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\title{La continuité chez Cauchy}
\author{Stefan Neuwirth}
\date{}
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\setcounter{secnumdepth}{4}

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\renewcommand\marginpar[1]{}
\begin{document}
\maketitle\thispagestyle{empty}

%\tableofcontents

\section{Introduction.}

\marginpar{Ferreirós, \emph{Labyrinth of thought}. Grabiner: page~28, page~169n*, page~155.}

Le tournant de la rigueur réalisé par Cauchy avec son \emph{Cours
  d'analyse} de 1821 continue d'interroger et de diviser les historiens et les
philosophes des mathématiques.

La première expression de cette rigueur est la définition d'une fonction continue: elle
sera donnée, paraphrasée et discutée plus bas pour essayer de trancher
le débat sur son sens. En effet, la plupart des commentateurs
concluent qu'il s'agit de la définition d'une fonction
``ponctuellement'' continue telle que Bolzano \cite{bolzano17} la donne
en 1817 et telle que Weierstrass la donne dans son cours d'analyse de
1861 \cite[pages 119-120]{dugac73}: Spalt \cite[page 50, note
85]{spalt81} en fournit un inventaire, auquel on peut rajouter
\cite{arsac13,dugac03}. 
La conséquence en est qu'alors plusieurs théorèmes de Cauchy ``souffre[nt] des exceptions'', comme l'écrit Abel en 1826. 

% \subsection{Le point de vue d'Abraham Robinson.}

Les ``erreurs de Cauchy'' sont devenues un thème populaire comme
paradigme de l'approche non standard aux infiniment petits (voir en particulier Imre Lakatos \cite{la84}): la
définition de Cauchy de la continuité se traduit particulièrement
facilement dans ce formalisme. Plusieurs auteurs (\cite{fisher78,spalt81,laugwitz87}), dont Spalt, supposent que Cauchy lui-même faisait de l'analyse non standard.
% Notons pourtant aussitôt
% que cette traduction s'avère finalement plus compliquée quand on
% rentre dans les détails, au point que le plus passionné des défenseurs
% de la présentation de Cauchy, Detlef Spalt, finit par lui attribuer une axiomatique
% de l'infiniment petit légèrement différente de celle de Robinson.

%\subsection{Giusti et Lombardi.}

Cependant, Giusti~\cite{gi84} et Lombardi~\cite{lo91} soutiennent que
la définition est celle d'une fonction ``uniformément'' continue.
Notre approche partage leur conclusion ainsi que leur argument que c'est
bien le concept à l'œuvre dans les démonstrations du \emph{Cours
  d'analyse}. Nous proposons d'affiner leur analyse en décrivant comment Cauchy ``cherche à donner [aux méthodes] toute la rigueur qu'on exige en géométrie''.
% , tout en relativisant ce qui m'y
% parait discutable et accessoire pour souligner ce qui y est essentiel
% et toujours d'actualité. Je ne crois par contre pas que l'analyse non
% standard éclaire vraiment la pensée de Cauchy.

% \subsection{Le point de vue de Gilbert Arsac.}

% La lecture d'Arsac\marginpar{compulser son livre!} enseigne qu'il ne faut pas partir à la chasse de l'erreur ni approcher Cauchy comme s'il était un élève qui n'aurait pas compris.

% \section{Rigueur.}

% \subsection{La généralité de l'algèbre.}

% D'abord, en quoi consiste cette rigueur? à ne plus prendre pour acquis
% certains faits issus de la «généralité de l'algèbre». Cette expression
% vise en premier lieu Leonhard Euler.

