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\title{Les «~objets mathématiques~» comme modèles mathématiques: introduction historique et inventaire}
\author{Stefan Neuwirth}
\date{}%13 juillet 2013}
\parindent4.76mm

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\begin{document}\maketitle
\part*{Introduction.}

Les modèles mathématiques de la deuxième moitié du 19\ieme\ siècle ont
marqué l'histoire de l'art du 20\ieme\ en devenant des «~figures~» et
des «~formes mathématiques~» en 1932 dans les légendes des
photographies de Henry Swift du groupe \textit{f}.64
\citep%[pages 70, 71, 73]
{heyman92}, puis des «~objets mathématiques~» photographiés par Man
Ray pour les \emph{Cahiers d'art} de Christian \citet{ze36} et exposés
dans la galerie Charles \citet{ra36}. Les catalogues illustrés \citet{brill81,brill82,brill85,brill88,brill92} et \citet{schilling03,sc11} de ces
modèles ont été exploités par Max Ernst pour ses collages. Cette histoire
est racontée en détail par Gabriele \citet{we02} et illustrée dans le
catalogue d'Emmanuel \cite{gu97}. On la retrouve dans un article du \emph{Dictionnaire de l'objet surréaliste} \citep{ottinger13} qui accompagne l'exposition homonyme au Centre Pompidou. Aujourd'hui, ces modèles deviennent des «~formes
conceptuelles~» dans l'œuvre d'Hiroshi \citet{sugimoto04}. Ils
ont aussi inspiré des sculpteurs: Naum Gabo, Barbara Hepworth, Henry
Moore, Antoine Pevsner (un frère de Gabo) et Ruth Vollmer: voir entre
autres \cite{dr08,ro08b,rottmann08c,vc10}.

% Les modèles exposés appartiennent au Laboratoire de mathématiques de
% Besançon depuis que le Laboratoire de mécanique rationnelle lui a été
% incorporé en ?? Mais ils proviennent à l'origine de l'École
% d'horlogerie ou de l'Institut de chronométrie, d'où ils sont arrivés
% dans les années 1960 et il est possible que ce soit Jules Haag qui les
% ait commandés à l'origine.

Les modèles du Laboratoire de mathématiques de Besançon ont tous été
édités par la maison Ludwig Brill entre 1877 et 1886. Cet éditeur
était en fait le frère d'un mathématicien impliqué dans la conception
des originaux: le professeur Alexander Brill, alors collègue de Felix
Klein à Munich. La maison a été rachetée en 1900 par Martin Schilling,
lui aussi frère de mathématicien, en l'occurrence Friedrich Schilling,
un élève de Klein à Göttingen. Quelques détails de l'histoire de ces
modèles sont donnés par Gerd \citet{fi86b}, que l'on peut retrouver en
français dans~\cite{cdn01}, y compris la recette de la pâte à modeler
utilisée pour produire les originaux des
plâtres. \citet{polo07,palladinopalladino09,rowe13} fournissent des
détails précieux.

\citet{cussonscoxeter61} donnent une introduction générale aux
différents types de modèles mathématiques et Michael \citet{ro08} en
propose une histoire succincte. Herbert \citet{me04} en fait la
présentation la plus complète: j'en ai tiré les trois citations
ci-dessous.

Les modèles ne servaient pas à la vulgarisation mais à l'illustration
des théories mathématiques en pointe à l'époque: théorie des surfaces
algébriques, géométrie différentielle, théorie des fonctions, physique
mathématique. Voici comment \citet[page 194]{klein91} exprime leur
importance dans son \emph{Programme d'Erlangen} en 1872.
\begin{quotation}
  Il existe une Géométrie proprement dite qui ne peut pas, comme les
  recherches qui nous ont occupé, n'être qu'une forme sensible de
  considérations abstraites.  Il y faut concevoir les figures de
  l'espace dans la pleine vérité de leur forme et (ce qui constitue
  le côté mathématique) apercevoir leurs relations comme des
  conséquences évidentes des postulats de l'intuition de
  l'espace. Pour cette Géométrie, un modèle, qu'il soit exécuté et
  examiné ou seulement figuré avec force, n'est pas un moyen pour
  atteindre au but, mais la chose elle-même. %[page 194, cité par \citet[page 289]{me04}]
\end{quotation}
La période d'or des modèles se termine au début du 20\ieme\
siècle. Mehrtens décrit bien l'ambiguïté du modèle mathématique qui
pose problème aux mathématiciens.
  \begin{quotation}
    Le plâtre a été produit pour montrer sa figure, sa
    \emph{Gestalt}. Il représente un seul cas de la surface en
    question. Le modèle transforme la réalité virtuelle de la surface
    en réalité physique. Dans le monde virtuel de la géométrie
    différentielle et algébrique, elle est de taille indéfinie et
    s'étend à l'infini. Pour réaliser physiquement un cas unique [de
    la surface], il faut fixer tous les paramètres de sorte que
    l'objet obtenu ait les symétries et singularités que l'on voulait
    rendre visibles. L'objet physique incorpore alors des
    mathématiques et, utilisé ou observé par les mathématiciens, il
    incarne des mathématiques. J'ai observé ailleurs qu'un obus
    incorpore aussi des mathématiques \citep[112, 122]{me96}. Je les
    appelais “mathématiques rattachées”, qui “cessent d'être des
    mathématiques dans la signification disciplinaire du mot,
    c'est-à-dire qu'elles sont le processus effectif de calculs
    complexes et de constructions à des fins extra-mathématiques”
    \citep[91]{me96}. [\citet[page 287]{me04}, ma traduction]
  \end{quotation}
  Les mathématiciens d'aujourd'hui ont en général un souvenir très
  vague des recherches illustrées par ces modèles: même les
  spécialistes de géométrie différentielle ou des surfaces algébriques
  ignorent presque tout des surfaces exposées ici. Ils sont intéressés
  par d'autres aspects de concepts analogues plus généraux: «~la
  connaissance de “détails”~», diraient-ils, «~ne nous intéresse
  pas.~» Richard \citet[page~9, ma traduction]{baldus21} l'a exprimé
  ainsi.
\begin{quotation}
  [\dots{}] l'intuition intérieure travaille en chaque instant au
  service d'une pensée très précise, n'examine jamais à l'aveuglette,
  elle vise toujours une propriété spatiale donnée. Le modèle
  mathématique ne peut pas en tenir compte; il montre ainsi plus qu'on
  ne désire dans l'ensemble et trop peu dans le détail.

\dotfill\smallskip

Dans l'ensemble, les modèles mathématiques auront de la valeur pour
l'éveil de certaines représentations abstraites-intuitives,
particulièrement de l'apprenant; ils sont le matériau sur lequel
l'esprit peut s'exercer en vue des figures [seulement pensées et] non
tracées. Dès qu'ils ont atteint ce but, ils sont devenus superflus,
ils gênent même l'expert dans ses considérations abstraites, quand
bien même il s'y laisse guider par l'intuition.
\end{quotation}

% Überhaupt arbeitet , wie schon oben erwähnt , die innere ung in jedem Augenblick im Dienst eines ganz bestimmten Gedankens , betrachtet nie planlos , sondern immer auf eine bestimmte räumliche Eigenschaft hin . Das mathematische Modell kann darauf nicht sicht nehmen und zeigt daher im ganzen mehr , als man wünscht , im einzelnen zu wenig . 
% Im ganzen werden mathematische Modelle , besonders für den nenden , zur Erweckung bestimmter abstrakt - anschaulicher Vorstellungen von Wert sein , sie sind das Material , an dem sich der Geist für die bereits erwähnten , nicht gezeichneten Figuren schulen kann . Sobald sie aber diesen Zweck erreicht haben , sind sie überflüssig geworden , ja sie stören sogar den Geübten in seinen abstrakten Überlegungen , auch wenn er sich dabei von der Anschauung die Wege weisen läßt .

\section{Les catalogues Brill, Dyck et Schilling.}
\label{sec:les-catalogues}


L'identification de nos modèles a été faite à partir de la septième
édition du \emph{Catalogue de modèles mathématiques pour
  l'enseignement supérieur des mathématiques} \citep{sc11}, qui contient une brève description de
chaque modèle en deux fois. Dans la première partie, il apparaît comme n\up{o} d'une des séries I~à~XL rangées par ordre chronologique d'édition; la deuxième partie, \emph{Classement des modèles selon leur affinité objective}, donne sous un numéro allant de \textbf{1} à \textbf{377}   
\begin{itemize}
\item le titre du modèle et un descriptif mathématique;
\item les dimensions;
\item le concepteur du modèle ainsi que l'initiale du professeur à
  l'initiative du modèle: ce sont surtout, outre Brill, Schilling et Klein,
  Walther Dyck, Hermann Schwarz et Hermann Wiener;
\item son prix: le premier modèle, qui est parmi les plus chers, coûte
  de l'ordre du dixième du salaire mensuel d'un professeur titulaire
  et de l'ordre du salaire mensuel moyen de l'époque \citep[voir][Anlage~1]{sgb90};
\item parfois, une gravure sur bois (celle du modèle \textbf{96} est signée): elle est
  alors reproduite ici.
\end{itemize}

Voici les prédécesseurs de ce catalogue:
\begin{itemize}
\item Catalogues de la maison Ludwig Brill recensés par le
  \emph{Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik}: \cite{brill81,
    brill82, brill85, brill88}.
\item Cinquième édition \cite{brill92} de ce catalogue ainsi que la
  collection \cite{brill} des explications livrées avec les modèles,
  mentionnées dans le catalogue de la salle de lecture mathématique de
  l'université de Göttingen de \citet{Hieme1907}.
\item Catalogue de l'exposition prévue pour l'assemblée de la Société
  allemande des mathématiciens à Nuremberg en 1892, annulée pour des
  raisons de santé publique, mais qui aura eu lieu en 1893 à Munich:
  \citet{dy92} y classe les groupes de modèles par thématique et leur
  donne un numéro courant. Il y est fait mention d'un
  \emph{Specialkatalog}, qui doit être le catalogue de Brill
  ci-dessus. Le \emph{Rapport introductif} de \citet{dyck94}
  contient une description de cette exposition. Voir aussi
  \cite{hashagen99,hashagen03}.
  % L'édition en facsimilé de 1994 contient quelques photos et propose
  % une introduction historique par Joachim Fischer.
\item Catalogue de l'exposition mathématique à l'exposition
  universelle de Chicago en 1893: \cite{DyckW1893}, version réduite du
  précédent. Les actes du congrès mathématique international tenu en
  marge de l'exposition universelle contiennent une introduction à
  cette exposition par \citet{dyck96}.
\item Catalogues de la maison Martin Schilling recensés par le
  \emph{Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik}:
  \cite{schilling00, schilling03}.
\end{itemize}

\begin{center}
  \begin{adjustwidth}{-10mm}{-10mm}
    \centering\includegraphics[width=19cm]{munich-1893}
  \end{adjustwidth}
    \captionof{figure}{Salle de géométrie de l'exposition des modèles mathématiques et
      mathématico-physiques à l'Université technique de Munich en 1893
      (Deutsches Museum, Bildstelle).}
\end{center}
\section{Les collections.}
\label{sec:les-collections}

De nombreuses universités et de nombreux musées possèdent des
collections de modèles de la maison Brill\slash Schilling. Je ne cite
que celles qui ont fait l'objet d'une publication ou d'un site
internet.
\begin{itemize}
\item Collections allemandes: voir \cite{deutschland}.
\item Collections américaines: voir \cite{kidwell96}.
\item Collections italiennes: voir \cite{palladino}.
\item Institut Henri Poincaré: voir \cite{poincare,brette00,cdn01,laraby12,apery12}.
\item MIT: voir \cite{vc07}.
\item Université de Coimbra: voir \cite{tenreiro,simoestenreiro13}.
\item Université de Dresde: voir \cite{lordick}.
\item Université de Groningue: voir \cite{polozalm,polo07}.
\item Université de Göttingen: voir \cite{goettingen}.
\item Université de Halle: voir \cite{richtersommer,richter08}.
\item Université de Harvard: voir \cite{knill06,design12}.
\item Université de l'Illinois: voir \cite{illinois}.
\item Université de Jérusalem: voir \cite{levin13}.
\item Université de Marbourg: voir \cite{agricola13}.
\item Musée national de la science et de la technologie ``Léonard de Vinci'' à Milan: voir \cite{milano}. 
\item Université de Naples: voir \cite{carbonecardonepalladino99}.
\item Université de Pavie: voir \cite{olivati01}.
\item Université de Saragosse: voir \cite{blp12}.
\item Université de Tucson: voir \cite{arizona}.
\item Université de Turin: voir \cite{todescoferrarese,ferraresepalladino98,ferrarese04}.
\item Université de Vienne: voir \cite{stachel12,fendt10,rabl10}.
\end{itemize}


\section{Besançon et les modèles mathématiques.}
\label{sec:besancon-et-les}

\subsection{Tentative d'histoire de la collection.}
\label{sec:tent-dhist-de}

Les modèles appartiennent au Laboratoire de mathématiques de Besançon
où ils étaient un peu négligemment exposés dans la salle de
convivialité et dans la bibliothèque.  On témoigne que l'algébriste
François Châtelet était encore sensible aux mathématiques incarnées par ces modèles dans les années 1970. Ils y sont
arrivés du Laboratoire de mécanique rationnelle qui lui a été
incorporé en 1966; ils y décoraient déjà la bibliothèque.

La collection était auparavant à l’Institut de chronométrie %situé avant 1966
dans les bâtiments de l’École d’horlogerie, exposée dans une vitrine du bureau
de son directeur Pierre Mesnage. Jules Haag, fondateur et premier
directeur de l'institut, décrit dans le deuxième tome
\citep{HaagJ1921} de son \emph{Cours complet de mathématiques
  spéciales} consacré à l'étude des courbes et des surfaces, beaucoup
des concepts illustrés par les modèles.

Deux raisons indiquent que ces modèles ont été achetés dès le 19\ieme\
siècle: leurs étiquettes sont au nom de Brill et sont donc antérieures
au changement de direction en 1900; tous ont été édités entre 1877,
date de fondation de l'entreprise, et 1886. Il est même plausible que
leur achat ait été groupé, par exemple à l'occasion de l'installation
d'un professeur dans sa chaire. À cette époque, deux chaires de la
faculté des sciences de Besançon pouvaient s'intéresser à ces modèles:
celle de \emph{Mathématiques pures}, occupée par Victor-Zéphirin
Elliot entre 1877 et 1894, et qui la renomme \emph{Calcul différentiel
  et intégral}, et celle de \emph{Mathématiques appliquées}, occupée
par Louis Saint-Loup de 1872 à 1881, date à laquelle elle prend le nom
de \emph{Mécanique rationnelle et appliquée}. Elle sera occupée deux
ans par Louis-Jules Gruey, puis deux ans par Gabriel Koenigs, puis deux ans
par Jules Molk (après trois années comme chargé de cours), avant d'être reprise par Louis Saint-Loup jusqu'en
1901.

L'exemplaire du catalogue de la Fabrique de modèles pédagogiques de
Jakob Peter \citet{Schro1877} à la bibliothèque universitaire de Besançon
contient deux correspondances du 5 et du 9 janvier 1878 adressées par
son auteur en réponse à deux lettres du 2 et du 5 janvier, dans
lesquelles Saint-Loup a montré son intérêt pour les modèles de pistons
699, 700 et 701. Le hasard veut que cette maison soit de Darmstadt
comme la maison Brill, de sorte que ces lettres prouvent le commerce
de modèles mécaniques à cette époque. De plus, la deuxième thèse de Saint-Loup,
\emph{Sur les lignes géodésiques}, est en géométrie. Mais le choix des
modèles correspond davantage aux intérêts scientifiques d'Elliot et
encore plus à ceux de Koenigs. Ce dernier évoque d'ailleurs un
modèle mécanique élaboré à Besançon en 1886 dans
\citet{darbouxkoenigs89}.

