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\begin{document}
	
\noindent\emph{Esthétique et mathématiques: une exploration
  goodmanienne}, de Caroline Jullien.  Presses universitaires de
Rennes, 2008 (Rennes), 274 p. ISBN: 978-2-7535-0619-0, 18
EUR.\medskip

L'auteur étudie la signification et le rôle de l'esthétique dans les
mathématiques. Elle introduit la théorie développée par Nelson Goodman
dans \emph{Langages de l'art}, qui propose un vocabulaire précis,
rigoureux et technique, ainsi que des symptômes pour l'esthétique. Il
s'agit de montrer que <<~le fonctionnement des mathématiques en tant
que système symbolique requiert un versant esthétique au sens de
Goodman~>> et d'obtenir une description du fonctionnement des
mathématiques qui serait indépendante du statut ontologique accordé
aux objets mathématiques: pour y arriver, il faudra détourner son
attention de l'objet et la reporter sur le symbole et sur la manière
dont il réfère à l'objet. Art et sciences ont en commun de créer
des représentations d'objets, conçues pour nous aider à comprendre ces
objets. Mais ils démontrent différemment: l'art en montrant, les
mathématiques par un raisonnement.

Voici les symptômes de Goodman, élaborés dans le cadre d'une
théorie générale des symboles, qui recouvre tant les mots que
les images. Ils sont centrés sur une analyse de la référence du
prédicat vers l'objet (\emph{dénotation}) et de l'objet vers le
prédicat (\emph{exemplification}.)
\begin{itemize}
\item Toute différence entre symboles picturaux est susceptible de
  prendre une valeur: dans un dessin au trait, tous les aspects comme
  l'épaisseur et la couleur de la ligne participent à sa
  construction; on dit qu'il est \emph{saturé}.
\item L'impossibilité d'une notation, d'un alphabet pour la peinture est due à sa \emph{densité syntaxique}.
\item Les langages permettent d'exprimer des distinctions infiniment fines, mais ne sont pas capables d'une précision absolue: cela les distingue des notations et correspond à leur \emph{densité sémantique}.
\item Un symbole symbolise en servant d'échantillon pour les
  propriétés qu'il possède littéralement ou métaphoriquement: le
  chiffre <<~1~>> est formé d'\emph{un} trait; on parle
  d'\emph{exemplification}.
\item Un <<~itinéraire de référence~>> \emph{multiple et complexe}.
% un symbole remplit plusieurs fonctions référentielles intégrées et interagissantes, les unes directement et certaines par l'intermédiaire d'autres symboles
\end{itemize}

Voici comment l'auteur applique ces symptômes, au besoin en les adaptant, à trois exemples mathématiques.

\noindent1. \emph{La démonstration de l'irrationalité de $\sqrt2$.}
Elle repose sur l'\emph{exemplification} du prédicat <<~être pair:~>>
l'hypothèse à infirmer, que $\sqrt2$ puisse s'écrire sous la forme
d'une fraction $\frac ab$, est transformée en l'équation
<<~$a^2=2b^2$~>> qui exemplifie <<~être pair~>> au sens que <<~2~>> y
apparaît comme facteur et qu'on en déduit par le lemme de Gauss que
$a$ est pair, puis que $b$ est pair; or on pouvait présumer qu'ils ne
le fussent pas tous les deux. Cette démonstration est \emph{saturée} au
sens où chaque propriété évoquée est nécessaire à la
démonstration. Cette saturation devient explicite avec le mouvement de
généralisation qui donne un nom à la propriété des entiers
utile au raisonnement: ils forment un anneau factoriel. 