% \subsubsection{Citation de l'introduction de Cauchy.}


% \begin{quotation}
% Quant aux méthodes, j'ai cherché à leur
% donner toute la rigueur qu'on exige en
% géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de
% l'algèbre. Les raisons de cette espèce, quoique assez communément admises, sur-tout
% dans le passage des séries convergentes
% aux séries divergentes, et des quantités
% réelles aux expressions imaginaires, ne peuvent être considérées, ce me semble, que
% comme des inductions propres à faire pressentir quelquefois la vérité, mais qui s'accordent peu avec l'exactitude si vantée des
% sciences mathématiques. On doit même
% observer qu'elles tendent à faire attribuer
% aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que, dans la réalité, la plupart de ces formules subsistent uniquement
% sous certaines conditions, et pour certaines
% valeurs des quantités qu'elles renferment.
% \cite[pages~ij-iij]{ca21}
% \end{quotation}

% \subsubsection{Séries convergentes.}

% La généralité de l'algèbre\marginpar{passage des réels aux complexes:
%   cf.\ p.~243, p.~250, p.~227 en ce qui concerne les propriétés de la
%   fonction~$x^a$ lorsque $x$~est complexe et $a$~est irrationnel,
%   formule~38? de la note~IX? page~576? [Guitard]. Y a-t-il un rapport
%   avec la continuité et avec l'expression ``principe de continuité''?}
% appliquée au «passage des séries convergentes aux séries divergentes»
% consiste en particulier à prétendre qu'une formule vérifiée sous
% certaines conditions continue à valoir plus généralement; considérons
% la «progression géométrique 1, $x$, $x^2$, $x^3$, \text{\&c.}\dots»
% étudiée par Cauchy \cite[pages 124 et 126-127]{ca21}: la formule
% $1+x+x^2+x^3+\dots=\dfrac1{1-x}$ est vérifiée lorsque la valeur
% absolue de~$x$ est strictement inférieure à~1. Pourquoi ne pas
% l'appliquer à~$x=-1$ et attribuer la valeur $\dfrac12$ à la série
% $1-1+1-1+\dots$? D'ailleurs D'Alembert s'y est ingénié en considérant
% les moyennes successives des sommes partielles (cf.\ Dugac.)

\section{Axiomatique matérielle}
\label{sec:axio-mater}

% \subsection{Langue naturelle.}

Le langage dans lequel Cauchy s'exprime est la langue
française\marginpar{références philosophiques?}: il ne propose pas de langage symbolique propre à réduire l'analyse à un jeu de signes. Sa méfiance au sujet des mathématiques du 18\ieme\ siècle, qui l'incite ``à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de l'algèbre'', l'amène à tenir un discours qui interprète les formules pas à pas.  % , et seule la langue
% naturelle est apte à porter en tant que telle le sens
%
% : le langage
% symbolique donne l'illusion de l'exactitude et de l'univocité, mais il
% faut l'épeler en langue naturelle pour le rendre intelligible et c'est
% lorsqu'on veut dépasser la simple manipulation de chaines de symboles
% qu'on risque de perdre son univocité. 
% \subsubsection{Mathématiques actuelles.}
% La présentation actuelle des
% mathématiques renforce ce jugement, tant est grand l'écart qui sépare
% l'idéal de Hilbert d'un pur jeu de langage de signes \marginpar{citer
%   Hilbert, cf.\ mémoire de DEA} de la pratique
% mathématique. Néanmoins, l'illusion que le langage symbolique est la
% langue propre des mathématiques se maintient, et c'est une raison de
% plus de les considérer comme un monde parallèle différent du monde
% dans lequel nous vivons.
L'idée que la fonction~$f$ et la variable~$x$
vivent dans un monde de formules peut paraitre convaincante en
algèbre, mais elle pose un réel problème en analyse.

%\subsubsection{La pratique symbolique en mathématiques.}

% Il y a là l'enjeu de l'ontologie des mathématiques et de l'axiomatique
% reposée par le langage Coq. Le paradigme actuel de la rigueur en
% mathématiques est la certification par le langage Coq. Or les ``grands
% théorèmes'' qui ont pu être certifiés sont le théorème des quatre
% couleurs et le théorème de Feit et Thompson, de sorte que l'analyse
% reste un défi posé en particulier par la notion de nombre réel. \marginpar{En
% demander davantage à Henri}

