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\begin{document}%\raggedright\parindent5mm
\title{\vspace{-15mm}Fractales de mouvements} \author{Stefan Neuwirth \and Pauline Poignand} \date{}
\maketitle

Pour le premier auteur, intervenir à la journée Arts et Sciences du 1\ier\ avril 2022 à Rennes
en qualité d'artiste et non (seulement) de mathématicien pour donner
une performance scientifique dansée a été une première. Laurence Dahan-Gaida l'avait invité à cette journée et il a
transformé cette invitation en commande d'une œuvre d'incarnation des fractales par la danse.

Il a aussitôt proposé à la deuxième autrice de se joindre à
lui. Leur collaboration remonte à l'improvisation théâtrale et dansée
\emph{Rapports et Proportions} présentée au Festival International des
Langues et des cultures du monde (FIL) \#4 à Besançon\footnote{Voir \url{http://epiphymaths.univ-fcomte.fr/rapports_et_proportions}.} le
19 mars 2021.

Voici notre dispositif: lire et étudier ensemble le livre \emph{Les
  objets fractals} de Benoît \citet{mandelbrot75} pour que la matière
scientifique soit également partagée; mener des recherches anatomiques
dans le \citealt{nettercolacino97} pour appliquer le concept de
fractale à notre corps, en visant plus particulièrement le mouvement
humain; proposer des recherches en action sur la base de ces lectures
et réflexions de sorte qu'elles se déploient dans la danse; rendre
compte de ces expériences vécues par l'écriture. Le présent article a
été rédigé par le premier auteur et articule ses textes issus de ce
dispositif. Enfin, la performance a incorporé la fracture de sa
clavicule droite deux semaines auparavant comme fractale vivante.

Nous renvoyons à \citealt{viartcorbel21} pour la notion de conférence
performance ainsi que des cas d'étude.\etoiles

L'invocation de la science en danse a un effet libérateur sur
l'expression de notre expérience élémentaire du
mouvement. L'étonnement scientifique a toute sa place dans la
réflexion à cet égard: il jette un regard toujours neuf sur notre
manière de bouger, tant pour constater tout ce que le corps sait
d'ores et déjà faire, que tout ce qui continue à lui échapper, comme
certaines coordinations.

Notre dispositif avait lui-même sa propre chorégraphie: étudier, discuter,
circonscrire l'objet de la recherche, l'explorer en danse, partager
nos observations. Le fait de travailler à deux oblige à extérioriser et
ce faisant à objectiver des vécus intérieurs.

La performance que nous avons proposée s'inscrit dans la démarche de
l'improvisation libre \citep{bailey82}: le dispositif nous nourrit,
fournit la matière de notre travail, cadre notre recherche, mais ne
concerne pas le moment de la performance et la forme du devenir qu'il
captera. Ce moment actualise l'ensemble du chemin parcouru, les
connaissances acquises, les mises en rapport, la mémoire des corps,
tout ceci avec la présence du public et la forme du temps comme
catalyseurs.\etoiles

La fractale induit chez l'observateur une forme de contemplation:
l'attrait d'une apparence ornementale contraste avec la présence d'un
contenu mathématique précis et concis. Sa représentation graphique est
foisonnante et inachevée pour deux raisons opposées:
\begin{itemize}
\item pour l'intelligibilité: la représentation montre une étape de la
  construction de l'objet idéal, comme typiquement la courbe de von
  Koch (voir la figure~\ref{fig1});
\begin{figure}[!ht]
  \centering
  \begin{pspicture}(0,0)(10,3.8)
    \multido{\iA=0+1,\iB=0+2}{5}{\psKochflake[scale=3,maxIter=\iA](\iB,2.2)}
    \multido{\iA=5+1,\iB=0+2}{5}{\psKochflake[scale=3,maxIter=\iA](\iB,0)}
  \end{pspicture}
  \caption{Les dix premières étapes de la construction de la courbe de
    von Koch avec le paquetage \TeX\ \textsf{pst-fractal} \citep{voss22}.}
  \label{fig1}
\end{figure}
\item par limitation de la résolution: la représentation graphique est
  un tableau formé d'un certain nombre de lignes et de colonnes de
  points, un nombre fini (voir l'exemple extrême d'un tableau
  d'étoiles sur 31~lignes et 68~colonnes dans la figure~\ref{fig2}),
  ce qu'on affronte par des zooms successifs qui font vivre le divers
  et le même des fractales\footnote{Voir
  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Mandelbrot}.}.
\end{itemize}
\begin{figure}[!t]
  \centering
  \includegraphics[scale=1,trim=0 0 0 0]{brooks-matelski-mandelbrot_set-1982}
  \caption{La première représentation de l'ensemble de Mandelbrot
    \citep{brooksmatelski81}.}
  \label{fig2}
\end{figure}

