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\title{Résumé du mémoire d'habilitation}
\author{Stefan Neuwirth}
\date{}


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\theoremstyle{plain}
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\newtheorem*{Chf}{Formule de N.~G. Chebotarëv}
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\newtheorem{lemk}[thmk]{Lemma}
\newtheorem{lemf}[thm]{Lemme}
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\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{corf}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{construction}[thm]{Random construction}

\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{dfnk}[thmk]{Definition}
\newtheorem{dfnf}[thm]{Définition}
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\newtheorem*{NotTer}{Notation and terminology}
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\newtheorem{pf}[thm]{Problème}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}[thm]{Remark}
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\newtheorem{exe}[thm]{Exemple}
\newtheorem{Q}[thm]{Question}


\def\klammer#1{(#1)}

\providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\providecommand{\bigabs}[1]{\bigl\lvert#1\bigr\rvert}
\providecommand{\biggabs}[1]{\biggl\lvert#1\biggr\rvert}
\providecommand{\Bigabs}[1]{\Bigl\lvert#1\Bigr\rvert}
\def\Alpha{\mathrm A}
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\def\C{\mathbb C}
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\def\io[#1,#2]{\mathopen]#1,\allowbreak#2\mathclose[}
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\def\Z{\mathbb Z}




% \hyphenation{ana-logon ap-pli-ca-tion ap-pro-xi-ma-ting
%   ap-pro-xi-ma-tion asymp-to-ti-cally Ba-nach bet-ween boun-ded
%   cha-rac-te-ri-se cha-rac-te-ri-sa-tion cha-rac-ters clas-si-que
%   con-se-quence con-stant con-stante con-stant con-stants con-stantes cor-res-pon-ding
%   cor-res-pon-dante cru-ciaux Da-cunha den-si-ty de-via-tion
%   ele-men-tary en-lar-ging equi-dis-tri-bu-ted eve-ry di-stin-gui-shes
%   exac-te-ment fol-lo-wing Fou-rier ge-ne-ra-li-se ge-ne-ra-li-ses
%   ge-ne-ra-li-sed geo-me-try Hada-mard in-con-di-tion-nel
%   in-con-di-tion-nelle in-de-pen-dence in-de-pen-dent In-equa-li-ty
%   In-for-ma-tique in-te-gra-ble iso-me-tric iso-me-tri-scher
%   Little-wood Ma-the-ma-tica ma-the-ma-ti-schen maxi-mum mul-ti-plier
%   ope-ra-tors par-ti-cu-lar per-mu-ta-tion po-ly-no-mial
%   pro-ba-bi-li-stic pro-ba-bi-liste pro-ba-bi-li-ty pro-per-ties
%   pro-per-ty Ra-de-ma-cher re-a-li-zes re-pre-sen-ta-tion
%   re-stric-tion se-quence se-quences simp-lest space sui-vante
%   theo-rem to-po-lo-gy Un-be-dingt-heit un-con-di-tio-nal
%   un-con-di-tio-nal un-con-di-tio-na-li-ty uni-form-ly uni-que
%   Va-ro-pou-los}

\begin{document}

\maketitle
\section{Trois cas de figure pour l'inconditionnalité}
\label{sec::1}
\noindent Toutes nos recherches sont liées à la notion d'inconditionnalité,
motivée par la question suivante:
\begin{Q}
\label{q:inc}
  Lorsqu'un élément~$x$ d'un espace normé admet une
  représentation comme combinaison linéaire $\sum c_q\e_q$
  d'éléments~$\e_q$, de quelle manière la norme de~$x$
  dépend-elle du signe des coefficients~$c_q$?
\end{Q}

Les réponses que nous obtiendrons seront en termes du \emph{support}
de~$x$, c'est-à-dire de l'ensemble~$I$ d'indices~$q$ pour lesquels
$c_q\ne0$. 

 Selon la situation, un changement du signe
des coefficients~$c_q$
\begin{itemize}
\item fait varier la norme de~$x$ de manière bornée et on dira que
  $(\e_q)_{q\in I}$ est une \emph{suite basique inconditionnelle};
\item multiplie au plus la norme de~$x$ par un facteur~$D$ explicite
  et $D$~sera la \emph{constante d'inconditionnalité} de la suite
  $(\e_q)_{q\in I}$;
\item ne change pas la norme de~$x$ et on parlera de suite basique $(\e_q)_{q\in I}$
  \emph{1-\hspace{0pt}inconditionnelle};
\end{itemize}

Lorsque nous chercherons à déterminer une constante
d'inconditionnalié exacte, nous devrons préciser de quelle
manière nous nous permettons de changer le signe des coefficients:
\begin{itemize}\item 
  de manière \emph{réelle} en multipliant certains coefficients
  par~$-1$, ou
\item de manière \emph{complexe} en les faisant tourner
  d'un angle~${t_q}$.
\end{itemize}
Voici
trois cas de figure dans lesquels cette question se pose.

\begin{enumerate}
\item Si $x$~est une fonction sur un groupe abélien compact et les
  $\e_q$~sont les caractères de ce groupe, cette représentation
  est la série de Fourier de~$x$ et un changement du signe des
  coefficients de Fourier est une \emph{convolution} ou \emph{multiplication de Fourier} unimodulaire.
\item Si $x$~est un opérateur et les $\e_q$~sont les matrices
  élémentaires, cette représentation est la matrice de~$x$ et un
  changement du signe des coefficients matriciels est une
  \emph{multiplication de Schur}  unimodulaire.
\item Si $x$~est un élément de l'algèbre d'un groupe discret~$G$
  et les $\e_q$~sont les fonctions indicatrices des éléments de~$G$, alors un changement du signe des coefficients est une
  \emph{multiplication de Herz-Schur} unimodulaire.
\end{enumerate}



\section{Définition des suites basiques inconditionnelles}

Voici une définition formelle qui reprend la discussion ci-dessus.

\begin{dfnf}
  \label{1:unc:def}
  Soit~$X$ un espace vectoriel quasi-normé muni d'une suite
  distinguée~$(\e_q)$ dans~$X$. Soit~$(\e_q)_{q\in I}$ une
  sous-suite.  Soit~$\Sign=\T=\{z\in\C:\abs{z}=1\}$ (vs.~$\Sign=\{-1,1\}$.)
  \begin{enumerate}
  \item $I$~est \emph{inconditionnelle} dans~$X$ s'il y a une constante~$D$ telle que
    \begin{equation}\label{1:u}
      \Bigl\|\sum_{q\in I}\epsilon_qa_q\e_q\Bigr\| \le D
      \Bigl\|\sum_{q\in I} a_q\e_q\Bigr\|
    \end{equation}
    pour tout choix de signes~$\epsilon_q\in\Sign$ et toute suite de
    coefficients complexes~$a_q$ de support fini. Sa \emph{constante
      d'inconditionnalité complexe \klammer{vs.~réelle}} est le
    minimum de telles constantes~$D$.
\item $I$~est \emph{1-inconditionnelle} complexe
  \klammer{vs.~réelle} dans~$X$ si sa constante
  d'inconditionnalité complexe \klammer{vs.~réelle} vaut~1%; on
%  définit de même les suites \emph{complètement}
%  1-inconditionnelles complexes et réelles. 
  . Cela veut
  dire que l'inégalité~\eqref{1:u} devient l'égalité
  \begin{equation*}
    \Bigl\|\sum_{q\in I}\epsilon_qa_q\e_q\Bigr\| =
    \Bigl\|\sum_{q\in I} a_q\e_q\Bigr\|.
  \end{equation*}
\end{enumerate}
\end{dfnf}

\section[Matrices et multiplicateurs de Schur pour les classes de Schatten]%
{Matrices et multiplicateurs de Schur pour les classes de Schatten-von-Neumann}

\noindent Cette thématique de recherche correspond au cas de figure~$(b)$
ci-dessus: $(\e_q)$~est la suite des matrices élémentaires.

Notons~$\Col$ l'ensemble des indices colonne et~$\Row$ l'ensemble des
indices ligne de matrices, en général deux copies de~$\N$, et soit~$I$ une partie de~$\Row\times \Col$. La propriété
d'inconditionnalité de~$I$ peut aussi se formuler ainsi:  une suite
$I$~est inconditionnelle de constante~$D$ si et seulement si, pour toute matrice~$\varphi$ à
coefficients complexes (vs.~réels) et pour tout~$x$ dont les
coefficients de matrice sont nuls hors de~$I$ (dont l'espace sera
noté~$X_I$) on a
\begin{equation*}
  \|\varphi*x\|\le D\sup|\varphi_{rc}|\,\|x\|,
\end{equation*}
où $\varphi*x$~est le produit de \emph{Schur} (ou de Hadamard) défini par
\begin{equation*}
  (\varphi*x)_{rc}=\varphi_{rc}x_{rc}.
\end{equation*}

L'opérateur de multiplication par~$\ph$ est un \emph{multiplicateur
  de Schur relatif}. On peut aussi décrire les multiplicateurs de
Schur relatifs comme les opérateurs diagonaux sur la suite~$(\e_q)_{q\in I}$.