\subsection{Description de la collection.}
\label{sec:description-de-la}


La collection du Laboratoire de mathématiques
de Besançon comporte deux types d'objets:
  \begin{itemize}
  \item des structures de fils de soie parfois de différentes couleurs
    tendus sur des cadres de laiton pour représenter des surfaces
    réglées --~dans certains modèles, les fils sont
    attachés par un bout et tendus par un poids attaché à l'autre
    bout;
  \item des plâtres pour représenter des surfaces: lorsque celles-ci
    ont des points singuliers, des fils de fer sont nécessaires pour
    articuler les morceaux de plâtre. Des lignes
    distinguées de différentes couleurs étaient tracées à la surface
    des plâtres. Leur signification était explicitée dans des
    brochures accompagnant les modèles, mais la couleur et les
    brochures ont disparu. Ces brochures ont été rassemblées et
    publiées séparément dans \cite{schilling04}.
  \end{itemize}
Chaque objet portait une étiquette à l'origine: il n'en reste la plupart du temps qu'un fragment ou des traces de colle, voire rien.
 
Voici une liste des concepts illustrés par les modèles exposés: 
  \begin{itemize}
  \item surfaces algébriques du 2\up{nd} degré, appelées \emph{quadriques}: un modèle variable de l'hyperboloïde;
  \item surfaces algébriques du 3\ieme\ degré, appelées \emph{cubiques}: sept modèles;
  \item surfaces algébriques du 4\ieme\ degré, appelées
    \emph{quartiques}: cyclides (quatre modèles), surface de Kummer, voûte bohémienne, surfaces réglées (trois modèles);
  \item surfaces \emph{hélicoïdales}: un modèle représente un serpentin;%e hélice tubulaire;
  \item surfaces qui illustrent des concepts de la géométrie différentielle:
    \begin{itemize}
    \item \emph{lignes de courbure}: deux modèles;
    \item courbes \emph{asymptotes} et \emph{paraboliques} sur les surfaces: trois modèles;
    \item surfaces de \emph{courbure négative constante} et à ce titre
      modèles de la géométrie non euclidienne: deux modèles;
    \item surfaces de \emph{courbure moyenne constante};
    \end{itemize}
  \item \emph{fonctions d'une variable complexe}: modèle de la fonction $6 w = e^{1/{6z}}$ et cinq modèles des fonctions \emph{doublement périodiques}~$\wp$ de Weierstrass;
  \item \emph{figures d'équilibre} en mécanique;
  \item \emph{trajectoires} en cinématique;
  \item \emph{fronts d'onde} en optique.
  \end{itemize}

\begin{schilling}
  \noindent[Tous les textes encadrés sont des descriptions des modèles
  extraites du \emph{Catalogue de modèles mathématiques pour
    l'enseignement supérieur des mathématiques} \citep{sc11} de Martin
  Schilling.]\bigskip

  \hfil\textbf{\so{Erklärung} der nachfolgend gebrauchten \so{Abkürzungen}.}

  \begin{enumerate}
  \item Die der laufenden Nummer in Klammern beigefügten Zahlen
    geben die Serie und Nummer aus dem \so{ersten Teil} des Katalogs
    an. Die Klammer am Schluß enthält die Größe des Modells in cm.
  \item Das Zeichen~\up{o} an der laufenden Nummer bedeutet, daß das
    Modell nicht einzeln abgegeben wird, sondern nur mit den anderen
    Modellen derselben Serie oder Gruppe zusammen.
  \item Die Buchstaben (B), (D), (K), (S), (W), (Sg) bedeuten:
    hergestellt unter Leitung oder auf Anregung von Prof.\ \so{Brill},
    jetzt in Tübingen, Prof.\ \so{Dyck} in München, Prof.\ \so{Klein},
    jetzt in Göttingen, Prof.\ \so{Schwarz}, jetzt in Berlin,
    \textdagger\ Geh.\ Hofrat \so{Wiener} in Karlsruhe, Prof.\ Fr.\
    \so{Schilling}, jetzt in Danzig.
  \item Die Modelle sind, wo nichts
    anderes angegeben ist, aus Gips angefertigt.
  \end{enumerate}
\end{schilling}

\part*{Inventaire de la collection.}

Nous présentons les modèles dans l'ordre exact de la deuxième partie du catalogue \citet{sc11}.
Les références aux modèles indiquent
\begin{itemize}
\item d'abord leur occurrence dans \citet{sc11} par série et n\up{o}
  dans la série avec l'indication de l'année d'édition, puis dans la
  deuxième partie du catalogue;
\item puis leur occurrence dans \citet{dy92} par numéro courant et la
  référence au \emph{Specialkatalog} si elle est donnée;
\item puis le cas échéant le commentaire mathématique dans \citet{fi86k} par sa page et les photographies 
   dans \citet{fi86b} par leur numéro, et
\item leur occurrence dans le catalogue du MIT par \citet{vc07}.
\end{itemize}
Chaque référence est accompagnée d'un code-barres QR qui renvoie à une
page sur le site \url{http://epiphymaths.univ-fcomte.fr/modeles} proposant des
liens et des ressources.  J'indique aussi dans quelles autres
collections chaque modèle se trouve.


\section{Surfaces quadratiques.}

\subsection{Hyperboloïdes.}

\subsubsection{Modèle variable à fils pour la représentation de l'hyperboloïde à une nappe par ses génératrices, cercles directeurs inégaux.}\label{29}

Ce modèle a subi une rénovation qui le fige dans la position du cône tronqué et rend impossible l'usage qui en était prévu. Deux systèmes de fils étaient attachés aux œillets du cercle directeur supérieur et passaient par des œillets du cercle directeur inférieur. Vingt-deux fils partaient d'un point du cercle supérieur et passaient par des œillets d'un segment tangent au cercle inférieur. Tous ces fils étaient tendus par des poids, de sorte que le modèle était variable.

Dans une position moyenne, les deux systèmes de fils représentent un
même hyperboloïde; si on tourne le cercle supérieur, ils en forment
deux.  Lorsqu'on met les cercles directeurs en position parallèle et
qu'on tourne celui du haut, le modèle parcourt une série de formes
d'hyperboloïdes dont les formes limites sont un cône tronqué et un
cône à deux nappes. Si les cercles directeurs sont en position
horizontale par rapport au modèle, ce sont des hyperboloïdes de
révolution; si leurs plans font un même angle avec l'horizontale, ce
sont des hyperboloïdes à trois axes.  En inclinant les plans des
cercles directeurs l'un vers l'autre, on engendre des surfaces
quartiques gauches: en voici la définition dans \citet[note 1 page
129]{Salmo1882}:
\begin{quotation}
  Une surface engendrée par le mouvement d'une droite s'appelle une surface \emph{réglée}. Si chaque génératrice est coupée par la génératrice immédiatement consécutive, la surface réglée est dite \emph{développable}. S'il n'en est pas ainsi, on la nomme surface \emph{gauche}. 
\end{quotation}
% Les vingt-deux fils représentent le plan tangent qui parcourt les positions du paraboloïde hyperbolique tangent à la surface extérieure.

\references{18}
  \citeauthor[série~IV (1879) \no3 pages~9-10 et \textb{18}
  page~113]{sc11}. \citeauthor[\textb{158} \textit{Specialkatalog~13} pages~259-260]{dy92}. 
% \begin{specialkatalog}
%  pag.\ 7~et~58.
% \end{specialkatalog}
\citeauthor[page~3, photographie~6]{fi86k}: modèle avec cercles directeurs égaux.


\collections
\qr{18c}{Coimbra}{http://www.mat.uc.pt/~tenreiro/GGSchilling/S-04-03.jpg},
\qr{18v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=73}.


\begin{schilling}
\textb{17. } (IV,~2.) Veränderliches \textb{Fadenmodell 
zur Darstellung des einschaligen Hyperboloids} 
aus seinen Erzeugenden.

Stellt man die Leitkreise parallel und 
dreht den einen, so durchläuft das Modell 
eine Reihe von Hyperboloid-Formen vom 
Cylinder bis zum Kegel als Grenzfall. Bei 
horizontaler Lage der Leitkreise sind es 
Umdrehungshyperboloide, bei geneigter dreiaxige. 

Wenn man die Ebenen der Leitkreise 
\so{gegeneinander} neigt, so entsteht eine 
windschiefe \so{Fläche 4.~Ordnung}. 

Diejenige Linienfläche, welche die an dem 
Modell angegebenen Kreistangenten zu Leitlinien hat, ist ein \so{Paraboloid}, das mit 
der durch die Leitkreise dargestellten Fläche 
zwei consecutive Erzeugende gemeinsam hat 
(vergl.\ Salmon-Fiedler, Raumgeometrie, 2.~Teil, Art.~206). Beschreibung im 1.~Teil, 
IV.~Serie Nr.~2. (B). ($22\times55$~cm.)\dotfill Mk.~85.--.
 
Dasselbe mit zwei Scharen von Erzeugenden\dotfill Mk.~90.--.

\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml3\else1\fi]{18}
  \captionof{figure}{Hyperboloïde à une nappe.}
\end{gravure}
\textb{18. } (IV,~3.) \textb{Wie vorstehend,} nur sind die 
Leitkreise ungleich, die beiden Scharen 
der Erzeugenden durch Faden dargestellt, die 
beiden Grenzlagen Kegel. Beschreibg.\ Teil~I.\ 
Serie~IV.\ Nr.~3 (B). ($22,5\times50$~cm.)\dotfill Mk.~90.--. 
\end{schilling}

\section{Courbure et indicatrice de Dupin}
\label{sec:interm-courb-et}

Avant de nous intéresser aux surfaces d'ordre supérieur, je vais essayer de décrire les concepts relatifs à la courbure d'une surface à la manière du 19\ieme\ siècle.

Considérons le plan tangent à un point de la surface. S'il a un
contact d'ordre~2 avec la surface, on dit qu'il l'oscule, que le point
est \emph{parabolique} et que la courbure y est \emph{nulle}. Le lieu
de ces points est la \emph{courbe parabolique} de la surface.  Sinon,
considérons un plan parallèle au plan tangent qui lui soit infiniment proche et supposons qu'il
coupe la surface: son intersection est une conique
appelée \emph{indicatrice}, introduite par \citet{Dupin1813}.

La surface est de courbure négative si et seulement si c'est une
hyperbole; les deux asymptotes de cette hyperbole rapportée sur le
plan tangent sont alors les \emph{tangentes asymptotes} de la
surface. Les \emph{courbes asymptotes} d'une surface sont les courbes
de la surface dont ce sont les tangentes. Intuitivement, il s'agit des
courbes de la surface qui sont le moins
courbées. %on dit qu'elles sont «~de courbure normale~» nulle.
Par exemple, si la surface est un hyperboloïde à une nappe, ses
courbes asymptotes sont les droites de cette surface
gauche.

La surface est de courbure positive si et seulement si l'indicatrice
est une ellipse. Si c'est un cercle, le point est un
\emph{ombilic} de la surface.

En tout point qui n'est ni parabolique ni un ombilic, les deux axes de
la conique rapportée sur le plan tangent sont les \emph{tangentes de plus
grande et de moindre courbure}, qui sont toujours orthogonales. % Les
% \emph{courbures principales} sont les demi-axes de la conique, dont la
% moyenne est appelée \emph{courbure moyenne}. 
Les \emph{lignes de courbure} d'une surface sont les courbes de la surface dont
les uns ou les autres axes sont les tangentes. Intuitivement, il s'agit des courbes
de la surface de courbure extrémale.
%  Les \emph{lignes de moindre
  % courbure} sont les courbes dont les deuxièmes sont les tangentes.

\section{Surfaces algébriques cubiques.}

\subsection{Surfaces cubiques non réglées.}

La 7\ieme\ série de modèles de Brill a été conçue par Carl \citet{ro79},
élève d'Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces
cubiques, à la suite des travaux de Felix \citet{kl73}.

Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme~$f$
de degré~3.  On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes
pour définir une surface algébrique, c'est-à-dire qu'on remplace les
trois coordonnées d'espace $x$, $y$~et~$z$ apparaissant dans le
polynôme~$f$ par $x_1/x_0$, $x_2/x_0$ et $x_3/x_0$, et qu'on multiplie
l'expression obtenue par~$x_0^3$, ce qui donne un polynôme homogène.

La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est
\emph{double} si toutes les dérivées du polynôme s'y annulent: le
développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l'ordre~2
ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu'il définit un cône s'il est non nul:
c'est pourquoi on parle de \emph{point conique}, noté~$C$. Mais si le développement limité se factorise,
le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point
\emph{biplanaire}, noté~$B$; s'il se factorise en un
carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point
\emph{uniplanaire}, noté~$U$.

La classe d'une surface cubique est le nombre de points de la surface
tangents à un faisceau de plans générique: il est de~12 si la surface
ne contient pas de points doubles; l'indice des lettres $C$,
$B$~et~$U$ indique de combien d'unités la classe est diminuée par la
singularité considérée.

Dans sa thèse, \citet{polo07} fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. \citet{le11} propose une approche historique.

\subsubsection{Surface diagonale de Clebsch.}\label{15}

La surface diagonale peut être considérée comme représentante de
toutes les surfaces cubiques génériques, c'est-à-dire sans point
double, au sens où celles-ci peuvent être obtenues à partir de
celle-là par un processus de déformation tout au long duquel
n'apparaît jamais de point double.

On peut définir cette surface de manière très symétrique comme
l'intersection de la surface cubique dans l'espace à quatre dimensions
donnée par $x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0$ avec l'hyperplan donné
par $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=0$. Toute la surface est courbée
négativement, mis à part un nombre fini de points paraboliques, ce qui rend cette surface beaucoup moins générique.

Voici comment \citet[page 26]{klein98} décrit le principe qui a présidé à la conception du modèle:
\begin{quotation}
  Nous pouvons énoncer ici comme une règle générale que, lorsqu'on
  choisit un cas particulier en vue de la construction d'un modèle, la
  première chose requise est la régularité. Si l'on choisit pour le
  modèle une forme symétrique, non seulement l'exécution en est
  simplifiée, mais encore, ce qui a plus d'importance, le caractère du
  modèle s'imprimera plus aisément dans l'esprit.
\end{quotation}

Isabelle Fortuné considère que ce modèle est le sujet de la
photographie de Man Ray publiée dans \cite[page~9]{ze36} avec la
légende «~Surface réglée~» (sic!): elle écrit à ce sujet qu'il
«~semble en effet avoir reconnu, et recherché dans ces objets
mathématiques, des possibilités de suggestion figurative, et surtout,
les avoir parfois créées de toutes pièces, comme dans la “Surface
cubique des 27 droites”, par l'opposition des zones d'ombre et de
lumière et le choix de l'angle de prise de vue.~» \citep[page~110]{fo99}.  Gabriele Werner arrive à la même conclusion:
«~la reconnaissance est rendue difficile par le fait que Man Ray a pris
cette de surface “de derrière”, avec une vue plongeante extrême, de
sorte que les trois “singularités de surface” qui se dressent de
manière ovale sont raccourcies et paraissent plus pointues, et donnent
un effet plus trapu à l'objet tout entier~» \citep[page~124, ma
traduction]{we02}. Mais la comparaison montre que ces deux auteurs se trompent: il
faudra continuer à chercher le sujet de cette photographie à
l'Institut Henri Poincaré et au Palais de la découverte.

Les lignes tracées à la surface représentent les 27 droites des
surfaces cubiques lisses. Il y a 72~manières de choisir parmi elles
6~droites non coplanaires deux à deux: un choix a été noté 1, 2, 3, 4,
5, 6 sur le plâtre. Il existe alors un seul ensemble de 6~autres
droites non coplanaires deux à deux, notées $1'$, $2'$, $3'$, $4'$,
$5'$, $6'$ telles que chaque droite~$i$ rencontre toutes les droites~$j'$
sauf~$i'$. Cette configuration est appelée «~double six de Schläfli~». Il reste alors 15~autres droites sur la surface: notées~$ij$ avec $i\ne j$, chacune
rencontre $i$, $i'$, $j$ et $j'$; elles étaient à l'origine de
couleur rouge pour les distinguer des 12 autres. 

