.

\section{Zénon d'Élée}
\label{sec:zenon}

Zénon d'Élée est un élève de Parménide. Il confronte la pensée de
l'être avec l'opinion que suscitent les sensations, et en particulier
avec l'existence d'êtres multiples et la nature discrète de la
matière. Il le fait sous une forme originale qui a marqué la
philosophie au point qu'Aristote le considère comme le père de la
dialectique: il met les opinions à l'épreuve de la pensée et aboutit à
des paradoxes. 

Seuls quatre fragments des écrits de Zénon nous sont
parvenus; en particulier, le paradoxe le plus connu, «Achille et la
tortue», correspond à un compte rendu d'Aristote et me paraît beaucoup moins
élaboré et beaucoup plus empêtré dans la considération d'une situation
concrète que ces fragments, de sorte que je ne suis pas convaincu qu'il remonte
effectivement à Zénon. Le voici pour mémoire dans son intégralité!
\begin{quotation}
  Le second argument est celui qu'on appelle l'\emph{Achille}. Il
  con\-siste à dire que le plus lent à la course ne peut pas être
  rattrapé par le plus rapide, étant donné que le poursuivant doit
  nécessairement atteindre le point d'où le poursuivi est parti, de
  telle sorte que le plus lent doit sans cesse avoir une certaine
  avance. (Aristote, \emph{Physique}~\textsc{vi}, \textsc{ix},
  239b14 \cite[page 288]{pr88})
\end{quotation}

Ces fragments sont pour nous des fenêtres qui nous permettent
d'accéder à l'univers de pensée des Éléates. Je veux les lire de
manière matérielle, penser qu'ils peuvent parler pour eux-mêmes et ne
pas tenter de construire, ni de reconstruire, un système de pensée à
partir d'eux. C'est un peu la première étape de la stratégie de Zénon:
ébranler nos convictions.

 
Je présente ces fragments dans l'ordre dans lequel Simplicius de Cilicie (490-560) en a
rendu compte, un millénaire après qu'ils aient été composés par
Zénon. C'est la source de problèmes philologiques extraordinaires;
%posés par les textes qui nous proviennent du haut Moyen Âge; de plus, 
en particulier la notion
d'authenticité, son besoin, sont très différents d'hier à aujourd'hui.

La traduction que je propose est issue de la comparaison des
traductions existantes \cite{pr88,un62,za50,fr55b}.

Je voudrais aussi vous avertir que ces fragments s'adressent au
fondement d'une théorie de la matière et ne séparent pas la forme du
contenu. En référer à un modèle pour lui répliquer, comme à la théorie
des séries infinies ou des nombres réels, c'est se boucher les
oreilles plutôt que de l'écouter.

\begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{ii}}\nopagebreak\smallskip

  \noindent Si [un étant qui n'a ni grandeur ni épaisseur ni masse] était ajouté
  à un autre étant, il ne le rendrait en rien plus grand. Car si un
  étant sans grandeur est ajouté à un autre, il n'est pas possible qui
  celui-ci gagne en grandeur. Et déjà il s'ensuit que l'ajout égale
  rien. Puis, si la soustraction de quelque chose n'a pas pour effet
  de rendre l'autre chose plus petite, et que son ajout n'a pas pour
  effet de la rendre plus grande, il est clair que l'ajouté comme le
  retranché égalent rien.
\end{quotation}

Le fragment B\,\textsc{ii} cherche à penser un étant sans grandeur ni épaisseur ni
masse. C'est un étant hypothétique qui aurait les propriétés du point
géométrique. Or la grandeur, l'épaisseur, la masse sont des propriétés
communes aux objets que nous percevons. Zénon demande quel serait le
rapport d'un étant sans grandeur avec un étant doué de grandeur et se
convainc qu'il n'y en a pas. Ajouté ou enlevé, il ne pourrait changer
la grandeur de l'autre étant: il ne peut pas expliquer sa
constitution. Il n'est donc rien.