%\emph{A contrario}, 
La présentation de Cauchy n'est pas univoque, et
nous allons voir qu'il est difficile de la rendre exacte. Giusti écrit que
\begin{quotation}
  La présentation d'une œuvre appartient toujours plus à la rhétorique qu'à la science, souvent la forme des définitions et des énoncés est choisie entre plusieurs options différentes; parfois, encore que rarement, même les démonstrations conservent un certain caractère de libre choix entre plusieurs chemins possibles.
 % rarement
 %  Sempre la presentazione di un'opera appartiene
 %  più alla retorica che alla scienza, non di rado la forma delle definizioni e
 %  degli enunciati è scelta tra varie opzioni differenti; talvolta anche se
 %  raramente le stesse dimostrazioni conservano un certo carattere di libera
 %  scelta tra varie strade possibili.
  \cite[page~26]{gi84}.
\end{quotation}

% \section{Axiomatique matérielle.}

% \subsection{Définition de l'infiniment petit.}



% Cauchy propose lui-même une illustration des infiniment petits par des
% suites qui convergent vers la limite zéro.\marginpar{citation et
%   paraphrase?} Il ne cherche néanmoins pas à réduire les infiniment
% petits à des suites, ni à concevoir les fonctions comme des
% correspondances, c'est-à-dire comme des collections de couples de
% valeurs dont la deuxième jouerait le rôle de l'image par la fonction
% de la première.

% \subsection{Objets donnés.}

Comme dans l'axiomatique d'Euclide, les objets fondamentaux sont donnés par des définitions de chose, c'est-à-dire des définitions auxquelles le discours mathématique ne fait jamais appel, mais qui permettent au lecteur de se former une intuition de l'objet. En analyse, ce sont les variables: ``On nomme quantité \emph{variable} celle que l'on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres.'' Les autres définitions de l'analyse sont toutes des définitions de nom basées sur la variable:
\begin{itemize}
\item ``Lorsque les valeurs successivement
  attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une
  valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on
  voudra, cette dernière est appelée la \emph{limite} de toutes les
  autres.''
\item ``On dit qu'une quantité variable devient \emph{infiniment petite}, lorsque sa
valeur numérique décroit indéfiniment de manière à converger vers la
limite zéro.''
\item ``Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l'une d'entre elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d'ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l'une d'entre
  elles, qui prend alors le nom de \emph{variable indépendante;} et les autres quantités exprimées au moyen de la variable indépendante sont ce qu'on appelle des fonctions de cette variable.''
\end{itemize}


% \paragraph{Définition de la variable.}

Cauchy ne conçoit donc pas la variable comme «symbole ou terme auquel
on peut attribuer plusieurs valeurs distinctes, à l'intérieur d'un
domaine défini» (\emph{Le nouveau petit Robert de la langue
  française})% , mais comme «quantité [\dots] devant recevoir
% successivement plusieurs valeurs différentes les unes des
% autres»
. C'est-à-dire que la variable varie, et cette variabilité
permet à la variable de parcourir % toutes 
les valeurs entre deux
valeurs données.
% Il y a donc des objets donnés: ce sont la variable, la fonction et
% l'infiniment petit\marginpar{regarder Schubring pour la distinction entre infiniment petit et variable}, dont Cauchy donne des définitions de chose,
% c'est-à-dire qu'elles ont rang d'axiome pour la théorie et le rôle de
% délimiter le concept dans le discours tenu: le lecteur doit s'entendre
% avec l'auteur sur l'objet en question.
%
% La fonction est donnée: sa nature est déterminée par les circonstances qui lui donnent naissance.
%
% Il s'agit de traits distinctifs de l'``axiomatique matérielle'' dans
% laquelle l'objet
Comme le point et la droite en géométrie, les variables sont donc données par avance et non pas engendrées par le
mathématicien.%  S'il n'est pas interdit de lire la définition des
% infiniment petits comme une définition nominale, elle se fonde
% cependant sur des objets qui sont déjà là, comme la grandeur.

% \subsection{Méthode axiomatique d'Euclide.}

% Rappelons la méthode axiomatique d'Euclide: le point et la droite sont donnés au livre~\textsc{i} par des définitions de choses \marginpar{cf.\ la logique de Port-Royal?}: «un \emph{point} est ce dont il n'y a aucune
% partie», «une \emph{ligne} est une longueur sans largeur», «les
% \emph{limites d'une ligne} sont des points», «une \emph{ligne droite}
% est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui
% sont sur elle»; un axiome fondamental, la notion commune~\textsc{i}.7, 
% «les choses
% qui s'ajustent les unes sur les autres sont égales entre elles», n'obtient sa forme précise que dans la démonstration de la proposition~\textsc{i}.4.

