<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[colorlinks=true,citecolor=red,linkcolor=blue,urlcolor=red]{hyperref}
\usepackage[hyperpageref]{backref}
\renewcommand*{\backref}[1]{}
\renewcommand*{\backrefalt}[4]{\ifcase #1\or(p.~#2).\else(pp.~#2).\fi}
\renewcommand*{\backreftwosep}[1]{ and }
\renewcommand*{\backreflastsep}[1]{ and }
\bibliographystyle{../stefan}

\newlength{\marge}
\setlength{\marge}{100pt}
\addtolength{\voffset}{\marge}
\addtolength{\voffset}{-125pt}
\addtolength{\hoffset}{\marge}
\addtolength{\hoffset}{-125pt}
\setlength{\textheight}\paperheight
\addtolength{\textheight}{-2\marge}
\setlength{\textwidth}\paperwidth
\addtolength{\textwidth}{-2\marge}


\usepackage[ansinew]{inputenc} 
\usepackage[frenchb]{babel} 
\usepackage{amssymb}
\usepackage{aeguill}
\usepackage{graphicx}

\title{L'analogie} 
\author{Stefan Neuwirth}
\date{}

\begin{document}




\maketitle

\setcounter{secnumdepth}{4} \setcounter{tocdepth}{4}

\def\bq{\begin{quote}\small} \def\eq{\end{quote}}

\def\tol{\mathop{\relbar\joinrel\longrightarrow}\limits} \def\N{\mbox{\bf N}}
\def\bull{\leavevmode\kern .1ex\vrule height 1ex width .9ex depth -.1ex \kern
  .8ex}

\tableofcontents


\Roman{section} 

\Alph{subsection}


\section{Introduction}

Voici comment Alfred {\sc Tarski} \cite{at} qualifie l'analogie: elle peut
apparaître entre «~deux groupes de concepts plutôt éloignés du point de vue du
contenu~» dès qu'on compare leur «~rôle~» ainsi que les «~relations internes
entre les concepts de chaque groupe~». On peut alors «~constater un large
parallélisme entre les deux groupes~», \emph{i.e.} une sorte de dictionnaire de
traduction.

Mais on ne peut restreindre le terme d'analogie à de tels cas de figure: le
raisonnement analogique est sous-jacent à une grande partie des calculs
mathématiques. En effet, comme le dit Henri {\sc Poincaré} \cite{hp1}, «~des
éléments variés dont nous disposons, nous pouvons faire sortir des millions de
combinaisons différentes~», \emph{i.e.} le «~fait brut~», mais seule la «~
combinaison qui prendra place dans une classe de combinaisons analogues~»
permettra de sentir «~l'âme du fait.~»

Après avoir dressé une sorte d'inventaire des analogies, je tâcherai d'inspecter
la pensée de George {\sc P\'olya}, Henri {\sc Poincaré} et G.W.~{\sc Leibniz}
pour pouvoir comparer leur point de vue et identifier les différentes
caractéristiques de l'analogie.  En conclusion, il s'agira d'évaluer quel lien
il y a entre ce concept et la théorie des modèles.

\section{La pratique mathématique}

L'analogie apparaît sous des formes multiples dans le travail du mathématicien.
On peut tenter d'en dresser un échantillon significatif, en allant des plus
floues au plus précises. On verra comment, en se précisant, elles concernent de
moins en moins les procédés et de plus en plus les objets.

\subsection{Les analogies purement heuristiques}

Beaucoup de ces analogies ont un caractère purement heuristique, ne sont
justifiées par aucun raisonnement déductif, ne sont pas formalisables en l'état.
Mais bien qu'elles ne soient pas un guide toujours très sûr, elles sont
précieuses en ce qu'elles rendent intelligibles des résultats parfois très
abstraits. Elles se constituent empiriquement, se différencient à mesure des
expériences probatoires, peuvent un jour peut-être soit être prouvées, soit
rejetées.

\subsubsection{Le caractère empirique des analogies}

Un exemple récent en analyse fonctionnelle est l'analogie du comportement des
triplets d'espaces de {\sc Banach} $(c_0, l_1, l_\infty)$ et $(K(H), N(H),
B(H))$, où $H$ est un espace de {\sc Hilbert}. Il illustre le sens étymologique
de l'analogie: identité de rapports. L'exemple, comme on va le voir, est
précieux en ce que, parce qu'élaboré, il fait ressortir le caractère formel de
l'analogie: même un non-mathématicien la remarquerait sans s'attarder sur le
sens des concepts. En effet, $l_1$ est à $c_0$ ce que $N(H)$ est à $K(H)$,
$l_\infty$ est à $l_1$ ce que $B(H)$ est à $N(H)$, en l'occurrence le dual.
$c_0$ est à $l_\infty$ ce que $K(H)$ est à $B(H)$: un sous-espace fermé pour la
topologie de la norme, dense pour la topologie *-faible. Mais ces rapports sont
propres à la dualité d'espaces de {\sc Banach}, et l'utilité de l'analogie ne
peut en provenir. En fait, il y a d'autres rapports beaucoup plus flous, mais
aussi plus efficaces: ainsi les normes de ces espaces s'écrivent
$$\|x\|_{c_0}=\|x\|_{l_\infty}=\sup_{n\in{\mathbb
    N}}|x_n|\quad\mbox{et}\quad\|f\|_{K(H)}=\|f\|_{B(H)}=\sup_{\|x\|_H\le
  1}\|f(x)\|_H,$$
\emph{i.e.} les formes des expressions des normes se
ressemblent en ce qu'elles font intervenir chacune un $\sup$ ! Le deuxième
rapport essentiel est que
$$c_0=\{x\in l_\infty\mbox{ et }x_n\to 0\}~\mbox{et}~K(H)=\{f\in
B(H)\mbox{ et }\overline{f(\{\|x\|_H\le 1\})}\mbox{ compact}\},$$
\emph{i.e.}
ces deux espaces exercent un contrôle sur le comportement à l'infini de leurs
éléments.