La théorie mathématique actuelle qui cherche à répondre à ces
questions est la théorie de la mesure. Pour elle aussi, un ensemble a
une grandeur seulement si ses constituants en ont une. On peut
chercher à constituer un objet à partir de très petits objets, comme des
tranches, mais penser ces tranches comme des plans telle que le fait
le calcul des indivisibles résulte d'un passage à la limite qui peut
être réalisé dans le modèle, pas dans la réalité.

\begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{iii}}\nopagebreak\smallskip

  \noindent Si les étants sont multiples, il est nécessaire que les étants
  soient juste autant qu'ils sont réellement, c'est-à-dire ni plus ni
  moins. Mais si les étants sont juste autant qu'ils sont, ils
  devraient être limités.

  Si les étants sont multiples, les étants sont illimités: en effet,
  il y a toujours d'autres étants entre les étants, et à nouveau entre
  ceux-là d'autres encore.  Et ainsi les étants sont illimités.
\end{quotation}
Il s'agit de penser la multiplicité. Qu'est-ce que cela veut dire
d'avoir plusieurs choses devant nous? Comment pouvons-nous arriver au
jugement que les étants sont multiples? Nous devons les imaginer
devant nous comme les galets sur une plage et pouvoir les saisir dans
leur multiplicité actuelle. 

En fait, les stratégies d'évitement des paradoxes de Zénon consistent
à refuser le terrain de l'actuel pour se placer sur le terrain du
potentiel. Elles veulent constater que la finitude de notre
entendement se retrouve dans la finitude du monde, c'est-à-dire que le
monde n'est pas là mais en devenir. En particulier, la pensée peut
l'atomiser sans que cette atomisation aboutisse jamais.

Zénon nous accorde la possibilité de connaître actuellement et cela
précise la signification de la condition de perception de la
multiplicité: il faut pouvoir embrasser les étants dans la pensée, de
sorte qu'il n'en reste pas à ajouter et qu'on n'en ait pas compté de
trop. Il font donc pouvoir les compter et le mot limité ici veut dire
limité en nombre.

Le deuxième paragraphe approfondit la pensée du multiple. Il y a deux
interprétations de ce passage.
\begin{itemize}
\item Il faut pouvoir penser les étants comme des entités séparées. Or
  penser des entités séparées nous amène à penser l'espace qui les
  sépare, leur frontière. Cet espace est un étant, qui est encore
  séparé des étants qu'il sépare. Penser le multiple amène donc à
  penser toujours davantage d'étants qu'on ne croyait: on en aura
  toujours oublié.
\item À partir du moment où on pense que l'être est divisé en étants,
  cette divisibilité de l'être s'appliquera de manière homogène à
  chaque étant. Donc la pensée de la divisibilité désintègre
  immédiatement l'être en une infinité d'étants!
\end{itemize}


\begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{i}}\nopagebreak\smallskip

  \noindent Si l'étant n'avait pas de grandeur, il ne saurait même pas être.

  Mais s'il est, il est nécessaire que chaque étant ait quelque
  grandeur et quelque épaisseur et que l'un se distingue de
  l'autre. Même raisonnement pour l'étant qui le côtoie. Celui-ci aura
  aussi une grandeur et un autre le côtoiera. Or le dire une fois
  revient à le dire sans cesse. Car aucun de ceux-ci ne sera l'ultime,
  ni l'un ne sera sans côtoyer un autre. Donc, si les étants sont
  multiples, il est nécessaire qu'ils soient à la fois petits et
  grands, petits au point de ne pas avoir de grandeur et grands au
  point d'être illimités.
\end{quotation}

Ce fragment est lui aussi sujet à deux interprétations contradictoires qui mènent à deux traductions différentes.
\begin{itemize}
\item Les étants se distinguent et on peut penser ce qui est à côté
  d'un étant. Mais alors les étants s'étendent à l'infini et la
  multiplicité d'étants est illimitée.
\item On peut y voir une description matérielle de la deuxième
  interprétation du fragment B\,\textsc{iii}. Dans ce cas, chaque
  étant est pensé comme composé de deux parties distinctes qui se
  côtoient et le \og même raisonnement\fg\ est appliqué à une des deux
  parties. On aboutit à un nombre illimité de parties.
\end{itemize}

