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\title{Lorenzen's reshaping of Krull's Fundamentalsatz\\for integral domains (1938--1953)}
\author{Stefan Neuwirth}
\date{}

\begin{document}


\maketitle

\begin{abstract}
  Krull's Fundamentalsatz, the generalisation of the main theorem
of elementary number theory to integral domains, is the starting point of
Lorenzen’s career in mathematics. This article traces a conceptual
  history of Lorenzen's successive reformulations of the
  Fundamentalsatz on the basis of excerpts of his articles. An edition
  of the extant correspondence of Lorenzen with Hasse, Krull, and Aubert
  provides a better understanding of the context of these
  investigations.
\end{abstract}

\tableofcontents%\clearpage

\section{Introduction.}

In the period considered, Paul Lorenzen is a professional
mathematician whose research in abstract algebra leads to new insights
on the way algebraic objects are given to us. His genuine interest in
mathematical logic certainly triggers these insights; conversely, they also influence his conception of a consistency proof for elementary number theory as the construction of an embedding of a preordered set into a $\sigma$-complete pseudocomplemented semilattice \citep[see][]{coquandneuwirth19}.

The broader framework in which this happens is that of lattice
theory getting to the core of mathematical research, after the work of
the precursors Dedekind, Schröder, and Skolem. The introduction of
lattice theory into ideal theory is credited to Wolfgang
\citet{krull26}, whose assistant Lorenzen is from 1939
until his habilitation in 1946.

Herbert \citet[page~146]{mehrtens79}, in considering Steinitz’ work, describes the development of
modern algebra in the following terms:
\begin{enumerate*}
\item the algebraic structure of concrete objects is unveiled;
\item it is given an abstract axiomatic formulation;
\item the abstract concepts are subjected to a detailed investigation of their structure.
\end{enumerate*}
It is at this third stage that lattice theory becomes instrumental.

\begin{EngCadre}
  \noindent After the first step, where the algebraic fundamental structures had emerged in the investigation of numbers, equations, and functions, and the second phase, where the abstract-axiomatic formulation had been achieved, now the abstract concepts became the base of a careful structural investigation.

  Seen in this way, the third phase in the development of abstract algebra, the ``modern age'', starts with Steinitz. Dedekind's work belongs to the first, concrete phase; it is part of this developmental stage by virtue of containing the germ of the further development. This is also attested by the fact that, in one detail, he himself carried out all three phases -- in the investigation of the dual group [the lattice]. For abstract algebra, the third phase is marked by E. Noether, E. Artin, H. Hasse, W. Krull, and others, whose most productive time were the 20s and 30s.
  %
  % Nachdem im ersten Schritt sich die algebraischen Grundstrukturen in
  % der Untersuchung von Zahlen, Gleichungen und Funktionen
  % herausgeschält hatten und in der zweiten Phase die
  % abstrakt-axiomatische Formulierung gelungen war, wurden jetzt die
  % abstrakten Begriffe zur Grundlage sorgfältiger
  % Strukturuntersuchungen gemacht.
  %
  % So gesehen beginnt mit Steinitz die dritte Phase in der Entwicklung
  % der abstrakten Algebra, die `Moderne'. Dedekinds Werk gehört zur
  % ersten, konkreten Phase; es ist Teil dieser Entwicklungsstufe, indem
  % es den Keim der weiteren Entwicklung enthält. Das drückt sich auch
  % darin aus, daß er selbst in einem Detail alle drei Phasen vollzogen
  % hat~-- in der Untersuchung der Dualgruppe. Für die abstrakte Algebra
  % ist die dritte Phase bestimmt durch E. Noether, E. Artin,
  % H. Hasse, W. Krull und andere, deren fruchtbarste Zeit die zwanziger und
  % dreißiger Jahre waren.
\end{EngCadre}

This article proposes to follow Lorenzen's work in algebra by focusing
on a specific theorem, Krull's Fundamentalsatz for integral
domains. The theorem is introduced on the basis of excerpts of
articles by \citet{krull30,krull32,krull36} with a short comment. Thus
the starting point of Lorenzen's research is described. Then excerpts
of each of his four articles on the subject
\citep{Lor1939,Lor1950,Lor1952,Lor1953} are given and commented on, in
chronological order, so as to follow his enterprise of deepening the
understanding of the Fundamentalsatz. In his letter to Krull dated 6~June 1944 (page~\pageref{19440606}), Lorenzen describes his goal as follows.

\begin{EngCadre}
  And\label{19440606t} yet the simplification and clarification of the proof methods is
  precisely the proper main goal of my work. I have not tried to
  generalise the theorems of multiplicative ideal theory at any price,
  even at the price of complicating -- on the contrary, I rather care only to discern the
  basic ideas of the proof methods in their ultimate simplicity. If e.g.\ I replace the concept of valuation by
  ``homomorphism of a semilattice into a linearly preordered set'',
  then I see therein a conceptual simplification instead of a
  complication. For the introduction of the concept of valuation
  (e.g.\ the prima facie arbitrary triangle inequality) is justified
  only by the subsequent success, whereas the concept of
  homomorphism bears its justification in itself. I would say that the
  homomorphism into a linear preorder is the ``pure concept'' that
  underlies the concept of valuation. And the underlying, pure concept
  seems to me to be undeniably the simpler one.

  If I am mistaken in this point, then I urge you to tell
  it to me, because it has to date always been my endeavour in my whole mathematical
  work to bring
  to light these underlying, pure concepts themselves in their simple
  and transparent clarity.

  In this tendency toward conceptual clarification, the paper [\citealt{Lor1950}] also differs from my dissertation [\citealt{Lor1939}]. That this clarification, this understanding of the inner significance, as you call it once, is
  the most urgent duty has really become evident to me only in the last
  years.
\end{EngCadre}

This article allows for several different readings, according to the objectives of the readers and to their German language skills. Krull's formulation and analysis of his Fundamentalsatz and Lorenzen's reshaping of it are presented as a process that takes place in seven articles, of which the arguments relevant for our history are presented in a comprehensive way, sometimes accompanied by translations of selected paragraphs; then excerpts of the original article, chosen so as to allow for a direct and coherent reading and comparison with my presentation, are reproduced. The correspondence of Lorenzen with Hasse, Krull, and Aubert, together with a few documents, provides an insight into their respective conceptions as well as into the human and administrative component of this history.


