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\begin{document}

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\title{%\vspace*{-15mm}
  Enquête sur les modes d'existence\\des êtres
  mathématiques}

\author{Guy Wallet% } \affil{Laboratoire mathématiques, image et
%   applications\\Université de La Rochelle\\23 avenue Albert Einstein,
%   BP 33060, 17031 La Rochelle\\\protect\url{guy.wallet@gmail.com}}
%   \author{
  \and
  Stefan Neuwirth}%  \affil{Laboratoire de mathématiques de
  % Besançon\\Université Bourgogne Franche-Comté\\16 route de Gray,
  % 25030 Besançon Cedex\\\protect\url{stefan.neuwirth@univ-fcomte.fr}}

\date{}

\maketitle

\begin{abstract}
  L'objet de cet essai est l'accueil des entités mathématiques dans
  l'architecture des modes d'existence proposée par Bruno Latour dans
  le cadre de son ontologie pluraliste du monde moderne
  \citep{Latour2012}. Les travaux de Reviel Netz sur l'émergence des
  mathématiques grecques \citep{Netz1999} et de Charles Sanders Peirce
  sur la dimension diagrammatique de l'activité mathématique
  \citep{Peirce33-58}, \citep{Peirce76} sont employés pour proposer une réponse
  dans le cadre d'une conception empirique des mathématiques
  basée sur la notion d'expérience chère à William James
  \citep{James2007} et inspirée par certains aspects de la philosophie
  de Per Martin-Löf \citep{MartinLof87}.  Cette approche permet de
  penser la solide certitude dont la démonstration dote les résultats
  mathématiques tout en invalidant son interprétation comme la marque
  d'un accès direct à une vérité absolue et transcendante.

  \begin{center}
    \bfseries Abstract
  \end{center}
  
  This essay inquires how mathematical beings could be inserted into
  the architecture of modes of existence proposed by Bruno Latour in
  the framework of his pluralist and renewed ontology of the modern
  world \citep{Latour2012}. An answer to this question is put forward
  with the aid of the work of Reviel Netz on the emergence of Greek
  mathematics \citep{Netz1999}, and of Charles Sanders Peirce on the
  diagrammatic dimension of mathematical practice \citep{Peirce33-58},
  \citep{Peirce76}, in the framework of an empiric conception of
  mathematics based on the notion of experience according to William
  James \citep{James2007}, and inspired by certain aspects of Per
  Martin-Löf's philosophy \citep{MartinLof87}. It provides a way of
  describing the firm certainty with which proofs endow theorems,
  while invalidating the interpretation of this certainty as the mark
  of a direct access to an absolute and transcendental truth.
  
\end{abstract}

\section{Introduction}

Désignée par l'abréviation \textsc{eme} dans la suite de ce texte,
l'\emph{Enquête sur les modes d'existence} est à la fois le livre \citep{Latour2012} et le site participatif \citep{EME}. Ils proposent de revisiter
le cœur de notre modernité --~sciences, techniques, droit, religion,
politique, économie, entre autres~-- et d'élaborer une description explicite
d'une multiplicité de formes d'existence, chacune dotée de son propre
régime de vérité. Ce projet d'une \emph{ontologie pluraliste} s'oppose
au point de vue qui ne reconnait qu'une seule forme d'existence, à
savoir celle qui relève de la Science et plus largement de la Raison.
Il ne s'agit pas de critiquer l'institution scientifique, ni de
nier son importance, mais de mettre la science à sa juste place en
restituant finement la spécificité de son fonctionnement tout en
concevant la possibilité d'autres institutions et d'autres formes
d'existence. %\footnote{
L'un des motifs de cette refonte ontologique est de fournir un cadre approprié pour penser et réagir face à la menace d'une
catastrophe écologique et climatique de plus en plus pressante.

Un moment essentiel dans la genèse de l'\textsc{eme} est la mise en
évidence du mode d'existence prépondérant dans la démarche
scientifique pour produire une connaissance objective, avant tout dans
les sciences expérimentales et de terrain: c'est le \emph{mode de la
  référence}, caractérisé par la construction de \emph{chaines de
  référence}. Les caractéristiques principales de ce mode et des
chaines de référence seront brièvement rappelées au début de la
partie~\ref{PrecisREF}. Il suffit pour l'instant de savoir qu'une
chaine de référence est une succession d'inscriptions
scripto-visuelles\footnote{La description dans l'\textsc{eme} du mode
  de la référence fait usage du terme d'\emph{inscription} pour
  désigner un dispositif concret qui permet d'opérer une transition
  entre une face plus matérielle et une face qui relève plus de
  l'écriture ou du calcul: «par exemple une vitrine d'exposition sur
  laquelle on pose un spécimen est une inscription au même titre que
  l'écran d'un scanner médical ou un tableau excel» \citep[«Livre»,
  colonne «Vocabulaire», entrée «Inscription»]{EME}.}, chacune étant
produite à partir de la précédente. La chaine s'arrête lorsque
l'inscription obtenue est suffisamment claire et explicite pour
éclairer le problème étudié. Quelque chose existe objectivement
lorsqu'une chaine de référence montre cette chose.

Les mathématiques, composante du champ scientifique, relèvent-elles de
ce mode d'existence? Cette question n'a pas de réponse évidente et
n'est pas franchement abordée dans l'état actuel de
l'\textsc{eme}. En première analyse, on peut
préciser deux traits principaux de cette difficulté.
\begin{itemize}
\item Ranger les mathématiques dans le mode de la référence nécessite
  de montrer comment l'activité mathématique relève elle aussi des
  chaines de référence. Comme la caractéristique essentielle de la
  pratique des mathématiques est l'élaboration de démonstrations, il
  semble nécessaire d'établir un pont entre la notion de chaine de
  référence et celle de démonstration, ce qui ne va pas de soi.
  % \item
  Cette difficulté est liée au fait que les chaines de référence ont
  été mises en évidence dans la pratique des sciences expérimentales,
  pratique assurément fort différente de celle qui prévaut dans une
  science formelle comme les mathématiques.
\item La clarification de ce problème se heurte à la captation
  philosophique, vieille comme les mathématiques et la philosophie
  grecques, qui fait de la démonstration mathématique la forme
  paradigmatique de la démarche rationnelle, capable de mener
  directement et sans perte à la vérité pensée comme absolue et
  indépendante des acteurs humains (voir \citep[p.~290]{Netz1999} et
  \citep[p.~189-191]{Latour2009}). Cette conception de
  la démonstration rend inimaginable tout rapprochement substantiel
  avec la notion de chaine de référence décrite dans l'\textsc{eme}.
\end{itemize}

Et pourtant, Bruno Latour a depuis longtemps émis l'hypothèse que le
cas des sciences formelles et abstraites comme les mathématiques
devrait pouvoir se traiter de manière plus évidente que celui des
sciences de laboratoire ou de terrain (voir \citep{Latour1985}). Il
suppose que c'est le poids de nos préjugés philosophiques,
particulièrement prégnants en ce qui concerne les mathématiques, qui
nous aveugle sur ce point. Le point de vue développé dans la suite
corrobore cette intuition.

Notre ambition est de déterminer un mode d'existence pour les
mathématiques qui soit compatible à la fois avec l'\textsc{eme} et
avec l'expérience pratique des mathématiciens. Le titre du présent
texte évoque les modes d'existence au pluriel parce que notre enquête
identifie un autre mode, qui fait intervenir le calcul mécanique de
l'ordinateur comme étape essentielle d'un raisonnement; il utilise
l'article déterminé, «les modes», pour afficher notre ambition d'une
enquête ouverte et la plus large possible.

Nous nous attaquerons d'abord à l'arrière-fond
philosophique évoqué en proposant une conception empirique de la
notion de démonstration mathématique. Cette proposition est basée sur la
notion d'expérience chère à William James \citep{James2007}, mais elle
est aussi inspirée de la philosophie de Per Martin-Löf
\citep{MartinLof87} sans oublier de précieuses réflexions de Ludwig
Wittgenstein \citep{Wittgenstein2006} et John Dewey
\citep{Dewey2014}. Il résulte de notre approche que chaque résultat
mathématique est doté de la certitude résultant de sa démonstration,
tout en étant affecté d'une forme de fragilité irréductible héritée
du fait que la démonstration est d'abord une expérience. Cela invalide
l'interprétation de cette certitude comme la marque d'un accès direct
à une vérité absolue et transcendante.
 
Cette étude préparatoire mais essentielle menée, nous en
déduirons, somme toute assez simplement, un mode d'existence propre aux
êtres mathématiques. Celui-ci respecte les caractéristiques d'un mode
d'existence selon l'\textsc{eme}. De plus, il présente à la fois des
analogies significatives et quelques différences notables avec le mode
d'existence de la référence. La question de l'articulation des deux
peut alors commencer à être discutée.
 