Notre étude se concentrera sur les classes de Schatten-von-Neumann
$X=\Sch^p$ dont la quasi-norme est donnée par
$\|x\|={(\tr{(x^*x)}^{p/2})}^{1/p}$: il s'agit de la contrepartie
non commutative des espaces $\ell^p$. Lorsque $p\ge1$, l'espace de
Banach $\Sch^p$ admet une structure d'espace d'opérateurs
canonique qui rend la définition suivante naturelle.

\begin{dfnf}
  $I$~est \emph{complètement inconditionnelle} dans~$\Sch^p$ s'il y
  a une constante~$D$ telle que \eqref{1:u} vaut pour tout choix de
  signes~$\epsilon_q\in\Sign$ et toute suite de coefficients
  \emph{opérateurs}~$a_q\in \Sch^p$ à support fini. Sa constante
  d'inconditionnalité \emph{complète} complexe
  \klammer{vs.~réelle} est le minimum de telles constantes~$D$.
\end{dfnf}
De la même manière, on parle de la norme \emph{complète} de
multiplicateurs de Schur relatifs.  On ne sait pas si on définit
vraiment ainsi une classe nouvelle; ce serait répondre à la
conjecture de Gilles Pisier qu'il existe des multiplicateurs de Schur
bornés sur~$S^p$ ($p\ne1,2,\infty$) qui ne sont pas complètement bornés.

Une suite inconditionnelle de matrices élémentaires dans~$\Sch^\infty$ est en fait un ensemble $\Varopoulos$-Sidon, classe que
Varopoulos a introduite dans l'étude des algèbres tensorielles $\cnaught(\Col)\projtens \cnaught(\Row)$ sur des espaces discrets
(voir le théorème~5.1 de~\cite{ne06} qui
rassemble les résultats connus: $I$~doit être réunion finie
d'ensembles qui soit contiennent au plus un élément par ligne,
soit contiennent au plus un élément par colonne.)  Notre étude
généralise ainsi les résultats de Varopoulos à toutes les
classes de Schatten-von-Neumann.


\section{Suites de matrices élémentaires et graphes bipartis}

\noindent Les suites inconditionnelles de matrices élémentaires forment la
contrepartie matricielle des ensembles~$\Lambda(p)$ de Walter Rudin
étudiés en analyse de Fourier (le cas de figure~$(a)$ de la
section~\ref{sec::1}.) Alors que l'étude des ensembles~$\Lambda(p)$
voit surgir naturellement leurs propriétés arithmétiques (de
théorie additive des nombres,) l'inconditionnalité de~$I$ se
traduit avantageusement en termes de théorie des graphes.


Nous allons donc considérer~$I$ comme un graphe biparti dont les
deux classes («couleurs») de sommets sont~$\Col$ et~$\Row$, dont les éléments
seront appelés respectivement «sommets~colonne» et «sommets~ligne.» Ses
arêtes (non dirigées) relient seulement des sommets~ligne $r\in \Row$ avec des
sommets~colonne $c\in \Col$, et cela exactement lorsque $(r,c)\in I$. 
La matrice~$(\chi_I(r,c))_{(r,c)\in\Row\times\Col}$ fonction
caractéristique de~$I$ est la matrice d'incidence de ce graphe
biparti.

Voici deux exemples importants.
\begin{exe}\label{2gra}
  Soit~$s$ un entier. Considérons l'ensemble
    \begin{equation*}
      I=\bigl\{\,(r,c)\in\Z/s\Z\times\Z/s\Z:r-c\in\{0,1\}\,\bigr\}.
    \end{equation*}
    Le graphe biparti associé est le cycle (ligne~0, colonne~0,
    ligne~1, colonne~1, \ldots, ligne~$s-1$, colonne~$s-1$) de
    longueur~$2s$.  La matrice d'incidence de ce graphe est
    \[
    \bordermatrix{
      &\scriptstyle0&\scriptstyle1&\scriptstyle\cdots&\scriptstyle
      s-2&\scriptstyle s-1\cr
      \hfil\scriptstyle0&1&0&\ddots&0&1\cr
      \hfil\scriptstyle1&1&1&\ddots&0&0\cr
      %\hfil\scriptstyle2&0&1&1&\ddots&0&0\cr
      \hfil\scriptstyle\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\cr
      \hfil\scriptstyle s-2&0&0&\ddots&1&0\cr \hfil\scriptstyle
      s-1&0&0&\ddots&1&1\cr}\text.
    \]
  \end{exe}
\begin{exe}\label{2grb}
  Considérons l'ensemble
    \begin{equation*}
      I=\bigl\{\,(r,c)\in\Z/7\Z\times\Z/7\Z:r+c\in\{0,1,3\}\,\bigr\}.
    \end{equation*}
    Le graphe biparti associé est le graphe de \emph{Heawood}.\vskip\abovedisplayskip
    \hfil\hbox{\includegraphics{heawood}}\vskip\belowdisplayskip
    La matrice d'incidence de ce graphe est
    \[
    \bordermatrix{
      &\scriptstyle0&\scriptstyle1&\scriptstyle2&\scriptstyle3&\scriptstyle4&\scriptstyle5&\scriptstyle6\cr
      \scriptstyle0&1&1&0&1&0&0&0\cr \scriptstyle1&1&0&1&0&0&0&1\cr
      \scriptstyle2&0&1&0&0&0&1&1\cr \scriptstyle3&1&0&0&0&1&1&0\cr
      \scriptstyle4&0&0&0&1&1&0&1\cr \scriptstyle5&0&0&1&1&0&1&0\cr
      \scriptstyle6&0&1&1&0&1&0&0\cr}.
    \]
 \end{exe}

\section{Matrices lacunaires et inconditionnalité}

\noindent Dans l'article \emph{Lacunary matrices}, nous montrons que
ces sous-suites doivent satisfaire la condition de densité suivante,
qui est l'analogue de la condition de maille de Walter Rudin
\cite[Theorem~3.5]{ru60} pour les ensembles~$\Lambda(p)$.
\begin{thmf}
  \label{densf}
  Si $I$~est inconditionnelle de constante~$D$ dans~$\Sch^p$, alors la
  taille~$\#I'$ de tout sous-graphe~$I'$ induit par $m$~sommets
  colonne et $n$~sommets ligne, c'est-à-dire le cardinal de toute
  partie $I'=I\cap \Row'\times \Col'$ avec~$\#\Col'=m$ et~$\#\Row'=n$,
  satisfait
  \begin{align}
    \#I'
    &\le D^2\bigl(m^{1/p}n^{1/2}+m^{1/2}n^{1/p}\bigr)^2\label{1:dens}\\
    \notag&\le4D^2\min(m,n)^{2/p}\max(m,n).
  \end{align}
  Les exposants de cette inégalité sont optimaux dans les trois
  cas suivants:
  \begin{enumerate}
  \item si $m$~ou~$n$ est fixé (trivial;)
  \item si $p=4$ (voir le graphe aléatoire ci-dessous;)
  \item si $p$ est un entier pair et~$m=n$ (voir~\cite[Theorem~4.8]{ha98}.)
  \end{enumerate}
\end{thmf}

Si~$m\ne n$, nous construisons des graphes aléatoires qui testent
l'inégalité \eqref{1:dens} sans en montrer toujours l'optimalité.

\begin{thmf}
  Pour tout~$\eps>0$ et tout entier pair~$p\ge4$, il existe un graphe~$I$ de taille
  \begin{equation*}
    \#I\sim
    \begin{cases}
      \max(m,n)^{1-\eps}\min(m,n)^{1/2}&\text{si $p=4$}\\
      \max(m,n)^{1/2-\eps}\min(m,n)^{1/2+2/p}&\text{si $p\ge6$.}
    \end{cases}
  \end{equation*}
  et de constante d'inconditionnalité indépendante de~$m$ et~$n$
  lorsque~$mn\to\infty$.
\end{thmf}
 
Si~$p$ est un entier pair, nous donnons aussi une condition suffisante
en termes de sentiers sur un graphe biparti: un \emph{sentier} de longueur~$s$ dans~$I$ est une suite~$(v_0,v_1,\dots,v_s)$ de sommets
alternativement dans~$\Row$ et~$\Col$ telle que les arêtes reliant
$v_0$ à~$v_1$, $v_1$ à~$v_2$, etc.\ correspondent à des
élements deux à deux distincts de~$I$ (alors qu'un \emph{chemin} est
requis d'avoir même tous ses sommets distincts et que les sommets
d'une \emph{promenade} sont admis à se répéter.) Le théorème
suivant est aussi l'analogue d'un théorème de Walter Rudin.

\begin{thmf}
  \label{sentf}
  Soit~$p$ un entier pair.  Si le nombre de sentiers dans~$I$ de
  longueur~$p/2$ entre deux sommets donnés admet une borne uniforme,
  alors $I$~est inconditionnelle dans~$\Sch^p$.
\end{thmf}