% \subsection{Méthode axiomatique au \Siecle{18}.}

% Vincenzo de Risi, dans son commentaire de l'\emph{Euclide vengé de
%   toute verrue}, décrit bien la conception de l'axiomatique au
% \siecle{18} au sujet de Saccheri (il fait remonter ces conceptions au
% moins à Clavius). 
Si on ne sait pas exactement quelles intuitions en
avait Cauchy, et que la notion % d'infiniment petit et
de variable
garde sa part d'ombre comme le point et la droite chez Euclide,
les raisonnements, eux, sont parfaitement rigoureux si on les lit avec
bienveillance et si on homogénéise l'approche. Il faut surtout se
garder, encore davantage % que d'habitude 
pour un texte qui nous est
proche par le style, de l'anachronisme qui consiste à lire un auteur
du passé avec les conceptions du présent, ici Cauchy avec notre
conception de Weierstrass en tête.



% \subsection{La nature ne fait pas de sauts.}

% ``La nature ne fait pas de sauts'', mais les mathématiques permettent de
% penser des phénomènes qui en font.

% \subsubsection{Deux exemples de Cauchy.}

% les deux premiers exemples dans le
% \emph{Cours d'analyse} de Cauchy sont la fonction~$\dfrac1x$ qui
% devient infinie pour~$x=0$ en sautant de~$-\infty$ à~$+\infty$, et la
% fonction~$\sin\dfrac 1x$:
% \begin{quotation}
%   Supposons, pour fixer les idées, qu'une variable positive ou négative représentée par~$x$ converge vers la limite zéro, [\dots] l'expression
%   \[\mathop{lim.}\left(\mskip-6mu\left(\frac1x\right)\mskip-6mu\right)\]
%   admet deux valeurs, savoir, $+\infty$, $-\infty$, et 
%   \[\mathop{lim.}\left(\mskip-6mu\left(\operatorname{sin.}\frac1x\right)\mskip-6mu\right)\]
%   une infinité de valeurs comprises entre les limites~$-1$ et~$+1$.
%   \cite[page~14 (ou déjà 13 aussi?)]{ca21}
% \end{quotation}

% \subsubsection{Notation par doubles parenthèses.}

% Voici l'explication de la notation par doubles parenthèses.
% \begin{quotation}
% Quelquefois, tandis qu'une ou plusieurs variables convergent
% vers des limites fixes, une expression qui renferme
% ces variables converge à-la-fois vers plusieurs
% limites différentes les unes des autres. Nous indiquerons alors une quelconque de ces dernières limites,
% à l'aide de doubles parenthèses placées à la suite de
% l'abréviation $\mathop{lim.}$, de manière à entourer l'expression que l'on considère.
%   \cite[page~13]{ca21}
% \end{quotation}

\section{Paraphrase de la définition d'une fonction continue.}

% C'est particulièrement le cas dans le paragraphe \emph{De la
%   continuité des fonctions} \cite[pages~34-43]{ca21}. \marginpar{Il faut ici
% placer ce paragraphe à l'intérieur du \emph{Cours d'analyse}. Quand et
% pourquoi la continuité est-elle introduite?} Commençons par le
% paraphraser:

Cette définition apparait au chapitre~II, immédiatement après la définition des variables infiniment petites, page 34 du \emph{Cours d'analyse}.\smallskip
 
\begin{paracol}{2}

  \subsection*{[Version originale.]}

  Parmi les objets qui se rat\-ta\-chent à la considération des infiniment
  petits, on doit placer les notions relatives à la continuité ou à la
  discontinuité des fonctions. Examinons d'abord sous ce point de vue
  les fonctions d'une seule variable.