Le présent article est une version condensée mais autosuffisante de
l'étude plus détaillée \citep{walletneuwirth18}.

\section{L'apport de Netz et de Peirce: la place des diagrammes en
  mathématiques} \label{NetzPeirce}

\subsection{L'émergence des mathématiques grecques selon
  Netz} \label{emerge}

Dans \citep{Latour2009}, Bruno Latour présente un ouvrage qui constitue
selon lui la première avancée décisive dans la direction d'une
«approche non formaliste du formalisme». Il s'agit de \emph{The
  shaping of deduction in Greek mathematics: a study in cognitive
  history}, \citep{Netz1999}; il se place en opposition explicite avec la
démarche épistémologique classique de Thomas Kuhn \citep{Kuhn2008}, qui
s'intéresse aux systèmes de croyances partagées --~les paradigmes~--
sur lesquels se fonderait le développement des connaissances
scientifiques, ainsi qu'au basculement de ces paradigmes lors des
révolutions scientifiques. Netz met en doute que le travail
scientifique se fonde sur ces paradigmes qui apparaissent plutôt après
coup dans les explications des épistémologues. Au contraire, ce sont
pour lui les pratiques partagées qui constituent la base efficiente du
développement concret des sciences: il propose de mettre en lumière
celles qui révèlent les ressources cognitives spécifiques aux
mathématiques grecques.

La première pratique abordée par Netz est celle de l'introduction du
diagramme avec lettres qui est l'outil emblématique des mathématiques
grec\-ques (figure~\ref{fig:1}).
\begin{figure}[h]
  \centering \includegraphics[width=300pt]{036eucmsd01}
  \caption{Le diagramme avec lettres qui accompagne le théorème de
    Pythagore dans les \emph{Éléments} d'Euclide sur le folio~31 du
    manuscrit MS D'Orville~301 de l'an~888, reproduit avec l'aimable
    autorisation de l'Institut de mathématiques Clay.}\label{fig:1}
\end{figure}
C'est un dispositif qui, en relation d'interdépendance avec le texte
pur, offre une vue synoptique du cas considéré et joue le rôle
d'univers de référence du texte. Cet univers est doublement
fini: les objets qui sont marqués sont bornés et en nombre fini. La nature
des objets représentés sur le diagramme n'est pas précisée et la
question de la réalité ultime des objets mathématiques n'est pas
posée: l'ambigüité ontologique parait constitutive de cette
discipline. Ce parti pris a pour effet bénéfique d'écarter les
questions qui fâchent, celles pour lesquelles un consensus est
quasiment impossible, particulièrement dans la tradition de la
polémique propre à la démocratie grecque.

La seconde pratique relevée par Netz
est l'utilisation d'un langage fortement spécifique. Sa première propriété est
la petite taille de son lexique: 143 mots constituent 95\,\% du corpus
des œuvres d'Archimède, \emph{L'Arénaire} mise à part. Un univers
lexical suffisant et commode pour le travail de démonstration est
ainsi extrait de la vaste étendue de la langue grecque. La deuxième propriété de ce langage est sa structure remarquable: il procède par
combinaison d'un petit nombre de groupes de mots qui se répètent avec fort peu de variabilité. La
présence massive de ces «formules» indique qu'elles ont un rôle
cognitif important dans la structuration et la communication des
argumentaires.

Selon Netz, ces deux pratiques sont les fondements de
l'émergence et de l'efficience du mode déductif dans les mathématiques
grecques.

\subsection{Le diagramme au cœur des mathématiques selon
  C. S.~Peirce} \label{Peirce}

Cette partie s'appuie sur les travaux \citep{Chauvire1987}, \citep{Chauvire2008}.
 
Le point de vue de Peirce sur les mathématiques se fonde sur sa
sémiotique. En toute généralité, un signe désigne quelque chose qui
représente une autre chose. Peirce n'impose pas au signe d'être simple
ou minimal: les signes qu'il considère sont souvent des agencements
complexes. Par exemple, un diagramme avec lettres de la géométrie
grecque est un signe au sens de Peirce au même titre qu'une simple
lettre nommant un objet géométrique dans le même diagramme.
 
Il considère que la pensée nécessite l'utilisation des signes au sens
fort suivant: la fonction des signes n'est pas de représenter une
pensée déjà produite par un processus se déroulant ailleurs; au
contraire, \emph{les signes constituent le substrat indispensable à la
  constitution et au développement de la pensée et ultimement, l'acte
  de penser consiste à manipuler des signes.} De plus, Peirce classe
les signes en trois catégories, à savoir le symbole, l'indice et
l'icône, en fonction du rapport qu'un signe entretient avec son objet.
Le \emph{symbole} est un signe de nature arbitraire dont la seule
relation avec la chose représentée est une convention: la lettre
nommant un objet géométrique est un symbole. L'\emph{indice} est un
signe qui entretient un rapport physique ou matériel avec la chose
représentée: le mouvement de rotation des ailes d'un moulin est un
indice du vent. L'\emph{icône} est un signe qui a un rapport de
ressemblance avec la chose qu'il représente: le dessin d'un arbre est
une icône de la notion d'arbre.

Dans la pratique de la géométrie, le diagramme tracé explicitement sur
un support n'est pas le véritable objet de l'étude. La meilleure
preuve en est que des imperfections dans le tracé sont tolérées. Comme
ce diagramme tient lieu de la configuration géométrique idéale sur
laquelle porte le raisonnement, il est un signe au sens de Peirce. Il
n'est pas difficile d'identifier la catégorie de ce signe puisque le
symbole et l'indice sont d'emblée disqualifiés. Le diagramme
géométrique est donc une icône: sa vertu est de représenter une
configuration géométrique par un rapport de ressemblance. D'après
Peirce, cette ressemblance porte sur la forme de la configuration,
sachant que pour lui, \emph{la forme d'une chose est la structure de
  cette chose, c'est-à-dire l'ensemble des relations entre les parties
  constitutives de cette chose}. Il est notable que de nombreux
secteurs des mathématiques utilisent explicitement des diagrammes de
nature géométrique alors même que les objets étudiés ne relèvent pas
de la géométrie. Pour ne donner qu'un exemple emblématique, il suffit
de considérer la théorie des catégories (figure~\ref{fig:2}).
\begin{figure}[h]
  \[
    \xymatrix@C+2em@R+2em{
      & N \ar@/_10pt/[ddl]_*{g''} \ar@/^10pt/[ddr]^*{f''} \ar@{.>}[d]|*+<5pt,5pt>{\alpha} & \\
      & P \ar[dl]_(0.4)*-<1ex,1ex>{g'} \ar[dr]^(0.4)*-<1ex,1ex>{f'} & \\
      A \ar[r]^*{f} & C & B \ar[l]_*{g} }
  \]
  \caption{Le diagramme de la propriété universelle du produit
    fibré~$(P,g',f')$ de deux morphismes~$f\colon A\to C$
    et~$g\colon B\to C$.}
  \label{fig:2}
\end{figure}
Toutes ces formes géométrisées de diagrammes relèvent clairement de
l'analyse précédente.

Peirce introduit alors une extension de la notion de diagramme qui
rompt le lien avec la figure géométrique. En toute généralité, un
diagramme est une icône qui met en scène de manière perceptible la
forme de la chose représentée\footnote{En plus du diagramme,
  l'analyse percienne distingue deux autres types
  d'icônes: l'\emph{image}, qui désigne un signe
  perçu comme la représentation analogique de quelque chose --~l'image,
  c'est «la ressemblance à l'état pur», le «degré zéro de l'icône»~--,
  et la \emph{métaphore}, qui consiste à remplacer une relation
  sémiotique par une nouvelle relation sémiotique sur la base d'une
  similarité non préexistante introduite à cette occasion \citep{Verhaegen1994} . Quel que
  soit l'intérêt de ces notions par ailleurs fort discutées dans la
  littérature \citep{Verhaegen1994}, \citep{Esquenazi1997}, \citep{Lefebvre2013}, c'est le
  diagramme dans l'acception généralisée précédente qui constitue pour
  Peirce le processus sémiotique essentiel à l'{\oe}uvre dans les
  mathématiques. C'est cette thèse qui est retenue dans le présent
  article, et elle constitue l'un des appuis à la conception empirique
  de la démonstration donnée dans la partie~\ref{NonForm}.}.