% \begin{Cadre}
%   \noindent Waren Dedekind und Kronecker, die den Anfang der modernen
%   Algebra noch im konkreten Rahmen setzten, zur ersten Generation zu
%   rechnen, so sind Emmy Noether, Ore und Menger Mathematiker der
%   zweiten Generation, die die Theorien der modernen Algebra abstrakt,
%   mengentheoretisch und axiomatisch fundiert entwickeln und dabei auch
%   manchen neuen Begriff bilden. Für sie bleibt der Verbandsbegriff
%   noch mit dem Gegenstand ihrer Forschung verbunden. Erst Garrett
%   Birkhoff gehört zur dritten Generation. Er nimmt den Begriff, der
%   sich aus der entwickelten Theorie neu ergibt, als einen
%   mathematischen Gegenstand eigener Bedeutung, der vom speziellen
%   Anwendungsrahmen abgehoben werden kann. Die Generationenfolge
%   spiegelt sich deutlicher in der Ausbildung. Die `moderne'
%   Mathematik, in der zweiten Generation ausführlich entwickelt und
%   schon zum beherrschenden Element mathematischer Forschung geworden,
%   bleibt noch an die Personen, die Mathematiker der `zweiten
%   Generation' gebunden. Die ersten Textbücher erscheinen gerade erst;
%   die meisten Universitäten bieten eine ganz klassische
%   Mathematikausbildung. Die Diskrepanz, die sich auftut zwischen
%   dieser scheinbar unfruchtbaren konservativen Ausbildung und der
%   "`neuen Welt"' der modernen Mathematik, die sich dem jungen
%   Mathematiker gegen Ende der Ausbildung bietet, wenn er Kontakt zur
%   aktuellen Forschung bekommt, erzeugt die dritte Generation. Sie
%   erhält den Impetus, die abstrakte Mathematik, die `modernen'
%   Methoden noch ein Stück weiter zu treiben. Dieses Phänomen findet
%   sich in der Entstehung der Verbandstheorie bei Birkhoff und in ganz
%   ähnlicher Weise zur gleichen Zeit bei der Herausbildung der
%   Bourbaki-Idee. Als Ergebnis einer solchen Bewegung, die sich aus
%   einer Phasenverschiebung in der Entwicklung der Mathematik zwischen
%   den Bereichen der Forschung und der Lehre ergibt, ist der
%   Verbandsbegriff in einem weiteren Aspekt aus dem Wissenschaftssystem
%   zu erklären.
% \end{Cadre}
\section{\texorpdfstring{\citealt{krull30}}{Krull 1930}: a first attempt at introducing valuations for an integral domain.}
\label{sec:1930}

\selectlanguage{english}


\citet{krull30} describes the goal of a  Fundamentalsatz for integral domains: it should  generalise the ``main theorem of elementary number theory'' to the case of an integral domain~$\mathfrak O$ with field of fractions~$\mathfrak K$. The theorem to be generalised answers the question of when a nonzero element~$\alpha$ of~$\mathfrak K=\mathbb Q$ is divisible by another nonzero element~$\beta$, i.e.\ of when the quotient~$\alpha\cdot\beta^{-1}$ lies in~$\mathfrak O=\mathbb Z$. It does so in terms of the difference between the exponents with which each prime number~$p$ appears in the numerator and the denominator of~$\alpha$ (the \emph{value of\/~$\alpha$ at}~$p$) and of~$\beta$: the value of~$\alpha$ must be greater than or equal to the value of~$\beta$ at each~$p$.

Krull proposes an abstract version of these differences of exponents by
defining valuations as functions~$\mathfrak K\to\mathbb R\cup\{+\infty\}$ satisfying three properties~1, 2~and~3, and investigates when valuations decide divisibility.

\subsection{Excerpt.}

Our excerpt is from pages~531--532 of ``Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern~II'', \emph{Mathematische Zeitschrift}~31.

\begin{Cadre}
  \noindent\hfil  §~1.\nopagebreak\smallskip

  \noindent\hfil\textbf{Bewertung; Begriff der Zahlentheorie.}\nopagebreak\medskip

Das Grundproblem und der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie kann
folgendermaßen formuliert werden:\smallskip

\so{Frage:} Wann ist das Element~$\alpha$ aus dem
Körper~$\mathfrak K_r$ der rationalen Zahlen hinsichtlich der
Ordnung~$\mathfrak O_r$ der ganzen rationalen Zahlen durch das
gleichfalls zu~$\mathfrak K_r$ gehörige Element~$\beta$ teilbar, d.\
h.\ wann liegt der Quotient~$\alpha\cdot\beta^{-1}$
in~$\mathfrak O_r$?\smallskip

\so{Antwort:} Man ordne jeder Primzahl~$p$ aus~$\mathfrak O_r$ eine
„Stelle“~$P$ zu und verstehe für beliebiges $\alpha\ne0$
aus~$\mathfrak K_r$ unter dem Wert von~$\alpha$ in~$P$ die Differenz
der Exponenten, mit denen die zu~$P$ gehörige Primzahl~$p$ bei einer
Quotientendarstellung von~$\alpha$ durch ganze Zahlen in Zähler und
Nenner aufgeht.  Dann gilt der Satz: $\alpha$~ist dann und nur dann
durch~$\beta$ teilbar, wenn der Wert von~$\alpha$ in bezug auf eine
beliebige Stelle niemals kleiner ist als der Wert von~$\beta$ in bezug
auf die gleiche Stelle.\smallskip