Le calcul suivant montre le lien étroit entre la norme~$S^p$
avec~$p=2s$ un entier pair et les promenades fermées de longueur~$p$
dans ce graphe.
\begin{align*}
  \tr\Bigl|\sum_{q\in I}a_q\e_q\Bigr|^p
  &=\tr\Bigl(\sum_{(r,c),(r',c')\in I} (a_{rc}\e_{rc})^*
  (a_{r'c'}\e_{r'c'})
  \Bigr)^s\\
  &=\tr~\sum_{\substack{(r_1,c_1),(r'_1,c'_1),\dots,\\
      (r_s,c_s),(r_s',c'_s)\in I}} ~\prod_{i=1}^s
  (\overline{a_{r_ic_i}}\e_{c_ir_i})
  (a_{r'_ic'_i}\e_{r'_ic'_i})\\
  &=\sum_{\substack{(r_1,c_1),(r_1,c_2),\dots,\\
      (r_s,c_s),(r_s,c_{s+1})\in I}} ~\prod_{i=1}^s
  \overline{a_{r_ic_i}}a_{r_ic_{i+1}}\quad(\text{où}~c_{s+1}=c_1.)
\end{align*}
Cette dernière somme est indexée par les  promenades fermées~$(c_1,r_1,\allowbreak c_2,\allowbreak \dots,\allowbreak c_s,r_s)$ de longueur~$p$ dans le graphe associé
à~$I$!

La conjonction des théorèmes~\ref{densf} et~\ref{sentf} donne une
nouvelle preuve du théorème de Paul Erd\H{o}s selon lequel un
graphe sur $v$~sommets sans circuit de longueur paire~$p$ est de
taille bornée par~$v^{1+2/p}$, à une constante près (un \emph{circuit}
est un sentier fermé.) La généralisation de ce théorème des
circuits aux \emph{cycles} (chemins fermés) par Bondy et Simonovits
\cite{bs74} échappe à notre méthode.  L'existence de graphes qui
montreraient l'optimalité de cette estimation est une question
ouverte posée par Erd\H os en~1963.

\section[Matrices lacunaires et {\small1}-inconditionnalité]{\texorpdfstring{Matrices lacunaires et 1-inconditionnalité}{Matrices lacunaires et 1-inconditionnalité}}

\noindent L'article \emph{Cycles and 1-unconditional matrices} aboutit
à une caractérisation des suites basiques
1-in\-con\-di\-tion\-nelles dans~$\Sch^p$.

Un des ingrédients est l'étude des multiplicateurs de Schur
unimodulaires sur un cycle. Nous obtenons en particulier la
proposition suivante.

\begin{prp}
  Si~$p$ n'est pas un entier pair, alors $\epsilon$~est un
  multiplicateur de Schur unimodulaire isométrique sur un cycle~$I$
  pour~$\Sch^p$ si et seulement si~$\epsilon$ peut être interpolée
  par une matrice de rang~1: $\epsilon_{rc}=\zeta_c\eta_r$ pour~$(r,c)\in I$, où~$\zeta\in\T^\Col$ et~$\eta\in\T^\Row$.
\end{prp}

\begin{proof}[Esquisse de démonstration] La condition est bien
  suffisante: on a alors
  \begin{equation*}
    \epsilon*x=
    \begin{pmatrix}
      \ddots&&\\&\eta_r&\\&&\ddots
    \end{pmatrix}
    (x_{rc})
    \begin{pmatrix}
      \ddots&&\\&\zeta_c&\\&&\ddots
    \end{pmatrix}.
  \end{equation*}
  Étudions la nécessité.  On peut supposer que le cycle~$I$ soit
  donné comme dans l'e\-xem\-ple~\ref{2gra}. Soit~$\epsilon\in\T^I$ une
  matrice de nombres unimodulaires partiellement spécifiée. Il est
  possible de multiplier les lignes et les colonnes de~$\epsilon$ par
  des nombres complexes de module~1 de sorte que $\epsilon$~devienne
  la matrice circulante
  \begin{equation}\label{multcyc}
    \tilde\epsilon=\bordermatrix{
      &\scriptstyle0&\scriptstyle1&\scriptstyle\cdots&\scriptstyle
      s-2&\scriptstyle s-1\cr 
      \hfil\scriptstyle0&1&0&\ddots&0&\th\cr
      \hfil\scriptstyle1&\th&1&\ddots&0&0\cr
      %\hfil\scriptstyle2&0&\th&\ddots&0&0\cr
      \hfil\scriptstyle\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\cr
      \hfil\scriptstyle s-2&0&0&\ddots&1&0\cr 
      \hfil\scriptstyle
      s-1&0&0&\ddots&\th&1\cr}
  \end{equation}
  avec $\th$~racine $s$ième de~$\overline{\epsilon_{00}}
  \epsilon_{10} \dots \overline{\epsilon_{{s-1},{s-1}}}
  \epsilon_{0,{s-1}}$. Un argument de transfert montre que la norme du
  multiplicateur de Schur par~$\tilde\epsilon$ sur~$I$ borne le multiplicateur de
  Fourier relatif~$\mu\colon a+bz\mapsto a+\th bz$ dans le groupe~$G$
  des racines~$s$ièmes de l'unité, où on norme~$a+bz$ par la
  norme~$\Ell^p$:
  $\|a+bz\|=\left(s^{-1}\sum_{z^s=1}|a+bz|^p\right)^{1/p}$: voir la
  proposition~\ref{tsm}$\,(a)$. Si~$\mu$ est une isométrie, le
  théorème d'équimesurabilité de Plotkin-Rudin montre que~$z$
  et~$\th z$ ont même distribution et donc~$\th^s=1$.
\end{proof}

On peut calculer la norme exacte du multiplicateur de Schur relatif~$\tilde\epsilon$ sur~$\Sch^1_I$ et sur~$\Sch^\infty_I$: elle égale la
norme de~$\mu$ sur~$\Ell^1_\Lambda(G)$ et sur~$\Ell^\infty_\Lambda(G)$ avec~$\Lambda=\{1,z\}$ et cette norme est 
\begin{equation*}
  \frac{\max_{z^s=-1}|\vartheta+z|}{|1+\e^{\iu\pi/s}|}
\end{equation*}
(proposition~7.1$(d)$ de~\cite{ne06}).

Cette proposition est une des étapes dans la démonstration du théorème suivant.

\begin{thmf}
  Soit~$p$ un nombre réel strictement positif qui ne soit pas un entier pair.
  Les propriétés suivantes sont équivalentes.
  \begin{itemize}
  \item $I$~est complètement 1-inconditionnelle complexe dans~$\Sch^p$.
  \item $I$~est 1-inconditionnelle réelle dans~$\Sch^p$.
  \item $I$~est une réunion disjointe d'arbres, c'est-à-dire que $I$~ne contient aucun cycle.
  \item Toute suite de signes complexes~$\epsilon\in\T^I$ peut être
    interpolée par une matrice de rang~1.
  \item $I$~est un \emph{ensemble de Varopoulos} de
    \emph{V-interpolation de constante~1:} toute suite~$\varphi\in\ell^\infty_I$ peut être interpolée par un tenseur~$u\in\ell_\Col^\infty\projtens\ell_\Row^\infty$ avec~$\|u\|=\|\varphi\|$.
  \item $I$~est un ensemble d'interpolation isométrique pour les
    multiplicateurs de Schur: toute suite~$\varphi\in\ell^\infty_I$
    est la restriction d'un multiplicateur de Schur sur~$\Sch^\infty$
    de norme~$\|\varphi\|$.
  \end{itemize}
\end{thmf}

Dans le cas où $p$~est un entier pair, la combinatoire devient plus
compliquée: cela se reflète dans la proposition suivante.

\begin{prp}
  Si~$p$ est un entier pair, alors $\epsilon$~est un multiplicateur de
  Schur unimodulaire isométrique sur un cycle~$I$ de longueur~$2s$
  pour~$\Sch^p$ si et seulement si~$p/2\in\{1,2,\dots,s-1\}$ ou si~$\epsilon$ peut être interpolée par une matrice de rang~1.
\end{prp}

Cette proposition est une des étapes dans la démonstration de la caractérisation suivante.

\begin{thmf}
  Soit~$p$ un entier pair. Les propriétés suivantes sont
  équivalentes.
  \begin{itemize}
  \item $I$~est complètement 1-inconditionnelle complexe dans~$\Sch^p$.
  \item $I$ est 1-inconditionnelle réelle dans~$\Sch^p$.
  \item $I$~ne contient aucun cycle de longueur paire inférieure ou
    égale à~$p$.
  \end{itemize}
\end{thmf}

Illustrons ce théorème sur l'exemple~\ref{2grb}. Le graphe de
Heawood ne contient aucun cycle de longueur~4: donc la norme~$\Sch^4$ de sa matrice d'incidence ne varie pas si on change le signe
de ses coefficients.