Ces deux rapports sont formels, mais l'analogie ne paraît pas formalisable: ils
permettent, toujours dans une certaine mesure seulement, de prévoir le
comportement d'un espace à partir de son analogue, et de transposer certains
procédés.

\subsubsection{L'analogie comme guide de la découverte}

L'analogie n'est pas toujours sanctionnée par une longue pratique. Elle
cons\-ti\-tue parfois une découverte considérable et téméraire qui engage alors les
mathématiciens à tenter de justifier le résultat obtenu. Ainsi, la démonstration
par Leonhard {\sc Euler} \cite{le} de la formule
$$\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$$
procède de la factorisation
d'une série entière à l'aide de ses zéros par analogie avec la factorisation
d'un polynôme à l'aide de ses racines. Remarquons que, bien que l'analogie soit
nouvelle, sa formulation présupposait une longue pratique de l'analyse
algébrique. En fait, cette analogie a mené à long terme au développement de tout
un pan de l'analyse complexe. Elle a eu une carrière qui l'a élevée de son
statut de tour de magie à celui de théorème sur les fonctions entières. Mais du
temps d'{\sc Euler}, elle ne devenait plausible qu'à cause de sa concordance
avec les faits. D'ailleurs, il en éprouva la plausibilité en lui faisant
redémontrer un théorème connu; finalement, il trouva une autre voie pour
démontrer le même théorème. Cela ne l'empêcha ni de douter jusqu'à la fin de la
qualité de l'argument, ni de lui accorder une confiance certaine. Ainsi,
l'analogie est un guide de la découverte accessible aux plus hardis, mais elle
n'est pas fondamentalement fiable: seul le flair d'un mathématicien comme {\sc
  Euler} permet d'éviter les méprises auxquelles elle invite.

\subsection{Les analogies généralisatrices}

La classe des analogies généralisatrices diffère de celles que nous venons
d'examiner: en effet, même si le raisonnement plausible d'{\sc Euler} généralise
un théorème sur les polynômes, ce n'est qu'un argument purement heuristique: il
ne tente pas de faire de cette généralisation particulière un théorème.
D'ailleurs, contrairement aux exemples de cette section, il ne tente pas de
transposer de raisonnement pour le démontrer.

\subsubsection{Le passage heuristique à un cadre différent}

Une des pratiques mathématiques les plus fécondes est l'énonciation
d'hypo\-thèses au sujet d'objets et d'opérations par analogie à des objets et
opérations plus simples. Cette démarche est générale et les exemples sont
innombrables.  Néanmoins, la justification de ces analogies, \emph{i.e.} leur
raison d'être peut prendre très longtemps et parfois encore être hors de vue. De
plus, le choix des analogues n'est pas toujours univoque. Par exemple, tant des
hypothèses sur la pyramide --- objet qui résulte de l'adjonction d'un point dans
l'espace à une figure plane --- que sur le tétraèdre --- le polyèdre le plus
élémentaire --- peuvent faire appel à l'analogie avec le triangle: c'est le plus
élémentaire des polygones et il résulte de l'adjonction d'un point dans le plan
à une figure linéaire. Chacune des analogies concerne un des aspects du
triangle.

On peut citer comme exemple le passage de théorèmes dans le plan à des théorèmes
dans l'espace --- et même dans l'espace vectoriel à $n$ dimensions. Cette
analogie continue aujourd'hui plus que jamais à être exploitée, comme dans
l'étude récente des corps convexes dans les espaces de {\sc Banach}, ou du
comportement asymptotique des espaces de {\sc Banach} quand leur dimension tend
vers l'infini.

De même, la formule d'{\sc Abel} (1826),
$$\sum_{k=0}^nu_kv_k=U_nv_n-U_0v_0-\sum_{k=1}^{n-1}U_k\Delta v_k\mbox{, où
}U_k=\sum_{j=0}^ku_j,$$
d'apparence plus élémentaire mais d'apparition bien plus
tardive que la formule d'intégration par parties, en est un analogue discret. Sa
démonstration est bien différente, mais l'idée même de la formule provient de
l'analogie de $U$ avec une intégrale et de $\Delta$ avec la dérivation. Il
s'agissait d'ailleurs de généraliser des raisonnements sur des intégrales
oscillantes du cas continu au cas discret: c'est cette application qui a poussé
{\sc Abel} à démontrer ce résultat. Elle permet par exemple de démontrer de
manière analogue des convergences d'intégrales et de sommes de termes généraux
analogues. Un siècle plus tard, la théorie de l'intégrale de {\sc Lebesgue}
tentera de réunir les deux points de vue en introduisant la notion de mesure.