Es bedeute von jetzt ab~$\mathfrak K$ einen beliebigen Körper, unter
einer \emph{Ordnung}~$\mathfrak O$ möge ein Unterring
von~$\mathfrak K$ verstanden werden, der das Einheitselement enthält,
von~$\mathfrak K$ selbst verschieden ist und die Eigenschaft besitzt,
daß jedes Element aus~$\mathfrak K$ als Quotient von Elementen
aus~$\mathfrak O$ geschrieben werden kann, daß also~$\mathfrak K$ den
Quotientenkörper von~$\mathfrak O$ darstellt.  Wir nennen das
Körperelement~$\alpha$ durch das Körperelement~$\beta$
\emph{hinsichtlich\/~$\mathfrak O$ teilbar}, wenn
$\alpha\cdot\beta^{-1}$ zu~$\mathfrak O$ gehört und fragen:\smallskip

\emph{Welche Eigenschaften muß\/ $\mathfrak O$~besitzen, damit über die
  Teilbarkeitsverhältnisse der Elemente von\/~$\mathfrak K$
  hinsichtlich\/~$\mathfrak O$ nach dem Vorbild der elementaren
  Zahlentheorie durch Einführung von „Stellen“ und zugehörigen
  „Bewertungen“ entschieden werden kann?}\smallskip

Um die aufgeworfene Frage zu präzisieren, haben wir vor allem genau
festzulegen, was unter einer Stelle mit zugehöriger Bewertung
verstanden werden soll. Von einer \emph{Bewertung von}~$\mathfrak K$
sprechen wir, wenn jedem Körperelement $\alpha\ne0$ eindeutig eine
reelle Zahl~$r$, der Null das Symbol~$+\infty$ als \emph{Wert}
zugeordnet ist, und wenn dabei die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1.~\emph{Der Wert von\/~$\alpha\cdot\beta$ ist gleich der Summe der
  Werte von\/ $\alpha$~und\/~$\beta$}.  2.~\emph{Der Wert
  von\/~$\alpha+\beta$ ist nie kleiner als der kleinere der Werte
  von\/ $\alpha$~und\/~$\beta$}.  3.~\emph{Nicht alle Elemente haben
  den Wert\/~$0$}.
\end{Cadre}

\section{\texorpdfstring{\citealt{krull32}}{Krull 1932}: the Fundamentalsatz for integral domains.}
\label{sec:1932}


\citet{krull32} discovers that the concept of valuation in
\citealt{krull30} is too narrow for deciding divisibility. He starts by
redefining a valuation as a surjective
function~$w\colon\mathfrak K^*\to\varGamma$, with $\varGamma$ an
abelian linearly preordered group, not necessarily archimedean,
such that
\begin{align}
  w(a\cdot b)&=w(a)+w(b)\text,\label[equality]{w(ab)}\\
  w(a+b)&\geq\min(w(a),w(b))\text.\label[inequality]{w(a+b)}
\end{align}
The
former concept corresponds to subgroups~$\varGamma$ of the additive
group~$\mathbb R$ and is from now on called ``special valuation''. A valuation
defines the \emph{valuation ring}~$\mathfrak B$ formed by~$0$ together with the elements where it is nonnegative.

E.g.\ if $\mathfrak K=\mathbb Q$ and $p$~is a prime number, then the
value of $a\in\mathbb Q^*$ at~$p$ may be defined by writing~$a=p^na'$
with $n\in\mathbb Z$ and $p$~dividing neither the numerator nor the
denominator of~$a'$, and by letting $\varGamma=\mathbb Z$ and
$w(a)=n$. Then $\mathfrak B$~is the ring of those fractions that can be written with a denominator not divisible by~$p$.

Krull starts by proving two characterisations of a valuation ring~$\mathfrak B$.
\begin{enumerate}[wide,nosep]
\item It is a subring of the field of fractions~$\mathfrak K$
  that preorders it linearly by divisibility: if $a\in\mathfrak K$, then
  $a\in\mathfrak B$ or $a^{-1}\in\mathfrak B$. It is here that he
  needs the freedom of constructing an arbitrary abelian linearly
  preordered group~$\varGamma$.
\item It is a local ring (i.e.\ its nonunits form an ideal) such that every
  ring~$\mathfrak B'$ with
  $\mathfrak B\subset\mathfrak B'\subseteq\mathfrak K$ contains the
  inverse of a nonunit of~$\mathfrak B$. Note that this property gives rise to nonconstructive instantiations of such an inverse of nonunit in arguments by contradiction.
\end{enumerate}

Then he focuses on the connection with integral closedness.

\begin{EngCadre}
  As usual, the element~$p$ is to be called \emph{integrally dependent on the ring}~$\mathfrak R$ if it satisfies an equation $p^n+a_1p^{n-1}+\dots+a_n=0$ with coefficients~$a_i$ in~$\mathfrak R$; $\mathfrak R$ will be termed \emph{integrally closed} if every element in the field of fractions~$\mathfrak K$ that is integrally dependent on~$\mathfrak R$ already belongs to~$\mathfrak R$.
\end{EngCadre}

He observes on the way that
valuation rings are integrally closed. This proves one direction of
the Fundamentalsatz for integral domains, viz.
\begin{EngCadre}
  \noindent\textbf{Theorem 7. }\emph{A proper subring\/~$\mathfrak R$
  of\/~$\mathfrak K$ may be represented as intersection of (finitely or infinitely many)
valuation rings if and only if it is integrally closed.}
\end{EngCadre}
The other direction follows from the fact that if
$a\in\mathfrak K\setminus\mathfrak R$ with $\mathfrak R$~integrally
closed, then $a^{-1}$~is a nonunit of~$\mathfrak R[a^{-1}]$: if
$a$~does not belong to~$\mathfrak R$, then it is not integrally
dependent on~$\mathfrak R$ either, and this may be expressed as the
absence of a relation of the form
$a^{-1}(a_1+a_2a^{-1}+\dots+a_n(a^{-1})^{n-1})=1$.  Then Zorn's lemma
provides a maximal
subring~$\mathfrak B$ of~$\mathfrak K$
containing~$\mathfrak R[a^{-1}]$ but not $a$; $\mathfrak B$ turns out
to be a valuation ring by the second characterisation of a valuation ring.