La propriété de ne pas contenir de cycle de longueur paire
donnée a été très étudiée en théorie des
graphes. Quelle conséquence a-t-elle pour la taille du graphe? La
section suivante en propose un résumé, à comparer aux
résultats du théorème~\ref{densf}.

\section{Graphes bipartis sans cycle de longueur donnée}



\begin{prp}
  Soient~$2\le n\le m$, $I\subseteq\Row\times\Col$ avec~$\card\Col=n$
  et~$\card\Row=m$, et~$e=\card I$.
  \begin{enumerate}
  \item Si $I$~est 1-in\-con\-di\-tio\-nnelle dans~$\Sch^4$ ---~$I$ ne
    contient pas de cycle de longueur~4~--- alors
    \begin{equation*}
      n\ge1 + \Bigl(\frac em-1\Bigr) + \Bigl(\frac
      em-1\Bigr)\Bigl(\frac en-1\Bigr),
    \end{equation*}
    c'est-à-dire $e^2-me-mn(n-1)\le0$. On a égalité si et
    seulement si $I$ est le graphe d'incidence d'un système de
    Steiner $\mathrm S(2,e/m;n)$ sur $n$ points et $m$ blocs (voir
    \cite[Def.~I.3.1]{bjl99} pour la définition des systèmes de
    Steiner.)
  \item Si $I$ est 1-in\-con\-di\-tio\-nnelle dans $\Sch^6$ ---~$I$ ne
    contient pas de cycle de longueur~4 ni~6~--- alors
    \begin{equation*}
      n\ge1 + \Bigl(\frac em-1\Bigr) + \Bigl(\frac
      em-1\Bigr)\Bigl(\frac en-1\Bigr) + \Bigl(\frac
      em-1\Bigr)^2\Bigl(\frac en-1\Bigr),
    \end{equation*}
    c'est-à-dire $e^3-(m+n)e^2+2mne-m^2n^2\le0$.  On a égalité
    si et seu\-le\-ment si $I$ est le graphe d'incidence du
    \emph{quadrangle} \klammer{le cycle de longueur~8} ou d'un
    quadrangle généralisé avec $n$ points et $m$ lignes (voir
    \cite[Def.~1.3.1]{va98} pour la définition des polygones
    généralisés; l'exemple~\ref{2grb} décrit le plus petit
    quadrangle généralisé.)
  \item Si $I$ est 1-in\-con\-di\-tio\-nnelle dans $\Sch^p$ avec
    $p=2k$ un entier pair ---~$I$ ne contient pas de cycle de longueur
    inférieure ou égale à $p$~--- alors
    \begin{equation}\label{1:hoo}
      n\ge\sum_{i=0}^k\Bigl(\frac em-1\Bigr)^{\lceil\frac i2\rceil}\Bigl(\frac
      en-1\Bigr)^{\lfloor\frac i2\rfloor}.
    \end{equation}
    On a égalité si et seulement si $I$ est le graphe d'incidence
    du \emph{$(k+1)$gone} \klammer{le cycle de longueur $2k+2$} ou
    d'un $(k+1)$gone généralisé avec $n$ points et $m$ lignes.
  \end{enumerate}
\end{prp}

Les résultats~$(a)$ et~$(b)$ ci-dessus ont été obtenus dans la note
\emph{The size of bipartite graphs with girth eight} \cite{ne01},
alors que le cas général résulte de travaux de Noga Alon, Shlomo Hoory
et Nathan Linial (voir \cite{ho02}).

L'inégalité~\eqref{1:hoo} montre que si $I$ est
1-in\-con\-di\-tion\-nelle dans $\Sch^{2k}$, alors $\card I\le
n^{1+1/k}+(s-\nobreak1)n/s$. Si $k\notin\{2,3,5,7\}$, il n'existe pas de
$(k+1)$gones généralisés de taille arbitrairement grande et
l'existence de graphes arbitrairement grands sans cycle de longueur
$2k$ de taille minorée par $n^{1+1/k}$ à une constante près est
une question importante en théorie des graphes extrémaux. 

La recherche pratique de graphes extrémaux nous a amenés à
écrire un algorithme implémenté en langage \texttt{C} qui énumère tous
les graphes bipartis d'un nombre de sommets donnés et teste
l'existence de cycles. La proposition suivante, démontrée
indépendamment par Adolf Mader et Otto Mutzbauer \cite{mm01},
réduit le nombre de matrices d'incidence de graphes bipartis à
tester.

\begin{prp}
  Toute matrice à coefficients 0 ou 1 peut être
  simultanément ordonnée selon les ordres lexicographiques des
  lignes et des colonnes (c'est-à-dire l'ordre des lignes et des
  colonnes lues comme des nombres binaires) par une permutation des
  lignes et des colonnes.
\end{prp}

En effet, une permutation des lignes et des colonnes de la matrice
d'incidence d'un graphe biparti consiste juste à réindexer les
sommets de ce graphe.

\section[Matrices lacunaires et ensembles lacunaires]
{Matrices lacunaires et ensembles lacunaires d'un grou\-pe abélien discret}

\noindent Voici la traduction naturelle entre inconditionnalités de Fourier et matricielle
(les cas $(a)$ et $(b)$ de la section~\ref{sec::1}.)

\begin{prp}
  Soit $I\subseteq\Row\times\Col$. Soit $p\in[1,\infty]$: les propriétés suivantes sont équivalentes.
  \begin{itemize}
  \item $I$ est complètement in\-con\-di\-tion\-nelle dans $\Sch^p$.
  \item La suite de produits de Walsh de longueur deux
    $\{\epsilon_c\epsilon'_r:(r,c)\in I\}$ est
    complètement in\-con\-di\-tion\-nelle dans
    $\Ell^p(\{-1,1\}^\Col\times\{-1,1\}^\Row)$.
  \item La suite de produits de deux fonctions de Steinhaus
    $\{z_cz'_r:(r,c)\in I\}$ est complètement
    in\-con\-di\-tion\-nelle dans $\Ell^p(\T^\Col\times\T^\Row)$.
\end{itemize}
 Soit $p\in(0,\infty]$: les propriétés suivantes sont équivalentes.
  \begin{itemize}
  \item $I$ est 1-in\-con\-di\-tion\-nelle dans $\Sch^p$.
  \item La suite $\{\epsilon_c\epsilon'_r:(r,c)\in I\}$ est
    1-in\-con\-di\-tion\-nelle dans
    $\Ell^p(\{-1,1\}^\Col\times\{-1,1\}^\Row)$.
  \item La suite $\{z_cz'_r:(r,c)\in I\}$ est
    1-in\-con\-di\-tion\-nelle dans $\Ell^p(\T^\Col\times\T^\Row)$.
\end{itemize}
\end{prp}
La proposition~11.1 de~\cite{ne06} décrit
dans quelle mesure cette proposition reste vraie pour d'autres groupes
discrets.

\section{\texorpdfstring{Sous-espaces $\Sch^p_I$ 1-complémentés}{Sous-espaces d'entrées 1-complémentés dans les classes de Schatten-von-Neumann}}

\noindent En route pour ces résultats, nous obtenons aussi la
caractérisation suivante.

\begin{prp}
  Le sous-espace $\Sch^p_I$ de $\Sch^p$ formé des opérateurs à
  support dans $I$ est 1-com\-plé\-men\-té si et seulement si
  $I$ est la réunion disjointe de graphes bipartis complets
  $\Row_j\times\Col_j$: sa matrice d'incidence est, à une
  permutation des colonnes et des lignes près, bloc-diagonale:
\[
\bordermatrix{
  &\scriptstyle C_1&\scriptstyle C_2&\scriptstyle C_3&\scriptstyle\cdots\cr
  \scriptstyle R_1&(1)&(0)&(0)&\cdots\cr
  \scriptstyle R_2&(0)&(1)&(0)&\ddots\cr
  \scriptstyle R_3&(0)&(0)&(1)&\ddots\cr
  \scriptstyle\hfil\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots\cr
  }\text.
\]\end{prp}

\section{\texorpdfstring{Matrices de rang 1 partiellement spécifiées}{Matrices de rang 1 partiellement spécifiées}}

\noindent Si $\ph$ est une matrice de rang~1, $\ph=x\tens y$, alors
l'opérateur de multiplication de Schur par $\ph$ est de norme
$\sup\abs{x_r}\sup\abs{y_c}$. Or les exemples de calcul exact de normes de
tels opérateurs sont très rares et nous avons voulu savoir comment
cette norme change lorsque $\ph$ agit sur un sous-espace $\Sch^p_I$.
\begin{thmf}
  Soit $I\subset\Row\times\Col$ et considérons
  $(x_\row)_{\row\in\Row}$ et $(y_\col)_{\col\in\Col}$. Alors le
  multiplicateur de Schur relatif $\Sch^p_I$ donné par $(x_\row
  y_\col)_{(\row,\col)\in I}$ est de norme $\sup_{(\row,\col)\in
    I}\abs{x_\row y_\col}$.
\end{thmf}