Notons que le modèle gauchit ces droites, ce qui a incité Claus
Michael Ringel à commissionner un nouveau plâtre  à
Friedhelm \citet{ku13}, sur lequel les droites sont réellement droites.

Ce modèle a été photographié en 2004 par Hiroshi \citet{sugimoto04}: \emph{Diagonal Clebsch surface, cubic with 27 lines}, sous-titre $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=0$, $x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0$, $(x_0:x_1:x_2:x_3:x_4)\in\R P^4$.

\references{44}
  \citeauthor[série~VII (1881) \no1 pages~14-16 et \textb{44}
  page~116]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~30}
  pages~263-264]{dy92}. \citeauthor[pages~10-12, photographies~10-12]{fi86k}. \citeauthor[modèle~17,
  pages~49-50]{vc07}. \cite{vidiani06}. Institut Henri Poincaré, 19 (\citeauthor[128?]{belgoderemaillard50}). \citeauthor[gruppo~C N.~1]{campedelli52}.


\collections
  \qr{44go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=135},
  \qr{44hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A3-001},
  \qr{44hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1075.jpg},
  \qr{44hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1076.jpg},
  \qr{44hr3}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-06-004.JPG},
  \qr{44hr4}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-07-008.JPG},
  \qr{44it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vii 1.htm},
  \qr{44m}{MIT}{http://mail.lesley.edu/faculty/ftvierli/models/images/slides/Clebsch Diagonal Cubic.html},
  \qr{44p}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/~olivati/III-1/III-1.html},
  \qr{44pv}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/PorteAperte/III-1xyz.htm}.
 Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
 \qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00053}, 
 \qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/clebsch.html}.


\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{44}
  \captionof{figure}{Surface diagonale de Clebsch.}
\end{gravure}

\textb{44. } (VII,~1.) Die \textb{Diagonalfläche} mit 27
reellen Geraden (Bezeichnung von Clebsch,
s.~Salmon-Fiedler, Analyt.\ Geom.\ d.\ R.~II.
Art.~289) kann als Repräsentant der allgemeinen~$F_3$ mit 27 reellen Geraden angesehen
werden. Zwar sind von den geradlinigen
Dreiecken, welche die allgemeine Fläche
enthält, auf dieser Fläche 10~in Punkte zusammengeschrumpft.
Hiermit zugleich sind
die diesen Dreiecken einbeschriebenen 10~Ovale der „parabolischen“ Curve (derjenigen
Curve auf der Fläche, welche die Partien
positiver Krümmung von denen negativer
trennt) auf Punkte (Ovalpunkte) reduciert.
---~Aber mit Hilfe eines Deformationsprocesses,
dem eine Constanten-Änderung der
Flächengleichung parallel läuft, lässt sich
aus der Diagonalfläche die (nicht so übersichtlich
darstellbare) allgemeine Fläche leicht
ableiten.

Solche Deformationsprocesse sind es überhaupt,
die nicht nur von den hier vorliegenden
Haupttypen zu allen möglichen
Formen von Flächen dritter Ordnung hinführen,
sondern auch den Zusammenhang
zwischen den einzelnen Typen der Serie
herstellen.

Die 15 roten Geraden besitzen je zwei
reelle Asymptotenpunkte, d.~h.\ unter den
Kegelschnitten, nach welchen alle durch
eine solche hindurchgehenden Ebenen die
Fläche schneiden, befinden sich 2 reelle,
diese Gerade in den vorhin genannten Punkten
berührende. Die 12 weissen Geraden
bilden eine Doppelsechs, auf ihnen sind die
Asymptotenpunkte imaginär. Mit Ausnahme
der Ovalpunkte und der erwähnten Asymptotenpunkte
ist die ganze Fläche negativ
gekrümmt, ($15\times24$~cm.)\dotfill Mk.~25.--.
\end{schilling}

\subsubsection{Surface avec un point double biplanaire~\texorpdfstring{$B_4$}{B4} avec une paire de plans principaux imaginaires et de plus deux points doubles coniques~\texorpdfstring{$C_2$}{C2}.}\label{11}

La «~ligne de crête~» passant par le point double était tracée en vert; c'est la droite d'intersection des plans principaux imaginaires. La «~ligne de base~» était tracée en rouge et relie les deux points doubles imaginaires. Ces deux lignes sont de multiplicité~4. La surface est de courbure négative.
%Je crois que c'est VII,~13, 

\begin{schilling}
% % \textb{53. } (VII,~10.) \textb{Fläche mit einem biplanaren
% % Knoten $B_3$}, dessen 2 Tangentialebenen (auch
% % Hauptebenen genannt) \so{reell} sind und der
% % die Klasse um 3 erniedrigt.
%
% % Ausser den 6 durch den $B_3$ gehenden,
% % dreifach zählenden Geraden (rot), existieren
% % noch 9 unäre (s.~oben) Gerade (weiss), wovon
% % 5 reelle, 4 imaginäre Asymptotenpunkte besitzen.
% % Die \so{parabolische Curve} besteht
% % aus einem paaren Zug mit 4 Schleifen und
% % 2 Ovalen. $B_3$~ist ein achtfacher Punkt derselben,
% % es gehen aber nur 4 reelle Äste durch ihn
% % hindurch, welche zu je zweien die beiden
% % Hauptebenen, nicht aber die \so{Knotenstrahlen}
% % berühren, die in denselben liegen. Die
% % Fläche veranschaulicht die Entstehung des~$U_6$ aus dem~$B_3$ durch Vereinigung seiner
% % Ebenen. ($10\times15$~cm.)\dotfill Mk.~10.--.
%
% % \textb{54. } (VII,~11.) \textb{Fläche mit einem biplanaren
% % Knoten $B_3$}, dessen Hauptebenen \so{conjugiert}
% % imaginär sind.
%
% % Die \so{parabolische Curve}, welche im
% % Allgemeinen bei Flächen mit einem solchen
% % Knoten eine aus 3~reellen Ovalen bestehende
% % Curve zwölfter Ordnung mit einem isolierten
% % achtfachen Punkt im Knoten ist, degeneriert hier in eine ebene Curve dritter
% % Ordnung und eine Raumcurve neunter Ordnung.
% % Die Fläche enthält nur noch 3~reelle
% % unäre Gerade mit reellen Asymptotenpunkten.
% % ($12\times15$~cm.)\dotfill Mk.~10.--.
%
%
% % \qr{G}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie7_nr12.html}.
%
% % \textb{55. } (VII,~12.) \textb{Fläche mit einem biplanaren,}
% % die Klasse um 4 erniedrigenden \textb{Knoten}~$B_4$,
% % mit \textb{reellem} Hauptebenenpaar und ausserdem
% % noch 2 reellen conischen Knoten~$C_2$.
% % Diejenigen beiden grünen Geraden, welche $B_4$~mit je einem der~$C_2$ verbinden, zählen
% % achtfach; die dritte grüne Gerade, in der
% % sich die Hauptebenen von~$B_4$ schneiden,
% % sechsfach; der rote Knotenstrahl vierfach;
% % die weisse Gerade ist unär und enthält 2~reelle Asymptotenpunkte. Der zwischen den
% % 3~Knoten gelegene Flächenteil ist (mit Ausnahme
% % von Punkten parabolischer Krümmung)
% % positiv gekrümmt. ($13\times15$~cm.)\dotfill Mk.~11.--.
%
\textb{56. } (VII,~13.) \textb{Fläche mit einem biplanaren,}
die Klasse um 4 erniedrigenden \textb{Knoten}~$B_4$
mit \textb{imaginärem} Hauptebenenpaar und ausserdem
noch 2 imaginären conischen Knoten~$C_2$.

Ausser der durch~$B_4$ gehenden vierfach
zu rechnenden Geraden (grün), nach welcher
sich die beiden imaginären Hauptebenen
daselbst schneiden, liegt noch eine die 2~imaginären Knoten verbindende vierfach
zählende Gerade (rot) und, unendlich fern,
die beiden eben genannten schneidend, eine
unäre Gerade auf ihr. Die Fläche ist negativ
gekrümmt. ($13\times16$~cm.)\dotfill Mk.~10.--.
\end{schilling}

\references{56}
  \citeauthor[série~VII (1881) \no13 pages~14-16 et \textb{56}
  page~118]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~42}
  pages~263-264]{dy92}. \citeauthor[pages~12-14, photographie~23]{fi86k}. \citeauthor[modèle~18, pages~51-52]{vc07}. Institut Henri Poincaré, 18 (\citeauthor[143?]{belgoderemaillard50}). \citeauthor[gruppo~C N.~13]{campedelli52}.


\collections
\qr{56go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=147},
\qr{56hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A3-013},
\qr{56hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1065.jpg},
\qr{56hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-02-003.JPG},
\qr{56it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vii 13.htm}.
  Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
\qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00021},
\qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/s13.html}.


\subsubsection{Surface avec un point double uniplanaire~\texorpdfstring{$U_6$}{U6} dont le plan principal coupe la surface en trois droites.}\label{26}

Les trois droites passant par le point double étaient tracées en rouge et sont de multiplicité~8. Il reste les trois droites de «~base~», restées blanches. Toute la surface est courbée négativement, mis à part le point de rencontre de ces trois droites, où la courbure est nulle.\medskip 

\begin{schilling}
\textb{59. } (VII,~16.) \textb{Fläche mit einem uniplanaren,} die Klassenzahl um~6 reducierenden 
 \textb{Knoten}~$U_6$, dessen Hauptebene die Fläche 
in~3 achtfach zählenden roten Geraden 
schneidet. 

Sie entsteht aus Nr.~51 durch Zusammenziehen der 3~Knotenpunkte in den~$U_6$; die 
3~unären Geraden von Nr.~51 bleiben dabei 
erhalten und besitzen ebenfalls reelle Asymptotenpunkte. Im Allgemeinen besitzt eine 
solche Fläche eine parabolische Curve sechster Ordnung, welche die Form eines die 3~unären Geraden berührenden Ovals besitzt. 
Weil aber auf dem vorliegenden Modell 
diese 3~Geraden sich schneiden, verschwindet dieses Oval und die Fläche ist negativ 
gekrümmt. ($12\times15$~cm.)\dotfill Mk.~11.--. 
\end{schilling}

\references{59}
  \citeauthor[série~VII (1881) \no16 pages~14-16 et \textb{59}
  page~118]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~45}
  pages~263-264]{dy92}. \citeauthor[pages~12-14, photographie~28]{fi86k}. Institut Henri Poincaré, 7 (\citeauthor[146?]{belgoderemaillard50}). \citeauthor[gruppo~C N.~16]{campedelli52}.


\collections
\qr{59gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie7_nr16.html},
\qr{59hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A3-017},
\qr{59it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vii 16.htm}.
 Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
\qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00029},
\qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/s16.html}.



\subsubsection{Surface avec un point double uniplanaire~\texorpdfstring{$U_7$}{U7}.}\label{26bis}

Le point double se trouve dans un plan qui est tangent à la surface le long d'une droite de multiplicité~16 qui était tracée en~vert, et qui la rencontre selon une droite de multiplicité~10 qui était tracée en rouge. Le plan tangent à la surface selon cette droite rencontre encore la surface selon une deuxième droite. On a tracé de plus la courbe parabolique, qui a un point de rebroussement en le point double de tangente la droite verte.\medskip

\begin{schilling}
\textb{61. } (VII,~18.) \textb{Fläche mit einem uniplanaren,}
die Klasse um~7 reducierenden \textb{Knoten}~$U_7$, dessen Tangentialebene die Fläche längs
der sechzehnfach zählenden grünen Geraden
berührt und nach der zehnfachen roten
schneidet.

Die Tangentialebene längs der letzteren
Geraden enthält die einzige unäre Gerade
der Fläche mit 2~reellen Asymptotenpunkten.
Die parabolische Curve ist, von den dazu
gehörigen Geraden abgesehen (grüne sechsfach,
rote doppelt), eine Curve vierter
Ordnung, welche aus einem einzigen Oval
besteht und in~$U_7$ eine Spitze mit den
grünen Geraden als Tangente daselbst besitzt.
Durch diese Fläche findet der Übergang
von Nr.~59 zu 60 statt. ($12\times15$~cm.)\dotfill Mk.~10.--.
\end{schilling}

\references{61}
  \citeauthor[série~VII (1881) \no18 pages~14-16 et \textb{61}
  pages~118-119]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~47}
  pages~263-264]{dy92}. \citeauthor[pages~12-14, photographie~30]{fi86k}. \citeauthor[gruppo~C N.~18]{campedelli52}.


\collections
\qr{61gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie7_nr18.html},
\qr{61hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A3-019},
\qr{61it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vii 18.htm}.
 Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
\qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00031},
\qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/s18.html}.




\subsubsection{Surface avec un point double uniplanaire~\texorpdfstring{$U_8$}{U8}.}\label{32}

Le plan tangent à la surface en le point double est en fait un plan \emph{osculateur} selon sa seule droite, de multiplicité~27% : le plan a un contact d'ordre~2 avec la surface
. On a aussi tracé le reste de la courbe parabolique, tangent à cette droite en le point double.\medskip

\begin{schilling}
\textb{62. } (VII,~19.) \textb{Fläche mit einem uniplanaren
Knoten~$U_8$,} durch welche die Klassenzahl um 8 vermindert wird.

Die Tangentialebene in~$U_8$ osculiert die
Fläche längs der einzigen siebenundzwanzigfach
zählenden Geraden. Sieht man von
dieser als Teil der parabolischen Curve
zehnfach zu rechnenden Geraden ab, so ist
die parabolische Curve ein Kegelschnitt,
der in~$U_8$ die Gerade der Fläche berührt.
($12\times15$~cm.)\dotfill Mk.~7.50.
\end{schilling}

\references{62}
  \citeauthor[série~VII (1881) \no19 pages~14-16 et \textb{62}
  page~119]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~48}
  pages~263-264]{dy92}. 
  \citeauthor[pages~12-14, photographie~31]{fi86k}. \citeauthor[gruppo~C N.~19]{campedelli52}.


\collections
\qr{62gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie7_nr19.html},
\qr{62hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A3-020},
\qr{62it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vii 19.htm}.
 Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
\qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00032},
\qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/s19.html}.



\subsubsection{Surface hessienne pour les  modèles VII,~2 et VII,~5.}\label{4}

Si une surface est donnée par une équation $f=0$, la surface \emph{hessienne} est la surface donnée par l'équation $\mathop{\textrm{dét}}([{\partial^2f}/{\partial x_i\partial x_j}]_{i,j})=0$. 
% $\mathop{\textrm{dét}}\bigl(\bigl[\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\bigr]_{i,j}\bigr)=0$. 
Pour les surfaces cubiques, $f$ est un polynôme homogène en 4~variables de degré~3: ces dérivées sont linéaires et la surface hessienne est donc du 4\ieme\ degré.