\subsection{Excerpt.}

Our excerpt is from pages~163--165 and 168--169 of ``Allgemeine Bewertungstheorie'', \emph{Journal für die reine und angewandte Mathematik}~167.

\begin{Cadre}
  \noindent\hfil\textbf{§~1. Definition und Grundeigenschaften der allgemeinen
    Bewertungen.}\nopagebreak\medskip

$\mathfrak K$~bedeutet stets einen Körper, $\varGamma$~eine Abelsche
Gruppe mit der Addition als Verknüpfungsrelation und der~$0$ als
Einheitselement. [\dots] %Elemente aus~$\mathfrak K$ werden mit kleinen
% lateinischen, Elemente aus~$\varGamma$ mit griechischen Buchstaben
% bezeichnet. \
$\varGamma$ bzw.~$\mathfrak K$ soll \emph{linear geordnet}
heißen, wenn zwischen den Elementen von~$\varGamma$ bzw.~$\mathfrak K$
eine Ordnungsbeziehung definiert ist mit den üblichen
charakteristischen Eigenschaften:

\dotfill\smallskip
% 1.~Sind $\alpha$~und~$\beta$ beliebige Elemente aus~$\varGamma$ ($a$~und~$b$ beliebige Elemente aus~$\mathfrak K$), so
% gilt stets entweder $\alpha>\beta$, $\beta<\alpha$ oder $\alpha<\beta$, $\beta>\alpha$ ($a>b$, $b<a$ oder $a<b$, $b>a$). --~Aus $\alpha>\beta$, $\beta>\alpha$ ($a>b$, $b>a$) folgt $\alpha=\beta$ ($a=b$).

Von einer \emph{Bewertung\/~$B$ von\/~$\mathfrak K$ mit der
  Wertgruppe\/~$\varGamma$} soll gesprochen werden, wenn jedem
Element~$a\ne0$ aus~$\mathfrak K$ eindeutig ein Element~$\alpha=w(a)$
aus~$\varGamma$ als \emph{Wert} zugeordnet ist, und wenn dabei folgende
Bedingungen erfüllt sind: 1.~$w(a\cdot b)=w(a)+w(b)$.
--~2.~$w(a+b)\geq\min(w(a),w(b))$. --~3.~Zu jedem~$\alpha$ aus~$\varGamma$
gibt es ein~$a$ aus~$\mathfrak K$, so daß $\alpha=w(a)$.

\dotfill\smallskip

Die Gesamtheit der Elemente~$a$, die in einer festen Bewertung~$B$
von~$\mathfrak K$ nichtnegative Werte haben, bildet zusammen mit dem
Nullelement einen echten Unterring~$\mathfrak B$ von~$\mathfrak K$,
den „\emph{zu\/~$B$ gehörigen Bewertungsring}“.

\dotfill\smallskip

\textbf{Satz 1. }\emph{Ein echter Unterring\/~$\mathfrak B$
  von\/~$\mathfrak K$ ist dann und nur dann Bewertungsring, wenn\/
  $\mathfrak B$~den Körper\/~$\mathfrak K$ zum Quotientenkörper hat
  und wenn in\/~$\mathfrak B$ von zwei Elementen\/~$a_1$~und\/~$a_2$
  stets (mindestens) eines durch das andre teilbar ist.}

\dotfill\medskip

\noindent\hfil\textbf{§~3. Kennzeichnung der ganz abgeschlossenen
  Ringe.}\nopagebreak\medskip

Das Element~$p$ soll wie üblich \emph{vom Ringe\/~$\mathfrak R$ ganz
  abhängig} heißen, wenn es einer Gleichung
$p^n+a_1p^{n-1}+\cdots+a_n=0$ mit Koeffizienten~$a_i$
aus~$\mathfrak R$ genügt; $\mathfrak R$ wird \emph{ganz abgeschlossen}
genannt, wenn jedes von~$\mathfrak R$ ganz abhängige Element aus dem
Quotientenkörper~$\mathfrak K$ bereits zu~$\mathfrak R$ selbst gehört.
Bezeichnen wir für beliebiges~$a$ mit $\mathfrak R[a]$ stets den Ring
aller Polynome in~$a$ mit Koeffizienten aus~$\mathfrak R$, so können
wir die von~$\mathfrak R$ ganz abhängigen Elemente auch folgendermaßen
charakterisieren:\smallskip

\emph{Das Element\/~$p$ hängt von\/~$\mathfrak R$ dann und nur dann ganz
  ab, wenn\/ $p^{-1}$ in~$\mathfrak R[p^{-1}]$ Einheit ist.}\smallskip

In der Tat, $p^n-a_1p^{n-1}-\cdots-a_n=0$ ist vollkommen gleichwertig
mit $1=p^{-1}\cdot(a_1+a_2p^{-1}+\cdots+a_n(p^{-1})^{n-1})$ und das
Bestehen einer Gleichung der letzteren Form mit Koeffizienten~$a_i$
aus~$\mathfrak R$ ist notwendig und hinreichend dafür, daß $p^{-1}$
in~$\mathfrak R[p^{-1}]$ Einheit ist. -- Aus unserm Kriterium für ganz
abhängige Elemente folgt sofort:\smallskip

\emph{Ist\/~$a$ Nichteinheit in\/~$\mathfrak R$, so kann\/ $a^{-1}$
  niemals von\/~$\mathfrak R$ ganz abhängen.}\smallskip

Wäre nämlich $a^{-1}$ von~$\mathfrak R$ ganz abhängig, so müßte
$a=(a^{-1})^{-1}$ in~$\mathfrak R[a]=\mathfrak R$ gegen Voraussetzung
Einheit sein.\smallskip

\textbf{Satz 5. }\emph{Ein echter Unterring\/~$\mathfrak B$
  von\/~$\mathfrak K$ ist dann und nur dann Bewertungsring, wenn
  in\/~$\mathfrak B$ die Gesamtheit der Nichteinheiten ein Ideal
  bildet, und wenn in\/~$\mathfrak K$ jeder echte Oberring
  von\/~$\mathfrak B$ mindestens ein Reziprokes einer Nichteinheit
  von\/~$\mathfrak B$ enthält.}\smallskip