\section[\texorpdfstring{Propriété d'approximation métriquement inconditionnelle dans $\Sch^p_I$}{Propriété d'approximation métriquement inconditionnelle pour des sous-espaces d'entrées des classes de Schatten-von-Neumann}]%
{Propriété d'approximation métriquement in\-con\-di\-tion\-nelle dans $\Sch^p_I$}

\noindent Même si $I$ n'est pas 1-inconditionnelle dans l'espace $\Sch^p$,
l'espace $\Sch^p_I$ pourrait néanmoins admettre une autre base
1-inconditionnelle. Pour approcher de telles questions, Peter
G.~Casazza et Nigel J.~Kalton ont introduit la propriété $(c)$
ci-dessous.
\begin{dfnf}\label{1:muap:def}
  Soit $X$ un espace de Banach séparable et $\Sign=\T$
  (vs.~$\Sign=\{-1,1\}$.)
  \begin{enumerate}
  \item Une suite $(T_k)$ d'opérateurs sur $X$ est une \emph{suite
      approximante} si chaque $T_k$ est de rang fini et
    $T_kx\to x$ pour chaque $x\in X$.  
  \item (\cite{pw71}.) Posons $\Delta T_k=T_k-T_{k-1}$. L'espace $X$ a
    la \emph{propriété d'approximation inconditionnelle}
    s'il existe une suite
      approximante $(T_k)$ telle que pour une certaine constante~$D$
    \begin{equation*}
      \biggl\|\sum_{k=1}^n\epsilon_k\Delta T_k\biggr\|
      \le D\quad\text{pour tout $n$ et tous $\epsilon_k\in\Sign$}.
    \end{equation*}
    La \emph{constante d'inconditionnalité complexe
      \klammer{vs.~réelle}} de $(T_k)$ est la plus petite des
    con\-stan\-tes~$D$.
  \item (\cite[\S\,3]{ck91}, \cite[\S\,8]{gks93}.) L'espace $X$ a la
    \emph{propriété d'approximation métriquement
      inconditionnelle complexe \klammer{vs.~réelle}} si, pour tout
    $\delta>0$, $X$ admet une suite approximante de constante
    d'inconditionnalité complexe \klammer{vs.~réelle} $1+\delta$.
  \end{enumerate}
\end{dfnf}

Voici notre description des sous-espaces $\Sch^p_I$ métriquement inconditionnels:
\begin{thmf}On a deux cas.
  \begin{itemize}
  \item Si $p\in[1,\infty]\setminus\{2,4,6,\dots\}$ et $\Sch^p_I$ a la
    propriété d'approximation métriquement inconditionnelle
    réelle, alors la distance d'un sommet colonne à un sommet
    colonne est \emph{asymptotiquement} infinie dans $I$: leur
    distance devient arbitrairement grande en effaçant un nombre
    fini d'arêtes de $I$.
  \item Si $p\in\{2,4,6,\dots\}$, l'espace $\Sch^p_I$ a la
    propriété d'approximation métriquement inconditionnelle
    complexe, ou réelle, si et seulement si deux sommets à distance
    $2j+1\le p/2$ sont à distance asymptotiquement supérieure ou
    égale à $p-2j+1$.
\end{itemize}
\end{thmf}


\section{Inégalités matricielles}

\noindent L'article \emph{Matrix inequalities with applications to the theory of
  iterated kernels} montre l'inégalité matricielle suivante.
\begin{thmf}
  Soit $A$ une matrice de taille $n\times m$ à coefficients positifs
  et notons $\operatorname{somme}(A)$ la somme de tous ses
  coefficients. On a
  \begin{equation*}
    \operatorname{somme}
    \biggl(\overbrace{AA^*A\dots A\pstar}^{\text{$k$ termes}}\biggr)\ge
    \frac{{\operatorname{somme}(A)}^k}
    {n^{\left\lfloor\frac{k-1}2\right\rfloor}m^{\left\lfloor\frac{k}2\right\rfloor}}
  \end{equation*}
  où $A\pstar$ est $A^*$ ou $A$ selon la parité de $k$.
\end{thmf}

Cette inégalité est la version discrète d'un théorème sur les itérés
d'un noyau (voir la remarque~1.4 de~\cite{bhnr03}.)  Si on applique
cette inégalité à la matrice d'incidence d'un graphe biparti $I$, on
obtient une minoration optimale du nombre de promenades de longueur
$k$ en termes de la taille de $I$. Dans le cas $k=3$, une
généralisation de cette inégalité (le théorème~4.4 de~\cite{ne01}) donne une minoration optimale du nombre de chemins
(voir le corollaire~4.6 de~\cite{ne01}.)

\section{Transfert entre multiplicateurs de Schur et de Fourier}

\noindent Le théorème suivant est bien connu.
\begin{prp}
  \label{1:trans1}
  Soit $\Gamma$ un groupe discret et $\Row,\Col\subseteq\Gamma$. À
  $\Lambda\subset\Gamma$ associons
  $I=\{\,(r,c)\in\Row\times\Col:\row\col\in \Lambda\,\}$. À
  $\varrho\in\C^\Lambda$ associons $\varphi\in\C^I$ défini par
  $\varphi(r,c)=\varrho(\row\col)$ pour tout $(r,c)\in I$.
  \begin{itemize}
  \item Soit $p>0$. La norme complète du multiplicateur de Schur
    relatif $\varphi$ sur $\Sch^p_I$ est bornée par la norme
    complète du multiplicateur de Fourier relatif $\varrho$ sur
    $\Ell^p_\Lambda(\tau)$.
  \item La norme du multiplicateur de Schur relatif $\varphi$ sur
    $\Sch^\infty_I$ est bornée par la norme du multiplicateur de
    Fourier relatif $\varrho$ sur $\vn_\Lambda(\tau)$.
  \end{itemize}
\end{prp}

Une forme de réciproque peut être déduite du théorème limite
de Szeg\H{o} matriciel (voir le théorème~2.6 de~\cite{nr11}.)
\begin{prp}\label{tsm}
  Soit $\Gamma$ un groupe discret \emph{moyennable} et soit
  $I\subseteq\Gamma\times\Gamma$ un ensemble \emph{toeplitzien} au
   sens que $I=\{(r,c)\in\Gamma\times\Gamma:rc^{-1}\in \Lambda\}$
  pour une partie $\Lambda$ de $\Gamma$. Soit $\varphi\in\C^I$ une
  matrice \emph{toeplitzienne} au le sens qu'il existe
  $\varrho\in\C^\Lambda$ tel que $\varphi(r,c)=\varrho(rc^{-1})$ pour
  tout $(r,c)\in I$.
  \begin{enumerate}
  \item Soit $p>0$. La norme du multiplicateur de Fourier relatif
    $\varrho$ sur $\Ell^p_\Lambda(\tau)$ est le supremum de la norme
    du multiplicateur de Schur relatif $\varphi$ sur des sous-espaces
    de matrices de Toeplitz tronquées dans $\Sch^p_I$.
  \item De plus, la norme complète du multiplicateur de Fourier
    relatif $\varrho$ sur $\Ell^p_\Lambda(\tau)$ et la norme
    complète du multiplicateur de Schur relatif $\varphi$ sur
    $\Sch^p_I$ sont égales.
  \item La norme du multiplicateur de Fourier relatif $\varrho$ sur
    $\vn_\Lambda(\tau)$ et la norme du multiplicateur de
    Schur relatif $\varphi$ sur $\Sch^\infty_I$ sont égales.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\section{Ensembles lacunaires somme de deux ensembles infinis}


\noindent Il est bien connu que les ensembles de Sidon ne peuvent contenir la
somme de deux ensembles infinis; Daniel Li a obtenu la même
conclusion pour les ensembles $\Lambda$ tels que $\Cont_\Lambda$ admet
une suite approximante métriquement inconditionnelle.  Nous
rassemblons ces deux résultats dans le théorème suivant.
\begin{thmf}
  Soit $\Gamma$ un groupe abélien discret de caractères sur un
  groupe abélien compact $G$. Soit $\Lambda\subset\Gamma$. Si
  $\Gamma$ contient la somme $\Row+\Col$ de deux ensembles infinis
  $\Row$ et $\Col$, alors l'espace $\Cont_\Lambda(G)$ n'admet pas de
  suite approximante inconditionnelle.
\end{thmf}

\begin{proof}[Esquisse de preuve]
  On utilise l'hypothèse pour montrer qu'il existe des parties
  infinies $\Row'$ et $\Col'$ sur lesquelles une \emph{somme à blocs
    sautés} $\sum(T_{k_{j+1}}-T_{k_j})$ agit comme la projection sur
  la «partie triangulaire supérieure» de $\Row'+\Col'$. Or ce
  multiplicateur de Fourier relatif se transfère en le
  multiplicateur de Schur qu'est la projection de \emph{Riesz} sur les matrices
  triangulaires supérieures, qui est notoirement non bornée.
\end{proof}

Nous obtenons ainsi une preuve élémentaire que l'algèbre du
disque $\Cont_{\N}(\T)$ n'a pas la propriété d'approximation
inconditionnelle, ni l'espace engendré par les fonctions de Walsh de
longueur deux (les produits $\{r_ir_j\}$ de deux fonctions de
Rademacher) dans $\Cont(\{-1,1\}^\infty)$, ni l'espace engendré par
les produits $\{s_is_j\}$ de deux fonctions de Steinhaus dans
$\Cont({\T}^\infty)$.