Ici, il s'agit de la surface hessienne correspondant à la
surface VII,~2 décrite en~\ref{30}. Elle contient 16~droites, dont six, tracées en rouge,
sont aussi les droites qui relient les points doubles de la
surface  VII,~2; les dix autres étaient tracées en vert et sont aussi
les arêtes du \emph{pentaèdre} qui est à la base de la classification de
Rodenberg.\medskip


\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{64}
  \captionof{figure}{Surface hessienne pour le modèle VII,~2.}
\end{gravure}

\textb{64. } (VII,~24a.) \textb{Hesse'sche Fläche zu
Nr.~45 und 48. }

Sie ist eine Fläche vierter Ordnung mit
14 reellen Doppelpunkten, von denen im
vorliegenden Fall 3 im Unendlichen liegen.
In den 4 Knotenpunkten der Fläche dritter
Ordnung (Nr.~45), welche zugleich der
Hesse'schen Fläche angehören, kommen noch
diejenigen 10 Knoten hinzu, welche in den
10 Eckpunkten des ihr zugehörigen Pentaeders
liegen; 6 davon sind die Schnittpunkte
je einer roten und weissen Geraden (3 davon
liegen im Unendlichen). Auf der Hesse'schen
Fläche liegen ferner 16 Gerade, längs welchen je dieselbe Tangentialebene berührt,
10 davon sind die Kanten des der zugehörigen
Fläche dritter Ordnung angehörenden Pentaeders,
die 6 andern sind zugleich die
6 Knotenstrahlen der Fläche dritter Ordnung.
(Wird die obige Fläche als Hesse'sche Fläche
von Nr.~45 angesehen, so sind die roten
Geraden auf ihr die Knotenstrahlen, die
grünen Pentaederkanten, für Nr.~48 verhält
es sich umgekehrt). ($21\times25$~cm.) Mk.~45.--.
\end{schilling}

\references{64}
  \citeauthor[série~VII (1881) \no24a pages~14-16 et \textb{64}
  pages~119-120]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~54}
  pages~263-264]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   Näheres vergl.\ pag.\ 14~und~60 des Specialkataloges von L. Brill.
% \end{specialkatalog}
 \citeauthor[150?]{belgoderemaillard50}.


\collections
\qr{64gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie7_nr24a.html},
\qr{64hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A4-001},
\qr{64it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vii 24a.htm}.

\subsubsection{Partie de la surface précédente.}\label{34}

Ce modèle représente la partie bornée limitée par les points doubles de la surface précédente, agrandie et rendue symétrique par une transformation affine. Il était présenté sur une tige. \medskip


\begin{schilling}
\textb{65. } (VII,~24b.) Der durch die Knotenpunkte
begrenzte endliche \textb{Teil der vorhergehenden
Fläche} vergrössert und regelmässig
angenommen.

Derselbe würde ein Teil der Hesse'schen
Fläche, einer solchen Fläche dritter Ordnung
sein, für welche das Tetraeder der Knotenpunkte
ein reguläres ist und bei der die
Ebene der 3 unären (weissen) Geraden im
Unendlichen liegt. ($13\times16$~cm.)\dotfill Mk.~11.--.
\end{schilling}

\references{65}
  \citeauthor[série~VII (1881) \no24b pages~14-16 et \textb{65}
  page~120]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~55}
  pages~263-264]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   Näheres vergl.\ pag.\ 14~und~60 des Specialkataloges von L. Brill.
% \end{specialkatalog}
 \citeauthor[151?]{belgoderemaillard50}.

\collections
\qr{65gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie7_nr24b.html},
\qr{65hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A4-002},
\qr{65it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vii 24b.htm}.

\section{Surfaces algébriques quartiques.}

Les surfaces quartiques sont les surfaces définies par un polynôme homogène de degré~4. 

\subsection{Cyclides de Dupin.}


Les cyclides de Dupin sont les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont des cercles ou des droites. Elles ont été découvertes par Charles Dupin dans sa thèse de 1803 et il leur consacre un chapitre dans~\cite{du22}. \citet{ma68} a décrit les différentes formes de la cyclide qui ne sont pas des surfaces de révolution: cyclide anneau, cyclide cornée, cyclide croisée, cyclide parabolique. 

Les exemples élémentaires de cyclides sont les \emph{tores}, obtenus par rotation d'un cercle autour d'un axe qui est dans le plan du cercle: si l'axe est à l'extérieur du cercle, c'est un tore \emph{anneau}; s'il lui est tangent, c'est un tore \emph{corné}; sinon, c'est un tore \emph{croisé} (on exclut le cas où l'axe est axe de symétrie du cercle, auquel cas on obtiendrait une sphère). Toute cyclide de Dupin est alors obtenue par inversion d'un tel tore. 
% Notons qu'il existe une définition plus générale de cyclide.

\begin{schilling}
Unter Cycliden im \emph{allgemeinen} Sinn
(nach Darboux) versteht man alle diejenigen
Flächen vierter Ordnung, welche den unendlich fernen imaginären Kugelkreis zur
Doppelcurve haben. Sie sind die Enveloppen
aller Kugeln, deren Mittelpunkte auf einer
Fläche zweiten Grades liegen und eine
gegebene Kugel stets orthogonal schneiden.
Sie besitzen Scharen von Kreisen, die teilweise zugleich Krümmungslinien sein
können; die Krümmungslinien sind im Allgemeinen jedoch höhere algebraische Curven.
Diese Flächen können bis 4~Knotenpunkte
enthalten.

Die Flächen mit 1, 2, 3, 4~Doppelpunkten
erhält man auch durch Transformation
mittelst reciproker Radien beziehungsweise
aus folgenden Flächen zweiter Ordnung:
a)~allgemeine Fläche zweiter Ordnung,
b)~beliebiger Kegel, c)~Rotationsfläche,
d)~Kreiskegel. Da die Krümmungslinien
dabei erhalten bleiben, und Gerade und
Kreise im Allgemeinen in Kreise, Ebenen
und Kugeln in Kugeln übergeführt werden,
so besteht im Falle~b) und~c) das eine
System von Krümmungslinien aus Kreisen,
die sich in 2~Doppelpunkten der Fläche
schneiden, das andere wird durch Kugeln
ausgeschnitten (ist sphärisch). Im Falle~d)
sind die beiden Kreisscharen, welche aus
den Erzeugenden, resp.\ Parallelkreisen des
Rotationskegels sich ergeben, von denen
die ersteren sich in den 2~reellen, die anderen
in den 2~imaginären Knotenpunkten sich
schneiden, zugleich Krümmungslinien. Man
nennt diese letzteren Dupin'sche Cycliden.
Dieselben ergeben sich auch als Enveloppen
aller Kugeln, welche 3 gegebene berühren.
Vergl.\ die Abhandlung von Maxwell in
Quart.\ Journ. of Math.\ Bd.~9, pag.~111, sowie
Salmon-Fiedler, Geometrie des Raumes,
II.~Teil, Art.~318-323 (2.~Aufl.).

\textb{85-91. } \textb{Dupin'sche Cycliden.} Sie wurden
mit Ausnahme von Nr.\ 86, 87 u.~91 von
Assistenten Dr. \emph{P. Vogel} in München
modelliert.~(B).
\end{schilling}

\subsubsection{Cyclide anneau.}\label{28}

La cyclide anneau est obtenue par inversion d'un tore anneau; le centre de l'inversion est à l'extérieur ou à l'intérieur du tore: s'il était sur le tore, la cyclide contiendrait un point à l'infini, auquel cas on l'appelle \emph{parabolique}.

Les deux familles de cercles tracés sur la cyclide sont ses lignes de courbure.

% \begin{schilling}
%   Les dimensions indiquées ci-dessous sont fausses: elles valent en
%   fait $6\times17$~cm.\medskip
% \end{schilling}


\begin{schilling}
\textb{85. } (V,~5a.) \textb{Ringcyclide} mit 4 imaginären
Knotenpunkten (davon ist die gewöhnliche
Wulstfläche ein specieller Fall). Die aufgezeichneten
2 Kreisscharen sind die
Krümmungslinien. ($7\times14$~cm.)\dotfill Mk.~10.50.
\end{schilling}

\references{85}
  \citeauthor[série~V (1880) \no5a pages~11-12 et \textb{85}
  page~124]{sc11}. \citeauthor[\textb{164} \textit{Specialkatalog~57}
  page~265]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   57—66, pag. 11, 21 und 65.
% \end{specialkatalog}
  \citeauthor[pages~30-33, photographie~71]{fi86k}.  Institut Henri Poincaré, 296-2. \citeauthor[gruppo~E N.~4]{campedelli52}.



\collections
\qr{85d}{Dresde}{http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=358}.
\qr{85go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=153&LANG=de},
\qr{85gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie5_nr5a.html},
\qr{85hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A4-011},
\qr{85il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=414},
\qr{85it1}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/v_5a.htm},
\qr{85p}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/~olivati/IV-4-14/IV-4-14.html},
\qr{85pv}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/PorteAperte/aIV-8e9.html},
% http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/ix 7.htm},
% la photo est la bonne, mais la description traite du modèle IX,7.
\qr{85v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=32}.
 Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
\qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00039},
\qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/s25.html}.

\subsubsection{Cyclides anneau avec courbes d'intersection de plans bitangents.}\label{23}\label{24}

 Le modèle plus bouffi porte une fausse étiquette: elle indique que c'est une « surface quartique avec 1 droite double », modèle \no9 de la série~IX, alors que c'en est le \no7, c’est-à-dire le modèle \textb{86} (IX,~7).

Le modèle plus mince est le modèle \textb{87} (IX,~8).

En plus des deux familles de lignes de courbure, on a tracé sur les cyclides leur intersection avec des plans bitangents.

\begin{schilling}
\textb{86. 87. } (IX,~7 u.~8.) \textb{Dieselbe} in anderen
Verhältnissen. Auf beiden sind ausser den
Krümmungslinien noch Schnittcurven
mehrerer doppelt berührender Ebenen aufgezeichnet.
Diese beiden Modelle sind
Abgüsse der im Besitze des mathematischen
Seminars in Berlin befindlichen, von Herrn
\emph{Kummer} angefertigten Originale. ($12\times5$ u.\ $9\times6$~cm.)\dotfill  Preis~zusammen~Mk.~14.--.
\end{schilling}

\references{86}
  \citeauthor[série~IX (1883) \no7~et~8 pages~19-20 et \textb{86 87}
  page~124]{sc11}. \citeauthor[\textb{164} \textit{Specialkatalog~58, 59}
  page~265]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   57—66, pag. 11, 21 und 65.
% \end{specialkatalog}
  \citeauthor[pages~30-33]{fi86k}. \citeauthor[461-462]{belgoderemaillard50}. 




\collections
\textb{86} (IX,~7):
\qr{87d}{Dresde}{http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=353},
\qr{87go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=154},
\qr{87gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie9_nr7.html},
\qr{87il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=435},
\qr{89p}{Pavie}{www-dimat.unipv.it/~olivati/IV-4-14/IV-4-14.html},
\qr{87v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=57}.
\textb{87} (IX,~8):
\qr{86d}{Dresde}{http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=375},
\qr{86gr}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=155},
\qr{86gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie9_nr8.html},
\qr{87hr}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1056.jpg},
\qr{86il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=437},
\qr{87it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/ix 8.htm},
\qr{86v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=55}. 


\subsubsection{Cyclide croisée interne.}\label{12}

La cyclide croisée interne est obtenue par inversion d'un tore croisé; le centre de l'inversion est à l'extérieur du tore ou à l'intérieur du fuseau qui se situe à l'intérieur du tore.

Ce modèle était fourni avec un support.

Les deux familles de cercles tracées sur la cyclide sont ses lignes de courbure.

\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{89}
  \captionof{figure}{Cyclide croisée interne.}
\end{gravure}

\textb{89. } (V,~5c.) \textb{Spindelcyclide.} Sie besitzt
neben 2~imaginären 2~reelle Knotenpunkte,
welche 2~ineinander liegende Flächenmäntel
vereinigen; die aufgezeichneten Kreise sind
Krümmungslinien. ($10\times11$~cm.)\dotfill Mk.~7.50.
\end{schilling}

\references{89}
  \citeauthor[série~V (1880) \no5c pages~11-12 et \textb{89}
  page~124]{sc11}. \citeauthor[\textb{164} \textit{Specialkatalog~61}
  page~265]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   57—66, pag. 11, 21 und 65.
% \end{specialkatalog}
  \citeauthor[pages~30-33, photographie~73]{fi86k}.  \citeauthor[463?]{belgoderemaillard50}.



\collections
\qr{89go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=157},
\qr{89gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie5_nr5c.html},
\qr{89hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A4-009},
\qr{89il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=436},
\qr{89it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/v_5c.htm},
\qr{89p}{Pavie}{www-dimat.unipv.it/~olivati/IV-4-14/IV-4-14.html},
\qr{89pv}{Pavie}{www-dimat.unipv.it/PorteAperte/aIV-4.html},
\qr{89v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=49},
\qr{89d}{Dresde}{http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=363}.


\subsection{Surfaces de Kummer.}\label{kummer}

Les surfaces de Kummer sont les surfaces quartiques avec le nombre maximal,~16, de points doubles. Il y a exactement 16~plans qui contiennent 6~parmi ces 16~points. Ces plans sont tangents à la surface selon des coniques qui ont été tracées sur le modèle. \citet{rowe13} présente le contexte de l'élaboration des modèles de ces surfaces. Les fronts d'onde pour cristaux biaxiaux de la section~\ref{19} sont un autre exemple de surfaces de Kummer.

% \begin{specialkatalog}
%   67-69,   pag.~5~und~66.
% \end{specialkatalog}

\subsubsection{Surface de Kummer, tous les 16 points doubles et plans tangents doubles sont réels.}\label{17}

\begin{schilling}
Die Kummer'sche Fläche (Singularitätenfläche
eines Complexes zweiten Grades) ist
von der vierten Ordnung und von der vierten
Klasse und besitzt 16 Knotenpunkte und
ebensoviele Doppeltangentialebenen, welche
je 6 Knotenpunkte enthalten. Vergl.\
Kummer, Abhandlungen der Berliner Akademie
von 1886 pag.~62~ff.; Plückers Werk:
Neue Geometrie des Raumes etc., Leipzig
1868; Salmon, Geometrie des Raumes~II.
pag.~411-414, sowie Kapitel~XII.

\textb{95. } (II,~1a.) \textb{Alle 16 Knotenpunkte und
Doppeltangentialebenen sind reell}. ($21\times18$~cm.)
Mk.~28.--.

Alle 3~Modelle wurden von stud.\ math.\ \emph{Rohn} in München (K) modelliert; Erläuterungen
werden beigegeben.
\end{schilling}

\references{95}
  \citeauthor[série~II (1877) \no1a pages~5-6 et \textb{95}
  page~125]{sc11}. \citeauthor[\textb{165} \textit{Specialkatalog~67}
  page~265]{dy92}.
  \citeauthor[pages~15-17, photographie~34]{fi86k}. \citeauthor[277]{belgoderemaillard50}. \citeauthor[gruppo~E N.~1]{campedelli52}.



\collections
\qr{95go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=124},
\qr{95gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie2_nr1a.html},
\qr{95hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A4-006},
\qr{95hr}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1042.jpg},
\qr{95it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/ii_1a.htm}.
 Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
\qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00043},
\qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/q1.html}.


\subsection{Surfaces quartiques avec droites doubles.}

\subsubsection{Surface quartique avec deux droites doubles incidentes.}\label{10}\label{27}

Cette surface appelée «~voûte bohémienne~» est engendrée par translation d'un cercle horizontal de sorte que son centre décrive un cercle fixe vertical de même rayon. Quatre positions du cercle horizontal sont tracées, ainsi que la trajectoire des deux points du cercle horizontal dans le plan du cercle vertical, et des deux points qui en sont le plus éloignés.

Les deux droites doubles sont dans le plan vertical qui est perpendiculaire au plan du cercle vertical en son centre. 

Sylvie \citet{pi13} a pris cette surface comme point de départ de plusieurs œuvres: \emph{Böhmisches Gewölbe}, \emph{Bohemian dance}, \emph{Tore dome bohemien} (2005). 