Daß jeder Bewertungsring die in Satz 5 angegebenen Eigenschaften
besitzt, ist klar nach §~1. -- Ist umgekehrt~$\mathfrak B$ irgendein
Ring mit diesen Eigenschaften, so muß zunächst $\mathfrak B$~ganz
abgeschlossen sein.  Denn der Ring~$\mathfrak B^*$ aller
von~$\mathfrak B$ ganz abhängigen Elemente aus~$\mathfrak K$ muß
mit~$\mathfrak B$ zusammenfallen, weil er sicher kein einziges
Reziprokes einer Nichteinheit von~$\mathfrak B$ enthält.  Es seien
ferner $a_1$~und~$a_2$ zwei beliebige Elemente aus~$\mathfrak B$, und
es sei etwa $a_2$~nicht in~$\mathfrak B$ durch~$a_1$ teilbar, also
$a_2\cdot a_1^{-1}=p$ nicht Element von~$\mathfrak B$. Bilden wir
dann~$\mathfrak B[p]$, so muß in~$\mathfrak B[p]$ das
Reziproke~$a^{-1}$ einer gewissen Nichteinheit~$a$ aus~$\mathfrak B$
auftreten, es muß also eine Gleichung $a^{-1}=a_0+a_1p+\cdots+a_np^n$
mit Koeffizienten~$a_i$ aus~$\mathfrak B$ gelten.  Diese Gleichung kann
aber in die Form
$(a_0\cdot a-1)\cdot(p^{-1})^n+a_1\cdot
a\cdot(p^{-1})^{n-1}+\cdots+a_n\cdot a=0$ gebracht werden, und hier
muß wegen der besonderen Eigenschaften von~$\mathfrak B$ der
Koeffizient~$a_0\cdot a-1$ als Differenz einer Nichteinheit und einer
Einheit selbst Einheit sein. Es ist also $p^{-1}$ von~$\mathfrak B$ ganz
abhängig und somit nach dem bereits Bewiesenen Element
von~$\mathfrak B$. --~Wir haben jetzt gezeigt: Sind $a_1$~und~$a_2$
zwei beliebige Elemente aus~$\mathfrak B$, so ist in~$\mathfrak B$
entweder $a_1$~durch~$a_2$ oder $a_2$~durch~$a_1$ teilbar.  Nach
Satz~1 muß~$\mathfrak B$ daher Bewertungsring sein. -- Mit Hilfe von
Satz~5 beweisen wir weiter:\smallskip

\textbf{Satz 6. } \emph{Zu jedem echten Unterring\/~$\mathfrak R$
  von\/~$\mathfrak K$ gibt es (mindestens) einen
  Bewertungsring\/~$\mathfrak B$, der\/ $\mathfrak R$~enthält.}\smallskip

Es sei~$a$ eine beliebige Nichteinheit aus~$\mathfrak R$. Dann
existiert, wie aus trivialen Wohlordnungsschlüssen zu ersehen,
in~$\mathfrak K$ mindestens ein Ring~$\mathfrak B$, der~$\mathfrak R$,
aber nicht $a^{-1}$~enthält, und der außerdem die Eigenschaft hat, daß
$a^{-1}$~in jedem echten Oberring von~$\mathfrak B$
vorkommt. $\mathfrak B$~wird nach Satz~5 Bewertungsring sein, wenn die
Gesamtheit der Nichteinheiten in~$\mathfrak B$ ein Ideal bildet.  Es
sei nun $\mathfrak p$ irgendein Primidealteiler von~$a$
in~$\mathfrak B$, \ $\mathfrak B_{\mathfrak p}$ bedeute den Ring aller
der Elemente, die sich als Quotienten von Elementen aus~$\mathfrak B$
mit durch~$\mathfrak p$ unteilbarem Nenner schreiben lassen.  Dann
enthält~$\mathfrak B_{\mathfrak p}$ das Element~$a^{-1}$ nicht, und es
muß daher $\mathfrak B_{\mathfrak p}=\mathfrak B$ sein. Das ist
aber nur möglich, wenn $\mathfrak p$ gerade aus \emph{allen}
Nichteinheiten von~$\mathfrak B$ besteht.\smallskip

\textbf{Satz 7. }\emph{Ein echter Unterring\/~$\mathfrak R$
  von\/~$\mathfrak K$ läßt sich dann und nur dann als Durchschnitt von
  (endlich oder unendlich vielen) Bewertungsringen darstellen, wenn er
  ganz abgeschlossen ist.}\smallskip

Daß alle Bewertungsringe und damit auch alle Durchschnitte von
Bewertungsringen ganz abgeschlossen sind, wurde beim Beweise von
Satz~5 mitbewiesen.  Es sei jetzt umgekehrt $\mathfrak R$~irgendein
ganz abgeschlossener Ring, $a$~ein nicht in~$\mathfrak R$ vorkommendes
Element aus~$\mathfrak K$.  Dann haben wir nur zu zeigen, daß
mindestens ein Bewertungsring~$\mathfrak B$ existiert, der
zwar~$\mathfrak R$, aber nicht $a$~enthält. Wir bilden
$\mathfrak R[a^{-1}]$; in diesem Ringe kann~$a$ nicht vorkommen, denn
andernfalls wäre~$a^{-1}$ in~$\mathfrak R[a^{-1}]$ Einheit, und es
müßte daher~$a$ von~$\mathfrak R$ ganz abhängen und damit gegen
Voraussetzung in~$\mathfrak R$ enthalten sein.  Da also~$a^{-1}$
in~$\mathfrak R[a^{-1}]$ Nichteinheit ist, gibt es nach dem Beweise
von Satz~6 einen Bewertungsring~$\mathfrak B$, der Obermenge
von~$\mathfrak R[a^{-1}]$ also erst recht auch von~$\mathfrak R$ ist,
in dem aber $a$~nicht vorkommt.  Damit ist schon alles bewiesen. -- Um
die Bedeutung von Satz~7 noch klarer hervortreten zu lassen, führen
wir den Begriff der \emph{Hauptordnung} ein.  Der Ring~$\mathfrak R$
soll Hauptordnung heißen, wenn in~$\mathfrak R$ über die
Teilbarkeitsverhältnisse der Elemente durch Einführung von Bewertungen
entschieden werden kann, d.\ h.\ wenn sich (endlich oder unendlich
viele) Bewertungen~$\mathfrak B_\tau$ des
Quotientenkörpers~$\mathfrak K$ so definieren lassen, daß der folgende
Satz gilt: In~$\mathfrak R$ ist das Element~$a$ dann und nur dann
durch das Element~$b$ teilbar, wenn $a$~in keiner der
Bewertungen~$\mathfrak B_\tau$ einen kleineren Wert besitzt als~$b$.