Mais il y aussi des analogies qui ne fonctionnent pas. Ainsi, le comportement
des familles de polynômes $\{{x\choose k}\}$ et $\{\frac{x^k}{k!}\}$ est
analogue en ce qui concerne les polynômes. Mais alors que l'utilité de la
seconde se prolonge à l'étude des fonctions holomorphes, {\sc P\'olya} lui-même
n'a pas réussi à associer à la première famille des résultats analogues de même
fécondité.

L'analogie est ici un guide pour la direction à suivre plus formel que
contentuel: il s'agit de développer un langage qui s'applique aux deux systèmes
et de transposer les théorèmes connus d'un système à l'autre. Ce caractère
formel permet de suppléer à une intuition défaillante et même de développer une
sensibilité analogique. L'analyse du langage ne se fait pourtant jamais au-delà
de la nécessité pragmatique. Ainsi, le parallélisme d'une partie de deux
systèmes peut cacher des divergences, ce qui explique la faillibilité de ces
analogies et la multivocité des hypothèses analogues.

\subsubsection{Définitions par analogie dans un cadre plus général}

Les nouvelles théories qui émaillent le développement des mathématiques
n'auraient jamais pu récupérer la force des théories qu'elles ont remplacé si on
n'avait pas systématiquement tenté de reconstruire dans leur propre langage les
vieux concepts. En général, on veut préserver la possibilité de certains
calculs, la force d'un théorème, plutôt que la forme originelle de la notion,
souvent inadéquate par rapport au cadre nouveau, pourvu que l'on puisse montrer
que sa nouvelle définition se ramène à l'ancienne dans le cadre restreint. On
dirait aujourd'hui que l'extension de la notion est conservative. On cherche
donc à adapter une notion de sorte que son rôle ne change pas dans certaines
formules généralisables. Le choix de ces formules est empirique.

Les exemples les plus flagrants sont le développement de la topologie générale
et la théorie de la distribution. Dans le premier exemple, la notion de
compacité ---~«~de toute suite on peut extraire une suite convergente~» --- se
trouve généralisée du cadre métrique au cadre axiomatique en prenant pour
définition un théorème de recouvrement qui ne fait pas intervenir la notion de
suite.

En théorie des distributions, la notion décisive de convolution devant être
adap\-tée --- la notion originelle n'aurait plus de sens pour ces objets
généraux ---, on choisit une formule caractéristique. Sachant que pour deux
fonctions test $f$ et $g$,
\begin{eqnarray*}
f*g(x)&amp;=&amp;\int f(x-y)g(y)\,dy=\int f(y)g(x-y)\,dy=\int f(y)\check{g}(y-x)\,dy\\
&amp;=&amp;\int f(y)\tau_x\check{g}(y)\,dy,
\end{eqnarray*}
on peut transposer cette formule avec le seul usage de l'opération de dualité,
ce qui mène à la définition suivante. Pour $f$ distribution et $g$ fonction
test, on pose
$$f*g(x)=\langle f,\,\tau_x\check{g}\rangle.$$



Cette analogie se révélera dangereuse: en effet, même si l'extension est
conservative, l'existence de cette convolée ne peut être montrée que dans des
cas très particuliers: cette définition reste contradictoire si on veut
l'admettre pour toutes les distributions. De plus, il faut des hypothèses
supplémentaires pour conserver une propriété habituelle comme l'associativité.

C'est ainsi qu'il faut toujours se poser la question du domaine de validité de
l'analogie. Mais cette vérification se fait {\it a posteriori}. C'est ainsi que
l'usage de l'analogie engendre l'élaboration de théorèmes {\it ad hoc} pour
autoriser son usage.

On peut remarquer que cette élaboration d'analogies correspond parfaitement à la
technique présentée dans la section précédente: cela illustre l'analogie que
fait Alfred {\sc Tarski} \cite{at} entre les notions de déducibilité et de
définissabilité.

\subsection{Les analogies fondées sur une ressemblance formelle}

Cette section décrit plusieurs cas d'analogie entre deux domaines bien
distincts, ou entre deux problèmes qui se sont posés dans deux contextes bien
distincts.

\subsubsection{Une ressemblance peut mener à une expression mathématique identique}

Un cas fulgurant d'analogie de deux problèmes physiques est la résolution par
Jean {\sc Bernoulli} du problème de la brachystochrone. Ernst {\sc Mach} la
qualifiera d'\oe uvre d'art et lui, d'artiste. En effet, il remarque que la
solution du problème suivant: \bq Soient deux points de l'espace donnés. Quelle
est la pente courbe entre les deux points que doit suivre un point matériel
soumis à la gravitation pour la parcourir dans un temps minimal ?  \eq est
analogue au problème du chemin d'un rayon lumineux traversant l'atmosphère, les
extrémités du chemin étant connues: dans les deux cas, la vitesse est fonction
de l'altitude uniquement et le temps de parcours est minimal. Pour le premier
problème, c'est une conséquence du théorème de l'énergie cinétique et de
l'hypothèse; pour le deuxième, cela résulte de ce que la vitesse de la lumière
dépend uniquement de la densité du milieu qu'il traverse, qui est fonction de
l'altitude, et du principe de {\sc Fermat}. Les deux problèmes sont donc
analogues par leur expression mathématique et leur solution mathématique est la
même. Il suffit alors à Jean {\sc Bernoulli} d'appliquer la loi de {\sc
  Descartes} aux angles d'incidence et de réfraction entre couches planes
infinitésimales où la vitesse est constante.