Pour la courbe de von Koch, l'idée de la construction est entièrement
contenue dans le passage de la première à la deuxième étape. Sa nature
fractale résulte de sa conception, mais n'est pleinement réalisée
qu'en considérant la courbe limite obtenue en faisant tendre le nombre
d'étapes vers l'infini. On n'observe pourtant plus de différence entre
les étapes de construction de la figure~\ref{fig1} à partir d'un
certain rang qui dépend de la technologie utilisée, à partir de la
sixième pour la mienne.

La nature fractale de l'ensemble de Mandelbrot est d'abord empirique
avant d'être conceptuelle: il n'est pas défini par un processus
itératif de construction mais directement comme un ensemble limite. Ce
sont les zooms successifs qui révèlent sa fractalité.\etoiles

La performance\footnote{Voir \url{http://epiphymaths.univ-fcomte.fr/fractales-de-mouvements}.} cherche d'abord à installer cette contemplation,
c'est-à-dire à interrompre le flux continu des excitations pour
concentrer le vécu sur des phénomènes élémentaires.

Elle commence d'emblée par une actualisation du rapport entre
performeur et performeuse. Pauline Poignand introduit un élément
théâtral qui crée une discordance, un décalage. C'est déjà par cette
rupture que le nouveau est invité à se manifester. Stefan Neuwirth laisse
l'expérience corporelle se déployer et agir sur son entendement
jusqu'au moment où elle engendre le germe d'un autre processus: une réflexion
portée sur les fractales sur le mode d'une conférence scientifique. La
parole et la danse interagissent. Lorsqu'il se tait, la danse revient au devant de la scène.

% Il s'agirait d'imprévu, de fractales, et elle s'articulerait avec un
% exposé de ma part sur l'aspect mathématiques.

% Je propose de programmer une conférence performance (je prends
% l'expression d'un livre récemment paru, /Paperboard - la conférence
% performance : artistes et cas d'étude/, de Laurence Corbel et
% Christophe Viart) de 45 minutes intitulée « Fractales de
% mouvements », une forme mixte qui nous permettra, à Pauline Poignand
% et moi-même, de produire et de combiner différents types de
% discours.

\section{La réitération}
\label{sec:la-reiteration}

Il y a dans la pratique de l'improvisation un désir de célébration du
vivant qui parait antinomique avec la répétition, avec la boucle, avec
la réitération. Chaque geste nous met dans un nouvel état: une
nouvelle position dans la configuration de l'espace, un nouveau point
de vue, un nouveau rapport à soi-même et aux autres; quel sens la
répétition peut-elle avoir face à cette nouveauté?

Or la répétition a elle-même, en tant que telle, une signification
profonde pour les humains: les enfants l'adorent et crient
«encore!» pour que nous leur réitérions une expérience. Il y a le
plaisir à revisiter un chemin connu, à revivre des sensations connues,
le désir de creuser les ornières, d'inscrire en nous des chemins auxquels nous
pouvons nous référer, qui du coup existent dans notre mémoire comme
des objets sortis du flux permanent du changement. L'acteur qui
apprend par cœur son texte fait de celui-ci, qui n'existe en principe
que dans l'écoulement du temps, un objet statique, immobile, qu'il
lui reste alors à incarner.