Man sieht ohne Schwierigkeit, daß der Ring~$\mathfrak R$ dann und nur
dann Hauptordnung ist, wenn er als Durchschnitt von (endlich oder
unendlich vielen) Bewertungsringen~$\mathfrak B_\tau$ dargestellt
werden kann.  Aus Satz 7 ergibt sich daher:\smallskip

\textbf{Satz 7*. }\emph{Ein echter Unterring\/~$\mathfrak R$
  von\/~$\mathfrak K$ ist dann und nur dann Hauptordnung, wenn er ganz
  abgeschlossen ist.}\smallskip

Wie man in plausibler und naheliegender Weise zu dem Begriff der
Hauptordnung gelangt, habe ich bereits früher ausführlich
auseinandergesetzt. Doch konnte ich dort die Hauptordnungen nicht so
einfach und befriedigend charakterisieren, wie es hier durch Satz~7*
geschehen ist.  Der Grund für diesen Mangel meiner früheren Arbeit lag
einfach darin, daß ich damals nur Bewertungen mit archimedischer
Wertgruppe in den Kreis der Betrachtung zog.  Satz~7* zeigt also, daß
die Einführung der allgemeinen Bewertungen nicht nur naheliegend,
sondern auch für die naturgemäße Behandlung mancher arithmetischer
Probleme schlechtweg notwendig ist.
\end{Cadre}

\section{\texorpdfstring{\citealt{krull36}}{Krull 1936}: the computational content of the Fundamentalsatz.}
\label{sec:krull36}



\label{method}In the introduction to his \citeyear{krull36}, \citeauthor{krull36} explains that the Fundamentalsatz is the basis for a proof method: if a theorem is to be proved for an integrally closed integral domain, then it mostly suffices to prove it in a valuation ring, in which the property of linearity grants very simple computational arguments.

He also explains the defect of the Fundamentalsatz: its proof does not
construct the valuation rings, and the example of polynomial rings
shows that this goal is out of reach.

\begin{EngCadre}
\noindent\textb{A.\enspace The valuation rings are characterised by the fact that in them, of two arbitrary elements, one is always divisible by the other. --\enspace B.\enspace Every integrally closed integral domain~$\mathfrak I$ may be represented as intersection of valuation rings.}

A and B form the basis of an important proof method: if a theorem on~$\mathfrak I$ is to be derived which one knows to hold for the intersection of arbitrarily many rings provided that it holds for each individual component ring, then, according to~B, the theorem concerned needs to be proved only for valuation rings, and in this latter case, on account of~A, usually a quite elementary computation leads to the goal.

On the other hand, B~serves as a connecting link for novel questions, whose fruitfulness is to be substantiated in this contribution. B~is a pure existence theorem. For the ``proof method'', this does not constitute a drawback; nevertheless it seems theoretically desirable to go beyond the bare standpoint of existence. This goal would be reached if one were in a position to represent in some constructive manner, for an arbitrary given~$\mathfrak I$, the set of all those valuation rings out of the field of fractions~$\mathfrak K$ that contain the integral domain~$\mathfrak I$. Yet even the consideration of quite elementary special cases, e.g.\ of polynomial rings, indicates that one is there confronted with an, at least so far, unsolvable task. -- On the other hand, it becomes apparent that, surprisingly, already the attempt to turn the given task into the ideal-theoretic leads to very curious connexions with certain penetrating investigations by H. Prüfer that refer chief{}ly to Kronecker.
\end{EngCadre}


\subsection{Excerpt.}

Here is the source of our translation, from page~546 of ``Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche
  I: Multiplikationsringe, ausgezeichnete Idealsysteme und
  Kroneckersche Funktionalringe'', \emph{Mathematische Zeitschrift}~41.

\begin{Cadre}
\noindent\so{A.~Die Bewertungsringe sind dadurch gekennzeichnet, daß in
ihnen von zwei beliebigen Elementen stets eines durch das
andere teilbar ist.~-- B.~Jeder ganz abgeschlossene Integritätsbereich~$\mathfrak I$  läßt sich als Durchschnitt von Bewertungsringen
darstellen.}

A. und B. bilden die Grundlage für eine wichtige Beweismethode:
Soll ein Satz über~$\mathfrak I$ abgeleitet werden, von dem man weiß, daß er für
den Durchschnitt beliebig vieler Ringe richtig ist, sobald er nur für jeden
einzelnen Komponentenring gilt, so braucht der betreffende Satz nach B.
nur für Bewertungsringe bewiesen zu werden, und in diesem letzteren
Fall führt wegen A. meistens eine ganz einfache Rechnung zum Ziel.