  Soit $f(x)$~une fonction de la variable~$x$, et supposons que, pour
  chaque valeur de $x$ intermédiaire entre deux limites données, cette
  fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en
  partant d'une valeur de~$x$ comprise entre ces limites, on attribue
  à la variable~$x$ un accroissement infiniment petit~$\alpha$, la
  fonction elle-même recevra pour accroissement la différence
  \[
  f(x+\alpha)-f(x),
  \]
  qui dépendra en même temps de la nouvelle variable~$\alpha$ et de la
  valeur de~$x$. Cela posé, la fonction~$f(x)$ sera, entre les deux
  limites assignées à la variable~$x$, fonction \emph{continue} de cette
  variable, si, pour chaque valeur de~$x$ intermédiaire entre ces
  limites, la valeur numérique de la différence
  \[
  f(x+\alpha)-f(x)
  \]
  décroît indéfiniment avec celle de $\alpha$. En d'autres termes,
  \emph{la fonction~$f(x)$ restera continue par rapport à~$x$ entre les
    limites données, si, entre ces limites, un accroissement infiniment
    petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment
    petit de la fonction elle-même.}

  On dit encore que la fonction~$f(x)$ est, dans le voisinage d'une
  valeur particulière attribuée à la variable~$x$, fonction continue de
  cette variable, toutes les fois qu'elle est continue entre deux
  limites de~$x$, même très rapprochées, qui renferment la valeur dont
  il s'agit.
  \cite[pages~34-35]{ca21}

  \switchcolumn

  \subsection*{[Paraphrase.]}

  Considérons une quantité variable exprimée au moyen de la
  variable~$x$ entre deux valeurs données $X_0$~et~$X_1$,
  notée~$f(x)$, qui n'admette qu'une unique valeur finie pour chaque
  valeur de~$x$ entre ces deux valeurs. Exprimons l'accroissement que
  reçoit la fonction~$f(x)$ de la variable~$x$ lorsqu'on attribue un
  accroissement à la variable~$x$: pour cela, partons d'une valeur~$X$
  de~$x$ entre $X_0$~et $X_1$ et accroissons~$X$ d'une
  variable~$\alpha$, qui converge vers la limite zéro,
  en~$X+\alpha$. L'accroissement de la fonction en partant de~$X$ est
  la différence \[f(X+\alpha)-f(X)\] qui est une fonction de la
  nouvelle variable~$\alpha$. Ce calcul devant subsister quelle que
  soit la valeur de~$x$, l'accroissement de la fonction~$f(x)$ est la
  fonction $f(x+\alpha)-f(x)$ des variables $x$~et~$\alpha$. Cela
  posé, la fonction~$f(x)$ sera, entre $X_0$~et~$X_1$, fonction
  continue de la variable~$x$ si, pour chaque valeur~$X$ de~$x$ entre
  ces valeurs, \[|f(X+\alpha)-f(X)|\] converge vers la limite zéro. En
  d'autres termes, \emph{la fonction~$f(x)$ restera continue par
    rapport à~$x$ entre les valeurs données si, entre ces
    limites, \[|f(x+\alpha)-f(x)|\] converge vers la limite zéro.}
  
  On dit encore que la fonction~$f(x)$ est continue au voisinage d'une
  valeur~$X$ de la variable~$x$ s'il existe des valeurs $X_0$~et~$X_1$
  avec $X_0<X<X_1$ telles que $f(x)$~est continue entre
  $X_0$~et~$X_1$.
\end{paracol}

\section{Commentaire.}

La paraphrase que j'ai entreprise ici ne diffère notablement de
l'original que par deux points que je vais discuter successivement.

\subsection{Statut de la variable: $x$~et~$X$, intervalle et valeur.}

J'ai introduit la lettre~$X$ pour la valeur de~$x$, qui
  est systématique\marginpar{à
  vérifier! en fait cela n'a lieu que dans la proposition suivante. Compulser le \emph{Résumé} à ce sujet!}  dans la suite du \emph{Cours d'analyse} et notamment dès la proposition qui suit
  \cite[pages~37-38]{ca21};