L'analogie est donc comprise et résolue par la réduction à une expression
mathé\-ma\-tique identique.

\subsubsection{Les structures algébriques}

Certaines analogies entre deux théories mathématiques peuvent mener à une
unification du point de vue dont les deux théories seront des applications; pour
cela, il faut que l'analogie puisse être complètement élucidée. Henri {\sc
  Poincaré} en cite un exemple: les théorie de la congruence et des équations
algébriques.

En effet, les notions de divisibilité de nombres naturels et de factorisation
d'un polynôme par un autre sont analogues et donnent naissance à la même
structure algébrique: celle des anneaux euclidiens. En effet, tous les théorèmes
de congruence ont une démonstration semblable dans toutes les théories dotées de
la division euclidienne --- \emph{i.e.} l'existence pour tout couple d'éléments
de leur quotient et du reste de leur division.

Totalement élucider une analogie signifie ici en fait trouver une structure
axiomatique commune aux objets analogues, qui en deviennent des modèles. On peut
alors passer à l'étape supérieure: l'étude de la structure définie par un
système d'axiomes --- en général non catégorique.

\subsubsection{L'apport de l'analogie et son mystère}

Nous avons vu comment l'analogie guide le mathématicien dans son intuition.
L'exemple précédent montre deux théories qui se sont développées distinctement
et qui, d'un coup, grâce à la compréhension de la nature de l'analogie, se sont
unifiées. L'analogie est ainsi toujours une découverte, toujours formelle et en
cela surprenante. Elle permet d'enrichir le vocabulaire de chaque domaine en
tentant de créer les bons objets pour qu'il y ait une correspondance parfaite:
on remplit les blancs laissés dans l'écriture de la correspondance par analogie.
Elle permet de transférer des démonstrations et aussi des hypothèses d'une
théorie à l'autre: la signification d'un énoncé formel peut être plus facile à
saisir dans un «~modèle~» que dans l'autre. En fait, l'analogie permet de mieux
comprendre et déceler la structure profonde de chacune des théories; on discerne
mieux les questions sous-jacentes.

Mais le caractère formel fait qu'elle peut aussi rester incomprise, mystérieuse
pendant longtemps: ainsi, il y a une analogie flagrante entre deux problèmes,
\emph{i.e.} de deux fonctions et de deux questions, l'une apparaissant dans la
théorie mathé\-ma\-tique des modèles économiques, l'autre dans l'étude des
phases hétérogènes en thermodynamique.  Cette découverte est due au fait que
John {\sc von Neumann} avait une double culture de chimiste et de mathématicien:
il a écrit dans son fameux article \cite{vn} \bq Une interprétation directe de
la formule $\Phi(X,\,Y)$ serait hautement souhaitable. Son rôle se révèle être
similaire à celui de potentiels thermodynamiques en thermodynamique
phénoménologique. On peut émettre l'hypothèse que cette similitude persistera
dans toute sa généralité phénoménologique (indépendamment de nos idéalisations
restrictives).  \eq En fait, toute la théorie mathématique de l'équilibre
économique de {\sc von Neumann} semble s'être inspirée des travaux de J.W.~{\sc
  Gibbs}: on y retrouve certains de ses outils mathématiques.

Mais on peut légitimement se poser la question suivante: l'analogie est-elle
uniquement formelle ? Quelle est donc la nature de cette similitude entre
économie et thermodynamique chimique ?  L'utilité d'une analogie au niveau
formel n'est pas à nier, mais elle pose un rébus scientifique: peut-on
transférer aussi la signification ? Quelles sont les significations de
l'analogue dans la deuxième théorie d'objets de la première ?  Quoi qu'il en
soit, les travaux de certains (voir \cite{ab}) montrent que la résolution de ce
rébus est fertile.


\section{Le problème épistémologique}

Nous avons eu l'occasion de distinguer dans la première partie les raisonnements
par analogie heuristiques, les généralisations de définitions et théorèmes par
analogie et l'analogie formelle entre deux systèmes. Cette partie traitera des
points de vue de trois mathématiciens plus ou moins philosophes sur le statut
épistémologique de l'analogie et de leur manière d'en faire la théorie. {\sc
  P\'olya} et {\sc Poincaré} se pencheront surtout sur les deux premiers cas
d'analogies et expliqueront surtout ce qu'elle représente dans le travail
quotidien en mathématique et quelle est sa portée heuristique. {\sc Leibniz} au
contraire tentera de faire la théorie de la troisième classe d'analogies.
Au-delà de ses ambitions exorbitantes, ses idées restent d'une actualité
singulière.