Andererseits dient B. als Anknüpfungspunkt für neuartige Fragestellungen, deren Fruchtbarkeit in diesem Beitrag nachgewiesen werden
soll. B. ist ein reines Existenztheorem. Für die „Beweismethode“ bedeutet das keinen Nachteil; trotzdem scheint es theoretisch wünschenswert, über den bloßen Existenzstandpunkt hinauszukommen. Dieses Ziel
wäre erreicht, wenn man imstande wäre, bei beliebig gegebenem~$\mathfrak I$ die
Menge aller der Bewertungsringe aus dem Quotientenkörper~$\mathfrak K$, die den
Integritätsbereich~$\mathfrak I$ umfassen, irgendwie konstruktiv darzustellen. Doch
lehrt schon die Betrachtung ganz einfacher Spezialfälle, z.\ B. der Polynomringe, daß man da vor einer wenigstens vorläufig unlösbaren Aufgabe
steht.~-- Dagegen zeigt es sich überraschenderweise, daß bereits der Versuch, die gestellte Aufgabe ins Idealtheoretische zu wenden, zu sehr
merkwürdigen Zusammenhängen mit gewissen tiefeindringenden, vorwiegend
an Kronecker anknüpfenden Untersuchungen von H. Prüfer führt.
\end{Cadre}

\section{\texorpdfstring{\citealt{Lor1939}}{Lorenzen 1939}: the Fundamentalsatz for preordered cancellative monoids.}
\label{sec:1939}

\citealt{Lor1939} is an ``abstract foundation of multiplicative ideal
theory'' on the theory of preordered cancellative monoids. Lorenzen’s
letter to Krull dated 22 March 1938 (page~\pageref{19380322}) provides
a dictionary that translates the concepts of ring theory into a
framework that takes into account only the multiplicative structure of
an integral domain~$\mathfrak I$: its nonzero elements form a
cancellative monoid~$\mathfrak g$, and the nonzero elements of its
field of fractions form what is today called the Grothendieck
group~$\mathfrak G$ of~$\mathfrak g$. Divisibility is the equivariant
preorder~$\preccurlyeq$ on~$\mathfrak G$ whose positive cone
is~$\mathfrak g$: $a\preccurlyeq b\iff\mathfrak g\ni b\cdot a^{-1}$.

Lorenzen’s analysis of Krull's valuation theory proceeds in three steps: elaborating a theory of ideals that fits preordered monoids% (\cref{sec:systems-ideals})
; making a valuation-theoretic analysis of lattice-preordered groups% (\cref{sec:ideals-latt-order})
; establishing a transfer of valuations between a preordered
monoid and the positive cone of the Grothendieck lattice-preordered group
of its system of ideals% (\cref{sec:transfer-t-system})
.

\subsection{Systems of ideals.}
\label{sec:systems-ideals}

\citet{Pru1932} proposes to define a system of $r$-ideals as an operation
$\afini\mapsto\afini_r$ on finite subsets of the field of fractions of
an integral domain. Lorenzen adapts this definition into an operation
on finite or infinite bounded-from-below subsets~$\mathfrak a$ of the group~$\mathfrak G$ (i.e.\
subsets such that there is a~$c\in\mathfrak G$ with
$\mathfrak g\supseteq c\mathfrak a$; Lorenzen's notation for this is
$\mathfrak a^{-1}\ne0$), taking values in
subsets of~$\mathfrak G$, and satisfying four conditions:
\begin{enumerate*}
\item $\mathfrak a_r\supseteq\mathfrak a$;
\item $\mathfrak b_r\supseteq\mathfrak a\implies\mathfrak b_r\supseteq\mathfrak a_r$;\label{si:2}
\item $\{a\}_r=a\cdot\mathfrak g$;\label{si:3}
\item $a\cdot\mathfrak a_r=(a\cdot\mathfrak a)_r$.
\end{enumerate*}
The variable letter~$r$ stands for variable systems of ideals.

E.g.\ the system of $t$-ideals\label{t-ideal}, used in \cref{sec:ideals-latt-order}, is defined by
\[\mathfrak a_t=\bigl\{\,b\in\mathfrak G\mid\exists a_1,\dots,a_n\in\mathfrak a\enskip\forall a\in\mathfrak G\quad a\preccurlyeq a_1,\dots,a\preccurlyeq a_n\implies a\preccurlyeq b\,\bigr\}\]
for finite or infinite bounded-from-below sets~$\mathfrak a$ as the set of those elements~$b$ that are greater than or equal to every lower bound~$a$ of some finite subset $\{a_1,\dots,a_n\}$ of~$\mathfrak a$.

A system of ideals has the structure of a meet-semilattice-preordered
monoid (a \emph{meet-monoid} for short) for the
multiplication
$\mathfrak a_r\cdot\mathfrak b_r=(\mathfrak a\cdot\mathfrak b)_r$ and
the meet operation
$\mathfrak a_r\land\mathfrak b_r=(\mathfrak a\cup\mathfrak
b)_r$.  \Cref{si:3} above means that the group~$\mathfrak G$ may be embedded into this meet-monoid by identifying~$a$ with~$a\cdot\mathfrak g$.

The system of Dedekind ideals corresponds to the operation that associates to~$\mathfrak a$
the set~$\mathfrak a_{d}$ of nonzero elements of the
module generated by~$\mathfrak a$ in the integral domain~$\mathfrak I$
hidden behind~$\mathfrak g$.  The definition of this operation therefore
takes into account the additive structure of~$\mathfrak I$, but
once the definition is done, it will be forgotten.  Let us show how
this works for the three following concepts:
\begin{enumerate*}
\item valuation ring;
\item integral closedness;
\item integral dependence.
\end{enumerate*}

\begin{enumerate}[wide,nosep]
\item Lorenzen separately analyses \cref{w(ab)} and \cref{w(a+b)} of
  the definition of a valuation given on \cpageref{w(ab)}.
  \begin{itemize}[wide,nosep]
  \item He says that a supermonoid~$\mathfrak B$ of~$\mathfrak g$
    $(\mathfrak G\supseteq\mathfrak B\supseteq\mathfrak g)$ is
    \emph{linear} if for $a\in\mathfrak G$ either $a\in\mathfrak B$ or
    $a^{-1}\in\mathfrak B$, i.e.\ if the preorder on~$\mathfrak G$
    having~$\mathfrak B$ as its positive cone is linear.
  \item \cref{w(a+b)} expresses that a valuation ring is closed under
    addition. He observes that this is equivalent to
    $\mathfrak B\supseteq\afini\implies\mathfrak
    B\supseteq\afini_{d}$.
  \end{itemize}
\item \citet{Pru1932} shows that an integral domain is integrally
  closed if
  \[\afini_{d}\supseteq a\cdot\afini_{d}\quad\text{implies}\quad\mathfrak g\supseteq a\cdot\mathfrak g\text,\] i.e.\
  $1\preccurlyeq a$. This means that $\afini_{d}$ can be
  cancelled in the containment
  $\afini_{d}\supseteq a\cdot\afini_{d}$.
\item He further shows that an element~$a$ is integrally dependent
  on~$\afini_{d}$ if and only if there is
  $\cfini$ such that
  $\afini_{d}\cdot\cfini_{d}\supseteq
  a\cdot\cfini_{d}$.
\end{enumerate}