% Dire au contraire que les formules ne subsistent que sous les conditions
% qui ont permis de les établir, c'est donner un statut hybride aux
% variables de la formule: 
Le~$x$ de la formule est à la fois une lettre
que l'on manipule selon les règles de l'algèbre et qui donne lieu à des calculs d'``algèbre générale'', et une quantité qui
prend des valeurs successives et donne lieu aux raisonnements de l'analyse. La validité de la formule peut
alors dépendre de l'intervalle considéré et la vérification de la formule doit
tenir compte de la nature des valeurs considérées: la région ``intermédiaire entre deux valeurs données'' peut être inhomogène. \marginpar{chercher si Cauchy vérifie des formules ``ponctuellement'', d'ailleurs que cela veut-il dire?} % J'essaie ici de distinguer cela
% d'une démarche consistant à considérer
% Par contre, Cauchy ne vérifie pas les formules ponctuellement,
% c'est-à-dire individuellement pour chaque valeur possible de~$x$% , car
% elle est en tant que telle absente du \emph{Cours d'analyse}.

\subsection{L'accroissement est fonction de deux variables.}
\label{sec:laccr-est-fonct}

J'ai distingué entre la fonction d'une seule
  variable~$f(X+\alpha)-f(X)$ et la fonction de deux
  variables~$f(x+\alpha)-f(x)$: cette distinction se retrouve au moins dans le
  \emph{Résumé} \cite[page~28]{ca23}\marginpar{chercher d'autres
  occurrences!}. La distinction entre valeur~$X$ et variable~$x$
  permet d'expliciter le passage d'un énoncé vrai pour chaque
  valeur~$X$ à un énoncé vrai pour la variable~$x$. C'est la
  réciproque au passage évoqué dans l'introduction du \emph{Cours
    d'analyse}:
  \begin{quotation}
    et alors les différentes formules ne présentent plus que des
    relations entre les quantités réelles, relations qu'il est
    toujours facile de vérifier par la substitution des nombres aux
    quantités elles-mêmes. \marginpar{Quelles en sont les occurrences
      dans le \emph{Cours d'analyse} et le \emph{Résumé}?}  \cite[pages~iij-iv]{ca21}
  \end{quotation}
  Cela permet de comparer la première
  formulation de la continuité, commençant par «Cela posé», et la
  deuxième commençant par «En d'autres termes».

\subsection{Comparaison des deux formulations}
\label{sec:etude-de-la}

Le problème principal est de comprendre le rapport entre les variables $x$~et~$\alpha$: soit on considère que $\alpha$ est un  infiniment petit donné et on considère alors $f(x+\alpha)-f(x)$ pour toutes les valeurs intermédiaires entre les deux limites données, soit on considère une valeur $X$ de $x$ donnée et on regarde alors l'effet de l'accroissement par un infiniment petit $\alpha$. Regardons les deux formulations de la continuité pour en savoir davantage. 

On peut lire la première formulation de deux manières:
\begin{enumerate}
\item comme on n'y choisit pas $\alpha$, on peut estimer que $\alpha$ est donné d'avance et qu'on regarde, pour chaque valeur $X$ de $x$, l'accroissement $f(X+\alpha)-f(X)$;
\item on peut aussi estimer que le choix de $\alpha$ est sous-entendu par l'expression ``décroît indéfiniment avec celle de $\alpha$'': on aboutit alors une lecture moderne, dans laquelle $\alpha$ ne serait plus une variable, mais un nombre réel: $\dots~\exists\eta~\forall\alpha\in[-\eta,\eta]~|f(x+\alpha)-f(x)|<\dots$
\end{enumerate}

La deuxième formulation est beaucoup plus succincte, mais elle exprime sans ambigüité que le choix de $\alpha$ se fait avant de considérer l'accroissement qu'il produit sur la fonction pour les différentes valeurs de $x$: elle incite donc à choisir la lecture~1.

Il y a deux raisons supplémentaires, déjà évoquées par Giusti et Lombardi, de choisir la lecture~1: d'abord, le fait que Cauchy prend visiblement garde de considérer que la continuité d'une fonction s'observe au sujet d'un intervalle et non d'une valeur particulière; ensuite, le fait que c'est cette lecture qui s'applique effectivement dans les démonstrations à commencer par celle du 1.\ier\ Théorème quatre pages plus loin.
 
%\subsection{Continuité et intervalle.}

La continuité est ici nécessairement conçue comme la propriété d'un
intervalle, parce que c'est la propriété d'une fonction d'une
variable, qui doit donc pouvoir varier sur un élément de grandeur,
c'est-à-dire un intervalle. % Henri Lombardi exprime ceci par
% «continuité localement uniforme» \cite{lo11}.