% \[
%   \text{Signe:} \left\{
%     \begin{aligned}
%       &\text{symbole} \\
%       &\text{indice} \\
%       &\text{icône}
%     \end{aligned}
%   \right.
% \]


Cette extension permet à Peirce d'énoncer sa thèse fondamentale sur la
sémiologie des mathématiques: \emph{dans tous ses champs d'étude,
  c'est l'essence même de la pensée mathématique en acte de se
  traduire constamment par un travail de construction, d'observation
  et de transformation de diagrammes.} Cette thèse prend le
contre-pied de l'idée reçue selon laquelle le mathématicien accède
directement aux formes ou concepts abstraits. Le point de vue de
Peirce englobe aussi une interprétation éclairante de l'intuition
mathématique en accord avec cette thèse: \emph{l'intuition d'une forme
  abstraite est la saisie empirique de cette forme sur une icône qui
  la représente.}

Pour comprendre la pertinence de ce point de vue, on peut le tester
sur une formule algébrique extraite au hasard des \emph{Éléments de
  mathématique} de Bourbaki \citep[p.~A.I.93]{bourbaki70}.
\[
  \biggl( \sum_{\lambda \in\mathrm L}x_{\lambda}\biggr)^n = \sum_{|
    \beta |=n} \frac{n!}{\prod\limits_{\lambda \in\mathrm L}
    \beta_{\lambda}!}  \prod_{\lambda \in\mathrm
    L}x_{\lambda}^{\beta_{\lambda}}\text.\leqno(14)
\]
Dans le droit fil de l'analyse de Peirce, une formule de ce type, avec
ses notations et sa manière d'occuper l'espace sur le support de
l'écriture --~savoir-faire inventé graduellement au cours du
développement historique de ce domaine~-- est aussi un diagramme. En
effet, cette graphie donne à voir au mathématicien qui l'observe
nombre de propriétés de l'objet abstrait ainsi représenté, et prépare
les opérations qu'on pourra lui appliquer.
% \[
%   \begin{aligned}
%     (a+b)^1&=a+b \\
%     (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\
%     (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\
%     \multicolumn{2}{c}{\dotfill}
%   \end{aligned}
% \]
C'est ainsi qu'il est possible d'interpréter la pratique de l'algèbre
comme un travail d'observation et de transformation de diagrammes.

À ce degré de généralité, un fragment de langage peut être porteur
d'une dimension diagrammatique. Précisément, une séquence purement
textuelle dans un développement mathématique constitue un diagramme,
sous réserve qu'elle se révèle susceptible de mettre en scène une
forme abstraite de manière perceptible. Dans cet ordre d'idée, la
structure en «formules» du texte mathématique grec est interprétable
comme l'explicitation d'une dimension diagrammatique de ce texte.  En
général, séquences textuelles, formules mathématiques et
éventuellement figures géométriques sont inséparables et concourent à
la constitution de diagrammes composés qui sont des mixtes de ces
divers ingrédients.

\subsection{Le point sur la question d'un mode d'existence en
  mathématiques après Netz et Peirce}

Les travaux de Netz et de Peirce diffèrent au point qu'il peut sembler
aventureux de vouloir en tirer une leçon commune. Et pourtant, ces
deux approches se complètent relativement bien en ce qui concerne la
place du diagramme dans les mathématiques. En effet, le diagramme
géométrique avec lettres dont Netz a analysé l'importance dans les
mathématiques grecques est généralisé par Peirce en un dispositif
iconique jouant un rôle essentiel dans l'ensemble des
mathématiques. D'autre part, Netz a mis en évidence des facteurs
linguistiques spécifiques chez les Grecs, facteurs dont on peut
admettre la persistance jusqu'à nos jours et qui constituent un cadre
dans lequel la notion de diagramme généralisé au sens de Peirce se
révèle pertinente pour l'activité mathématique en général.



La description qu'ils donnent des mathématiques est fortement corrélée
avec l'analyse anthropologique développée par l'\textsc{eme}. C'est
vrai en ce qui concerne l'étude concrète du fonctionnement réel d'une
science et l'importance donnée aux véritables technologies
intellectuelles que sont le travail sur les diagrammes couplé avec un
langage enrégimenté et la fabrication et l'étude des inscriptions
scripto-visuelles. Dans les deux cas, il s'agit de «rematérialiser» la
connaissance mathématique, c'est-à-dire de montrer en quoi elle dépend
de procédés concrets de construction et de manipulation
d'inscriptions, dont l'importance est généralement ignorée par
l'approche purement épistémique du savoir mathématique.



Après Netz et Peirce, que peut-on dire alors sur la manière dont se
manifestent les êtres mathématiques? Ce sont les «existants»
\citep[«Livre», colonne «Vocabulaire», entrée «Êtres, existants»]{EME}
qui résultent des agencements particuliers produits par les
mathématiciens. On y voit se répéter la forme suivante: l'introduction
d'un cadre de travail par un jeu de définitions, de diagrammes, de
notations et de commentaires, puis l'annonce du résultat à démontrer
suivie de sa validation par une démonstration proprement dite. La
leçon de Netz et de Peirce est que ces formes ne deviennent
productives et partageables par une communauté que sous certaines
conditions techniques et cognitives.  Marquées par l'usage des
démonstrations comme moyen de validation, ce sont ces mathématiques
qui se sont trouvées au cœur de la révolution scientifique et sont
maintenant pratiquées dans les lieux de recherche partout dans le
monde.

Ceci étant admis, la place centrale des démonstrations dans les
mathématiques suggère que les êtres mathématiques manifestent leur
existence par des parcours en relation avec les démonstrations dans
lesquelles ils sont impliqués. Est-il possible d'interpréter ces
parcours démonstratifs comme des chaines de référence au sens de
l'\textsc{eme}? Peut-on concevoir les démonstrations comme les
trajectoires d'un mode d'existence spécifique aux entités
mathématiques? Pour répondre à ces questions, nous commençons par un long détour pour
élaborer une conception non formaliste des mathématiques.

\section{La démonstration et l'idée formaliste de sa
  perfection} \label{StrucPreuve}
 
La logique contemporaine met à disposition plusieurs types de
description de la notion de démonstration captant plus ou moins bien
la forme de la pratique argumentaire des mathématiciens, dont le
calcul nommé «déduction naturelle»; la description
qui suit s'en inspire. Introduit par le mathématicien et logicien
allemand Gerhard Gentzen \citep{Gentzen1935}, il a pour objet premier de proposer un
formalisme reproduisant le mode naturel du raisonnement mathématique
par opposition à la méthode axiomatique de Russell et
Whitehead: le raisonnement mathématique naturel repose non pas sur la
référence à une poignée d'axiomes mais sur l'application de règles
d'inférences claires, efficaces et en aussi grand nombre que
nécessaire dans chaque secteur de cette discipline.

Selon la terminologie utilisée dans les travaux de Martin-Löf
\citep{MartinLof87}, un résultat mathématique dont on sait qu'on a le
droit de l'affirmer est un \emph{jugement}. Un jugement est donc
un élément établi de connaissance mathématique.

La forme la plus simple d'un jugement est «$A$~est vrai», où
$A$~désigne une proposition. Par exemple, l'énoncé que «la somme des
angles d'un triangle est égale à deux angles droits» est une
proposition, et l'affirmation que cette proposition est vraie est un
jugement qui est par exemple établi par la démonstration donnée dans
les \emph{Éléments} d'Euclide (livre~I, proposition~32).

De quel droit peut-on affirmer un jugement?  Certains sont donnés
préalablement à la phase déductive; ils traduisent une sorte
d'évidence basique et immédiate relative aux objets considérés et au
cadre de travail.  Les autres jugements sont ceux qu'on peut obtenir
par déduction, c'est-à-dire par application de \emph{règles
  d'inférence}: chacune de ces règles décrit comment des jugements
permettent d'établir un autre jugement.  Ces règles d'inférence
reprennent sous une forme épurée les bases de la logique du
raisonnement humain. La déduction naturelle représente une
démonstration mathématique comme un enchainement de
jugements\footnote{\label{StructDem}Une démonstration peut être un peu
  plus complexe qu'une simple suite organisée comme un parcours
  linéaire et se présenter comme un \emph{arbre de preuve}. Cette même
  structure serait appropriée pour les chaines de référence. }, chaque
jugement étant établi à partir des précédents par une règle
d'inférence, le dernier jugement établi étant l'affirmation du
théorème.

Il n'y a pas grand-chose à reprocher à la description de la notion de
démonstration développée ci-dessus sinon qu'elle est excessivement
brève et formelle. Toutefois, ce mode de description donne prise à une
interprétation formaliste, version moderne de l'antique captation
philosophique des mathématiques grecques.