Nous montrons aussi qu'un ensemble «complètement $\Lambda(p)$»
ne peut contenir la somme de deux ensembles infinis
(proposition~4.8 de~\cite{nr11}.)  

La preuve ci-dessus montre aussi que la constante
d'inconditionnalité réelle pour les espaces $\Ell^p_\Lambda(G)$
est minorée par la norme complète de la projection de Riesz sur $S^p$. Cela nous a motivés pour
calculer cette norme et, à défaut, la norme complète de la
transformation de Hilbert matricielle.
\begin{thmf}
  La norme complète de la projection de Riesz et de la
  transformation de Hilbert matricielle sur $\Sch^p$ coïncident
  avec leur norme.  
  \begin{itemize}
  \item Si $p$ est un entier pair, la norme de la transformation de
    Hilbert matricielle est $\cot(\pi/2p)$.
  \item La norme de la projection de Riesz sur $\Sch^4$ est $\sqrt2$.
  \end{itemize}
\end{thmf}

\section[Problèmes extrémaux pour les polynômes
trigonométriques]{Problèmes extrémaux pour les polynômes trigonométriques}


\noindent Cette thématique de recherche correspond au cas de figure
$(a)$ de la question~\ref{q:inc}, avec $\R/\Z$ comme groupe abélien
et le module maximum comme norme.

Soit $\Lambda=\{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\}$ un ensemble de
$n$ entiers. Pour $n$ nombres réels positifs $r_1,r_2,\dots,r_n$ et
$n$ nombres réels $t_1,t_2,\dots,t_n$, considérons le
polynôme trigonométrique
\begin{equation}
  \label{tti}
  f(x)=r_1\ei{(t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\la_2x)}+\dots+r_n\ei{(t_n+\la_nx)}.
\end{equation}
La question de l'inconditionnalité dans l'espace $\Cont$ des
fonctions continues est alors celle de la dépendance du module
maximum du polynôme trigonométrique $f$ par rapport aux arguments
(phases) $t_1,\allowbreak t_2,\allowbreak \dots,\allowbreak t_n$.

Voici quatre problèmes qui éclairent divers aspects de
l'inconditionnalité.

\begin{epf}[problème de Man\-del$'$\-shtam complexe ---~voir
  \protect{\cite[page~2 et le supplément]{dm90}}]
  \label{pe1}
  Trouver le minimum du module maximum du polynôme trigonometrique
  $f$ pour des modules de coefficients de Fourier $r_1,r_2,\dots,r_n$
  donnés:
\begin{equation*}
  \min_{t_1,t_2,\dots,t_n}\max_x|r_1\ei{(t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\la_2x)}+\dots+r_n\ei{(t_n+\la_nx)}|.
\end{equation*}
\end{epf}
\begin{epf}
  \label{pe2}
  Trouver le minimum du module maximum du polynôme trigonometrique
  $f$ pour un spectre $\Lambda$, des arguments $t_1,t_2,\dots,t_n$ et
  la somme des modules $r_1+r_2+\dots+r_n$ des coefficients de Fourier
  donnés:
  \begin{equation*}
  \min_{r_1,r_2,\dots,r_n}\max_x
  \frac{\abs{r_1\ei{(t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\la_2x)}+\dots+r_n\ei{(t_n+\la_nx)}}}
  {r_1+r_2+\dots+r_n}.
\end{equation*}
\end{epf}
\begin{pf}
  \label{normul}
  Trouver le maximum de la variation du module maximum du polynôme
  trigonometrique $f$ pour un spectre $\Lambda$ et une variation des
  arguments $\Delta t_1,\Delta t_2,\dots,\Delta t_n$ donnée. En
  d'autres termes, trouver la norme du multiplicateur de Fourier
  relatif unimodulaire par les signes $\ei{\Delta t_1},\allowbreak\ei{\Delta t_2},\allowbreak\dots,\allowbreak\ei{\Delta t_n}$:
\vskip\abovedisplayskip\centerline{$\displaystyle
  \min_{\substack{r_1,r_2,\dots,r_n\\t_1,t_2,\dots,t_n}}\frac
  {\max_x\abs{r_1\ei{(t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\la_2x)}+\dots+r_n\ei{(t_n+\la_nx)}}}
  {\max_x\abs{r_1\ei{(t_1+\Delta t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\Delta t_2+\la_2x)}+\dots+r_n\ei{(t_n+\Delta t_n+\la_nx)}}}.$}
\vskip\belowdisplayskip
\end{pf}
\begin{epf}[constante de Sidon]
  \label{pe3}
  Trouver le minimum du module maximum du polynôme trigonometrique
  $f$ pour un spectre $\Lambda$ et la somme des modules
  $r_1+r_2+\dots+r_n$ des coefficients de Fourier donnés:
  \begin{equation*}
  \min_{\substack{r_1,r_2,\dots,r_n\\t_1,t_2,\dots,t_n}}
  \max_x\frac{\abs{r_1\ei{(t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\la_2x)}+\dots+r_n\ei{(t_n+\la_nx)})}}
  {r_1+r_2+\dots+r_n}.
\end{equation*}
L'inverse de ce minimum est la constante d'inconditionnalité de
$\Lambda$ dans l'espace des fonctions continues: c'est la \emph{constante de
Sidon} de $\Lambda$.
\end{epf}


Littlewood~\cite{li24} et Salem~\cite{sa33} se sont intéressés à
ces problèmes. Ils sont aussi apparus dans la théorie du circuit
électrique, comme le raconte N.~G.  Chebotarëv: «L.~I.
Man\-del$'$\-shtam m'a communiqué un problème sur le choix des
phases de courants électriques de fréquences différentes de
sorte que la capacité du courant résultant de faire sauter les
fusibles soit minimal» \cite[p.~396]{ce49}. Ce problème est une de
ses motivations pour proposer une formule pour la valeur des
dérivées directionnelles d'une fonction maximum en fonction
des dérivées des fonctions dont on prend le maximum, qui a
été un peu oubliée malgré son caractère naturel.

\begin{Chf}
  [\protect{\cite[Theorem~VI.3.2, (3.6)]{dm90}}] Soit $I$ un ouvert de
  $\R^n$ et soit $K$ un espace compact. Soit $F(t,x)$ une fonction
  réelle sur $I\times K$ qui soit continue, ainsi que
  $\dfrac{\partial F}{\partial t}(t,x)$. Soit
  \begin{equation*}
    F^*(t)=\max_{x\in K}F(t,x).
  \end{equation*}
  Alors $F^*(t)$ admet le développement limité suivant en tout
  $t\in I$:
  \begin{equation}
    \label{forcheb}
    F^*(t+h)
    =F^*(t)
    +\max_{F(t,x)=F^*(t)}
    \Bigl\langle{h,\dfrac{\partial F}{\partial t}(t,x)}\Bigr\rangle
    +o(h).  
  \end{equation}
\end{Chf}
Chebotarëv utilise en particulier cette formule pour résoudre le
problème d'approximation polynomiale de Chebyshev et le problème
du minimum d'une forme quadratique sur les entiers de Korkin et
Zolotarev.


\section[Problèmes extrémaux pour les trinômes
trigonométriques]{Problèmes extrémaux pour les trinômes trigonométriques}

\noindent Ces problèmes sont déjà intéressants dans le cas
$n=3$. Dans l'article \emph{The Sidon constant of sets with three elements},
nous avons résolu les problèmes extrémaux~\ref{pe1} et~\ref{pe3}
pour ce cas. Nous allons supposer, en toute généralité, que
$\Lambda$ est un ensemble de trois entiers $\la_1<\la_2<\la_3$ tels
que $\la_2-\la_1$ et $\la_3-\la_2$ sont premiers entre eux. 