Apprendre des pas de danse, c'est apprendre une séquence qui se
répète. La répétition a des vertus cognitives: on devient
progressivement conscient de tous les détails qui font le mouvement,
justement parce que chaque nouvelle itération est une variation
légèrement différente et que ces différences permettent de trouver
progressivement un chemin dans la variété des expériences.

La place que j'attribue à la répétition dans l'improvisation est
celle-ci: explorer un geste ou une séquence de gestes en
vivant avec une curiosité particulière ce que chaque itération apporte
comme variation et en profiter; éprouver la tension entre le
persistant et le variable.

Il y a aussi un défi à relever: quel vécu partage-t-on de la
réitération? L'accent est-il à mettre sur les gestes répétés? Mais
alors, quel intérêt présentent-ils en tant que tels? Que nous
racontent-ils en tant que tels? Que nous raconte leur répétition? De
quelle manière danser la mémoire? Comment fonder la répétition sur un
vécu corporel, qui lui sera partageable?

Il y a une forme de réitération particulièrement gracieuse: c'est celle
qui converge, qui reprend une intention selon des échelles de plus
en plus réduites, qui attire l'attention sur des détails de plus en
plus infimes. Le mouvement inverse, du détail vers l'ensemble, est aussi
envisageable.
\etoiles

Pour composer une boucle, un point important est celui de la couture
entre fin et début. Qu'est-ce qui fait qu'une fin est aussi un début?
Quelle énergie se déverse de la fin dans le début? Comment le
nourrit-elle? Une option est de construire une suite de gestes dans
lequel la couture est simplement une localisation: on débute en un
lieu et finit en ce même lieu. L'accent est mis sur ce qui se passe
entre ce début et cette fin, et puis la boucle recommence. Une autre
option est de toujours maintenir une énergie en circulation qui fait
que la fin n'est pas un repos mais encore un mouvement en cours qui
appelle une suite, qui s'avère être le début. Cette circulation
propose quelque chose d'immuable, de perpétuel, de céleste.

Un autre aspect est celui de faire confiance à
l'expressivité du mouvement en tant que tel, dans sa pure abstraction,
sans signification affichée et qui acquerra sa signification dans
l'interaction, dans l'imagination, dans la connexion corps à corps, pour vivre
l'impact d'un geste en soi, d'une respiration, d'un arrêt.

\section{Le mouvement}
\label{sec:fract-de-mouv}

Il y a dans la fractale un mouvement temporel: celui de l'itération, de la
répétition, celui du changement d'échelle qui donne leur importance à
des détails de plus en plus infimes et révèle l'intacte complexité du
tout: le tout se retrouve en entier, intact ou à peine distordu,
anamorphosé, dans ses plus infimes parties.

Le rapport de la fractale au mouvement spatial est complexe. Autant le geste
de l'itération et du zoom sont simples et correspondent, d'une part, à
une étape de construction d'un objet, d'autre part, à une étape de l'inspection
de l'objet achevé, autant bouger dans l'objet achevé parait insensé
parce que le moindre déplacement nécessite un temps infini: c'est une
manière d'accuser la complexité de la dimension fractale que de
constater que leur manière d'occuper l'espace est différente des
lignes, surfaces, solides. Le voyage auquel elles invitent regorge
d'aspérités, de heurts, et s'avère impossible avant même d'avoir
commencé. C'est un lieu d'émerveillement et de monstruosité.

Tout cela a trait aux fractales mathématiques. Qu'en est-il des
fractales de la nature? Quels mouvements naturels, incarnés
peuvent être qualifiés de fractals? Les mathématiques approchent
la nature en suppléant l'infini, des objets idéaux, là où le monde est fini
et inachevé. En particulier, le monde ne connait que les itérations
finies, que les changements d'échelle en nombre fini.