En effet, on a vu qu'une démonstration apparait comme une structure
constituée de jugements reliés par des inférences logiques; or les
inférences logiques sont parfaitement caractérisées et cataloguées par
le travail des logiciens depuis le siècle dernier: cette structure
peut donc être simulée par un calcul en réduisant le texte de la
démonstration à une série de symboles assemblés selon des règles
syntaxiques précises, sans utiliser la langue naturelle. La démonstration apparait ainsi comme un dispositif formel objectif dont la
validité repose sur son objectivité, c'est-à-dire sur son caractère
indépendant de l'approche subjective de l'esprit humain. En
conséquence, une fois qu'elle est convenablement formalisée, une
démonstration mathématique constitue une forme d'argumentation
imparable, incontestable, menant inéluctablement à sa
conclusion. Ainsi, la vérité dévoilée par une démonstration acquiert un
caractère universel, immuable et permanent.

Pour une défense de ce point de vue, nous renvoyons à
l'introduction du livre~I des \emph{Éléments de mathématique} de
Bourbaki \citep{bourbaki54}, qui a pour but explicite de montrer les
changements que le formalisme apporte à la notion de démonstration.
% \begin{quotation}\label{citation-bourbaki}



% \end{quotation}

Ainsi, la mise au clair de ce qu'est une démonstration peut conforter
l'idée de la perfection absolue de l'argumentation mathématique. Non
seulement cette conception mérite d'être questionnée, mais aussi le
glissement insidieux qui fait de la démonstration mathématique le
modèle par excellence de la méthode rationnelle permettant, selon «les
modernes\footnote{Conformément à l'utilisation de ce terme dans
  l'\textsc{eme} \citep[«Livre», colonne «Vocabulaire», entrée
  «Modernes, modernisation»]{EME}, les modernes adhèrent pleinement au grand récit de l'émancipation selon
  lequel, depuis la révolution scientifique, s'établirait
  progressivement mais irréversiblement la distinction absolue entre
  Illusion et Raison, entre un passé archaïque et un futur émancipé,
  entre Croyance et Savoir Vrai. Voir \citep{Latour2012} pour de plus
  amples développements sur ce thème et son rapport avec la crise
  écologique.}», l'accès direct et complet à la Vérité quel que soit
le domaine considéré.

\section{Une conception empirique du jugement
  mathématique} \label{NonForm}
 
\subsection{L'expérience d'un jugement} \label{PreuveExpe}

Pour échapper au biais qu'un jugement serait obtenu grâce au
dispositif formel que constitue une démonstration formalisée,
indépendamment des acteurs mathématiciens concernés, de leur
appréhension de ladite démonstration, de leurs tentatives, de leurs
discussions, de leurs calculs, il suffit de remarquer qu'une configuration
de signes ne devient une démonstration --~formelle ou pas~-- qu'à la
condition que des acteurs humains puissent en faire
l'expérience. Cette remarque nous met sur la voie d'une autre approche
philosophique dans l'esprit de l'\emph{empirisme radical} de James
\citep{James2007}. Cette doctrine est centrée sur la notion
d'expérience, c'est-à-dire tout ce dont un sujet individuel fait
l'expérience dans le flux continu de sa propre vie. Autrement dit,
l'expérience est le champ instantané du présent, à la fois continu et
changeant, qui constitue le vécu de chaque personne. L'intérêt de
l'empirisme jamesien pour notre questionnement se manifeste dans le
principe suivant qui en offre un résumé percutant:

\begin{quote}
  \emph{N'admettre que ce dont on puisse faire l'expérience, et rendre
    justice à tout ce qui peut être objet
    d'expérience.} %\footnote{Cette formulation provient de la préface de
  \citep[préface.]{James2007}
\end{quote}

De ce point de vue, un jugement est une expérience d'un certain type
qu'il faut maintenant essayer de décrire.  Qu'est-ce qui caractérise
les jugements parmi les expériences porteuses de connaissance? La
réponse qui va être donnée est inspirée par la lecture du travail
\citep{MartinLof87} de Martin-Löf, dont l'intuitionnisme n'est pas
totalement étranger à l'empirisme, comme relevé dans
\citep{Bourdeau2004}.
 
La propriété fondamentale qui fait qu'un énoncé mathématique est un
jugement est qu'\emph{on sait qu'on a le droit de l'affirmer}: on en a
une démonstration. La divergence avec le point de vue formaliste se
marque si l'on insiste sur la nature de ce savoir en mettant en avant
la notion d'expérience. C'est ce qui est fait avec la définition
suivante.
 
\begin{quote} \label{DefPreuve} \emph{Une \emph{expérience de
      démonstration} d'un jugement est une expérience par laquelle un
    mathématicien saisit l'évidence de ce jugement}.
\end{quote}

On peut dire qu'une expérience de démonstration est une expérience par
laquelle ce mathématicien \emph{voit} ce jugement; alors, pour le
sujet de cette expérience, le jugement \emph{est}, pleinement, sans
restriction au point qu'il lui est impensable d'en douter, de s'y
soustraire. Chaque terme de la définition a son importance:
«expérience» bien entendu pour qualifier un segment du flux de la vie
propre à un individu, «mathématicien» pour indiquer que la
reconnaissance pleine et entière de cette expérience nécessite une
compétence généralement acquise par l'enseignement et la pratique au
sein d'une communauté scientifique spécifique, enfin «l'évidence» pour
marquer qu'une expérience de démonstration rend visible et manifeste
le jugement, qu'elle expose au regard la totalité d'un arrangement qui
le valide sans conteste et l'établit comme fait mathématique. Dans
l'utilisation qui vient d'en être faite, les expressions «voir un
jugement», «rendre visible» ou «exposer au regard» ne sont pas de
simples métaphores destinées à désigner la saisie directe par l'esprit
de propriétés abstraites. Comme l'a montré Peirce, la dimension
diagrammatique des mathématiques permet au mathématicien d'amener dans
sa perception sensible la forme de la configuration abstraite dont il
traite, et il peut ainsi l'observer et la manipuler avec la force
brute que donne cette perception.


% \begin{figure}[!h]
%   \centering \includegraphics[width=8cm]{Theoreme32.eps}
%   \caption{Un diagramme avec lettres pour la Proposition~32 du
%   Livre~I des \emph{\'Eléments} d'Euclide.}\label{fig:3}
% \end{figure}


Cette expérience est en partie un acte mental, mais elle ne se réduit
pas au moment ultime pendant lequel le mathématicien est saisi par
l'évidence. Ce moment est préparé par la démarche souvent
laborieuse d'analyse critique et d'appropriation à laquelle se livre
le mathématicien en composant ou en décryptant une inscription faite
de textes, de figures, de schémas, de formules, de calculs, etc. Ce
n'est qu'à la fin de cette phase que l'expérience peut surgir pleine
et entière.  C'est la totalité du processus menant à l'évidence finale
qui est l'expérience de démonstration.

Contrairement à l'approche formaliste de la démonstration, une
expérience de démonstration d'un jugement ne se fonde pas sur
l'utilisation explicite de techniques et méthodes logiques, mais sur
la mise en place d'un dispositif menant à la manifestation
incontestable du bien-fondé de ce jugement. Dans l'ordre conceptuel,
celle-ci précède l'analyse logique du raisonnement, qui elle procède
d'une mise en forme postérieure à l'expérience de démonstration. Le
travail de construction d'une expérience de démonstration consiste à
fabriquer un cheminement souvent indirect, permettant de transporter
étape par étape l'évidence jusqu'à obtenir l'évidence finale du
jugement. Ceci produit à chaque étape une expérience de démonstration
d'un jugement intermédiaire. Ainsi une expérience de démonstration
d'un jugement se scinde en une succession d'expériences de jugements
intermédiaires, c'est-à-dire en une succession d'expériences de
l'évidence de chacun de ces jugements.

L'évidence se propage de jugement en jugement pour culminer par
l'évidence du jugement final. Il est bon de noter que ce n'est pas une
force qui caractérise la certitude accordée à un jugement, c'est
plutôt une qualité, celle qui résulte du cheminement de l'évidence qui
aboutit en pleine lumière, sans zone d'ombre et sans délégation à un
oracle\footnote{Il y a délégation à un oracle lorsque le cheminement
  de l'évidence est rompu et remplacé localement par le recours à un
  moyen externe à l'expérience de l'évidence. Par exemple, ce moyen
  peut être l'avis d'un expert assurant d'autorité que tel énoncé est
  valide, ou bien encore le recours à un calcul sur machine
  approprié.}, au jugement considéré.