\subsection{La théorie de {\sc P\'olya}}

{\sc P\'olya} est un mathématicien américain d'origine hongroise. Il a été porté
très tôt vers la pédagogie des mathématiques, tant au niveau élémentaire, avec
des ouvrages comme {\it Comment poser et résoudre un problème}\/, qu'à un niveau
qui atteint la recherche des années 1920, avec {\it Exemples et théorèmes en
  analyse}.

\subsubsection{Raisonnement démonstratif et raisonnement plausible}

Son intérêt pour l'analogie lui vient de la question qui traverse toute son \oe
uvre, celle de l'heuristique. En effet, il cherche à justifier ce qu'il appelle
le raisonnement plausible et à lui donner un statut dans les mathématiques
comparable à \bq la preuve inductive du physicien, la preuve de l'homme de loi
(fondée sur des indices, par exemple, de culpabilité), la preuve de l'historien,
basée sur des documents, la preuve statistique des économistes. \cite{gp1} \eq
Il convient pourtant que le raisonnement démonstratif est la preuve mathématique
par excellence et l'essence même des mathématiques. Mais, explique {\sc P\'olya}
\cite{gp1}, de par la rigidité de ses règles, «~il est incapable par lui-même de
conduire à des connaissances essentiellement nouvelles sur le monde qui nous
entoure. Tout ce que nous apprenons de neuf sur ce monde implique l'intervention
du raisonnement plausible dont le sens profond est de justifier nos hypothèses.
~», alors que le raisonnement démonstratif justifie nos démonstrations.

\subsubsection{Heuristique}

{\sc P\'olya} tente donc avec force exemples de faire la théorie de ce
raisonnement plausible. Il n'est par définition pas formalisable, mais la
question principale de cette théorie est posée: comment trouver l'analogie ?


Pour lui, l'analogie est une ressemblance envisagée de façon précise et sur le
plan conceptuel; elle est particulière par «~l'intention de celui qui considère
les objets semblables~»: en effet elle est considérée d'un certain point de vue.
Il reprend l'étymologie pour expliquer que le mot signifie d'abord rapport et
proportionnalité: l'analogie concerne donc plusieurs couples d'éléments dont le
rapport est égal, \emph{i.e.} «~deux objets analogues concordent par certains
rapports entre leurs éléments respectifs~». C'est une «~communauté de rapports
~».


L'analogie existe à divers degrés. Elle peut rester vague, ambiguë et
incomplète, mais on a intérêt à la préciser: elle gagne plus de poids, et la
qualité de l'analogie compte plus que la quantité des analogues. On peut
atteindre le stade de la précision mathématique, même si de tels exemples sont
rares chez {\sc P\'olya}, dont les analogies servent le but d'un théorème:
celui-ci démontré, l'analogie n'a pas de raison d'être poussée plus loin; il
suffit de la garder en mémoire pour pouvoir la ressortir à l'occasion.

Il explicite alors trois cas d'analogie précise entre deux systèmes $S$ et $S'$,
sans s'y attarder \cite{gp2}:
\begin{itemize}
\item[\bull] Certains rapports entre les éléments de $S$ sont régis par les
  mêmes lois qui gouvernent les rapports correspondants entre les éléments de
  $S'$.
\item[\bull] Il existe une correspondance bijective entre les éléments de $S$ et
  de $S'$ telle que les même rapports régissent deux objets de $S$ et les deux
  objets correspondants --- nous dirions que les deux systèmes sont isomorphes.
\item[\bull] Les deux systèmes sont homomorphes.
\end{itemize}
Pour trouver la bonne analogie, {\sc P\'olya} recommande de la considérer en
rapport avec les procédés utiles de la particularisation et de la
généralisation. Il décrit les relations qu'entretiennent ces
proc\'ed\'es par le sch\'ema ci-pr\`es \cite[fig.~2.2]{gp1}
\begin{figure}[htbp]
  \includegraphics{polya}\centering
  \caption{G\'en\'eralisation, particularisation, analogie.}
  \label{fig:1}
\end{figure}
et donne l'exemple de la démonstration du théorème de Pythagore: en le
généralisant et en considérant une bonne particularisation, la démonstration est
un jeu d'enfant !

Une autre idée exprimée est celle, constante, de l'expérimentation avec les
objets en question, à la manière des sciences inductives, jusqu'à ce qu'on ait
pu trouver la bonne analogie.


\subsubsection{Les règles d'inférence plausible}

Mais {\sc P\'olya} tente aussi de définir l'analogie {\it ex nihilo}\/ et, en
copiant la théorie de la démonstration et les notations de {\sc Hilbert} et {\sc
  Ackermann}, à construire des analogues des schémas d'inférence, qualifiés d' «~
inférence plausible~».