Il s'avère que les arguments $t_1,t_2,t_3$ d'un trinôme
trigonométrique
  \begin{equation}\label{TTi}
    f(x)=r_1\ei{(t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\la_2x)}+r_3\ei{(t_3+\la_3x)}
  \end{equation}
  donnent lieu à un paramètre unique, que nous appellerons
  l'\emph{argument du trinôme} $f$: la détermination principale
  $\tau\in\iog[-\pi,\pi]$ de
\begin{equation}\label{argtri}
  (\la_3-\la_2)t_1+
  (\la_1-\la_3)t_2+
  (\la_2-\la_1)t_3\bmod{2\pi\Z}.
\end{equation}

Nous avons ainsi établi que les arguments minimaux du problème
extrémal~\ref{pe1} correspondent à des multiples de $\pi$:

\begin{thmf}
  Soit $\Lambda$ un ensemble de trois entiers. Soient $r_1$, $r_2$ et $r_3$
  trois réels strictement positifs. Les arguments $t_1,t_2,t_3$
  résolvent le problème extrémal~\ref{pe1} si et seulement si
  l'argument $\tau$ du trinôme égale $\pi$. En particulier,
  $t_1$, $t_2$ et $t_3$ peuvent être choisis parmi 0 et $\pi$.
\end{thmf}

Ce théorème permet de  déterminer les coefficients de
Fourier minimaux pour le problème extrémal~\ref{pe3}:
\begin{prp}
  Le polynôme suivant résout le problème extrémal~\ref{pe3}:
  \begin{equation*}
    \label{fspe3}
    f(x)=
    \epsilon_1(\la_3-\la_2)\ei{\la_1x}+
    \epsilon_2(\la_3-\la_1)\ei{\la_2x}+
    \epsilon_3(\la_2-\la_1)\ei{\la_3x}
  \end{equation*}
où $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\in\{-1,1\}$ sont trois signes réels tels que
\begin{itemize}
\item $\epsilon_1\epsilon_2=-1$ si $\la_2-\la_1$ est pair;
\item $\epsilon_1\epsilon_3=-1$ si $\la_3-\la_1$ est pair;
\item $\epsilon_2\epsilon_3=-1$ si $\la_3-\la_2$ est pair.
\end{itemize}
La constante de Sidon de $\Lambda$ égale donc
${\cos(\pi/2(\la_3-\la_1))}^{-1}$ et les constantes
d'inconditionnalité complexes et réelles de $\Lambda$ dans
l'espace des fonctions continues coïncident donc pour les
ensembles $\Lambda$ à trois éléments.
\end{prp}
Nous avions entamé cette direction de recherche pour vérifier que
les constantes d'inconditionnalité complexes et réelles d'un
ensemble $\Lambda$ étaient bien différentes; les ensembles à
trois éléments ne fourniront pas de contre-exemple et la question
demeure ouverte.

En fait, les problèmes extrémaux~\ref{pe2} et~\ref{pe3}
admettent une solution élémentaire: on ramène le trinôme
trigonométrique à la forme «normale»
\begin{equation}\label{fnspe3}
    r_1\emi{kx}+r_2\ei{\tau/(k+l)}+r_3\ei{lx}
\end{equation}
avec $k$ et $l$ positifs et premiers entre eux et $\tau\in\iog[-\pi,\pi]$. Alors 
  \begin{align*}
    \frac{\max_x\bigabs{r_1\emi{kx}+r_2\ei{\tau/(k+l)}+r_3\ei{lx}}}{r_1+r_2+r_3}
    &\ge\frac{\bigabs{r_1+r_2\ei{\tau/(k+l)}+r_3}}{r_1+r_2+r_3}\\
    &=\sqrt{1-\frac{4(r_1+r_3)r_2}{{(r_1+r_2+r_3)}^2}\sin^2\frac\tau{2(k+l)}}\\
    &\ge\sqrt{1-\sin^2\frac\tau{2(k+l)}}=\cos\frac\tau{2(k+l)},
  \end{align*}
  et si $r_1:r_2:r_3=l:k+l:k$, le trinôme
  trigonométrique~\eqref{fnspe3} atteint son module maximum en~0
  et satisfait $r_1+r_3=r_2$.
%\section{Les points de module maximum d'un trinôme trigonométrique}

\section[\texorpdfstring{Points extrémaux et exposés de la boule unité de
  l'espace $\Cont_\Lambda$}{Points extrémaux et exposés de la boule unité d'un espace de trinômes trigonométriques}]%
{Points extrémaux et points exposés de la boule unité de
  l'espace $\Cont_\Lambda$}

\noindent Si on cherche à résoudre les problèmes
extrémaux~\ref{pe1},~\ref{pe2} et~\ref{pe3} par une application de
la formule de Chebotarëv~\eqref{forcheb}, il est utile d'obtenir des
informations sur les points $x$ tels que «$F(t,x)=F^*(t)$,»
c'est-à-dire les points maximum de $F(t,\cdot)=\abs{f}$. Par
exemple, on peut déduire de cette formule qu'il y en a plus d'un car
sinon $(t,x)$ serait un point critique de $F$; or un petit calcul
(lemme~3.1 de~\cite{ne01b}) montre que ce n'est pas
possible.

Voici un argument d'analyse fonctionnelle qui démontre la même
chose. Comme les problèmes ci-dessus sont linéaires, on peut
limiter la recherche de polynômes trigonométriques extrémaux aux
points exposés de la boule unité $K$ de l'espace $\Cont_\Lambda$ 
(rappelons qu'un point $P$ de $K$ est exposé par un hyperplan $H$ si
$H$ ne coupe $K$ qu'en $P$.) Pourquoi un point exposé $P$ de $K$
atteint-il son module maximum en au moins deux points? parce que la
forme linéaire qui définit l'hyperplan $H$ s'étend en une mesure
$\mu$ qui atteint sa norme sur $P$ et on sait que $P$ doit être de
module maximum sur le support de $\mu$; la mesure $\mu$ n'est pas une
masse de Dirac puisqu'elle atteint sa norme uniquement en $P$, de
sorte que le support de $\mu$ a au moins deux points.

Dans l'article \emph{The maximum modulus of a trigonometric
  trinomial}, nous obtenons une description très complète des
points de module maximum d'un trinôme trigonométrique (voir le
théorème~7.1 de~\cite{ne08}) dont voici le point
saillant.
\begin{thmf}
  Soit $\Lambda$ un ensemble de trois entiers $\la_1<\la_2<\la_3$ tels
  que $\la_2-\la_1$ et $\la_3-\la_2$ soient premiers entre eux. Soient
  $r_1,r_2,r_3$ trois réels strictement positifs. Le trinôme
  trigonométrique
  \begin{equation*}
    f(x)=r_1\ei{(t_1+\la_1x)}+r_2\ei{(t_2+\la_2x)}+r_3\ei{(t_3+\la_3x)}
  \end{equation*}
  atteint son module maximum en un point unique modulo $2\pi$, de
  multiplicité 2, sauf si son argument $\tau$ égale $\pi$: Si $f$
  atteint son module maximum en deux points modulo $2\pi$, c'est
  parce que son graphe admet un axe de symétrie.
\end{thmf}

\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
  On ramène le trinôme trigonométrique $f$ à la forme
  normale~\eqref{fnspe3} avec de plus $\tau\in[0,\pi]$ et on montre
  alors que $f$ doit atteindre son module maximum sur le petit
  intervalle $[-\tau/k(k+l),\tau/l(k+l)]$ en trouvant, pour tout $y$
  hors de cet intervalle, un point $x$ qui y soit pour lequel
  $\abs{f(x)}\ge\abs{f(y)}$. De plus, on peut rendre cette
  inégalité stricte sauf si $\tau=\pi$. Il reste alors à
  étudier les variations de $\abs{f}$ sur
  $[-\tau/k(k+l),\tau/l(k+l)]$.
\end{proof}

La formule de Chebotarëv donne alors une nouvelle solution pour le
problème extrémal~\ref{pe1}.
\begin{prp}
  Le module maximum de $r_1\emi{kx}+r_2\ei{\tau/(k+l)}+r_3\ei{lx}$ est
  une fonction strictement décroissante de $\tau$ sur $[0,\pi]$.
\end{prp}

\begin{proof}
Restons dans le contexte de l'esquisse de démonstration ci-dessus et soit $\tau\in\io[0,\pi]$. Soit $x^*$ l'unique point de module maximum pour $f$: on a vu que $x^*\in[-\tau/k(k+l),\tau/l(k+l)]$. Mais alors
\begin{equation*}
    \abs{f(x)}^2=r_1^2+r_2^2+r_3^2+2r_1r_3\cos\bigl((k+l)x\bigr)
    +2r_2\bigl(r_1\cos(\tau/(k+l)+kx)+r_3\cos(\tau/(k+l)-lx)\bigr)
  \end{equation*}
et
\begin{equation*}
      \frac{k+l}{2r_2}\dfrac{\partial\abs{f}^2}{\partial\tau}(x^*)
    =-r_1\sin(\tau/(k+l)+kx^*)-r_3\sin(\tau/(k+l)-lx^*)<0
\end{equation*}
car $\tau/(k+l)+kx^*\in[0,\tau/l]$ et $\tau/(k+l)-lx^*\in[0,\tau/k]$
ne s'annulent pas simultanémanent.
\end{proof}