\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{105}
  \captionof{figure}{Voûte bohémienne.}
\end{gravure}

\textb{105. } (X,~4.) \textb{Fläche 4.~Ord.\ mit 2~sich
schneidenden Doppelgeraden} (böhmisches
Gewölbe). Sie besitzt auf jeder der Doppelgeraden 2 Zwickpunkte, einen einfachen
Selbstberührungspunkt, 4 nach Kreisen berührende Tangentialebenen und \so{entsteht}
dadurch, dass man den Mittelpunkt eines
Kreises auf einem andern von gleichem
Radius fortrücken lässt, wobei die Ebene
des beweglichen Kreises stets zu sich parallel
und senkrecht zur Ebene des festen vom
Mittelpunkt des beweglichen durchlaufenen
bleibt. Von stud.\ math.\ \emph{Finsterwalder} in
München. ($6\times10$~cm.)\dotfill Mk.~4.--.
\end{schilling}

\references{105}
  \citeauthor[série~X (1885) \no4 pages~21-22 et \textb{105}
  page~126]{sc11}. \citeauthor[\textb{169} \textit{Specialkatalog~77}
  page~267]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   77,   pag.~21,~22.
% \end{specialkatalog}
  \citeauthor[pages~20-21, photographie~50]{fi86k}. \citeauthor[274?]{belgoderemaillard50}.


\collections
\qr{105go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=133},
\qr{105il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=438},
\qr{105it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/x 4.htm}.

\subsection{Surfaces quartiques réglées.}

% «~On dit qu'une surface~$S$ est \emph{réglée} si par tout point de~$S$ passe au moins une droite entièrement contenue dans~$S$; une telle droite est appelée une \emph{génératrice} de la surface~» (cf. \cite[Géométrie différentielle classique]{li68}, \S\,5, page~659).

Les surfaces quartiques réglées ont été classifiées par \citet{ro86},
et c'est lui qui a conçu les dix modèles de cette 13\ieme\ série. Le
point de départ de cette classification est la \emph{courbe double},
qui est le lieu des points d'intersection des génératrices de la
surface. Les points singuliers de cette courbe sont appelés
\emph{points-pince}.

Dans sa thèse, \citet{polo07} fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. 

\subsubsection{Surface quartique réglée avec deux droites doubles sans point-pince réel.}\label{1}

Voici l'équation de cette surface en coordonnées homogènes:
$a_{11}(x_0^2x_2^2+x_1^2x_3^2)+a_{22}(x_0^2x_3^2+x_1^2x_2^2)+2a_{13}x_0x_1x_2x_3=0$, où les paramètres à fixer vérifient $a_{11}>0$, $a_{22}<0$ et $|a_{11}+a_{22}|<|a_{13}|$. La surface
a deux nappes qui se rencontrent le long des deux droites doubles. La
génératrice de la surface ne cesse de couper les deux droites
doubles.


\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{107}
  \captionof{figure}{Surface quartique réglée avec deux droites doubles sans point-pince réel.}
\end{gravure}

\textb{107. } (XIII,~2.) \textb{Regelfläche 4.~Ord.\ mit 2~Doppelgeraden ohne reelle Zwickpunkte;} sie
besteht aus zwei congruenten Mänteln, die
sich längs der beiden Doppelgeraden gegenseitig durchsetzen\dotfill Mk.~49.--.
\end{schilling}

\references{107}
  \citeauthor[série~XIII (1886) \no2 pages~27-28 et \textb{107}
  page~127]{sc11}. \citeauthor[\textb{184} \textit{Specialkatalog~164}
  pages~275-276]{dy92}. \citeauthor[252]{belgoderemaillard50}.
% \begin{specialkatalog}
%   163-172; pag.~27~und~68.
% \end{specialkatalog}


\collections
\qr{107it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/xiii 2.htm},
\qr{107gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie13_nr2.html}.


\subsubsection{Surface quartique réglée avec droite triple.}\label{2}

La droite triple est celle qui relie les deux centres des «~étoiles à cinq branches~»; elle était figurée par un fil bleu. La génératrice passe deux fois par cette droite lorsqu'elle décrit la surface et y donne lieu à deux points-pince.\medskip

\begin{schilling}
\textb{112. } (XIII,~7.) \textb{Regelfläche 4.~Ord.\ mit
dreifacher Geraden,} deren Punkte zwei constante
und eine bewegliche Tangentialebene
aufweisen. Während die Erzeugende die
Regelfläche beschreibt, passiert sie zweimal
die Lage der dreifachen Geraden, auf der zwei
höhere singuläre Punkte entstehen\dotfill Mk.~45.--.
\end{schilling}

\references{112}
  \citeauthor[série~XIII (1886) \no7 pages~27-28 et \textb{112}
  page~127]{sc11}. \citeauthor[\textb{184} \textit{Specialkatalog~169}
  pages~275-276]{dy92}. \citeauthor[257]{belgoderemaillard50}.


\collections
\qr{112gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie13_nr7.html},
\qr{112it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/xiii 7.htm}.


\subsubsection{Surface quartique réglée avec cercle double et droite double.}\label{14}

Au milieu de la structure on voit apparaître le cercle double: il rencontre perpendiculairement la droite double, qui était figurée par un fil rouge, en un point où la surface se rencontre elle-même; cercle et droite contiennent chacun deux points-pince. 


\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{113}
  \captionof{figure}{Surface quartique réglée avec cercle double et droite double.}
\end{gravure}

\textb{113. } (XIII,~8.) \textb{Regelfläche 4.~Ord.\ mit
Doppelkreis und Doppelgeraden,} die sich rechtwinklig schneiden; auf jeder Doppelcurve
liegen zwei reelle Zwickpunkte. Die Fläche
ist mehrfach symmetrisch; der Selbstberührungspunkt (Schnittpunkt von Kreis und Geraden) liegt reell auf der Fläche\dotfill Mk. 49.--.
% \textb{109. } (XIII,~4.) \textb{Regelfläche 4.~Ord.\ mit
% 2~imaginären Doppelgeraden; sie besitzt zwei
% congruente Mäntel, die Hyperboloiden ähnlich
% sehen. Die Projection eines solchen Mantels
% besteht aus zwei hyperbelartigen Ästen,
% deren einer zwei Spitzen mit Doppelpunkt
% aufweist.\dotfill Mk.~42.--.
\end{schilling}

\references{113}
  \citeauthor[série~XIII (1886) \no8 pages~27-28 et \textb{113}
  pages~127-128]{sc11}. \citeauthor[\textb{184} \textit{Specialkatalog~170}
  pages~275-276]{dy92}. \citeauthor[258]{belgoderemaillard50}.


\collections
\qr{113it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/xiii 8.htm},
\qr{113gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie13_nr8.html}.


\section{Surfaces hélicoïdales.}

Une hélice circulaire~$H$ est une courbe incluse dans un cylindre de révolution dont les génératrices font un angle constant avec~$H$% (Grand dictionnaire encyclopédique Larousse). Les surfaces hélicoïdales sont engendrées par mouvement hélicoïdal d'un corps.

\subsection{Surfaces hélicoïdales non réglées.}

\subsubsection{Serpentin%hélice tubulaire
.}\label{6}

Le serpentin, aussi appelé \emph{hélice tubulaire}, est l'enveloppe de sphères de rayon constant dont le centre décrit une hélice circulaire. C'est une surface \emph{canal}.

On a tracé à la surface, sans usage de couleur, les deux familles de
lignes de courbure. L'une est formée des cercles perpendiculaires à
l'hélice centrale. Il ne faut pas croire que l'autre consiste
d'hélices circulaires: pour s'en rendre compte, on en a tracées en
bleu à la surface du serpentin.


\begin{schilling}
\textb{133. } (VIII,~5.) \textb{Röhrenschraubenfläche. }
Sie ist die einhüllende aller Kugeln von constantem
Radius, deren Centra auf einer
Schraubenlinie liegen. Das eine System
der Krümmungslinien besteht aus den zur
mittleren Schraubenlinie senkrechten Kreisen,
das andere aus transcendenten Curven (weiss),
die jedoch nicht Schraubenlinien wie die
blau gezeichneten sind. Das Problem der
Krümmungslinien führt auf Kreisfunctionen,
die Asymptotencurven führen dagegen auf
elliptische Functionen. Von Assistenten
\emph{Th. Kuen}~(B), dazu eine Erläuterung.
($20\times30$~cm.)\dotfill Mk.~15.50.
\end{schilling}

\references{133}
  \citeauthor[série~VIII (1882) \no5 pages~17-18 et \textb{133}
  page~131]{sc11}. \citeauthor[\textb{207} page~288]{dy92}. \citeauthor[499?]{belgoderemaillard50}.


\collections
\qr{133go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=70},
\qr{133il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=405},
\qr{133it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/viii 5.htm},
\qr{133v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=67}.

\section{Géométrie infinitésimale des surfaces.}

\subsection{Lignes de courbure, en particulier sur les surfaces quadratiques; surfaces confocales.}
\subsubsection{Surface sur laquelle l'ellipsoïde est représenté de manière conforme par normales parallèles.}\label{18}

Les deux autres collections où figure ce modèle le considèrent comme
non identifié: à Göttingen, on suppose que c'est une surface
périodique ou une surface minimale. Pour lui retrouver sa “formule”,
j'ai procédé par élimination dans le catalogue Schilling qui signale l'auteur de chaque modèle; le moment
venu, j'ai fait venir la thèse de Karl \citet{re86} de la Sorbonne: c'est la
figure à la fin de cette section, qui en est l'unique planche, qui m'a permis de vérifier mon identification.

Comme ce modèle n'a pas été présenté ailleurs, je vais en parler plus
longuement. Il montre une surface qui se représente de manière
conforme sur un ellipsoïde de sorte que les normales en un point de la
surface et en son image sur l'ellipsoïde sont parallèles: Reinbeck
décrit cette surface dans sa thèse et il y donne toutes les données
numériques qui lui ont servi pour réaliser le modèle.

Le point de départ de Reinbeck est le théorème ci-dessous de \citet{christoffel67} qui repose sur les trois définitions suivantes.
\begin{itemize}
\item Une application est \emph{conforme} si elle préserve les angles
  en tout point: un angle de tangentes en un point est envoyé sur un
  angle égal de tangentes.
\item Une surface s'applique sur une autre \emph{par
    parallèles normales} si les droites normales en les points appliqués
  l'un sur l'autre sont parallèles.
\item Les lignes de courbure d'une surface la \emph{divisent en carrés
    infinitésimaux} s'il existe une application conforme de la surface
  dans le plan qui applique les lignes de courbure sur les parallèles
  à deux axes orthogonaux du plan.
\end{itemize}

\textbf{Théorème. } \emph{Les lignes de courbure d'une surface la divisent en
carrés infinitésimaux si et seulement si elle peut être appliquée de
manière conforme par normales parallèles sur une surface qui ne lui
soit pas semblable.}

La figure ci-dessous, tirée de \cite[page~137]{sc11}, montre les lignes de courbure d'un ellipsoïde et illustre son application conforme sur une sphère et sur un plan. On y devine un ombilic: c'est le point où la ligne de plus grande courbure issue de~$A$ devient une ligne de moindre courbure.
\begin{center}
  \includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{180}
  \captionof{figure}{Sphère avec 3 grands cercles et 18 coniques sphériques confocales
  qui correspondent aux droites de la plaque rectangulaire et aux
  lignes de courbure de l'ellipsoïde, qu'elles divisent en carrés
  infinitésimaux.}
\end{center}

Il s'avère que les deux surfaces du théorème doivent être de courbure opposée et
que les lignes de courbure de l'une s'appliquent sur les
lignes de courbure de l'autre% ; de même pour les lignes de
% moindre courbure
.

Or Reinbeck sait que les quadriques vérifient l'hypothèse du théorème.
Sa thèse consiste alors à déterminer les surfaces sur lesquelles une
quadrique s'applique de manière conforme par normales parallèles. Il
note déjà deux faits.
\begin{itemize}
\item Les plans de symétrie perpendiculaires de la quadrique donnent lieu à des plans de symétrie perpendiculaires de la surface.
\item Il est utile d'introduire les \emph{coordonnées elliptiques} $(t_1,t_2)$. Elles lui permettent de montrer que l'application conforme est singulière aux ombilics de la quadrique.% , c'est-à-dire aux points où la plus grande et la moindre courbure sont égales
\end{itemize}
Le modèle exposé représente le cas d'un ellipsoïde de demi-axes $a>b>c$ dont un octant s'applique de manière conforme sur un rectangle de côtés $U_1$ et $U_2$ dans un rapport~$4:3$. Il calcule qu'en posant $c=3$, il faut choisir $b$~et~$a$ approximativement égaux à $3.988463$ et $4.990676$.
\begin{center}
  \includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{193}
  \captionof{figure}{planche de la thèse de Karl \citet{re86}}
\end{center}
La figure ci-dessus représente la moitié de la surface déterminée par
Reinbeck en projection axonométrique: on obtient la surface complète
en la symétrisant par rapport au plan $(y'z')$ des lignes légendées
$t_1=a^2$ sur la figure: c'est l'image de la ligne de plus grande
courbure d'équation $t_1=a^2$, donc l'image de l'ellipse qui est
l'intersection de l'ellipsoïde avec le plan de ses deux moindres
demi-axes. Cette surface peut être prolongée par périodicité selon les
plans perpendiculaires à l'axe des~$y'$ des lignes légendées
$t_2=b^2$: ce sont les images de la ligne de courbure d'équation
$t_2=b^2$, donc les images de l'ellipse qui est l'intersection de
l'ellipsoïde avec le plan du plus grand et du moindre demi-axe. Comme
cette ligne de courbure passe par les quatre ombilics de l'ellipsoïde,
ses images se décomposent en deux moitiés congruentes passant par
l'infini. Le modèle représente ainsi deux périodes de la surface.

\noindent\textbf{Biographie. } Karl Wilhelm August Reinbeck est né le 8 avril 1859 à Goslar au nord-ouest du Harz, où il a obtenu le baccalauréat vers Pâques 1879. Il a alors étudié les mathématiques et les sciences naturelles à Halle puis Leipzig et finalement Göttingen, où il a passé l'examen \emph{pro facultate docendi} le 21 juin 1884 devant la Commission d'examen scientifique royale nécessaire pour devenir enseignant de mathématiques. Il a alors fait son année de stage pédagogique au lycée d'Einbeck en Basse-Saxe. Le 19 décembre 1885, il a soutenu sa thèse de doctorat de philosophie esquissée ci-dessus. Son directeur de thèse a certainement été Hermann Amandus Schwarz. Il est resté enseignant auxiliaire à Einbeck jusqu'aux Pâques 1888, puis à Hamelin jusqu'à octobre 1888, date à laquelle il a été nommé au lycée d'Uelzen. Il s'est marié peu après et a eu une fille. Il a publié deux manuels d'enseignement: \emph{Die planimetrische Lehraufgabe für Quarta und Unter-Tertia des Realgymnasiums} (1899) et \emph{Die planimetrische Lehraufgabe für Obertertia und Untersekunda des Realgymnasiums} (1900). Il est mort le 28 mai 1939 à Uelzen.
 
\begin{schilling}
\textb{193. } (XVII,~13.) \textb{Fläche, auf welche das
Ellipsoid durch parallele Normalen conform
abgebildet wird.} Von Dr.\ K. Reinbeck in
Einbeck~(S).

Die Fläche wird durch ihre \textb{Krümmungslinien}
in unendlich kleine Quadrate geteilt.
Mit Hülfe des Modells lässt sich eine Vorstellung
gewinnen von der Gestalt derjenigen
Flächen, auf welche die übrigen Flächen
zweiten Grades durch parallele Normalen
conform abgebildet werden\dotfill Mk.~14.--.
\end{schilling}

\references{193}
  \citeauthor[série~XVII \no13 (1886) pages~39-42 et \textb{193}
  page~139]{sc11}. \citeauthor[\textb{205} pages~287-288]{dy92}. \citeauthor[550-551?]{belgoderemaillard50}.


% Il apparaît dans deux collections: Harvard et Göttingen.

% \begin{itemize}
% \item \url{http://www.math.harvard.edu/history/models1/}: 5""x8""x8
%   \begin{itemize}
%   \item
%     \url{http://www.math.harvard.edu/history/models1/s-M-05-015.JPG},
%   \item \url{http://www.math.harvard.edu/history/models/s-1037.jpg},
%   \item \url{http://www.math.harvard.edu/history/models/s-1038.jpg}.
%   \end{itemize}
% \item
%   \url{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=412}:
%\end{itemize}  


\collections
\qr{193go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=412},
\qr{193hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1037.jpg},
\qr{193hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1038.jpg},
\qr{193hr3}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-05-015.JPG}.