\noindent2. \emph{Le théorème des lunules d'Hippocrate.} Selon l'auteur, la figure ci-dessous
\begin{figure}[h!]\label{f1}
  \centering
  \begin{pspicture}(-1,-2)(4,3.3)
    \pstTriangle[PointSymbol=none,PointName=none,linewidth=.4pt](0,0){A}(4,0){B}(0,2){C}
    \pstMiddleAB[PointSymbol=none,PointName=none]{C}{B}{I}
    \pstMiddleAB[PointSymbol=none,PointName=none]{A}{C}{J}
    \pstMiddleAB[PointSymbol=none,PointName=none]{A}{B}{K}
    \psarcAB[linewidth=.3pt](I)(B)(C) 
    \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=dashed,linewidth=.3pt,hatchsep=3pt,hatchwidth=.2pt]{%
      \psarcnAB(I)(B)(C)} 
    \pscustom[fillstyle=vlines,linewidth=.3pt,hatchwidth=.2pt,hatchsep=3pt]{%
      \psarcAB(K)(A)(B) \psarcnAB(J)(A)(C)}
  \end{pspicture}
  \caption{L'aire des deux lunules d'Hippocrate égale l'aire du triangle.}
\end{figure}
est \emph{syntaxiquement dense} dans la mesure où il est impossible
d'isoler ses éléments et qu'il faut considérer la figure dans sa
globalité et non comme une juxtaposition de marques, c'est-à-dire du
triangle, des demi-circles construits sur ses côtés et du demi-cercle
complémentaire construit sur l'hypoténuse qui, retranché aux deux
autres demi-cercles, définit les lunules. On pourrait tout autant
soutenir que la figure est sémantiquement dense; eu égard aux
\emph{Éléments} d'Euclide, dont chaque proposition contient aussi un
mode d'emploi complet pour tracer la figure correspondante, on
pourrait arguer que la géométrie euclidienne admet une notation et
n'est donc pas syntaxiquement dense.  La figure est \emph{saturée} au
sens où elle ne contient aucune marque accessoire. Le triangle
rectangle y est une \emph{étiquette}, c'est-à-dire qu'il tient lieu
de tous les triangles rectangles possibles. Il \emph{exemplifie} aussi
le théorème de Pythagore généralisé des carrés aux demi-cercles: il en
est un \emph{échantillon}. L'auteur conclut que la référence au
triangle rectangle est \emph{multiple et complexe} et que la figure
fonctionne comme une {\oe}uvre d'art au sens où elle invite à une
démonstration immédiate. Je dirais que la compréhension de la figure
est un processus qui peut aboutir aux causes de l'égalité des
aires: mais ce processus se passe-t-il de mots?  Notons que l'analyse
de l'auteur passe sous silence l'étape préalable à la
compréhension de l'énoncé même du théorème: le cercle circonscrit à
un triangle rectangle est centré sur le milieu de son hypoténuse.

\noindent3. \emph{Le théorème de Rolle.} Selon l'auteur, les figures ci-dessous
\begin{figure}[h]
  \centering
  \begin{pspicture}(-1,-0.5)(4,3)
    \psplot[linewidth=.8pt]{1}{3}{2 x 2 sub dup mul sub}
    \psline[linewidth=.4pt]{<-}(0,3)(0,-0.5)
    \psline[linewidth=.4pt]{->}(-0.5,0)(4,0)
    \psline[linewidth=.4pt]{<->}(1.5,2)(2.5,2)
    \psdot[dotstyle=o](1,1)\psdot[dotstyle=o](3,1)\psdot[dotstyle=o](2,2)
  \end{pspicture}
  \begin{pspicture}(-1,-0.5)(4,3)
    \psplot[linewidth=.8pt]{1}{3}{x 1 sub 180 mul sin 1 add}
    \psline[linewidth=.4pt]{<-}(0,3)(0,-0.5)
    \psline[linewidth=.4pt]{->}(-0.5,0)(4,0)
    \psline[linewidth=.4pt]{<->}(1,2)(2,2)
    \psdot[dotstyle=o](1,1)\psdot[dotstyle=o](3,1)\psdot[dotstyle=o](1.5,2)
  \end{pspicture}
  \caption{La dérivée d'une fonction s'annule entre deux points où elle est
    égale.}
  \label{fig:2}
\end{figure}
sont \emph{syntaxiquement denses}: en particulier, la représentation
graphique d'une fonction ne se décompose pas en les quantités
infinitésimales qui permettent de définir la dérivée et
d'accéder à la démonstration. Elles ne sont pas \emph{saturées} au
sens où elles exhibent des exemples de fonctions et non une fonction
générique, contrairement au triangle rectangle ci-dessus. L'auteur
estime que la figure incite à croire que la dérivée d'une fonction
serait continue et à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires:
elle aurait pu tout autant soutenir que la figure incite à voir que la
fonction atteint son maximum. Même s'il faut conclure que le
théorème de Rolle énonce qu'un \emph{nombre} dérivé est nul,
elle aurait aussi pu évoquer le théorème de Darboux selon lequel toute
\emph{fonction} dérivée satisfait le théorème des valeurs
intermédiaires pour justifier son intuition,

Ce livre propose de jeter un regard neuf et litt\'eralement
superficiel sur le fonctionnement des math\'ematiques. Il n'a
malheureusement pas bénéficié d'une relecture qui aurait corrigé une
excessive lourdeur de l'expression et les coquilles.\medskip

\leavevmode\hfill\emph{Stefan Neuwirth.}
\end{document}