Illustrons notre propos: le module maximum de
$f(x)=4\mkern1mu\emi{2x}+\ei{t}+\ei{x}$ est la distance maximum de
points de l'hypotrochoïde d'équation
$z=4\mkern1mu\emi{2x}+\ei{x}$ à un point donné $-\ei{t}$ du plan
complexe. Nous avons donc montré que si deux points de $H$ sont
simultanément à distance maximum de $-\ei{t}$, alors $-\ei{t}$ est
sur un axe de symétrie de $H$, c'est-à-dire
$t\equiv\pi/3\bmod{2\pi/3}$. \vskip\abovedisplayskip
\hfil\begin{pspicture}(-2.6875,-3.14805)(3.33333,3.14805)
  \parametricplot[plotstyle=ccurve,linewidth=.4pt]{0}{360}{t cos 2 mul
    3 div t 2 mul cos 8 mul 3 div add t sin 2 mul 3 div t 2 mul sin 8
    mul 3 div sub}
  \pscircle[linewidth=.4pt](0,0){.66667}
  \psline[linewidth=.7pt,linestyle=dotted,dotsep=1.5pt](-.66667,0)(3.33333,0)
  \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-1.08152,
  3.10770)(-.33333,-.57735)(3.23211,.61723) \rput(-0.90,0){\small$-1$}
  \rput(-.65,-.80){\small$-\ei{\pi/3}$}
\end{pspicture}\vskip\belowdisplayskip

Notre étude aboutit au théorème suivant, dont on peut espérer
une généralisation à des ensembles $\Lambda$ plus grands.

\begin{thmf}
  Soit $\Lambda$ un ensemble à trois éléments. Soit $K$ la boule
  unité de l'espace $\Cont_\Lambda$ et soit $P\in K$.
  \begin{itemize}
  \item Le point $P$ est un point exposé de $K$ si et seulement si
    $P$ est un monôme trigonométrique $\ei\alpha\ei{\la x}$ avec
    $\alpha\in\R$ et $\la\in\Lambda$ ou un trinôme trigonométrique
    qui atteint son module maximum, 1, en deux points modulo
    $2\pi/d$. Toute forme linéaire sur $\Cont_\Lambda$ atteint sa
    norme en un point exposé de $K$.
  \item Le point $P$ est un point extrémal de $K$ si et seulement si
    $P$ est un monôme trigonométrique $\ei\alpha\ei{\la x}$ avec
    $\alpha\in\R$ et $\la\in\Lambda$ ou un trinôme trigonométrique
    tel que $1-{\abs P}^2$ a quatre zéros modulo $2\pi$, comptés
    avec leur multiplicité.
  \end{itemize}
\end{thmf}


\section{La variation du module maximum en fonction de l'argument}

Nous utilisons aussi la formule de Chebotarëv pour montrer que le
module maximum d'un trinôme trigonométrique est une fonction
décroissante de la valeur absolue $\abs\tau$ de son argument
(voir~\eqref{argtri}) et pour borner cette décroissance. Nous
obtenons les inégalités suivantes.
\begin{thmf}
  Soit $f$ un trinôme trigonométrique comme en~\eqref{TTi} et
  varions ses arguments de $\Delta t_1,\Delta t_2,\Delta t_3$. Notons
  $\tilde f$ le trinôme qui en résulte, $\tilde\tau$ l'argument du
  trinôme $\tilde f$, et $\Delta\tau$ la variation de l'argument:
  \begin{equation*}
    \Delta\tau
    \equiv(\la_3-\la_2)\Delta t_1
    +(\la_1-\la_3)\Delta t_2
    +(\la_2-\la_1)\Delta t_3\mod{2\pi\Z}.
  \end{equation*}
  Si $\abs{\tilde\tau}>\abs\tau$, alors
  \begin{align}
    {\max_x\abs{\tilde f(x)}}
    &<{\max_x\abs{f(x)}}\notag\\
    &\le\frac{\abs{r_1+r_2\ei{\tau/\abs{\la_3-\la_1}}+r_3}}
    {\abs{r_1+r_2\ei{\tau\abs{\la_3-\la_1}}+r_3}}{\max_x\abs{\tilde f(x)}}\label{pi1}\\
    &\le\frac{\cos(\tau /2(\la_3-\la_1))}{\cos(\tilde\tau/2(\la_3-\la_1))}
    {\max_x\abs{\tilde f(x)}}\label{pi2}\\
    &\le\frac{\cos((\pi-\abs{\Delta\tau})/2(\la_3-\la_1))}{\cos(\pi/2(\la_3-\la_1))}
    {\max_x\abs{\tilde f(x)}};\label{nmfu}
  \end{align}
  l'inégalité~\eqref{pi1} est une égalité si et seulement si
  $r_1:r_3=\la_3-\la_2:\la_2-\la_1$, l'inégalité~\eqref{pi2} si et
  seulement si $r_1:r_2:r_3=\la_3-\la_2:\la_3-\la_1:\la_2-\la_1$ et
  l'inégalité~\eqref{nmfu} si et seulement si de plus
  $\tau=\pi$. La norme du multiplicateur de Fourier relatif
  unimodulaire par les signes $\ei{\Delta t_1},\ei{\Delta
    t_2},\dots,\ei{\Delta t_n}$ est donc le facteur dans
  l'inégalité~\eqref{nmfu}.
\end{thmf}

En particulier, le module maximum de $f$ comme fonction de $\tau$
admet les deux minorants
$\abs{r_1+r_2\ei{\tau/\abs{\la_3-\la_1}}+r_3}$ et
$(r_1+r_2+r_3)\cos(\tau /2(\la_3-\la_1))$ sur l'intervalle $[-\pi,\pi]$. Illustrons-le dans le cas particulier
$f(x)=4\emi{2x}+\ei{\tau/3}+\ei{x}$:\vskip\abovedisplayskip
{\psset{xunit=3cm,yunit=3cm,linewidth=.4pt}
\begin{pspicture}(-1.6,4.85)(1.6,6.1) 
    \savedata{\V}[-.20944 5.9852 -.15708 5.9917 -.10472 5.9963
      -.052361 5.9991 0 6 .052361 5.9991 .10472 5.9963 .15708 5.9917
      .20944 5.9852 .2618 5.9768 .31416 5.9666 .36653 5.9546 .41887
      5.9407 .47124 5.9251 .52361 5.9077 .57595 5.8885 .62832 5.8676
      .68069 5.8449 .73303 5.8206 .7854 5.7946 .83777 5.7669 .89011
      5.7376 .94248 5.7068 .99485 5.6743 1.0472 5.6404]
    \dataplot[plotstyle=curve]{\V}
    \savedata{\U}[1.0472 5.6404 1.0996 5.6743 1.1519 5.7068 1.2043
      5.7376 1.2566 5.7669 1.309 5.7946 1.3613 5.8206 1.4137 5.8449
      1.4661 5.8676 1.5184 5.8885 1.5708 5.9077]
    \dataplot[plotstyle=curve]{\U}
    \psline[linestyle=solid]{->}(0,4.95)(0,6.1)
    \psline[linestyle=dashed]{->}(-0.20944,5)(1.6,5)
    \rput(0,4.88){\small0} \rput[b](0,6.12){\small$m$}
    \rput[r](-.23,5){\small5} \rput[r](1.66,5){\small$\tau$}
    \rput(1.0472,4.88){\small$\pi$}
    \rput[l](-1.7,5.97){\small$m=\max\limits_x|4\emi{2x}+\ei{\tau/3}+\ei{x}|$}
    \rput[l](1.07,5.57){\small$m=|4+\ei{\tau/3}+1|$}
    \rput[l](1.07,5.2){\small$m=(4+1+1)\cos(\tau/6)$}
    \psline[linestyle=dashed](1.0472,4.95)(1.0472,6.1)
    \psplot[plotstyle=curve,linestyle=dashed,dash=2pt
    2pt]{0}{1.0472}{x 57.29578 mul cos 10 mul 26 add sqrt}
    \psplot[plotstyle=curve,linestyle=dotted,linewidth=.7pt,dotsep=1.5pt]{0}{1.0472}{x
      57.29578 mul 2 div cos 6 mul}
  \end{pspicture}}
 

\section[Problèmes extrémaux pour les quadrinômes
trigonométriques]%
{Problèmes extrémaux pour les quadrinômes trigonométriques}
\noindent Dans le cas $\Lambda=\{0,1,2,3\}$, le problème
extrémal~\ref{pe3} est un problème ouvert posé par Harold
S.~Shapiro en 1951.  Par des moyens heuristiques, nous avons
conjecturé que les polynômes extrémaux sont de la forme
\vskip\abovedisplayskip \centerline{$\displaystyle
  \frac{\iu2\sqrt2\cos u-1-3\sin u}{15} + \frac{3+\sin u}{10}\e^{\iu x
  }+ \frac{3-\sin u}{10}\e^{\iu2x} + \frac{\iu2\sqrt2\cos u-1+3\sin
    u}{15}\e^{\iu3x}$}\vskip\belowdisplayskip
\noindent où $u$ parcourt $[0,2\pi\mathclose[$. Ces polynômes sont
étudiés dans la note \emph{On the Sidon constant of
  $\{0,1,2,3\}$}. On en
déduirait que la constante de Sidon de $\Lambda$ vaut $5/3$, qui est
sa constante d'inconditionnalité réelle (voir la
proposition~5.4 de cette note.)  Il s'agit
de le démontrer et d'étudier plus généralement les polynômes
trigonométriques à quatre termes dont le module atteint son
maximum en trois points.

\bibliography{references-href}

\end{document}