Ainsi, l'analogie peut être définie par: \bq $A$ est analogue à $B$ si on peut
{\it espérer}\/ l'existence d'un théorème plus large $H$ qui expliciterait les
points communs essentiels et duquel $A$ et $B$ découleraient.  \eq Il a par
ailleurs construit le schème suivant, copié sur le {\it modus ponens}:
$$\begin{array}{c}A\Rightarrow B\\
  B\mbox{ est vrai}\\
  \overline{A\mbox{ est plus plausible}}\end{array}$$
et généralisé ce schème à
$$\begin{array}{c}H\Rightarrow A\\H\Rightarrow B\\
  B\mbox{ est vrai}\\
  \overline{A\mbox{ est plus plausible}}\end{array}$$
ce qui en fait est plus
faible. Il propose alors le schème de définition suivant:
$$\begin{array}{c}A\mbox{ est analogue à }B\\
  B\mbox{ est vrai}\\
  \overline{A\mbox{ est plus plausible}}\end{array}$$

\subsection{La théorie de {\sc Poincaré}}

Henri {\sc Poincaré} est le mathématicien dominant du XIX$^{\mbox{e}}$ siècle et
un des derniers à connaître l'ensemble des mathématiques. Son nom est plus
particulièrement associé au problème des trois corps et à la topologie
algébrique. Il a écrit vers la fin de sa vie plusieurs livres et beaucoup
d'articles sur sa vision des mathématiques et sur le processus de la découverte.

\subsubsection{L'analogie est un sens supplémentaire}

Les allusions de Henri {\sc Poincaré} à l'analogie sont moins systématiques que
chez {\sc P\'olya}. Mais ce concept apparaît naturellement chez un penseur qui
donne à l'intuition la place centrale dans la recherche. En effet, il s'applique
comme {\sc P\'olya} à attaquer la logique pure comme fondement: il la considère
comme stérile pour les mathématiques. L'intuition permet au contraire de \bq
faire du premier coup des conquêtes rapides, mais quelquefois précaires, ainsi
que de hardis cavaliers d'avant-garde. \cite{hp2} \eq



{\sc Poincaré} explique ainsi que c'est l'intuition qui permet de suppléer à nos
sens. Et alors que ceux qu'il appelle les géomètres se serviront d' «~images que
nul ne peut oublier dès qu'il en a compris le sens~», «~l'intuition n'est pas
nécessairement fondée sur le témoignage des sens~». En effet, ceux que {\sc
  Poincaré} appelle les analystes, qui ne font pas appel à des images sensibles,
doivent bien «~avoir la vision du but qu'ils voulaient atteindre. Il a bien
fallu qu'ils devinassent le chemin qui y conduisait, et pour cela, ils ont
besoin d'un guide~».

«~Leur guide, c'est d'abord l'analogie~», écrit {\sc Poincaré}. C'est elle,
dit-il, qui fait d'eux des inventeurs. D'un côté, ce n'est qu'en replaçant une
combinaison isolée parmi les «~millions de combinaisons différentes des éléments
variés dont nous disposons [\ldots] dans une classe de combinaisons analogues~»,
ce n'est que lorsque nous aurons remarqué cette analogie que l'on dépassera le «~
fait brut~» et qu'on «~aura senti l'âme du fait~». D'un autre côté, «~les
analystes, pour ne pas laisser échapper les analogies cachées [\ldots] doivent,
sans le secours des sens et de l'imagination, avoir le sentiment direct de ce
qui fait l'unité d'un raisonnement, de ce qui en fait pour ainsi dire l'âme et
la vie intime.~» Ainsi, c'est l'analogie des combinaisons qui en est leur âme et
leur vie intime.

\subsubsection{Rapports avec la pensée de {\sc Mach}}

Dans sa conférence \cite{hp1}, {\sc Poincaré} cite de façon répétée Ernst {\sc
  Mach} et son principe d'économie de pensée: c'est le rôle de la science et «~
l'importance d'un fait se mesure donc à son rendement~». Pour {\sc Poincaré}, ce
principe s'applique autant en mathématiques qu'en physique --- et c'est
l'analogie qui en est l'instrument: \bq Je me suis livré à un calcul compliqué
[\ldots] Je ne serai pas payé de ma peine si je ne suis devenu par là capable de
prévoir les résultats d'autres calculs analogues et de les diriger à coup sûr en
évitant les tâtonnements auxquels j'ai dû me résigner la première fois. Je
n'aurai pas perdu mon temps [\ldots] si ces tâtonnements mêmes ont fini par me
révéler l'analogie profonde du problème que je viens de traiter avec une classe
beaucoup plus étendue d'autres problèmes [\ldots] Ce n'est pas alors un résultat
nouveau que j'aurai acquis, c'est une force nouvelle. \cite{hp1} \eq Ainsi, à la
place d'un long calcul particulier, il vaut mieux se souvenir du «~raisonnement
souvent à demi-intuitif qui nous aurait permis de prévoir~». {\sc Poincaré}
estime d'ailleurs que «~tout le monde sent qu'il y a des analogies qui ne
peuvent s'exprimer par une formule et qui sont les plus précieuses~».

«~On ne saurait croire combien un mot bien choisi peut économiser de pensée~».
En effet, «~la mathématique est l'art de donner le même nom à des choses
différentes [\ldots] par la matière, semblables par la forme.~» Ainsi, la
géométrie «~nous donne un langage très commode [qui] nous fait nommer du même
nom ce qui se ressemble et affirme des analogies qu'il ne nous permet plus
d'oublier~». Mais pour exploiter cette similitude, il faut que le mathématicien
reconnaisse l'analogie de toute nouvelle application avec celles qui ont déjà
été faites; il faut aussi savoir discerner les différences.