Mario Untersteiner~\cite[pages~186-187]{un62} replace les fragments de Zénon dans le contexte de
la pensée de Parménide. Selon lui, les paradoxes s'appliquent à la
\grec{d'oxa} (doxa, l'opinion) et non à l'\grec{>al'hjeia} (al\=etheia, la vérité dévoilée): on ne peut
expliquer le monde de l'opinion à l'aide de la multiplicité.

Les fragments décrivent donc deux mouvements d'analyse de l'étant: des parties données vers
le tout et du tout vers ses parties. Ils démontrent que chacun de ces
mouvements d'analyse est infini.

Hermann Fränkel~\cite[pages 223-225]{fr55b} propose une interprétation étonnante du fragment B\,\textsc{i}: selon lui,
Zénon considère successivement la surface de l'étant, la surface de sa
surface, etc., et montre ainsi que l'étant n'a pas de limite ultime.

La difficulté d'une mathématisation du continu se retrouve dans la
\emph{Physique} d'Aristote.
\begin{quotation}
  Le continu est dans le genre du contigu; je dis qu'il y a
  continuité, quand les limites par où deux choses se touchent ne sont
  qu'une seule et même chose, et, comme l'indique le nom, tiennent
  ensemble. (227a10-12 \cite{ar31})
\end{quotation}

\begin{quotation}
  Or, dès qu'on aura montré que tout instant est tel en soi et
  identique, il sera par là-même évident qu'il est aussi
  indivisible. Il est, dis-je, nécessaire qu'il soit identique, étant
  l'extrémité de l'un et de l'autre temps; en effet, s'il y avait deux
  instants différents, l'un ne serait pas consécutif à l'autre, pour
  cette raison qu'un continu n'est pas composé d'éléments sans parties:
  et, s'ils sont mutuellement séparés, il y aura du temps dans
  l'intervalle; car tout continu est tel qu'il y a quelque chose de
  synonyme entre les limites. (234a3-9 \cite{ar31})
\end{quotation}


\section{Philolaos de Crotone et les Pythagoriciens}

\label{sec:philolaos}

Philolaos ($-470$-$-385$) est né près de vingt ans après la mort de
Pythagore, peut-être à Crotone. C'est néanmoins à lui que sont dus les
fragments les plus anciens qui témoignent de l'épistémologie pythagoricienne.
\subsection{Illimités et limitants}
\label{sec:ill}

Commençons par lire trois fragments de Philolaos. La traduction que je
propose est issue de la comparaison des traductions existantes \cite{pr88,hu93}.


\begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{i}}\nopagebreak\smallskip

  \noindent Ce sont les illimités et les limitants qui ont, en s'harmonisant,
  constitué au sein du monde la nature, ainsi que la totalité du monde
  et tout ce qu'il contient.
\end{quotation}

\begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{ii}}\nopagebreak\smallskip

  \noindent Il est nécessaire que tous les êtres soient ou bien limitants, ou
  bien illimités, ou bien à la fois limitants et illimités. Mais il ne
  saurait y avoir rien que des illimités ou rien que des
  limitants. Aussi, puisqu'il est visible que le monde n'est pas fait
  rien que de limitants ni rien que d'illimités, il est bien clair que
  c'est de l'accord à la fois de limitants et d'illimités que le monde
  ainsi que tout ce qu'il contient ont été constitués. Cela est encore
  prouvé par l'observation des faits car les choses qui sont
  constituées de limitants, limitent; d'autres, constituées à la fois
  de limitants et d'illimités, limitent et illimitent; et d'autres
  encore, constituées d'illimités, seront à l'évidence illimitées.
\end{quotation}

\begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{vi} (première partie)}\nopagebreak\smallskip

  \noindent Touchant la nature et l'harmonie, voici ce qu'il en est: l'être des
  choses, qui est éternel, et la nature elle même requièrent une
  connaissance divine et non humaine; d'autant plus qu'aucune chose
  existante ne pourrait être connue de nous, s'il n'existait pas un
  être fondamental des choses dont se trouve composé le monde: les
  limitantes et les illimitées. Mais, puisque ces principes existent
  en tant que non semblables et non homogènes, il serait impossible
  qu'un monde se soit constitué à partir d'eux, s'il ne s'y était
  ajoutée une harmonie, quelle que soit la manière dont elle est
  née. Les semblables et apparentés ne requièrent aucune harmonie;
  mais les dissemblables non apparentés et non également ordonnés
  doivent être nécessairement enchaînés par une harmonie telle qu'ils
  puissent, grâce à elle, se maintenir dans le monde.
\end{quotation}

Cherchons à présent à comprendre ce que désignent les deux mots
essentiels de ces fragments.
\begin{itemize}
\item Les choses \emph{illimitées} sont celles qui sont capables de
  nuances et de variabilité telles que l'on a difficulté à y poser des
  repères. Une chose illimitée n'est pas nécessairement infiniment
  grande, mais elle résiste au microscope: elle est faite d'une
  matière qui n'a pas d'atome. Elle n'est pas simplement composée
  d'infiniment petit et tout essai de la découper en morceaux peut
  circonscrire une région de la chose mais ne supprime pas l'infinie
  variabilité.
\item Les choses limitantes sont aussi dans la nature. En même temps,
  elles surgissent grâce à un effort de l'intelligence et elles ont un
  caractère provisoire: elles contiennent une part d'arbitraire qu'une meilleure connaissance permet de réduire. Ce sont elles qui fournissent une prise sur les illimités.
\end{itemize}
La table~\ref{tab:illim-lim} propose des exemples de rapports entre
choses illimitées et choses limitantes. On se rend compte que ce sont
les limitants qui permettent d'appréhender les illimités, c'est-à-dire
de les percevoir et de les comprendre. Le premier exemple est dû à Léon Brunschvicg~\cite{br12}.
\begin{table}[h!]
  \centerline{\vbox{\offinterlineskip
\hrule
\halign{&\vrule#&\strut\hskip2pt\hfil#\hfil\hskip2pt\cr
height2pt&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&\cr
&illimité&&limitant&&harmonie&&illimité et limitant&&nombre&\cr
height2pt&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&\cr
\noalign{\hrule}
height2pt&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&\cr
&ciel&&étoile&&constellation&&lune&&nombre d'étoiles&\cr
&son&&rapport de fréquences&&gamme&&intervalle de fréquences&&rapport de fréquences&\cr
&discours&&lettre&&mot; syntaxe&&assertion orale&&règle de poésie&\cr
&mer&&phare&&carte maritime&&lac&&coordonnées maritimes&\cr
&terre&&lieu&&carte terrestre&&village&&coordonnées terrestres&\cr
&espace&&point&&figure&&figure pleine&&rapport de longueurs&\cr
&temps&&instant&&horloge&&jour&&calendrier&\cr
height2pt&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&\cr
}
\hrule}}
\caption{Illimités et limitants}
\label{tab:illim-lim}
\end{table}

\subsection{La gamme de Philolaos}

Il semble que la musique ait été une impulsion essentielle dans l'élaboration de la philosophie pythagoricienne. Lisons le fragment suivant, qui est la plus ancienne théorie de la musique qui nous soit parvenue de l'Antiquité.
\begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{vi} (deuxième partie)}\nopagebreak\smallskip