Nous proposons de lire dans ce sens le passage suivant du
\emph{Continu} de Hermann Weyl.
\begin{quotation}
  Le célèbre ouvrage de Dedekind, \emph{Nature et fonction du nombre},
  1888, préf.\ 1\iere\ éd., s'ouvre sur cette phrase: «Ce qui est
  démontrable ne doit pas, en science, être cru sans
  démonstration». Cette assertion est probablement typique de la
  pensée de la plupart des mathématiciens, elle n'en prend pas moins
  les choses à l'envers. Comme si un rapport de fondation aussi médiat
  que celui que nous nommons démonstration, était capable de susciter
  une «croyance» sans que nous nous assurions de l'exactitude de
  chaque pas isolé au moyen d'une intuition immédiate! C'est cette
  intuition (non pas la démonstration), qui est partout la source
  ultime de la connaissance, elle consiste à avoir «l'expérience
  directe du vrai\footnote{Weyl cite ici Edmund Husserl: «Une évidence
    n'est, au contraire, rien d'autre que ``l'expérience vécue'' de la
    vérité» \citep[§~51]{husserl59}.}». \citep[p.~59.]{weyl94}
\end{quotation}

\subsection{Inscription de démonstration et partage d'un
  jugement}\label{FormeDem}

Maintenant qu'a été introduit le concept d'expérience de
démonstration, il est notable qu'il ne recouvre pas l'idée usuelle de
démonstration. En effet, dans un texte mathématique, le passage censé
justifier un théorème est lui-même qualifié de démonstration (ou de
preuve) du théorème. Or il est clair que cet objet concret est
distinct de l'expérience de démonstration du théorème en question. Un
mathématicien sait que, généralement, la simple lecture d'une
démonstration d'un théorème est loin de suffire pour en éprouver
l'évidence. La définition qui suit précise cette distinction.

\begin{quote}
  \emph{Une \emph{inscription de démonstration} d'un jugement donné
    est une inscription scripto-visuelle (couchée sur le papier,
    tracée sur un tableau, enregistrée dans un fichier
    informatique\dots) présentant une configuration d'arguments
    textuels et graphiques susceptible de permettre l'expérience de
    démonstration du jugement.}
\end{quote}

La notion d'inscription de démonstration d'un jugement est donc
intrinsèquement différente de celle d'expérience de démonstration
puisque la première est faite de textes, de tableaux, de schémas, de
diagrammes, et que la seconde est une expérience se concluant chez
celui qui l'éprouve par l'acte mental de l'évidence du jugement.

Une inscription de démonstration d'un jugement joue le rôle d'un guide
pour le cheminement de l'évidence jusqu'à l'expérience de
démonstration de ce jugement. C'est un peu le même rapport qui existe
entre le topo-guide décrivant une randonnée (bel exemple d'inscription
scripto-visuelle) et l'accomplissement sur le terrain de cette même
randonnée (expérience éventuellement délicate et incertaine). L'idée
habituelle de démonstration se voit scindée en deux notions
différentes mais complémentaires, l'inscription de démonstration et
l'expérience de démonstration.

L'intérêt principal d'une inscription de démonstration d'un jugement
est de conserver et de communiquer des éléments permettant de valider
ce jugement. L'acte de communiquer la démonstration d'un jugement est
essentiel dans la vie scientifique de la communauté des
mathématiciens. Cet acte présuppose la croyance que la démontrabilité
d'un jugement est une notion partageable.

Pourtant, il va de soi qu'une expérience de démonstration d'un
jugement est essentiellement privée du fait que l'expérience éprouvée
par un individu lui appartient en tant que moment de sa vie propre et
que toute autre personne est dans l'incapacité d'y accéder
pleinement. Néanmoins, on constate dans la pratique de la communauté
des mathématiciens que la validation d'un jugement est une notion
partageable: ceux-ci se mettent d'accord pour reconnaitre
qu'une inscription de démonstration permet de valider un jugement, et ceci signifie qu'un travail d'exploration de ce document génère chez eux une
expérience de démonstration du jugement.

Avec Wittgenstein, nous pouvons estimer que cette propriété ne relève
pas d'une explication philosophique mais d'un arrière-fond de
pratiques et de formes de vie \citep{Wittgenstein2004} transmis par
l'enseignement de cette science, dans lequel on apprend collectivement
à éprouver l'évidence de tel ou tel énoncé: l'apprentissage des
mathématiques est aussi un apprentissage collectif de la notion de
démontrabilité et du consensus qui en découle.


Lorsqu'un jugement est partagé par un nombre significatif d'acteurs
compétents sur le sujet, la communauté des mathématiciens accorde sa
confiance à ce jugement. Cela implique que ce résultat devient une
sorte de «fait mathématique» sur lequel tout mathématicien peut
s'appuyer sans être dans l'obligation d'en éprouver lui-même
l'évidence. Cette manière de procéder peut sembler être une forme de
recours à un oracle, mais elle en diffère parce que d'une part il y a
eu partage de la démonstration par un panel d'experts de confiance, et que
d'autre part il est toujours possible à quiconque de se reporter à la
démonstration. Quoi qu'il en soit, l'acceptation d'un nouveau jugement
se fait en deux étapes, l'étape individuelle ou quasi-individuelle
suivie de l'étape collective, ce qui renforce considérablement la
fiabilité du résultat démontré. Ce mécanisme de validation collectif
ne doit pas occulter le fait que c'est l'expérience de démonstration
qui constitue la pierre angulaire et la spécificité de l'activité
mathématique, même lorsque cette expérience est déléguée à un groupe
d'experts.

\subsection{Le phénomène des erreurs \emph{post
    demonstrationem}} \label{erreurs}

Contrairement à ce qui advient dans la vie courante, les raisonnements
mathématiques ont la réputation d'être d'une solidité infaillible et
d'imposer un consensus. Elle est justifiée par la nature même de la
validation d'un jugement mathématique, explicitée dans la
partie~\ref{FormeDem}, qui constitue un réquisit d'une très grande
exigence. Néanmoins, l'idée d'un discours parfait résulte d'un
glissement abusif. Une manifestation claire de cet abus de réputation
réside dans le phénomène des erreurs \emph{post demonstrationem}
(terminologie introduite par les auteurs du
présent texte). Le caractère irrépressible de ce phénomène a
été remarqué par Martin-Löf \citep{MartinLof87}. Il y a erreur
\emph{post demonstrationem} lorsque: 1) à un moment donné, un jugement
est validé par la procédure décrite précédemment; 2) à un moment
ultérieur, éventuellement longtemps après, une erreur est découverte
dans cette validation. La manifestation de cette erreur est la
découverte d'un argument nouveau dont l'effet concret est de rendre
impossible l'expérience de l'évidence de ce jugement. Habituellement,
la présence de ce type d'erreur est analysée comme la simple marque de
l'imperfection ou de la finitude de l'esprit humain. Il en découle que
les conséquences philosophiques du phénomène des erreurs \emph{post
  demonstrationem} ne sont pas correctement perçues.

Il est vrai qu'on est face à un paradoxe. D'une part, le processus de
la démonstration --~expérience de l'évidence, inscription guidant
cette expérience, partage de l'évidence guidée par l'inscription~--
est agencé pour exclure les erreurs: mener à son terme ce processus
est la méthode, initiée par les mathématiciens grecs, qui apporte la
garantie que le raisonnement ainsi produit est valide, exempt de toute
faute. Mais d'autre part, la nature même de cette procédure ne permet
pas d'exclure définitivement la possibilité qu'une erreur puisse être
détectée par la suite. La raison en est qu'\emph{il n'y a aucun moyen
  extérieur à l'expérience de démonstration d'un jugement qui puisse
  permettre de s'assurer définitivement de sa validité}. \emph{La
  fiabilité d'une démonstration se fonde uniquement sur une forme
  d'expérience humaine, celle de l'évidence d'un jugement.}



D'une certaine manière, c'est la croyance que la technique de la
démonstration n'est qu'un moyen pour accéder à une instance extérieure
à cette expérience qui fonde l'idée de l'incontestabilité du
raisonnement mathématique. Pour les philosophes platoniciens, cette
instance était le monde transcendant des idées pures. Pour les
modernes d'aujourd'hui, cette instance est plus volontiers le monde
des objets formels. D'où cet ultime refuge pour la thèse de
l'infaillibilité du discours mathématique: un raisonnement formalisé,
c'est-à-dire complètement coulé dans le moule syntaxique de l'une des
théories formalisant la pratique des mathématiques, peut sembler par
essence complètement imparable. Si on admet cette thèse, on est tenté
de voir tout raisonnement usuel comme une approximation nécessairement
imparfaite d'un objet formel parfait, ce qui expliquerait à la fois la
présence d'erreurs cachées dans la pratique ordinaire des
mathématiques et une stratégie pour les éviter, à savoir celle de
s'approcher autant que faire se peut de la formalisation
complète. Mais qu'est-ce qu'une démonstration formelle?  Comme cela a
déjà été noté, une configuration de signes sur un support quelconque
ne peut prendre le statut de démonstration formelle que dans le cas où
elle est identifiée comme telle dans le cadre d'une expérience d'un
sujet mathématicien. Quelle que soit la nature de cette expérience, il
ne s'agit que d'une simple expérience humaine, inapte à fonder une
infaillibilité sans restriction.  En conséquence, la stratégie
consistant à assoir la perfection absolue d'un raisonnement
mathématique en le formalisant complètement ne peut pas fonctionner:
cela ne fait que déplacer la possible intrusion future d'erreurs dans
l'expérience qui assure que l'entité syntaxique obtenue possède la
qualité de démonstration formelle.