% \subsection{Continuité ponctuelle et uniforme.}

% La réaction naturelle de tout lecteur d'aujourd'hui est de pointer ici
% l'amalgame entre continuité ponctuelle ($|f(X+\alpha)-f(X)|$ se voit
% étudié pour chaque valeur~$X$ de la variable~$x$) et continuité
% uniforme (on étudie la fonction de deux
% variables~$|f(x+\alpha)-f(x)|$). 

% \paragraph{Anachronisme.}

% Mais pointer cet amalgame ainsi est
% certainement un anachronisme parce que cela sous-entend le cadre
% actuel des nombres réels arithmétisés par Dedekind et Cantor et plus
% généralement le cadre de la théorie des ensembles\marginpar{passage
%   hardi---ralentir!}. Dans cette arithmétisation, les nombres sont
% situés les uns à côté des autres en parfaits étrangers sans cohésion
% aucune. Il n'y a néanmoins pas de trou dans les nombres et c'est ce
% qui importe à Dedekind: il a simplement rajouté aux nombres
% rationnels, par l'action de sa pensée, les trous apparents,
% c'est-à-dire les coupures. 

% \paragraph{Comparaison avec d'autres paradigmes des mathématiques modernes.}

% Dedekind fera de même en introduisant les idéaux \marginpar{cf.\
%   Sinaceur et son commentaire sur la modernité de Dedekind, ou
%   Dugac}. Mais une fois que tous les nombres sont là, il sont figés et
% ne peuvent plus se mouvoir. De même, la théorie des ensembles a
% permis, en autorisant des objets ``incroyables'', une conception
% statique des objets les plus mouvants: les solutions des équations aux
% dérivées partielles sont des points d'un espace de Sobolev; les
% espaces probabilisés du modèle de Kolmogorov rendent compte de tous
% les avenirs possibles.
% \section{Définition de la continuité sur la base des nombres
%   réels.}

% Dans la pratique mathématique, une boite noire, les nombres réels, est
% supposée produire toute la rigueur d'une définition comme celle de la
% continuité. Cela masque les interrelations entre nombres et fonctions,
% entre axiomes, théorèmes et définitions, que seul un questionnement
% comme les mathématiques intuitionistes et constructives remettent en
% mouvement.

\section{L'alternance des quantificateurs: un problème pédagogique.}

% \subsection{Présentation.}

Les formulations de Cauchy ont l'avantage caractéristique d'éviter
la double alternance des quantificateurs existentiel et
universel\marginpar{étude historique disponible? Arsac? Godement,
  Boyer, Kleiner \emph{Excursions}, Dieudonné. Cette alternance est
  absente dans Euclide. Qu'est-ce qui en tient lieu? Voir Heine, Dini,
  Stolz (qui cite Kossak, \emph{Die Elemente der Arithmetik}, 1872 et
  Pincherle (Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni
  analitiche secondo i principii del Prof.~W.\ in Battaglini
  G.~XVIII) \cite{pi80}.  Situer l'étrange ouvrage de du Bois-Reymond (annoncé en
  1872?); regarder sa traduction en français: «Das Zahlencontinuum ist
  keine wirkliche Grenze irgendwelcher empiristischen Folge von
  Vorstellungen.»}, dont l'ordre détermine aujourd'hui la distinction
entre continuité ponctuelle et uniforme: on distingue les suites de
quantificateurs
\[\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x\in[X_0,X_1]~\dots
\quad\text{et}\quad
\forall x\in[X_0,X_1]~\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\dots\text.\]
 Il s'agit d'une problématique qui constitue un
écueil pédagogique notoire et qui sert de critère majeur de
discrimination entre étudiants. Or cela se conçoit surtout dans une
optique dans laquelle les deux continuités sont mises sur un même
plan: \emph{a contrario}, en mettant à part tout ce qui a trait au ``ponctuel'' et en se
concentrant sur l'aspect ``uniforme'', l'accent mis sur cette alternance
perd de sa pertinence.