  \noindent La grandeur de l'harmonie comprend la syllabe [«la prise»,
  c'est-à-dire la quarte] et la dioxie [«à travers les aiguës»,
  c'est-à-dire la quinte]. La dioxie est plus grande que la syllabe du
  rapport~$9:8$ [c'est-à-dire d'un ton]. En effet, une syllabe sépare
  l'hypate [c'est-à-dire la corde du haut, le mi] de la mèse
  [c'est-à-dire de la corde du milieu, du la]; une dioxie la mèse de
  la nète [c'est-à-dire de la corde du bas, du mi]; une syllabe la
  nète de la trite [c'est-à-dire de la corde tierce, du si]; et une
  dioxie la trite de l'hypate. Entre la trite et la mèse il y a le
  rapport~$9:8$. La syllabe a le rapport~$4:3$, la dioxie $3:2$ et le
  diapason [«à travers toutes», c'est-à-dire l'octave]
  $2:1$. Ainsi l'harmonie comprend cinq rapports~$9:8$ et deux dièses
  [«laissés passer», c'est-à-dire demi-tons], la dioxie trois
  rapports~$9:8$ et un dièse, et la syllabe deux rapports~$9:8$ et un
  dièse.
\end{quotation}
\begin{figure}[h!]\small
\leavevmode\hskip-20pt{\delimitershortfall0pt\delimiterfactor1000\nulldelimiterspace0pt\newdimen\mi\mi5cm\newdimen\intercorde\intercorde24pt\baselineskip\intercorde%
   ${2:1}\left\{\vcenter
     to6\intercorde{}\right.$%
   \setbox0=\hbox{${3:2}\left\{\vcenter
       to4\intercorde{}\right.$}\newdimen\braceindent\braceindent\wd0\wd0=0pt\raise\intercorde\box0%
   \lower2\intercorde\hbox
   to\braceindent{${4:3}\hfill\left\{\vcenter
       to2\intercorde{}\right.$}%
   \setbox0=\hbox{${4:3}\left\{\vcenter
       to3\intercorde{}\right.$}\wd0=0pt\raise1.5\intercorde\box0%
   \lower1.5\intercorde\hbox{${3:2}\hfill\left\{\vcenter
       to3\intercorde{}\right.$}%
   \rlap{\lower2.9\intercorde\vbox{%
       \def\corde#1#2{\hbox{$\scriptscriptstyle\circ\mkern-1.9mu\raise.21ex\vbox{\hrule height 1pt\hbox
             to #1\mi{}}\mkern-1.5mu\circ${~#2}}}%
       \corde2{hypate}\corde{1.8984375}{}\corde{1.6875}{}\corde{1.5}{mèse}\corde{1.333333333}{trite}\corde{1.125}{}\corde1{nète}}}
   \hphantom{$\scriptscriptstyle\circ$}\lower2.45\intercorde\vbox{\advance\intercorde by-3pt%
     \def\intervalle#1{\smash{\hbox{$\left\}\vcenter to\intercorde{}\vcenter{\hbox{#1}}\right.$}}}
     \intervalle{un dièse}%
     \intervalle{un rapport $9:8$}%
     \intervalle{un rapport $9:8$}%
     \intervalle{un rapport $9:8$}%
     \intervalle{un rapport $9:8$ et un dièse}%
     \intervalle{un rapport $9:8$}}}
 \caption{L'heptacorde de Philolaos}
\label{tab:hepta}
\end{figure}

Il s'agit de la description de la gamme produite par un heptacorde qui
comprend une octave entière, c'est-à-dire que l'accord de l'hypate et de
la nète est le plus harmonieux qui soit, celui produit par le
pincement d'une corde suivi du pincement de la moitié de cette corde
en en tenant le milieu.

Cette description suit la manière dont les musiciens accordent leur instrument:
\begin{itemize}
\item la mèse avec la nète pour obtenir une quinte,
\item la trite avec l'hypate pour obtenir une quinte,
\item puis les autres cordes pour obtenir des tons;
\item néanmoins certains accords contiendront des dièses.
\end{itemize}

\subsection{Les nombres}

Les fragments qui suivent sont ceux dont la réception a été la plus forte dans la Grèce antique et jusqu'à aujourd'hui. Ils expriment que les nombres sont des limitants  que l'on peut trouver dans toute chose et qu'ils sont l'instrument même de la connaissance.