\subsubsection{Corps en forme de fève tordue, objet d'essai.}\label{13}

Ce corps sert à faire des essais pour déterminer les lignes de courbure et les courbes asymptotes et paraboliques sur une surface.\medskip

% \begin{dyck}
%   Il est présenté dans \cite[\textb{212}, page~290]{dy92}.
% \end{dyck}


\begin{schilling}
\textb{194\up{o}. } (X,~11a.) \textb{Bohnenförmiger Körper}
mit Symmetrieebenen zur Anstellung von
Proben bezüglich des Verlaufes der \textb{Krümmungslinien,
Asymptoten- und parabolischen
Curven} auf einer Fläche. ($14\times8$~cm.)

\textb{195\up{o}. } (X,~11b.) \textb{Dasselbe} anderer Gestalt
(tordierte Bohne). ($10\times6$~cm.)\dotfill\hbox{Zusammen~Mk.~3.50.}
\end{schilling}

\references{195}
  \citeauthor[série~X (1885) \no11b pages~21-22 et \textb{195\up{o}}
  page~139]{sc11}. \citeauthor[\textb{212} page~290]{dy92}. \citeauthor[559?]{belgoderemaillard50}.


\collections
\qr{195it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/x 11b.htm},
\qr{195go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=212},
% %\qr{H}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=Sc-007},
\qr{195il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=426}.

\subsection{Courbes asymptotes et courbes paraboliques.}

Les modèles de surface (X,~10) sont des surfaces de révolution sur lesquelles on a tracé les courbes asymptotes. «~On aboutit à ceux-ci par la recherche des surfaces de révolution dont la projection des courbes asymptotes sur un plan orthogonal à l'axe appartient à des systèmes de courbes donnés (lignes logarithmiques, cercles, etc.)~» \citep[page~139]{sc11}. Ils forment une collection de 12 modèles.


\begin{schilling}
  \textb{196--207. } (X,~10a--m.) \textb{Modelle von verschiedenen
Rotationsflächen mit aufgezeichneten
Asymptotencurven.} Man gelangt zu
denselben durch die Frage nach solchen
Rotationsflächen, deren Asymptotencurven
zur Projektion auf eine Ebene senkrecht zur
Axe gegebene Curvensysteme (logarithmische
Linien, Kreise etc.)\ besitzen; a.~bis~l.\ von
Herting in München berechnet und modelliert. (B).~\dotfill\hbox{Zusammen Mk.~92.--.}
\end{schilling}

\subsubsection{Surface de révolution, engendrée par rotation de la parabole.}\label{21}

L'axe de rotation de la parabole est une parallèle à la directrice. \medskip


\begin{schilling}
\textb{203\up{o}. } (X,~10g.) \textb{Rotationsfläche, entstanden durch Umdrehung der Parabel} um 
eine Parallele zur Scheiteltangente. Gleichung 
der Fläche $z^2 = a^2 (r - a)$, der Projection 
der Asymptotencurven 
\[
\varphi = \sqrt{\frac12} \log\frac{2(r + \sqrt{r(r-a)})-a}a\text.
\]
($18\times15$~cm.) 
\end{schilling}

\references{203}
  \citeauthor[série~X (1885) \no10g pages~21-22 et \textb{203\up{o}} page~140]{sc11}. \citeauthor[\textb{208} \textit{Specialkatalog~119}
  pages~288-289]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   113-124 (pag.\ 21~und~78).
% \end{specialkatalog}
 \citeauthor[363]{belgoderemaillard50}. \citeauthor[modèle~33, pages~89-90]{vc07}.

\collections
\qr{203go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=206},
\qr{203hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=Da-001},
\qr{203hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1024.jpg},
\qr{203hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1027.jpg},
\qr{203il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=422},
\qr{203it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/X 10g.htm},
\qr{203m}{MIT}{http://mail.lesley.edu/faculty/ftvierli/models/images/slides/Surfaces of Revolution.html},
\qr{203p}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/~olivati/VI-17-23/VI-17-23.html},
\qr{203pv}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/PorteAperte/VI-23.htm},
\qr{203v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=25}.


\subsubsection{Surface cubique avec 4 points doubles coniques réels \texorpdfstring{$C_2$}{C2}.}\label{30}

C'est l'objet mathématique que l'on aperçoit dans une vitrine de
l'Exposition surréaliste d'objets de 1936 à la galerie Charles Ratton: voir \citet[page~149]{we02}, qui suppose à tort que c'est un exemplaire du modèle~\textb{44} (VII,~1) de la section~\ref{15}.
%'est ni le sujet supposé ni le sujet recherché, mais est un exemplaire du modèle suivant, la surface avec 4 points doubles coniques réels $C_2$.

Ce modèle exhibe une courbe asymptote, tracée en jaune, ainsi que les droites de cette surface cubique.

Voici la planche réalisée par Weiler à la demande de \citet{kl73}:
\begin{figure}[!h]
  \centering\includegraphics[scale=.5]{klein-45}
  \caption{surface cubique avec 4 points coniques réels $C_2$}
\end{figure}
\begin{schilling}
  \textbf{212. } (II,~2.) \textbf{Fläche 3.~Ord.\ }vierter Classe
mit 4~reellen conischen Knoten, \textbf{auf welche
eine Asymptotencurve }(gelb)\textbf{ aufgezeichnet
ist; }sie entspricht dualistisch einer Asymptotencurve der Steiner'schen Fläche (4.~Ord.,\ dritter Classe) und ist nach Clebsch (Crelle
Bd.~67, S.~9) eine Raumcurve 6.~Ord.,\ vierter
Classe, die in jedem Knotenpunkt der Fläche
einen Rückkehrpunkt besitzt. Von \textit{Bacharach}
in München~(B). Erläuterung beigegeben.
($13\times22$~cm.)\dotfill Mk.~16.50.
\end{schilling}

Cette surface a été réalisée une deuxième fois dans la série des
surfaces cubiques par Carl Rodenberg: c'est le modèle~\textb{45}
(VII,~2).  Dans cette deuxième réalisation, on met l'accent sur les
27~droites de la surface. Elles se répartissent ainsi: chacune des
6~droites reliant deux points doubles, tracées à l'origine en rouge,
est de multiplicité~4; il en reste~3, qui sont laissées blanches.

\begin{schilling}
\textb{45. } (VII,~2.) \textb{Fläche mit 4 reellen conischen Knotenpunkten} $C_2$*). Man erhält 
dieselbe aus der Diagonalfläche durch Zusammenziehen der 4~Hälse. Von den 27~Geraden sind $4\mathbin.6$ in die 6~Kanten des aus 
den Knoten gebildeten Tetraeders zusammengerückt. 

Beseitigt man einen Teil der Knoten durch 
Abschnüren, während man die anderen wieder 
in Hälse verwandelt, so erhält man einen 
der Flächentypen mit weniger als 27~Geraden. 
Beim Abschnüren z.~B.\ eines Knotens 
werden $4\mathbin.3 = 12$ Gerade imaginär, man 
hat also den Typus einer Fläche mit nur 
15~reellen Geraden u.~s.~f.
 
In die 6~roten Verbindungsstrahlen je 
zweier Knoten (\so{Knotenstrahlen}) sind je 
4~Gerade hinein gefallen; die 3~weissen Geraden dagegen sind einfach (\so{unär}). Der durch 
die 4~Eckpunkte bestimmte tetraederförmige 
Flächenteil liegt ganz im Endlichen und ist 
positiv gekrümmt. ($13\times15$~cm.)\dotfill Mk.~12.--. 
\vspace*{\skip\footins}\footnoterule{\footnotesize\rule{0pt}{\footnotesep}*) 
  Die Buchstaben $C$, $B$,~$U$ bedeuten 
conische, biplanare, uniplanare Knoten; der 
angehängte Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten an, um welche die Klasse durch die 
betreffende Singularität erniedrigt wird.}
\end{schilling}

Voici les références de ce deuxième modèle:
  \citeauthor[série~VII (1881) \no2 pages~14-16 et \textb{45}
  pages~116-117]{sc11}. \citeauthor[\textb{163} \textit{Specialkatalog~31}
  pages~263-264]{dy92}. \citeauthor[pages~12-14,  photographie~13]{fi86k}. \citeauthor[modèle~20, pages~55-56]{vc07}. Il est présent à 
\qr{45go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=136},
\qr{45gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie7_nr2.html},
\qr{45hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=A3-015},
\qr{45hr}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1054.jpg},
\qr{45it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/Vii 2.htm},
\qr{45p}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/~olivati/III-3/III-3.html},
\qr{45pv}{Pavie}{http://www-dimat.unipv.it/PorteAperte/III-3rZ.htm}.

\references{45}
  \citeauthor[série~II (1877) \no2 pages~5-6 et \textb{212}
  page~141]{sc11}. \citeauthor[\textb{211} \textit{Specialkatalog~125}
  page~289]{dy92}. \citeauthor[134]{belgoderemaillard50}. \citeauthor[gruppo~C N.~2]{campedelli52}.


\collections
\qr{45go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=150},
\qr{}{Marbourg}{http://www.universitaetssammlungen.de/modell/736},
 \qr{45v}{Vienne}{http://www.geometrie.tuwien.ac.at/modelle/models_show.php?mode=2&n=61}.
 Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952:
\qr{}{Milan}{http://www.museoscienza.org/dipartimenti/catalogo_collezioni/scheda_oggetto.asp?idk_in=ST010-00022}, 
\qr{}{Turin}{http://www.dm.unito.it/modelli/modelli/cayley.html}.


\subsection{Surfaces de courbure constante et surfaces applicables l'une sur l'autre.}

Ces surfaces, d'abord étudiées par \citet{minding39}, ont eu une importance cruciale en géométrie depuis que \citet{beltrami69}  a compris qu'elles jouissent de la propriété la plus importante de la géométrie euclidienne, la \emph{libre mobilité des figures}. Voici comment elle est décrite par Schilling.

\begin{quotation}
  Toutes les surfaces de même courbure constante sont applicables
  l'une sur l'autre sans extension ni compression et on peut les
  glisser sur elles-mêmes, comme par exemple le plan ou la sphère. On
  peut donc parler sur de telles surfaces de \so{congruence de
    figures}, parce qu'on peut faire se recouvrir des morceaux de
  surface [suffisamment petits] par glissement sur la surface même, et ainsi les
  comparer. La condition nécessaire pour élaborer une géométrie au
  sens euclidien est ainsi donnée pour ces surfaces; à la place des
  «~droites~» on considère les lignes de plus court chemin, c.-à-d.\ les
  «~géodésiques~». La géométrie sur les surfaces de courbure constante
  positive est la \so{géométrie sphérique} habituelle; celle sur les
  surfaces de courbure constante négative est appelée \so{géométrie
    non euclidienne} et recouvre celle fondée par Lobatchevski, à
  laquelle manque le onzième axiome d'Euclide [le postulat des
  parallèles]. \citep[page~142]{sc11}
\end{quotation}

En géométrie sphérique, les géodésiques sont les grands cercles, qui
se rencontrent toujours en deux points antipodaux.  Dans la suite,
Schilling précise la différence entre surfaces de courbure constante
positive et négative.

\begin{quotation}
  Les surfaces de courbure constante négative se distinguent de
  manière essentielle de celles de courbure positive par les
  propriétés de leurs lignes géodésiques. Les lignes géodésiques
  issues d'un point ne se rencontrent \so{plus} du tout. Par un point
  de la surface passe une \so{infinité} de lignes [géodésiques] qui \so{rencontrent}
  une ligne géodésique donnée, \so{deux} qui lui sont \so{parallèles}
  (la rencontrent à l'infini) et une \so{infinité} de lignes qui ne
  \so{la rencontrent pas}. \citep[page~142]{sc11}
\end{quotation}

Le modèle le plus connu de surface de courbure constante négative est la \emph{pseudosphère}, surface de révolution engendrée par une courbe appelée \emph{tractrice}. Les deux modèles suivants en montrent deux autres, mais aucune ne permet vraiment de voir la propriété qui vient d'être décrite, parce qu'il n'est pas possible de construire une surface de courbure constante négative dans l'espace euclidien à trois dimensions qui contienne plus d'un point à l'infini: si elle contient deux lignes géodésiques infinies, celles-ci sont parallèles. 

\subsubsection{Surface hélicoïdale de courbure constante négative.}\label{5}

La courbe méridienne de cette surface, c'est-à-dire son intersection avec un plan axial, est une partie de la tractrice symétrisée et répétée. Cette symétrisation a une motivation purement esthétique!\medskip

Ce modèle a été photographié par Hiroshi \citet{sugimoto04}:
\emph{Dini's surface: a surface of constant negative curvature
  obtained by twisting a pseudosphere}, sous-titre $x={\cos u}/{\cosh
  v}$, $y={\sin u}/{\cosh v}$,
% «~$x=\dfrac{\cos u}{\cosh v}$, $y=\dfrac{\sin u}{\cosh v}$,
$z=v-\tanh v+au$ ($0\le u<2\pi$, $-\infty<v<\infty$).

\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{231}
  \captionof{figure}{Surface de Dini.}
\end{gravure}

\textb{231. } (V,~4.) \textb{Schraubenfläche von constantem
negativen Krümmungsmass, } deren
Meridiancurve die Tractrix ist. Sie ist die
einzige Schraubenfläche von der erwähnten
Art, in deren Gleichung nicht elliptische
Functionen eintreten. (Bei Flächen constanter
positiver Krümmung gibt es keine
von dieser Eigenschaft). Vergl. U. \so{Dini},
Comptes Rendus, Acad.\ Sc.\ Paris 1865,
I.~Sem. pag.~340; Th. \so{Kuen}, Berichte der
kgl.\ bayr.\ Acad.\ 1884. Von Dr.~\emph{P. Vogel} in
München~(B). Erläuterung beigegeben.
($24\times15$~cm.)\dotfill Mk.~18.--.
\end{schilling}

\references{231}
  \citeauthor[série~V (1880) \no4 pages~11-12 et \textb{231}
  page~144]{sc11}. \citeauthor[\textb{216} \textit{Specialkatalog~135}
  pages~291-293]{dy92}. 
  \citeauthor[pages~39-40, photographie~85]{fi86k}.  \citeauthor[333 (bois), 334 (plâtre)]{belgoderemaillard50}. \citeauthor[modèle~43, pages~111-112]{vc07}.


\collections
\qr{231go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=69},
\qr{231gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie5_nr4.html},
\qr{231hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=De-004},
\qr{231hr}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-06-005.JPG},
\qr{231il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=491},
\qr{231it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/v 4.htm},
\qr{}{Marbourg}{http://www.universitaetssammlungen.de/modell/1534},
\qr{231m}{MIT}{http://mail.lesley.edu/faculty/ftvierli/models/images/slides/Generalized Helicoid 2.html}.


\subsubsection{Surface de courbure constante négative avec lignes de courbure planes d'après Enneper.}\label{33}

L'intérêt de cette surface est que ses équations sont particulièrement simples alors que ses lignes de courbure sont planes.

Ce modèle a été photographié par Man Ray en 1934-1936: \emph{Surface à courbure constante négative d'Enneper, dérivée de la pseudosphère} \citep[page~14]{ze36}, légendé \emph{Antoine et Cléopatre} sur la maquette de la collection Lucien
Treillard \citep[page~107]{we02}. Celle-ci contient deux autres prises du même modèle, dont l'une est légendée \emph{Section d'hélicoïde développable}. \citet{br36} propose de l'affubler de la légende \emph{Campagne de Russie}.

Ce modèle a également été photographié par Hiroshi \citet{sugimoto04}: \emph{Kuen's surface: a surface with constant negative curvature}, sous-titre $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, $z=\log\tan(v/2)+a\cos v$
% $z=\log\tan\dfrac v2+a\cos v$ 
($0<v<\pi$), $\varphi=u-\arctan u$, $a=2/({1+u^2\sin^2v})$, 
% $a=\dfrac2{1+u^2\sin^2v}$, 
$r=a\surd({1+u^2})\sin v$.