 

\subsection{Deux remarques} \label{DeuxRem}
 
\paragraph{1.}  Jusqu'à ce point, l'analyse présentée auparavant n'a
nullement pris en compte les différences, pratiques et théoriques, qui
scindent la communauté des mathématiciens en deux écoles, d'une part
les mathématiques classiques, et d'autre part les mathématiques
constructives. En fait, la présentation d'une conception non
formaliste de la démonstration présentée ci-haut s'applique de manière égale
aux mathématiques développées dans ces deux groupes. Cela peut
paraitre étonnant dans la mesure où ces deux courants s'opposent en
particulier sur ce que doit être une démonstration. De plus, la
définition de la notion d'expérience de démonstration donnée dans la
partie~\ref{PreuveExpe} semble relativement proche des conceptions
philosophiques développées dans l'intuitionnisme. Cependant, les
auteurs du présent texte défendent que c'est la forme paradigmatique
de la notion de démonstration, telle qu'elle est pratiquée depuis les
Grecs, qui est captée par la définition choisie ici. Tout
mathématicien, classique ou constructiviste, admet la validité d'une
démonstration lorsque, au terme d'un travail d'exploration et de
maturation, il est saisi par l'évidence de la conclusion. C'est dans
le choix des moyens utilisés pour édifier la démonstration que
l'opposition est pertinente. Par exemple, l'utilisation de la règle du
tiers exclu est jugée légitime par un mathématicien classique au sens
où elle lui semble marquée par l'évidence, alors que cette utilisation
est rejetée par un mathématicien constructiviste pour qui ce même
moyen rompt le cheminement de l'évidence.

\paragraph{2.} Qu'en est-il de l'utilisation de calculs sur machine
dans une démonstration? De manière analogue à ce qui se passe dans
toutes les autres sciences, les progrès technologiques et théoriques
font apparaitre des dispositifs de calcul susceptibles d'être
utilisés dans la vérification ou la construction de
démonstrations. C'est le cas des assistants de preuve comme \emph{Coq}
\citep{coqmanual}. Un exemple maintenant classique de la réussite de
cette démarche est le théorème des quatre couleurs dont la
démonstration complètement certifiée a été obtenue en 2004 \citep{gonthier05} et dont on
ne possède aucune démonstration pouvant se passer de calculs sur machine.

Pour illustrer l'impact de l'usage des ordinateurs par un exemple
simple, imaginons d'abord que la seule démonstration que nous aurions
de ce que la somme des nombres entiers de~1 à \np{2000000} fait
\np{2000001000000} était l'inscription du calcul de cette somme sur une machine; or nous avons une démonstration, qui est que
cette somme est aussi celle des nombres entiers de \np{2000000} à~1,
et qu'en additionnant terme à terme les termes de ces deux sommes, on
obtient $\np{2000000}\times\np{2000001}$, qu’il reste à diviser par deux. L'évidence de cette
démonstration est d'une autre qualité que l'inscription du calcul.

La question est de savoir en quoi la notion de démonstration présentée
auparavant pourrait être modifiée par ces nouvelles pratiques. Par
exemple, considérons une démonstration dont une partie n'est validée
que par un calcul sur machine; est-ce qu'elle peut générer une démonstration au
sens de l'expérience de l'évidence de son résultat? Il semble que non parce que le cheminement de l'évidence guidé par la
démonstration est rompu: la partie de la démonstration prise en charge
par la machine se présente comme une béance, du moins pour
celui qui n'est pas capable de comprendre ce que fait le programme
informatique. Notons que l'intrusion de la matérialité dans l'efficience
des mathématiques n'est pas nouvelle et elle est même structurelle
d'après la contribution de Netz sur l'émergence des mathématiques dans
le monde grec; ce qui semble nouveau avec la mécanisation des
démonstrations est que le dispositif mis en œuvre certes peut apporter
une réponse, mais que cette dernière n'est pas de nature à favoriser
la démonstration au sens de l'expérience de l'évidence de sa
conclusion.

Néanmoins, un mathématicien peut être en capacité de saisir le fonctionnement
de la machine, d'en démontrer la correction, pour finalement
estimer que, tant bien que mal, l'évidence poursuit son chemin dans la
partie traitée machinellement. Encore faut-il avoir une confiance
absolue en le dispositif électronique piloté par le programme qui
effectue la tâche demandée, de l'ordre de celle qu'on accorde à un
résultat mathématique validé par une démonstration, c'est-à-dire une
confiance qui exclut totalement le doute du fait qu'on est pénétré de
son évidence par le contrôle qu'on a pu exercer sur l'intégralité du
processus qui le valide.  On voit bien que cela ne peut pas
fonctionner ainsi. Dans le cas considéré, le détail du fonctionnement
intime du processus mécanique qui valide le résultat n'est justement
pas accessible: on est dans le cas de l'utilisation explicite d'un
oracle.

Force est de constater que les mathématiques tributaires de telles
démarches informatiques se rapprochent des autres sciences comme la
physique qui dépendent de manière plus ou moins essentielle de
dispositifs matériels expérimentaux. Ces mathématiques nouvelles sont,
dans leur méthode même, d'une nature différente du procédé de la
démonstration instauré par les Grecs, qui depuis ce moment inaugural a
constitué l'originalité et la marque distinctive de cette discipline.
Il est possible que ce soit une nouvelle science qui émerge de cette
manière, à la frontière des mathématiques, de la logique et de
l'informatique: une science dont les objets sont les démonstrations
formelles, et dont la démarche est fortement dépendante d'outils
informatiques puissants. La confiance accordée aux résultats fournis
par ces démarches peut être très forte. Par exemple, la certification
\emph{Coq}, label donné à un résultat vérifié par l'assistant de
preuve \emph{Coq}, est considérée comme une forme très haute de
validité\footnote{Plus précisément, la certification a lieu sur la
  base d'une inscription de démonstration spécialement adaptée à
  l'assistant de preuve, élaborée à partir d'une démonstration dont un
  mathématicien a fait l'expérience et qu'il a rédigée. Alors pourquoi
  certifier? Trois raisons nous viennent à l'esprit: les erreurs
  \emph{post demonstrationem}; convaincre les autres mathématiciens de la
  correction de la démonstration et en particulier de l'absence d'oubli d'un
  cas particulier parmi un grand nombre d'autres (théorème de Hales de
  la conjecture de Kepler, théorème des quatre couleurs); développer
  la certification en tant que discipline scientifique (théorème de
  Feit-Thompson; on peut noter qu'au cours de la certification de ce
  théorème, quelques erreurs de la démonstration originelle ont été
  corrigées, mais qu'elles étaient superficielles).}, à tel point que
si un résultat obtenu par \emph{Coq} entrait en contradiction avec un
jugement validé par une démonstration au sens développé précédemment
de l'évidence vécue, il ne va pas de soi que la confiance serait
prioritairement accordée au deuxième. Autrement dit, sur le plan de la
force de la confiance, un résultat certifié par \emph{Coq} n'a rien à
envier à un résultat certifié par une démonstration.  Mais ce n'est
pas la force en elle-même de la confiance accordée à un résultat qui
est la marque distinctive de l'essence de la démarche
mathématique. C'est la nature du processus qui légitime le résultat, à
savoir la démonstration comme expérience de son évidence. Cette
expérience crée chez celui qui l'éprouve une forme de rapport
particulier avec le résultat validé, rapport qui est incompatible avec
la délégation d'une partie de la démonstration à un oracle.

\section{Vers un mode d'existence pour les mathématiques}
 
Cette partie terminale a pour objet d'introduire un mode d'existence
propre aux êtres mathématiques respectant le patron de l'\textsc{eme}
et de discuter le placement de ce mode dans celui de la référence
[\textsc{ref}]. Préalablement, quelques précisions doivent être
apportées relativement au mode [\textsc{ref}] et à la notion générale
de mode d'existence au sens de l'\textsc{eme}.
  