% \subsection{Cauchy.}

% Cauchy exprime qu'un petit accroissement de la variable provoque un
% petit accroissement de la fonction: si $|\alpha|<\delta$, alors
% $|f(x+\alpha)-f(x)|<\varepsilon$; cela sous-entend deux
% quantifications pour exprimer que $f(x+\alpha)-f(x)$ est une fonction
% de~$x$ et de~$\alpha$ qui est un infiniment petit lorsque
% $\alpha$~l'est.

\section{L'epsilontique.}

Une autre question en creux de l'approche de Cauchy est l'enjeu de
rigueur que présente l'usage des infiniment petits et l'importance de
la contribution de Weierstrass à la rigueur de l'analyse. En effet, selon Freudenthal \cite[page~5]{fr73} et van der Waerden \cite[page~220]{wa61},
l'«epsilontique», c'est-à-dire l'usage du~$\delta$ et de l'$\varepsilon$ à peine
travesti, fait depuis l'époque grecque
partie intégrante du discours mathématique, ce qui invite à
circonscrire l'apport de Weierstrass.

%\subsection{Euclide.}

Les \emph{Éléments} d'Euclide en témoignent au livre cinquième et
douzième. La pensée mathématique était parfaitement capable d'exprimer
l'approximation de la manière suivante\marginpar{citations précises qui montrent comment on contourne l'usage de l'infiniment petit. Quel rapport y a-t-il entre ces passages à la limite et la continuité? études historiques?}: ``si $\dfrac ab>\dfrac cd$, soit
$d'$~tel que $\dfrac ab>\dfrac c{d'}$; alors $d'-d$~est positif et,
suffisamment multiplié, dépassera toute grandeur donnée.''
%
% \begin{quotation}
%   The definitive solution in antiquity was something like Dedekind's
%   cuts. It is presented in the 5th and 6th books of the Elements,
%   along with the antique version of epsilontics.  \cite[page~5]{fr73}
%   \marginpar{cf.\ correspondance Dedekind-Lipschitz}
% \end{quotation}
%
%\subsection{Archimède d'après van der Waerden.}
%
La méthode d'exhaustion à l'œuvre dans la \emph{Quadrature de la
  parabole} d'Archimède en témoigne aussi.  Deux autres occurrences
fameuses sont le \emph{Traité de la roulette} de Pascal lorsqu'il
montre que la méthode des indivisibles est aussi rigoureuse que la méthode
des géomètres, ainsi que l'\emph{Ars conjectandi} de Jakob Bernoulli dans sa deuxième démonstration de la loi des grands nombres.

% \begin{quotation}
%   All this is found in Archimedes, in essentially the same words. It
%   shows that the estimations, which occur in the summing of infinite
%   series and in limit operations, the ``epsilontics'', as the
%   calculation with an arbitrarily small~$\varepsilon$ is sometimes
%   called, were for Archimedes an open book. In this respect, his
%   thinking is entirely modern.  
% \end{quotation}

% \subsection{Le \emph{Traité de la roulette} de Pascal.} 

% Pascal lui aussi fait preuve de rigueur lorsqu'il montre que la
% méthode des indivisibles est aussi fondée que la méthode des
% géomètres.\marginpar{Citation!}

%\subsection{Abel, Seidel et Weierstrass.}

Ce qui m'intrigue davantage est que je n'ai pas encore trouvé le texte
qui indiquerait qu'une rupture de la rigueur aurait eu lieu \marginpar{mais voir
l'édition du cours de Weierstrass de 1861 par Dugac} ou qui
critiquerait nettement ses prédécesseurs. Les textes de l'époque sont
très mesurés, et ni Seidel ni Abel ne clouent Cauchy au pilori: ils ne
relèvent pas d'erreur dans ses démonstrations, mais dans la
formulation du théorème qui ``souffre des exceptions''.

% \subsection{Théorème dit de Cesarò.}

% Par contre, pages 48--52, Cauchy précise bien dans quel ordre il faut prendre les quantificateurs et ce sera la seule preuve ``epsilonique'' du \emph{Cours d'analyse}. 



\bigskip

\bibliography{Biblio-histoire-des-maths,references-href}
\end{document}