 \begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{iv}}\nopagebreak\smallskip

   \noindent Et de fait, tout être connaissable a un nombre: sans celui-ci, on
   ne saurait rien concevoir ni rien connaître.
 \end{quotation}

 Aristote a encore résumé cette pensée en une formule qui a fait
 mouche: «Les pythagoriciens prétendent que les choses mêmes sont
 nombres» \cite[987\textit{b}28]{ar86}. 

 Le fragment suivant est un exemple primitif de la théorie des nombres
 entreprise depuis Pythagore: connaître les nombres permet de
 connaître la forme des étants.

 \begin{quotation}
  \centerline{Fragment B\,\textsc{v}}\nopagebreak\smallskip

   \noindent De fait, le nombre a deux formes propres, l'impair et le pair, plus
   une troisième produite par le mélange des deux, le
   pair-impair. Chacune des deux formes revêt des aspects multiples,
   qu'exprime chaque objet pris isolément.
 \end{quotation}

 Carl Huffman \cite[pages~189-190]{hu93} avance l'explication
 peut-être un peu simpliste de la forme «pair-impair» comme forme des
 rapports de nombres lorsqu'ils se réduisent au rapport d'un nombre
 pair et d'un nombre impair comme le sont tous ceux de la
 figure~\ref{tab:hepta}. Je vois dans ce fragment le germe d'une
 dérive vers la numérologie.

Voici comment Ernst Cassirer décrit l'œuvre des Pythagoriciens.
\begin{quotation}
  Si les Pythagoriciens qualifient le nombre de \grec{o>us'ia}
  [sub\-stance], s'ils unifient systématiquement le concept de nombre et
  d'être, l'exploit essentiel de cette pensée est qu'elle est la
  première à découvrir véritablement l'être spécifique du nombre
  pur. Car l'être physique, sensible, corporel, n'est pas identifié
  avec celui du nombre; autant l'un \emph{réfère} à l'autre de manière
  déterminée, autant ils sont séparés et
  \emph{distingués}. \cite[page~29]{ca25}
\end{quotation}

\section{Conclusion}

Le nombre réduit et la forme sèche des fragments présocratiques
discutés ici n'empêchent pas de saisir le continu et l'illimité comme
défis majeurs pour les Éléates et les Pythagoriciens. Les paradoxes de
Zénon ont décrit très tôt les obstacles d'une description
vraisemblable du rapport entre le continu et ses constituants. De même,
le nombre comme instrument de connaissance s'est tôt heurté à la
découverte de l'incommensurabilité en géométrie.

La forme axiomatique de la géométrie d'Euclide peut être comprise dans
ce sens comme une manière d'organiser les opinions sur le monde
sensible de manière vraisemblable sans jamais s'exprimer sur la nature
du continu, c'est-à-dire sur le rapport entre l'espace et le point, et
en émancipant la géométrie du nombre.

Les conséquences d'une approche historique et philosophique de la
méthode axiomatique sur la didactique des mathématiques sont discutés
par Gilbert Arsac \cite{ar87}.  

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\def\cprime{$'$}\def\bibmath{}\def\BUL{}\def\BUS{}\def\bibirem{}\def\Bibmath{D%
isponible \`a la biblioth\`eque de math\'ematiques}\def\Bibirem{Disponible \`a
  la biblioth\`eque de l'IREM}\def\BUL{Disponible \`a la BU
  Lettres}\def\BUS{Disponible \`a la BU Sciences}\def\bibmath{disponible \`a la
  biblioth\`eque de math\'ematiques}\def\bibirem{disponible \`a la
  biblioth\`eque de l'IREM}\def\bUL{disponible \`a la BU
  Lettres}\def\bUS{disponible \`a la BU
  Sciences}\ifx\iflanguage\undefined\def\iflanguage#1#2#3{#3}\fi
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