\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{232}
  \captionof{figure}{Surface de Kuen.}
\end{gravure}

\textb{232. } (VIII,~1.) \textb{Fläche von constantem 
negativen Krümmungsmass mit ebenen Krümmungslinien nach Enneper.} Sie entsteht aus 
der Tractrixfläche von der Krümmung $-\dfrac1{t^2}$ 
dadurch, dass man auf den Tangenten an 
ein System von parallelen geodätischen 
Linien das Stück~$t$ in bestimmtem Sinn 
aufträgt. Die Fläche besitzt eine Ebene und 
eine räumliche Rückkehrkante mit 2~Spitzen 
sowie eine Doppelcurve. Das eine System 
von Krümmungslinien wird von Ebenen ausgeschnitten, welche durch eine (im Modell 
vertikal gestellte) Gerade hindurch gehen. 
Das andere System liegt auf Kugeln, deren 
Mittelpunkte in dieser Geraden liegen. 
Vergl.\ \so{Bianchi}, Math.\ Annalen Bd.~16, sowie \so{Enneper}, Göttinger Nachrichten 1868: 
Th.\ \so{Kuen}, Sitzungsberichte der kgl.\ bayr. \
Acad.~1884, Heft~II. Modelliert von stud.\ math.\ \emph{Mack}. Erläuterung hierzu von 
Assistenten \emph{Th.\ Kuen} in München~(B). 
($24\times18$~cm.)\dotfill Mk.~18.50. 
\end{schilling}

\references{232}
  \citeauthor[série~VIII (1882) \no1 pages~17-18 et \textb{232}
  pages~144-145]{sc11}. \citeauthor[\textb{216} \textit{Specialkatalog~136}
  pages~291-293]{dy92}. 
  \citeauthor[pages~40-41, photographie~86]{fi86k}.  \citeauthor[335 (bois), 336 (plâtre)]{belgoderemaillard50}.  \citeauthor[modèle~32, pages~83-85]{vc07}.


\collections
\qr{232go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=190},
\qr{232hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=De-005},
\qr{232it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/viii 1.htm},
\qr{232m}{MIT}{http://mail.lesley.edu/faculty/ftvierli/models/images/slides/Kuens Surface.html},
\qr{232hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1009.jpg}.


% \qr{232hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-02-014.JPG}
\subsection{Surfaces de courbure moyenne constante, surfaces minimales.}

La courbure moyenne en un point d'une surface est la moyenne des
courbures des deux lignes de courbure passant par ce point, appelées
\emph{courbures principales}.
% \emph{courbures principales} sont les demi-axes de la conique, dont la
% moyenne est appelée \emph{courbure moyenne}. 
Les surfaces de courbure moyenne nulle sont les surfaces minimales des bulles de savons. Les surfaces de courbure moyenne constante non nulle sont beaucoup moins connues. \citet{Delaunay1841} a prouvé qu'il n'y en a que deux qui soient des surfaces de révolution: l'onduloïde et le nodoïde.

\begin{schilling}
Die Flächen von constanter \emph{mittlerer}
Krümmung sind dadurch definiert, dass die
Summe der reciproken Werte ihrer 2 Hauptkrümmungsradien an jeder Stelle denselben
Zahlenwert besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch welche sie definiert sind,
geht in eine integrierbare totale über, wenn
man sich auf \emph{Rotationsflächen} beschränkt, und zwar erhält man für die
Meridiancurve die Gleichung 
\[z=\int\frac{r^2\pm a_1a_2}{\sqrt{(a_1^2-r^2)(r^2-a_2^2)}}dr\text.\]
Nach Delaunay (Comptes rendus~XIII,
1841) ergibt sich die Meridiancurve dieser
Flächen auch als diejenige Curve, die der
Brennpunkt eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Geraden beschreibt, welche
dann Rotationsaxe wird. Den 3 Kegelschnitten Ellipse, Hyperbel, Parabel entsprechend, erhält man 3 verschiedene Typen,
die von \emph{Plateau} in seinem Werke „Statique
expérimentale et théorique des liquides etc.“
Onduloid, Nodoid, Catenoid genannt wurden.
Nach Laplace werden die Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten, welche der Einwirkung der Schwere entzogen sind, von
Flächen constanter mittlerer Krümmung
begrenzt. Geometrisch lassen sie sich auch
als gewisse Parallelflächen zu Flächen von
constantem positiven Krümmungsmass definieren. Einen speciellen Fall davon bilden
die \emph{Minimalflächen}, deren mittlere
Krümmung Null ist. Dieselben haben die
Eigenschaft, einen kleineren Flächeninhalt
zu besitzen als jede andere benachbarte
Fläche, die durch eine beliebige auf ihr
geführte geschlossene Randcurve hindurchgelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch
als diejenigen Flächen, welche die zwischen
eine gegebene Randcurve sich einspannende
Flüssigkeitshaut (z.\ B. durch Eintauchen
eines Drahtes von der Form der Curve in
Seifenlösung) annimmt.

Die Minimalflächen werden sowohl durch
ihre Krümmungs- wie durch ihre Asymptotencurven in unendlich kleine Quadrate geteilt.
(Die \emph{Indicatrix} ist für diese Flächen eine
gleichseitige Hyperbel, deshalb stehen auch
die Asymptotencurven aufeinander senkrecht).
Zu jeder Minimalfläche gibt es eine zweite,
ihre sog.\ \emph{Bonnet'sche Biegungsfläche}, welche auf sie derart abwickelbar
ist, dass die Krümmungslinien der einen in
die Asymptotencurven der andern übergehen.
Vergl.\ \emph{Schwarz} in Crelle's Journ.~Bd.~80.


\textb{239-242. } (II,~3.) \textb{Drei Typen von Rotationsflächen
constanter mittlerer Krümmung}
mit geodätischen Linien. Das Verhalten
der letzteren ist je nach dem Winkel, unter
dem eine den grössten Parallelkreis trifft,
ein verschiedenes. Entweder bewegt sie
sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau) oder
sie nähert sich asymptotisch dem Kehlkreis.
d.\ i.\ Parallelkreis vom kleinsten Radius (grün),
oder sie läuft über die ganze Fläche hin.
Von stud. math. \emph{A. v.\ Braunmühl} in München
(B). Erläuterung beigegeben.

\textb{239. } (II,~3a.) \textb{Onduloid.} Die Meridiancurve
ergibt sich für $a_1 = 1$~cm., $a_2 = 5,77$~cm.
aus der oben angegebenen Gleichung, wenn
von den 2 daselbst vorkommenden Vorzeichen
das obere (positive) gewählt wird.
($12\times26$~cm.)\dotfill Mk.~10.50.
\end{schilling}

\subsubsection{Nodoïde.}\label{22}

La courbe méridienne du nodoïde est le lieu du foyer d'une hyperbole qui roule sans glisser sur une droite. Les lignes tracées sur le modèle représentent des géodésiques: certaines restent entre deux parallèles de cette surface de révolution et d'autres se rapprochent asymptotiquement de son «goulot».

\begin{schilling}
\textb{240. } (II,~3b.) \textb{Nodoid.} $a_1$ und $a_2$ wie oben,
aber in der Gleichung ist das untere (negative)
Vorzeichen zu wählen. ($11\times8$~cm.)\dotfill Mk.~9.50.

% \textb{241. } (II,~3c.) \textb{Ring des Nodoids}, durch
% Umdrehung der Schleife der Meridiancurve
% von b entstanden. ($9\times3$~cm.)\dotfill Mk.~2.50.

% \textb{242. } (II,~3d.) \textb{Catenoid}, durch Umdrehung
% der Kettenlinie um ihre Axe entstanden.
% Ausser den 3 verschiedenen Typen von
% geodätischen Linien ist hier auch noch
% eine Asymptotencurve (gelb) aufgezeichnet.
% Diese Fläche ist eine Minimalfläche, sie
% besitzt die constante mittlere Krümmung
% Null. ($16\times10$~cm.)\dotfill Mk.~9.50.
\end{schilling}

\references{240}
  \citeauthor[série~II (1877) \no3b pages~5-6 et \textb{240}
  page~146]{sc11}. \citeauthor[\textb{219} \textit{Specialkatalog~141}
  page~294]{dy92}. 
  \citeauthor[page~51]{fi86k}. \citeauthor[314 (bois)]{belgoderemaillard50}.


\collections
\qr{240go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=200},
\qr{240hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=Df-005},
\qr{240hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1026.jpg},
\qr{240hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-01-005.JPG},
\qr{240il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=456},
\qr{240it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/ii_3b.htm}.


\section{Théorie des fonctions.}

Ces modèles cherchent à représenter des fonctions~$f(z)$ d'une variable complexe~$z$: comme elles ont des valeurs complexes, ils représentent soit la partie réelle soit la partie imaginaire de la fonction, c'est-à-dire la hauteur comme fonction $\Re f(z)$ ou $\Im f(z)$  des coordonnées~$(x,y)$ du plan, où $z=x+iy$. C'est la signification des inscriptions «~R.~» et «~i.~» sur le socle. Cette distinction en partie réelle et imaginaire peut être à l'origine de singularités absentes du graphe de la fonction lui-même.

Le plan des~$z$ se situe horizontalement au milieu du modèle. Le côté de l'inscription «~R.~» ou «~i.~» est parallèle à l'axe de la partie réelle~$x$ de~$z$ et perpendiculaire à l'axe de la partie imaginaire~$y$ de~$z$. Des lignes de niveau écartées d'un centimètre sont tracées, ainsi que des lignes de plus grande pente, qui leur sont orthogonales: celles-ci sont choisies de manière que leur projection sur le plan des~$z$ coïncide pour les modèles des parties réelle et imaginaire.

\begin{schilling}
  \textb{307-316. } (XIV,~1-10.) \textb{16~Modelle zur
Darstellung von Functionen einer complexen
Veränderlichen. } Ausgeführt unter Leitung
von Prof. Dr. \textit{Walther Dyck.}

Um den Verlauf einer Function einer complexen Veränderlichen in der Umgebung
gewisser singulärer Stellen und ebenso den
Gesamtverlauf gewisser Typen von Functionen einer complexen Veränderlichen durch
eine räumliche Darstellung zu veranschaulichen, sind in der bekannten Weise sowohl
der reelle als auch der imaginäre Teil der
Functionswerte über der Ebene des complexen Argumentes als Ordinaten aufgetragen.
So wird jede Function eines complexen
Argumentes durch zwei mit \textit{R} und \textit{I} bezeichnete Flächen versinnlicht, deren gleichzeitige Betrachtung ein Bild des Functionsverlaufes liefert. Zur genaueren Characteristik
der Wertsysteme sind auf den Flächen
Niveaulinien in gleichen Abständen (die
Einheit des Massstabes $=3$~cm.)\ und die
zugehörigen Orthogonaltrajectorien aufgetragen. Dabei stehen die jedesmal zusammengehörigen Modelle \textit{R} und \textit{I} in der
Beziehung zu einander, dass die Projection der
Niveaulinien und Fallinien der einen Fläche
in die Ebene des complexen Argumentes
mit der Projection der Fallinien, bezw.\ Niveaulinien für die andere Fläche in eben
diese Ebene identisch ist.
\end{schilling}

\subsection{Singularités essentielles.}

\subsubsection{\texorpdfstring{$6 w = e^{1/{6z}}$}{6w=exp(1/6z)}.}\label{16}

Ici, c'est la partie réelle de la fonction $f(z)=(1/6)e^{1/{6z}}$ qui est représentée: c'est le sens de l'inscription~«~R.~» sur le socle du modèle. La partie imaginaire peut être obtenue par inversion du plan. 

Ce modèle illustre la \emph{singularité essentielle} de la fonction en~$z=0$: elle prend toutes les valeurs sauf~$0$ dans tout voisinage de~$0$. % Le modèle porte par erreur des inscriptions «~R.~»~et~«~i.~» qui figurent normalement sur le modèle \textb{314} (XIV,~8), dans lequel partie réelle et imaginaire résultent l'une de l'autre par un quart de tour du plan.

Il a été photographié par Man Ray en 1934-1936: \emph{Expression modulaire d'une fonction elliptique} ($30\times24$~cm) \citep[page~108]{fo99}.


\begin{schilling}
\textb{312. } (XIV,~6.) $6 w = e^{\frac1{6z}}$ versinnlicht den
einfachsten wesentlich singulären Punkt, und
zwar ist der reelle Teil der Funktion durch:

\[
u = \frac16e^{x'}\cos y'
\]
(wo $x'=\dfrac x{6(x^2+y^2)}$, $y' = \dfrac{-y}{6(x^2+y^2)}$, 
$z = x+iy$ gesetzt ist)
dargestellt, während der imaginäre Teil
\[
v = \frac16e^{x'}\sin y'
\]
durch eine Transformation der $(x, y)$~Ebene
durch reciproke Radien aus ersterem herzuleiten
ist. Von stud.\ math.\ \emph{Kleiber}~(D).
($17\times18\times15$~cm.)\dotfill Mk.~21.--. 
\end{schilling}

\references{312}
  \citeauthor[série~XIV (1886) \no6 pages~29-30 et \textb{312}
  page~160]{sc11}. \citeauthor[\textb{49} \textit{Specialkatalog~178}
  pages~176-178]{dy92}.
  % \begin{specialkatalog}
  %   173-182
  % \end{specialkatalog}
    \citeauthor[pages~80-81, photographie~128]{fi86k}. \citeauthor[534]{belgoderemaillard50}.  


\collections
\qr{312d}{Dresde}{http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=430},
\qr{312go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=256},
\qr{312hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=R-007},
\qr{312hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1058.jpg},
\qr{312hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1059.jpg},
\qr{312hr3}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-04-007.JPG}.
Diapositives: \qr{}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=1763}, \qr{}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=1764}.