\subsection{Les modes d'existence en général et le mode [\textsc{ref}]
  en particulier}\label{PrecisREF}
 
Rappelons que le mode de la référence [\textsc{ref}] est caractérisé
par la production de chaines de référence\footnote{Nous renvoyons à la
  lumineuse étude \citep{Latour2007} pour un exemple concret de
  chaine de référence.}. Une telle chaine se présente extérieurement
comme un enchainement d'inscriptions scripto-visuelles. Selon
l'\textsc{eme}, ces chaines sont au cœur du mode d'existence
[\textsc{ref}], au sens où quelque chose existe objectivement lorsqu'on
peut mettre en place une chaine de référence qui établit cette chose
\emph{via} la cascade d'inscriptions constituée par cette chaine. La
dissemblance, l'éloignement entre chaque inscription et l'inscription
suivante est appelée \emph{hiatus}. Ce hiatus désigne le manque \emph{a
  priori} de conviction que la seconde inscription est conçue de
manière à porter une information qu'on peut rapporter à la première,
cette conviction étant une expérience recherchée par les acteurs
scientifiques qui élaborent la chaine ou en prennent connaissance.

La \emph{condition de félicité} qui permet de lisser une telle chaine
est que l'opération qui fait passer d'une inscription à la suivante
soit conçue de manière à préserver cette constance, de telle sorte que
l'information lisible sur la deuxième inscription remonte à une
information portée par l'inscription précédente. La dernière
inscription d'une chaine de référence n'a de valeur que par l'ensemble
de la chaine qui, du fait des conditions de félicité, permet de faire
transiter cette information en remontant pas à pas la chaine de
manière à aboutir au phénomène initial sur lequel porte l'étude.

Il est temps d'énoncer quelques généralités sur les modes d'existence
au sens de l'\textsc{eme}. Un mode d'existence désigne un collectif
d'entités partageant une même manière d'être et de s'animer. L'une des
idées-phares de l'\textsc{eme} est que, bien qu'une multiplicité de
modes d'existence puissent être distingués, ces derniers
partagent des traits communs qui permettent de les identifier et de
les classer. Ce sont principalement:
\begin{itemize}
\item un certain type de \emph{trajectoire} qui est le support
  principal de l'existence dans le mode considéré --~dans le cas de
  [\textsc{ref}], ce sont les chaines de référence;
\item un certain type de \emph{hiatus} qui sépare deux étapes
  successives quelconques d'une trajectoire --~dans le cas de
  [\textsc{ref}], c'est l'éloignement, la dissemblance entre deux
  inscriptions successives d'une chaine de référence;
\item un certain type de \emph{conditions de félicité et d'infélicité}
  qui sont les conditions de vérité ou de fausseté propres au mode
  considéré --~dans le cas de [\textsc{ref}], étant donnée une chaine
  de référence et une information qui émerge à la dernière étape de la
  chaine, la condition de félicité énonce que cette information est
  pertinente si elle peut être rapportée d'étape en étape en remontant
  toute la chaine de référence.
\end{itemize}
 
\subsection{Un mode d'existence pour les
  mathématiques} \label{quasimode}
 
Cette partie suit le patron des modes d'existence pour décrire le
fonctionnement, la manière d'être et de se présenter à nous, des êtres
qui se manifestent quand un mathématicien met au point ou parcourt un
développement mathématique. L'idée est d'exploiter la description
empiriste du raisonnement mathématique de la partie~\ref{NonForm}.
 
Préalablement, il convient de revenir sur les inscriptions
scripto-visuelles qui interviennent dans la pratique des
mathématiques.  Dans la partie~\ref{FormeDem}, avec la notion
d'inscription de démonstration (d'un jugement), nous avons introduit
une telle inscription en insistant sur la différence essentielle avec
l'expérience de démonstration (du même jugement). Considérons maintenant
la notion \emph{a priori} banale d'\emph{énoncé}:
c'est un texte qui exprime un contenu mathématique, que ce dernier
soit établi --~ce qui en fait un jugement~-- ou ne le soit pas. Élargissons cette notion de manière à inclure des éléments
non textuels (diagrammes, images, etc.), afin d'en faire un tout
complet sur le plan de l'expression habituelle des
mathématiques. Après ce préalable, le mode d'existence pour les
mathématiques peut être abordé en précisant son type de hiatus, de
trajectoire et de condition de félicité.
 
Le hiatus du mode d'existence pour les mathématiques est la
discontinuité manifestée par l'éloignement entre un énoncé donné
initialement et un énoncé final. Cet éloignement doit être compris
comme l'absence d'expérience de démonstration qui permettrait de
passer du premier au second.

Le saut, la transition, la transformation reliant ces énoncés est une
inscription de démonstration qui est présentée comme un guide
susceptible de faire transiter l'évidence du premier au second. Pour
important qu'il soit, ce guide ne certifie pas que l'expérience du
cheminement de l'évidence sera au rendez-vous de celui qui le
parcourt.

La condition de félicité de ce saut est justement qu'il réussisse à
générer l'expérience du cheminement de l'évidence du premier au second
énoncé. Lorsque cette condition est réalisée, l'énoncé final par delà
le hiatus devient un jugement, sous réserve que l'énoncé source en
deçà soit lui-même un jugement, et le saut s'identifie à une
inscription de démonstration de ce jugement à partir du jugement
source. Une chaine démonstrative est une trajectoire obtenue en
considérant un enchainement d'énoncés reliés par des sauts. Une telle
chaine satisfait la condition de félicité si c'est le cas de chacun de
ses sauts.


% \begin{itemize}
% \item
  
% \item
  
% \end{itemize}

% \begin{equation}\label{Chaine1}
%   I_1 \mapright{D_1} I_2 \mapright{D_2} I_3 \mapright{D_3}
%   \cdots \mapright{} I_{n-1} \mapright{D_{n-1}} I_{n}.\tag{*}
% \end{equation}
 

% \[
%   I_1 \mapright{D} I_n\text.
% \]

 


Un être mathématique (c'est-à-dire un objet ou une propriété
mathématique) est amené à l'existence lorsqu'une chaine démonstrative
satisfaisant la condition de félicité énonce, montre cette
existence. C'est ainsi que tout jugement, habituellement conçu comme
un acquis de connaissance, est également interprétable comme une
extension de l'ontologie: telle entité (objet ou propriété) est dotée
d'une existence avérée par la chaine démonstrative correspondante. Par
exemple, une chaine démonstrative associée au théorème de Pythagore
amène à l'existence, pour un triangle rectangle, la propriété
d'égalité entre les carrés construits sur les côtés adjacents à
l'angle droit et le carré construit sur l'hypoténuse.

Dans quel lieu ces êtres vivent-ils? L'ambigüité ontologique des
mathématiques relevée par Netz fait qu'aucun lieu n'est attribué
d'emblée aux objets mathématiques dans ce que nous nommons naïvement
la réalité extérieure. Depuis les mathématiques grecques, la réponse
platonicienne à cette difficulté a été de postuler que ces objets
gisent dans l'immuable éternité d'un monde suprasensible d'idées
pures. Le mode d'existence des êtres mathématiques présenté ici évite
ce recours à la transcendance tout en restant au plus près de la
pratique des acteurs de cette sciences.  Il reste que, si on le
souhaite, on peut dire que les entités mathématiques peuplent des
mondes qui leur sont propres tout en restant attachées aux dispositifs
scripto-visuels qui les supportent. 

Comme cela est énoncé dans l'\textsc{eme}, «\emph{chaque saut
  par-dessus une discontinuité représente un risque pris qui peut
  réussir ou rater}». Dans le cas qui nous intéresse, le risque est
que l'inscription de démonstration soit considérée comme insuffisante
pour générer l'expérience de l'évidence de l'énoncé final.  L'objet de
la condition de félicité est donc de surmonter ce risque. Cependant,
le risque ne peut pas être éliminé définitivement: c'est la leçon
enseignée par le phénomène des erreurs \emph{post demonstrationem},
c'est-à-dire la nécessité d'envisager l'éventualité d'erreurs dans la
démonstration du jugement considéré. Traduite dans notre perspective
ontologique, cette leçon montre que l'existence d'un être mathématique
ne peut pas avoir la valeur d'une vérité définitive transcendant
l'expérience du cheminement de l'évidence éprouvé par un
mathématicien. Cet être est doté d'une existence certaine tant que le
transport de l'évidence qui le valide est reconnu comme tel, ce qui ne
peut exclure la découverte future d'une faille susceptible d'invalider
cette existence. La raison en est que ce cheminement est une
expérience, celle de l'évidence du jugement final, et non pas l'accès
à une forme de réalité indépendante des acteurs mathématiciens.