Mandelbrot lui-même repère dans son livre la fractalité des alvéoles
pulmonaires. Cependant, le mot est devenu populaire en biomécanique
pour désigner l'inscription de certains mouvements dans notre anatomie
à une moindre échelle: les mouvements de rotation interne et externe
de notre fémur sont inscrits dans la forme de l'articulation de la hanche; les
mouvements de la tête dans la forme des premières vertèbres
cervicales; etc.

Le mouvement du corps entier peut être délié en
mouvement du corps central, mouvement des membres, mouvement de leurs
extrémités, de sorte que le mouvement fleurit jusqu'au bout des
doigts, jusque dans l'expression du visage. Se délier, c'est aussi
déléguer les différents mouvements aux différentes parties du
corps. C'est ainsi que le mouvement peut être vécu à des échelles bien
distinctes: celle de notre inscription dans l'univers et dans
l'espace, celle de notre sensation d'unité, celle de notre engagement,
celle de notre coordination, celle des orbites de nos membres
articulés, des orbites des têtes de nos membres dans leurs
articulations, celle de nos tissus et de nos cellules.

Certains de nos mouvement sont fractals parce qu'ils prennent leur
sens dans les répercussions pondérées qu'ils produisent dans notre
corps, à l'instar d'une onde sonore qui interagit avec ses
répercussions sur les murs, donnant lieu à une sensation de justesse
et de facilité.

\section{Fractales frémissantes}
\label{sec:fract-fremiss}

Notre organisme est d'abord perçu en bloc, comme un système. L'image
de l'ordinateur, du calculateur, pourrait faire croire à la
séquentialité de son fonctionnement, réalisant une opération après
l'autre. C'est réduire l'organisme à sa vie consciente et, pour
celle-ci, à son action réfléchie, faite de volonté et de passage à
l'acte. C'est aussi concevoir le système comme une hiérarchie d'organes dont certains
seraient subalternes et d'autres supérieurs.

Voici plusieurs indices qui contredisent cela: l'inconscient, la vie
des rêves, le rapport complexe du moi à son être physique, la mémoire,
l'intuition, le pressentiment, tout ce qui est approximatif et de
l'ordre de la tentative; le système nerveux, en particulier dans sa
faculté à produire une sensation d'unité; notre métabolisme; la vie de
nos tissus, en particulier celle de nos fascias \citep[voir][]{myers18}.

Notre vie est déjà une symphonie de frémissements: frémissement de la peau,
frémissement de joie, anticipation, désir, émotion, la naissance du
mouvement, le germe d'une idée. La notion de «\emph{reach}» y renvoie
aussi dans la pratique du contact improvisation \citep[voir][]{damian14}.

La fractale partage avec le frémissement que son être même est le détail, une
forme de neige, de poudre magique, d'étincelles qui se révèlent au
grossissement, dans une finesse qu'un résumé écraserait. La fractale
vit dans notre imagination au gré du voyage d'un zoom toujours plus
profond.


\section{Les fractales et la vie}
\label{sec:28032022:-les-fract}

Les fractales sont une simulation de la vie: pensons ici aux
fractales définies en tant qu'objets déterministes, précisés par une
loi. Dans ce sens ils ne sont pas en vie, mais «sur des
rails». Cependant ils foisonnent au sens des surprises qu'ils réservent, du monde infini auquel ils ouvrent. Cette foison est
conditionnée par la technologie qui sert de microscope: microscope des
calculs que l'humain n'aurait pas idée de faire à la main et qu'il délègue à l'ordinateur,
microscope de la technologie visuelle (écrans, imprimantes) qui
permettent de représenter le résultat de ces calculs.

L'exploration est tout autant le fait de l'explorateur muni de son
attirail technologique que le fait de la chose explorée, du continent
exploré.