\subsubsection{L'analogie unifie}

Dans le même esprit, {\sc Poincaré} souligne à plusieurs reprises le rôle
unificateur et structurant de l'analogie. Elle relie des éléments connus depuis
longtemps et qui paraissaient étrangers les uns aux autres. Elle «~nous permet
de voir d'un coup d'\oe il chacun de ces éléments et la place qu'il occupe dans
l'ensemble~». Elle «~introduit l'ordre là où régnait l'apparence du désordre~».

Poincaré estime en effet de manière très kantienne que les seuls effets dignes
de notre attention sont ceux qui introduisent de l'ordre dans cette complexité
et la rendent ainsi accessible. L'analogie permet aussi de découvrir des
rapprochements inattendus entre deux domaines, que {\sc Poincaré} estime très
féconds et facteurs de progrès.

\subsection{La théorie de {\sc Leibniz}}

Nous quittons la science de la fin du XIX$^{\mbox{e}}$ et du XX$^{\mbox{e}}$
siècle pour nous pencher sur le philosophe et mathématicien Gottfried Wilhelm
{\sc Leibniz}. Son projet de langue universelle avait ses sources et trouvait
ses applications dans ce que lui-même appelait l'art d'inventer. Les opuscules
\cite{gl} en sont particulièrement révélateurs.

\subsubsection{Ars Combinatoria}

C'est en 1666 qu'il publia son {\it De arte combinatoria}\/ qui devait donner «~
une méthode qui nous mène infailliblement à l'analyse générale des connaissances
humaines.~» Il s'agit de dresser la liste exhaustive des concepts primitifs qui
constitue une sorte d'alphabet de tous les autres concepts, décomposables en
concepts primitifs comme un nombre naturel en ses facteurs premiers. En donnant
une description complète des combinaisons possibles entre concepts pour former
des propositions, on peut réduire tout raisonnement à une opération mécanique de
calcul.

{\sc Leibniz} distinguait logique démonstrative et logique inventive. La
première devait permettre de démontrer des propositions et de déceler des
erreurs comme on corrige des erreurs de calculs: il suffirait par analyse de
décomposer une proposition en concepts primitifs et de vérifier la validité des
combinaisons. La deuxième se compose de deux tâches, analyse et synthèse. L'une
permet d'établir les éléments d'une caractéristique, l'autre, de les recombiner.
Son problème fondamental s'énonce ainsi: \bq Étant donné un sujet, trouver tous
ses prédicats possibles; étant donné un prédicat, trouver tous ses sujets
possibles.  \eq



Dans le cadre de sa langue universelle, de sa «~caractéristique~», l'art
d'inventer devient ainsi un art cryptographique: le monde des phénomènes s'écrit
comme un immense cryptogramme, dont les clefs sont les lois de la nature.

\subsubsection{Le langage est analogique}

On peut comprendre l'idée de {\sc Leibniz} de la décomposition des concepts en
concepts primitifs qui seraient figurés par les «~caractères~» comme une
réaction aux nominalistes qui refusaient d'établir un rapport entre la réalité
et le langage. Il leur concédait qu'effectivement les signes qui figurent les
choses sont arbitraires, mais il n'en est pas ainsi des relations entre les
signes, dont la vérité dépend des relations entre les choses signifiées. Pour
{\sc Leibniz}, donc, les propositions objectives consistent seulement dans la
connexion objective des signes, et bien plus, dans leur similitude. En effet,
les signes restant arbitraires, le système des signes peut être échangé par un
autre, sans que cela touche à la question de la vérité.

Il y a donc une première analogie entre le système des choses et le système des
signes. Elle offre toute la rigidité de son sens originel d'égalité de rapports.
Plus généralement, il y a analogie entre les divers systèmes de signes qui
décrivent le même système d'objets, puisqu'ils expriment la même réalité. {\sc
  Leibniz} s'attachera donc logiquement à la question du choix du meilleur
système de signes.

\subsubsection{Du bon choix des caractères}

Le choix des caractères est si important aux yeux de {\sc Leibniz} parce qu'ils
doivent traduire les idées et les exprimer de la manière la plus précise et la
plus adéquate. «~Les caractères font signe à l'esprit, l'aiguillonnent.~» Face à
l'arbitraire du choix des signes, il propose donc par analogie avec l'algèbre sa
«~caractéristique universelle~», une sorte d'algèbre logique: il exprime les
concepts par des lettres et des combinaisons de lettres, les jugements par des
formules et les raisonnements par des successions d'équations, \emph{i.e.} des
calculs et des transformations de formules.

{\sc Leibniz} inventera finalement une écriture combinatoire où les caractères
sont des entiers naturels, leurs combinaisons des produits d'entiers naturels et
les propositions des fractions rationnelles. Revêtir ainsi la logique de formes
mathématiques répond aussi à son souci de rendre les raisonnements sensibles et
palpables. Mais il admettait aussi d'autres symbolismes pour sa logique, comme
des figures ou des mouvements, à partir du moment où, comme il l'exprime, ils «~
symbolisent entre eux~». En effet, il reconnaissait l'utilité des images
géométriques pour illustrer des calculs abstraits, car, s'il est «~bon
d'apprendre à raisonner sans aucune figure~», divers systèmes de signes peuvent
être d'un grand secours à l'entendement en ce qu'ils lui fournissent «~l'appui
et le guide de l'imagination~». C'est l'analogie de la construction de figures
géométriques avec la combinaison de concepts qui le permet.