\subsection{Éléments de comparaison entre [\textsc{ref}] et le mode
  d'existence des êtres mathématiques} \label{CompModes}
 
La comparaison entre le mode d'existence des êtres mathématiques et
celui de la référence se réduit principalement à la comparaison des
chaines et des conditions de félicité propres à chacun. Ceci met en
lumière des analogies et des différences entre
\begin{itemize}
\item d'une part la technique des chaines de référence pratiquée dans
  les sciences de terrain ou expérimentales rapidement présentée dans
  la partie~\ref{PrecisREF},
\item d'autre part la technique des chaines démonstratives introduite
  dans la partie~\ref{quasimode}.
\end{itemize}
 
La première analogie est que ces deux types de chaines se présentent
comme des trajectoires dont les étapes successives sont des
inscriptions scripto-visuelles.
% 
Une deuxième analogie significative apparait au niveau de la fonction
des chaines de référence et des chaines d'existence mathématique. Dans
les deux cas, ces dispositifs ont pour but de créer une conviction à
propos de la vérité d'un énoncé scientifique. Comme la suite va le
montrer, cette ressemblance ne va pas jusqu'à inclure la nature même
de cette conviction.
 %
Une troisième analogie concerne le hiatus se présentant dans chacun
des deux types de chaines, hiatus qui dans les deux cas est formulé de
manière identique comme la dissemblance et l'éloignement de deux
inscriptions successives.
%
Justement, une quatrième analogie peut être relevée: dans chacune de
ces chaines, chaque saut d'une inscription à la suivante doit
satisfaire une condition de félicité qui est de préserver certaines
constantes.
%
Enfin, une dernière analogie est relative au caractère lointain,
c'est-à-dire éloigné des affaires communes, des entités amenées à
l'existence selon l'un ou l'autre des deux modes. En effet, il ne faut
rien de moins qu'une chaine --~de référence ou démonstrative~-- pour
réussir à les instaurer.

Une source notable de dissemblance est relative aux conditions de
félicité. En effet, dans le cas d'une chaine démonstrative, cette
condition se confond avec l'expérience de l'évidence de la dernière
inscription. Cette évidence signifie que l'acteur concerné voit
littéralement, perçoit directement, c'est-à-dire sans recours à un
oracle, la validité du résultat final. Cette signification de
l'évidence est entièrement dépendante de l'aspect diagrammatique de la
pensée mathématique. En effet, cette vision directe du résultat final
n'est rien d'autre que l'expérience perceptive de diagrammes
convenablement (et souvent laborieusement) modifiés. Au contraire, une
chaine de référence inclut généralement des transformations
--~utilisation cruciale d'appareillages technologiques, généralisation
inductive du résultat d'expériences singulières~-- qui ne peuvent pas
produire la même forme d'évidence, même si la conviction qui en
découle peut elle aussi être très forte.


    
En guise de conclusion toute provisoire, le mode d'existence des
entités mathématiques décrit dans la partie~\ref{quasimode} et le mode
de la référence présentent un nombre significatif d'analogies qui
rendent difficiles une séparation pure et simple. Cependant, ces deux
mêmes modes exhibent aussi au moins une forme de différence assez
nette qui empêche l'identification des deux ou même la fusion de l'un
dans l'autre. Or ces deux modes semblent nécessaires afin de couvrir
le champ scientifique. D'ailleurs, c'est le plus souvent un mixte des
deux qui semble être à l'œuvre lorsque la démarche considérée présente
à la fois un développement mathématico-déductif et un dispositif
expérimental. Un exemple récent et spectaculaire en est
l'extraordinaire quête étalée sur près d'un siècle qui vient de
confirmer l'existence des trous noirs \emph{via} la perception des
ondes gravitationnelles. La démarche mythique de Thalès déterminant la
hauteur d'une pyramide par l'intermédiaire du théorème qui porte son
nom est tout aussi exemplaire. À la réflexion, cette idée d'associer
les deux modes semble inévitable pour rendre compte de l'activité
scientifique même dans le cas des sciences expérimentales ou de
terrain. Pour tenir compte de ces contraintes, une solution est de
concevoir le mode [\textsc{ref}] sous la forme d'un mode élargi
contenant non seulement le mode de la référence restreint décrit dans
la partie~\ref{PrecisREF} mais aussi le mode d'existence des êtres
mathématiques\footnote{Remarquons que les mathématiques tributaires de
  l'informatique évoquées dans la partie~\ref{DeuxRem} ont un mode
  d'existence différent des mathématiques habituelles mais relevant
  clairement de ce mode [\textsc{ref}] élargi.}.  Si cette hypothèse
est retenue, il restera à donner une description cohérente et unifiée
de cette acception étendue du mode [\textsc{ref}]. En attendant, il
est facile d'esquisser une description schématique de ce mode: ses
\emph{trajectoires} sont des chaines d'inscriptions obtenues chacune à
partir de la précédente par une transformation; son \emph{hiatus} est
la dissemblance, l'éloignement des inscriptions successives; sa
\emph{condition de félicité} est la circulation de la référence ou de
l'évidence le long de la chaine.

\subsection*{Remerciements}

Les auteurs remercient Isabelle Stengers et Bruno Latour pour
l'intérêt qu'ils ont manifesté pour la réalisation de cette étude. Ils
remercient aussi Fabien Ferri pour les avoir mis sur la piste des
thèses de Peirce commentées dans les écrits
\citep{Chauvire1987}, \citep{Chauvire2008}.

Tout en reconnaissant l'originalité et l'intérêt de l'analyse philosophique de la notion de démonstration développée dans le présent texte, un relecteur a fait part de son regret que le mode d'existence des êtres mathématiques qui en découle se cantonne à la seule «preuve d'énoncés déjà donnés» en laissant dans l'ombre la «généalogie des concepts». De manière générale, il oppose les «gestes à la Châtelet», comme l'invention en Grèce de la ligne sans épaisseur, par lesquels se transforment les paysages conceptuels, à la «monomanie», liée au logicisme, qui réduit les mathématiques à un amoncellement de démonstrations. Nous remercions ce relecteur qui, par cette critique intéressante, nous amène à préciser notre point de vue sur l'importance de l'innovation conceptuelle en mathématiques.

Cette innovation se manifeste dans le travail créatif de la preuve. Un exemple emblématique en est donné par les manipulations et enrichissements de diagrammes à l'œuvre dans les constructions auxiliaires de la géométrie des Grecs. D'après l'analyse de Peirce sur la dimension diagrammatique des mathématiques, il s'agit là d'un caractère général et consubstantiel de cette science, valant bien au delà de la seule géométrie. À la suite des travaux de Netz et de Peirce, notre analyse fournit un cadre radicalement éloigné du logicisme et du formalisme pour penser ces actes créatifs et les insérer dans la pratique du travail démonstratif.

\sloppy L'autre forme d'inventivité conceptuelle est celle qui surgit en amont des preuves, par exemple dans une définition, dans une conjecture, dans le dévoilement d'une analogie entre deux domaines \emph{a priori} sans rapport, etc. Ces gestes contribuent à modifier les champs d'étude et la compréhension que nous en avons. Pour cela, ils doivent affecter l'activité mathématique par excellence depuis les Grecs qui est le travail d'élaboration des preuves de nouveaux jugements. En accord avec le pragmatisme de Peirce et de James, nous considérons que, \emph{in fine}, l'importance et le sens d'un tel geste se mesure à ces traces concrètes. Il n'est pas dans l'objectif et la philosophie du présent article d'en interroger le sens lors de l'apparition initiale de ce geste en tant que «stratagème allusif» \citep[p.~221]{chatelet94}, avant toutes ces conséquences.

L'ontologie des mathématiques que nous avons développée est soucieuse d'une part de la pratique quotidienne dans les lieux où se développent et se communiquent les mathématiques et d'autre part des conditions concrètes, cognitives ou matérielles, de cette pratique. Puisque cette pratique est polarisée par le travail concret sur les démonstrations, nous maintenons qu'il s'agit d'un bon niveau pour juger de l'ontologie de cette science, à condition toutefois de s'appuyer sur la conception empiriste de la démonstration développée dans la partie~\ref{NonForm}, qui est, faut-il le rappeler, sans rapport avec la caricature logiciste ou formaliste de la preuve.  Cette dernière étant la cible explicite de la critique formulée par notre relecteur, nous estimons que notre présent travail n'est pas pleinement concerné par elle, tout en reconnaissant l'intérêt de la démarche qui la porte.

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