Elle propose une descente toujours plus loin dans le détail, là où la
vie est une organisation complexe du tout et des parties dans laquelle
le tout répond aux parties les plus infimes et \emph{vice versa}: il y
a ici à interroger la notion d'organisme pour repérer ce qui est
d'emblée différent entre la fractale et le vivant. L'amibe, la cellule
sont des organismes pour lesquels il y a une clarté sans faille de la
frontière entre ce qui en fait partie et ce qui n'en fait pas partie,
entre l'intérieur et l'extérieur, de la manière dont il interagit avec
son environnement. La fractale au contraire dépend de tout le contexte
de la simulation, de la théorie mathématique, des opérations, des
nombres, de l'idée même d'itération.

En revanche, considérer l'objet achevé de la fractale plutôt que le processus itératif de sa construction comme 
guide pour connaitre la vie nous met dans la posture du
platonisme mathématique: cet objet est une idéalité mathématique qui contredit la finitude du réel, et lui accorder une vertu explicative renvoie à l'allégorie de la caverne

\section{Fracture}
\label{sec:fractales}

J'aime imaginer que les deux faces de la fracture de ma clavicule,
matière inerte lorsque l'os était encore entier, se sont mises à
développer une vie intense depuis que l'os s'est brisé: un libre
devenir, une projection vers l'avant, un prolongement au-devant vers
l'inconnu, et que cela procède fractalement par l'itération d'un
geste, par la répétition d'une intention, produisant des cellules qui
s'organisent en formant des structures étranges, éphémères pour
devenir pérennes. Cela peut se modéliser par une loi de formation (on
pense au livre de D'Arcy \citet{thompson42} et à la morphogenèse de
René \citet{thom77}); ou encore par le hasard qui, tout en agissant de
manière imprévisible cellule par cellule, fait apparaitre un ordre par
la magie de la loi des grands nombres; cela peut s'entendre comme le
désir de chaque cellule de prendre sa place dans la dynamique de
l'homéostasie, ensemble avec toutes les autres cellules.\etoiles

Les fractales se pensent comme un objet achevé, mais l'invitation à
les découvrir doit se contenter des étapes finies d'un processus de
construction qui se poursuit toujours plus loin. Elles recèlent ainsi
une des tensions qui habitent les objets mathématiques: elles sont des
objets de notre pensée qui incluent l'itération infinie qui les définit,
mais de ce fait ce ne sont pas des objets de ce monde parce qu'il faudrait un
temps infini, une énergie infinie pour déployer leur virtualité. C'est
néanmoins par la confrontation avec ce monde, dans ses approximations
finies, que l'objet nous interpelle et manifeste son être.

\section{Danser les mathématiques}
\label{sec:dans-les-math}

La danse, en renvoyant directement à la pratique du corps, au spectacle, et non
aux savoirs livresques, nous appelle à renvoyer les mathématiques aussi à
leur pratique et à leurs présentations publiques plutôt qu'à leurs traces
écrites.

La danse nous amène à réfléchir à la nature des mathématiques:
\begin{itemize}
\item il y a des faits mathématiques qui constituent en eux-mêmes un
  vécu;
\item d'autres promettent la possibilité d'un vécu.
\end{itemize}
Ces promesses peuvent elles-mêmes soit être vécues pleinement ou
contenir une réserve qui ne sera levée que plus tard, si jamais.
Le plaisir et la puissance des mathématiques sont en rapport avec la
plénitude de ses vécus et avec la matérialité de ses opérations de
pensée.

La danse révèle aussi la nature potentielle des mathématiques: en
élaborant certains gestes, un certain vocabulaire, elle renferme la
possibilité de combinaisons infinies et expose les principes auxquels
elle donne lieu dans chaque manifestation particulière. La clarté avec
laquelle les principes, le vocabulaire, les gestes apparaissent à
l'œuvre lui donne la puissance et l'ampleur de cette potentialité et
exemplarité.\etoiles

Nous remercions Nicole Rivier pour nous avoir accueilli en résidence
dans son lieu à Foucherans.
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\end{document}