\subsubsection{Ars Inveniendi}

Mais le premier souci de Leibniz avait été inverse: il s'agissait pour lui de
trouver, à l'aide de sa caractéristique, la raison profonde d'une découverte,
car au-delà de la découverte elle-même, elle permettrait de «~voir les origines
des inventions mêmes à cause de leur fécondité et parce qu'elles contiennent en
elles la source d'une infinité d'autres~». Il s'agissait de systématiser les
possibilités d'analogies. En effet, en traduisant une découverte dans la
caractéristique, les combinaisons des concepts primitifs deviennent apparents.
Or la combinatoire est une science de la forme, du semblable et du dissemblable
et non du contenu: purement formelles, les formules ne s'appliqueront pas
seulement au nombres, mais à tout «~objet d'intuition susceptible d'ordre et
d'aménagement distinct~». Ainsi, les combinaisons de concepts primitifs
découvertes s'appliqueront à tout objet semblable.

\section{Conclusion}
\setcounter{subsection}{0} \setcounter{subsubsection}{0}

\subsubsection{La théorie des modèles}

Les trois penseurs dont nous avons présenté les idées ont, de différentes
manières, exprimé la nécessité de s'intéresser au langage des théories pour
établir ou découvrir des analogies. Ainsi, chez {\sc P\'olya}, il s'agit de
trouver les éléments que l'on pourra mettre en correspondance avant de tenter de
reprendre le raisonnement d'un théo\-rème connu pour l'adapter à la
démonstration entreprise. Mais ce langage est flottant: comme il l'écrit, il n'y
a pas nécessairement univocité --- l'enjeu fondamental est d'être efficace. {\sc
  Poincaré} rappelle l'idée de {\sc Mach} d'une économie de la pensée et
s'appesantit sur l'utilité du terme bien choisi. Finalement, la section
précédente a bien montré que la préoccupation constante de {\sc Leibniz} est le
langage.

La théorie des modèles reprend cette préoccupation: pour devenir la «~méta
~»~-théorie des théories mathématiques, il faut d'abord qu'elle entreprenne
l'analyse de leur langage. Puis, comme Abraham {\sc Robinson} l'a écrit: \bq
L'analyse logique des structures algébriques doit conduire à subordonner sa
multiplicité à des principes généraux qui transforment les analogies relevées
entre certaines structures en identité logique formelle.  \eq



En cela, la théorie des modèles est bien héritière des préoccupations de {\sc
  Leibniz}. En se plaçant au-dessus des théories, en traitant en fait
d'ensembles de théories, elle s'intéresse aussi au langage utile pour une
description formelle des faits. Elle prête un nouveau langage, un nouveau
vocabulaire, dont l'utilité est de décrire la possibilité de traduire une
théorie dans une autre, de passer d'un langage mathématique à un autre; grâce à
l'analyse du langage, elle livre finalement une forme unique.

\subsubsection{Résultats concrets}


Mais la théorie des modèles a aussi pu être qualifiée de nouvel «~art d'inventer
~». En effet, elle a su, comme le voulait {\sc Leibniz} pour sa logique,
démontrer qu'elle était capable de fournir des résultats enrichissants pour les
mathématiques elles-mêmes. Ainsi, {\sc Tarski} a pu établir un «~principe de
transfert~» de $\mathbb R$ vers tout corps réel clos: c'est en effet une conséquence
de la complétude de la théorie élémentaire des corps réels clos.  Ce résultat
devient proprement fertile lorsque la démonstration d'une proposition est
possible dans un modèle et non dans un autre: même si elle n'est pas
transférable, la proposition l'est.

Dans le même sens, les investigations du lien entre la clôture algébrique et la
clôture réelle faites par {\sc Robinson} donnent en même temps lieu à des
résultats mathématiques et relèvent proprement de la théorie des modèles. Une
nouvelle étape a été franchie losqu'elle a été à même de multiplier les
analogies mathématiques et d'inventer parallèlement aux deux précédentes la
notion de clôture différentielle.

\subsubsection{Bilan}

On a vu le rôle central de l'analogie dans toute l'activité mathématique.
L'irruption de la théorie des modèles nous a obligés à resituer cette notion. En
effet, cette théorie permet de donner à certaines analogies formelles une clarté
toute mathématique. Peut-on alors prétendre que toute analogie doit pouvoir
atteindre cette clarté ? Ou faut-il soutenir, comme {\sc Poincaré}, que «~tout
le monde sent qu'il y a des analogies qui ne peuvent s'exprimer par une formule
et qui sont les plus précieuses~» ? Ce qui paraît finalement déterminant, c'est
le caractère empirique de l'analogie: son apparition a très souvent été
imprévisible et due à l'observation. La théorie des modèles apparaît réellement
dans une phase ultérieure, où les analogies qui s'y prêtent sont traîtées et
systématiquement fertilisées.


\makeatletter
\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
\makeatother

\bibliography{philo}
\end{document}
</pre></body></html>