\subsection{Fonctions elliptiques dans la forme normale de Weierstrass.}

Ces modèles représentent les fonctions elliptiques de Weierstrass $\wp (u)$ et $\wp' (u)$: ce sont des fonctions \emph{doublement périodiques}. Chaque modèle montre quatre parallélogrammes de période de la fonction, dont chacun contient exactement un pôle, c'est-à-dire un point où la fonction tend vers l'infini. Les paramètres $g_2$~et~$g_3$ ci-dessous se calculent à partir des périodes et caractérisent la fonction de Weierstrass.
% pour certains paramètres $g_2$~et~$g_3$

\begin{schilling}
\textb{313---316. } (XIV,~7---10.) Die Modelle
dienen zur Veranschaulichung des Verlaufes
der \textb{elliptischen Functionen $\wp (u)$ und $\wp' (u)$
in der Weierstrass'schen Normalform.} Es
wurden dabei die beiden besonderen Fälle
für die Darstellung gewählt, für welche in
der cubischen Gleichung
\[
4s^3 - g_2s - g_3 = 0
\]
einmal $g_3 = 0$, dann $g_2 = 0$ ist; sie sind zugleich
Repräsentanten der beiden Functionsklassen,
für welche die Discriminante $G$ der
obigen Gleichung positiv, bezw.\ negativ ist.
\end{schilling}

\subsubsection{\texorpdfstring{$w=\wp u$}{w=pu} pour \texorpdfstring{$g_2=4$, $g_3=0$}{g2=4, g3=0} --~partie réelle.}\label{31}

\subsubsection{\texorpdfstring{$w=\wp u$}{w=pu} pour \texorpdfstring{$g_2=4$, $g_3=0$}{g2=4, g3=0} --~partie imaginaire.}\label{25}

% \subsubsection{\texorpdfstring{$w=\wp' u$}{w=p'u} pour \texorpdfstring{$g_2=4$, $g_3=0$}{g2=4, g3=0}.}

Le modèle XIV,~8 dont la gravure est reproduite ci-dessous représente
la partie réelle de la dérivée $\wp'(u)$ et manque dans la collection
de Besançon. On obtient la partie imaginaire en tournant le modèle
d'un quart de tour.
\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{314}
  \captionof{figure}{$w=\wp'(u)$ pour $g_2=4$, $g_3=0$.}
\end{gravure}

\textb{313. 314. } (XIV,~7 a, b u.~8.) Hier ist
$g_2 = 4$, $g_3 = 0$ gewählt. Dann ergeben sich
für die Perioden $\omega_1$~und~$\omega_3$ der elliptischen
Functionen die Werte
\[
\omega_1 = 1,311,~\omega_3 = 1,311\mathbin. i = \omega_1\mathbin. i\textrm.
\]
Die Symmetrie der Flächen innerhalb des
Periodenquadrates (es sind jedesmal vier
solcher modelliert) ist ausser durch die Relationen
\[
\wp(-u)=\wp (u), \wp' (- u) = -\wp' (u)
\]
durch die hier speciell geltenden Beziehungen
\[
\wp (iu) = - \wp (u)
\]
und
\[
\wp'(iu) = i\wp'(u)
\]
bezeichnet. Die letztere Formel zeigt zugleich,
dass für~$\wp' (u)$ in diesem Falle das
den imaginären Teil darstellende Modell der
Form nach identisch ist mit dem für den
reellen Teil und nur seiner Lage nach durch
einen Winkel von 90° gedreht erscheint.
Die Modelle kennzeichnen ebenso wie die
folgenden Nr.~9 und~10 in charakteristischer
Weise das Verhalten einer Function in der
Umgebung eines zweifachen [für $\wp (u)$] bezw.\ dreifachen [für $\wp' (u)$] Unendlichkeitspunktes.
Neben diesen treten in den Modellen für~$\wp(u)$ noch gewisse „Sattelpunkte“ ---~den
Werten, für welche $\wp' (u) = 0$ wird, entsprechend~--- besonders hervor; und ebenso
sind in den Modellen für~$\wp' (u)$ in den
Punkten, für welche $\wp '' (u) = 0$ wird, Sattelpunkte
vorhanden. Von Assistenten \emph{Burkhardt}
und Lehramts-Candidaten \emph{Wildbrett}~(D).
($16\times16\times16$~cm.)
Nr.~7a u.~7b je Mk.~38.--, Nr.~8 Mk.~44.--.
\end{schilling}

\references{313}
  \citeauthor[série~XIV (1886) \no7 a, b pages~29-30 et \textb{313}
  pages~160-161]{sc11}. \citeauthor[\textb{49} \textit{Specialkatalog~179}
  pages~176-178]{dy92}. 
  \citeauthor[pages~81-82, photographies~129 et 130]{fi86k}. \citeauthor[536, 535]{belgoderemaillard50}.  



\collections
\textb{313} (XIV,~7a):
\qr{313ago}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=260},
\qr{313ahr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1074.jpg},
\qr{313ahr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-07-001.JPG},
\qr{313ail}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=411}.
\textb{313} (XIV,~7b): 
\qr{313bgo}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=261},
\qr{313bhr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1021.jpg},
\qr{313bhr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1077.jpg},
\qr{313bhr3}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-05-011.JPG},
\qr{313bil}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=517},
\qr{}{Marbourg}{http://www.universitaetssammlungen.de/modell/1884}.

\subsubsection{\texorpdfstring{$w=\wp u$}{w=pu} pour \texorpdfstring{$g_2=0$, $g_3=4$}{g2=0, g3=4} --~partie réelle.}\label{9}

\subsubsection{\texorpdfstring{$w=\wp' u$}{w=p'u} pour \texorpdfstring{$g_2=0$, $g_3=4$}{g2=0, g3=4} --~partie réelle.}\label{8}
\subsubsection{\texorpdfstring{$w=\wp' u$}{w=p'u} pour \texorpdfstring{$g_2=0$, $g_3=4$}{g2=0, g3=4} --~partie imaginaire.}\label{7}

C'est ce dernier modèle que Man Ray a photographié: \emph{Allure de la
  fonction elliptique p'(u) pour g2=0 et g3=4} \citep[page~17]{ze36}.  \citet{br36} propose de l'affubler de la légende \emph{Les pénitents roses}. Karel Teige a utilisé cette
photographie pour un collage qui orne la couverture de l'édition
tchèque de \emph{Choix de poèmes} d'\citet{eluard46}. Elle porte la 
légende \emph{Expression modulaire d'une fonction elliptique} et
\emph{Joyeuses commères} sur la maquette de la collection Lucien
Treillard \citep[page~86]{we02}. L'huile sur toile et la
lithographie \emph{The merry wives of Windsor} [Les
joyeuses commères de Windsor] de Man Ray sont composées à partir de cette photographie: voir \cite{pe75}.

Voici comment Man Ray évoque ces œuvres dans son autobiographie.
\begin{quotation}
  Parmi les photographies que je rapportais à Hollywood, il y avait
  tout un paquet d'é\-preuves faites dans les années trente, destinées à
  servir de modèles à une série de tableaux. Elles représentaient des
  objets en bois, en métal, en plâtre et en fil de fer qui, dans les
  vitrines poussiéreuses de l'Institut Poincaré, servaient
  d'illustrations à des équations algébriques. Ces équations n'avaient
  aucun sens pour moi, mais les formes des objets, en elles-mêmes,
  étaient aussi variées et aussi authentiques que celles que l'on
  trouve dans la nature. Ce qui, à mes yeux, les rendait plus
  importantes encore, c'est qu'elles étaient fabriquées par la main de
  l'homme: on ne pouvait pas dire qu'elles étaient abstraites, comme
  le craignait Breton lorsque je les lui montrai pour la première
  fois. Pour moi, tout art abstrait est comme un fragment, comme un
  agrandissement d'un détail de la nature ou d'une œuvre d'art. Ces
  objets-là, par contre, étaient des macrocosmes complets. En les
  peignant, je ne les copiais pas exactement, mais composais de chacun
  d'eux un tableau. Je modifiais les proportions, ajoutais des
  couleurs, sans tenir compte des intentions mathématiques. Parfois
  même, j'introduisais quelque forme inattendue comme celles d'un
  papillon ou d'un pied de table. Quand j'eus terminé une quinzaine de
  ces tableaux, je leur donnai le titre général: \emph{Équations
    shakespeariennes}. Pour son identification individuelle, chaque
  tableau portait le titre d'une pièce de Shakespeare, arbitrairement,
  le premier qui me passait par la tête. C'est ainsi que le dernier
  s'intitula: \emph{Tout est bien qui finit bien}. Il se trouva des
  gens pour voir un rapport symbolique entre le sujet et le titre.

  Ces tableaux faisaient partie de mon exposition à la galerie
  Copley. Le titre du catalogue très élaboré que j'avais préparé,
  \emph{To be continued unnoticed}, était prophétique: aucun critique
  ne mentionna mon exposition, et elle passa également inaperçue des
  collectionneurs, à l'exception de ceux qui me connaissaient
  personnellement.  Al Lewin prit \emph{La mégère apprivoisée}; les
  Wescher, un autre tableau que je peignis spécialement pour eux,
  après coup, et sans titre shakespearien.
  \citep[pages~484-485]{ra98}
\end{quotation}

\begin{schilling}
\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{315}
  \captionof{figure}{$w=\wp(u)$ pour $g_2=0$, $g_3=4$ [R.].}
\end{gravure}

\textb{315. 316. } (XIV,~9a, b.\ u.\ 10a, b.) Hier sind
die Constanten $g_2 = 0$, $g_3 = 4$ zu Grunde
gelegt, für welche die Perioden $\omega_2$ und $\omega_3$
die Werte
$\omega_2 = 1,2143$, $\omega_3=0,6072 + 1,0516 i=e^{i\frac\pi3}\omega_2$
erhalten. Weiter hat man für die Bezeichnung
der in den Flächen ersichtlichen
Symmetrien der Relationen:
\begin{align}
  \wp(\varepsilon u) &= \varepsilon^4\wp(u)\\
  \wp'(\varepsilon u)&= \varepsilon^3\wp'(u),
\end{align}
wo $\varepsilon$~eine sechste Einheitswurzel bezeichnet.
Von Assistenten \emph{Burkhardt} und Lehr\-amts-Candidaten \emph{Wildbrett}~(D). ($15\times22\times16$~cm.)
\hfill\hbox{Nr.\ \phantom09a.\ u.\ \phantom09b.\ je Mk.~41.--.}

\hfill  Nr.\ 10a.\ u.\ 10b.\ je Mk.~48.--.

Den Modellen ist ein erläuternder Text
beigefügt und 5 Figurentafeln, in welchen
die auf den Flächen verzeichneten Niveaulinien
und Fallinien in ihrer Projection auf
die Ebene des complexen Argumentes dargestellt
sind.
\end{schilling}

\references{315}
  \citeauthor[série~XIV (1886) \no9a~et~10a, b pages~29-30 et \textb{315 316}
  page~161]{sc11}. \citeauthor[\textb{49} \textit{Specialkatalog~181, 182}
  pages~176-178]{dy92}. 
  \citeauthor[pages~81-82]{fi86k}. \citeauthor[538 et 540, 541]{belgoderemaillard50}.  



\collections
\textb{315} (XIV,~9a): \qr{315ahr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1049.jpg},
\qr{315ahr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-07-009.JPG},
\qr{315ail}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=509},
\qr{315ait}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/14-9A.htm}.
\textb{316} (XIV,~10a): 
\qr{316ahr}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-04-008.JPG},
\qr{316ail}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=481}.
\textb{316} (XIV,~10b): 
\qr{316bhr}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-01-002.JPG},
\qr{316bil}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=487}.

\section{Physique}

\subsection{Mécanique et cinématique.}

\subsubsection{La chaînette sur la sphère.}\label{3}

Comme on peut le vérifier facilement en posant un collier de perles de verres sur la sphère, les courbes tracées sur la sphère correspondent à la position d'équilibre d'un fil matériel qui épouse la forme de la sphère.\medskip

\begin{schilling}
\textb{324. } (V,~6.) \textb{Die Kettenlinie auf der Kugel. }
(Vergl.\ die Abhandlung von \so{Clebsch} in
Crelle's Journal, Bd.~57, pag.~104~ff.). Die 
beiden auf der Kugel vereinigten Typen entsprechen
dem Fall, wo das elliptische Integral
sich auf ein Kreisintegral reduciert; in den
Bezeichnungen der genannten Abhandlung
\[
\varrho\sin\varepsilon = 1,
\textrm{ a) } \varrho = \frac34,
\textrm{ b) } \varrho = \frac54\textrm.
\]

Durch eine Schnur von Glasperlen lassen
sich die Curven leicht experimentell prüfen.
Berechnet von Assistenten \emph{Fischer} in München~(B). (Grösse 9~cm.)\dotfill Mk.~9.--.
\end{schilling}

\references{324}
  \citeauthor[série~V (1880) \no6 pages~11-12 et \textb{324}
  page~162]{sc11}. \citeauthor[\textb{238} \textit{Specialkatalog~156}
  page~312]{dy92}.


\collections
\qr{324go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=890},
\qr{324hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=Sc-005},
\qr{324gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie5_nr6.html}.


\subsubsection{Trajectoire d'un point matériel sur la sphère (donc celle du pendule sphérique).}\label{20}

Le cas représenté correspond à la trajectoire d'un point matériel dont la hauteur maximale (ou de la position initiale) est celle du centre de la sphère. La vitesse initiale est choisie de sorte que la trajectoire se referme après trois périodes. Le lieu géométrique des points de hauteur minimale des différentes trajectoires correspondant à des vitesses initiales différentes est aussi indiqué.


\begin{schilling}
\textb{325. } (II,~6.) \textb{Bahncurve eines schweren
Punktes auf der Kugel (also die des sphärischen Pendels).} Es ist der Fall dargestellt,
wo der oberste (Ausgangs-) Punkt der Bahn 
sich in der Höhe des Mittelpunktes der 
Kugel befindet; die Anfangsgeschwindigkeit 
ist so gross gewählt, dass die Bahncurve 
sich nach 3 Perioden schliesst. Auch ist 
der geometrische Ort der untersten Punkte 
der verschiedenen Ortslinien angegeben, 
welche verschieden grossen Anfangsgeschwindigkeiten im Anfangspunkt entsprechen. Die Berechnung der Bahn u.~s.~w.\
ist von stud.\ math.\ \emph{Schleiermacher} ausgeführt~(B). ($18\times14$~cm.)\dotfill Mk.~13.--. 
\end{schilling}

\references{325}
  \citeauthor[série~II (1877) \no6 pages~5-6 et \textb{325}
  page~162]{sc11}. \citeauthor[\textb{239} \textit{Specialkatalog~157}
  page~312]{dy92}.


\collections
\qr{325go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=891},
\qr{325hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=Sc-002},
\qr{325hr1}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1022.jpg},
\qr{325hr2}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models/1023.jpg},
\qr{325hr3}{Harvard}{http://www.math.harvard.edu/history/models1/M-07-006.JPG},
\qr{325il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=503},
\qr{325it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/ii_6.htm}.


\subsection{Optique.}

\subsubsection{Front d'onde pour cristaux biaxiaux en octants individuels.}\label{19}

Ce modèle représente un octant du front d'onde de Fresnel, c'est-à-dire de la surface d'égale phase d'une onde, pour la lumière émise de l'intérieur d'un cristal anisotrope. Il s'agit d'une surface de Kummer avec 4 points doubles réels, les 12~autres étant imaginaires.

Normalement, il devrait y avoir deux octants, mais il ne nous en reste qu'un seul. Les gravures ci-dessous ne montrent pas les octants, mais le modèle démontable, série~VI \no1, qui montre les nappes externe et interne du même front d'onde. C'est l'existence de ces deux nappes qui explique le phénomène de biréfringence du spath d'Islande.

\begin{gravure}
  \centering\includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{360a}  \includegraphics[scale=\ifhtml4\else1\fi]{360b}
  \captionof{figure}{Front d'onde de Fresnel pour cristaux biaxiaux, modèle démontable le long d'une section principale.}
\end{gravure}

\begin{schilling}
\textb{360. } (VI,~4.) \textb{Wellenfläche für optisch
zweiaxige Krystalle in einzelnen Octanten}
mit den sphärischen und ellipsoidischen
Curven (die also bezw.\ durch Kugeln und
Ellipsoide ausgeschnitten werden). Auf
jedem der beiden Mäntel ist das eine System
sphärisch, das andere ellipsoidisch. Auf dem
Modell sind ferner die Nabelpunkte angegeben.
Die Öffnungen markieren die Richtung
des zugehörigen Strahls. Von Rector
Dr.~\emph{Böklen} in Reutlingen, nebst einer Erläuterung.
($24\times9$~cm.)\dotfill Mk.~10.--.
\end{schilling}

\references{360}
  \citeauthor[série~VI (1880) \no4 page~13 et \textb{360}
  page~168]{sc11}. \citeauthor[\textb{281} \textit{Specialkatalog~162}
  pages~377-378]{dy92}.
% \begin{specialkatalog}
%   158-162 (pag. 13, 21 und 87)
% \end{specialkatalog}
   \citeauthor[pages~15-18]{fi86k}.


\collections
\qr{360go}{Göttingen}{http://www.uni-math.gwdg.de/modellsammlung/modell.php?MD=287},
\qr{360gr}{Groningue}{http://www.math.rug.nl/models/Serie6_nr4.html},
\qr{360hl}{Halle}{http://did2.mathematik.uni-halle.de/modell/modell.php?Nr=Sc-003},
\qr{360il}{Illinois}{http://www.mathmodels.illinois.edu/cgi-bin/cview?SITEID=4&ID=499},
\qr{360it}{Italie}{http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/vi_4.htm},
\qr{360d}{Dresde}{http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=351}.


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\bibliography{jahrbuch,modelle}
\end{document}