On the basis of these observations, Lorenzen proposes the following definitions in the multiplicative setting of a system of $r$-ideals for the cancellative monoid~$\mathfrak g$.
\begin{enumerate}[wide,nosep]
\item The multiplicative counterpart of a valuation
  ring is a linear \emph{$r$-\hspace{0pt}supermonoid of}~$\mathfrak g$,
  i.e.\ a linear supermonoid~$\mathfrak B$ of~$\mathfrak g$ such that
  $\mathfrak B\supseteq\afini\implies\mathfrak
  B\supseteq\afini_r$.
\item The monoid~$\mathfrak g$ is $r$-\emph{closed} if
  $\afini_r\supseteq a\cdot\afini_r\implies1\preccurlyeq a$.
\item The $r_{a}$-operation is given by setting $\afini_{r_{a}}$ equal to
  \[\bigl\{\,a\in\mathfrak G\mid\exists\cfini\enskip\afini_r\cdot\cfini_r\supseteq a\cdot\cfini_r\,\bigr\}\text,\]
  i.e.\ to the set of elements that are \emph{$r$-dependent} on~$\afini$. Note that the $r_{a}$-operation
  satisfies % the equality in
  \cref{si:3} of the definition of a system of
  ideals % instead of a mere containment, i.e.\ the reflection of the preorder,
  if and only if $\mathfrak g$~is $r$-closed.
\end{enumerate}

Lorenzen observes that the arguments of
\citet[page~18]{Pru1932} show that the cancellativity of the
meet-monoid of $r$-ideals may be forced by passing to the meet-monoid of
$r_{a}$-ideals. One may then construct the Grothendieck
lattice-preordered group~$\mathfrak h^*$ of this system of
$r_{a}$-ideals (see \citealt[§~3A]{coquandlombardineuwirth19} for this construction). Its positive cone~$\mathfrak h$ is formed by the
fractions~$\frac{\afini_{r_{a}}}{\bfini_{r_{a}}}$ such that
$\bfini_{r_{a}}\supseteq\afini_{r_{a}}$. The
group~$\mathfrak G$ may be embedded into~$\mathfrak h^*$ by
identifying~$a$ with~$\frac{a\cdot\mathfrak g}{\mathfrak g}$.

\subsection{Ideals in a lattice-preordered group.}
\label{sec:ideals-latt-order}

For developing a ``valuation theory'' of~$\mathfrak g$ when $\mathfrak G$~is a
lattice-preordered group (an \emph{$\ell$-group} for short), Lorenzen
uses the $t$-ideals, whose definition, thanks to the existence of finite meets, simplifies to
\[
  \mathfrak a_t=\bigl\{\,b\in\mathfrak G\mid a_1\land\dotsb\land
  a_n\preccurlyeq b\text{ for some }a_1,\dots,a_n\in\mathfrak
  a\,\bigr\}\text.
\]
\citet[page~470]{Cli1940} emphasises their similarity with the
semilattice-theoretic ideals.  A finite $t$-ideal $\afini_t$ is the
set $(a_1\wedge\dots\wedge a_n)\mathfrak g$ and may thus be thought of as $a_1\wedge\dots\wedge a_n$, and the set-theoretic clothing is
needed only for an infinite $t$-ideal, which is a colimit of finite
ones, in particular for a \emph{prime} $t$-ideal, i.e.\ a $t$-ideal~$\mathfrak p$
such that
$ab\in\mathfrak p\implies a\in\mathfrak p\text{ or }b\in\mathfrak p$.

Lorenzen shows that the linear $t$-\hspace{0pt}supermonoids of~$\mathfrak g$
are the localisations~$\mathfrak g_\mathfrak p$, i.e.\ the monoids
of fractions~$\frac ab$ with $a\in\mathfrak g$ and
$b\in\mathfrak g\setminus\mathfrak p$, where $\mathfrak p$~is a prime
$t$-ideal. In fact, the nonunits of~$\mathfrak g_\mathfrak p$ have the
form~$\frac ps$ with $p\in\mathfrak p$ and
$s\in\mathfrak g\setminus\mathfrak p$; if $\frac{p'}{s'}$~is another nonunit, then the meet $\frac ps\land\frac{p'}{s'}=\frac{s'p\land sp'}{ss'}$ is again a nonunit because $ss'\in\mathfrak g\setminus\mathfrak p$ by primeness, $s'p,sp'\in\mathfrak p$ by \cref{si:2,si:3} of the definition of a system of ideals, and $s'p\land sp'\in\mathfrak p$ by $t$-\hspace{0pt}idealness. But this shows that
$\mathfrak g_\mathfrak p$~is linear, as every
$a\in\mathfrak G$ satisfies $a=\frac{a_+}{a_-}$ with
$a_-,a_+\in\mathfrak g$ and $a_-\land a_+=1$, so that either~$a_-$
or~$a_+$ is a unit of~$\mathfrak g_\mathfrak p$ and either~$a$
or~$a^{-1}=\frac{a_-}{a_+}$ is in~$\mathfrak g_\mathfrak p$.

The Fundamentalsatz follows easily in this case, in the following two shapes.
\begin{EngCadre}
  \noindent\so{Theorem }11. \ \emph{Let\/~$N$ be a set of prime\/ $t$-ideals
  of\/~$\mathfrak g$ such that every nonunit
  of\/~$\mathfrak g$ lies in at least one\/~$\mathfrak p\in N$, then\/~$\mathfrak g$ is the intersection of the linear
  supermonoids\/~$\mathfrak g_{\mathfrak p}$\/ $(\mathfrak p\in N)$}
\[
  \mathfrak g=\bigcap_N\mathfrak g_{\mathfrak p}\text.
\]\vspace{-\belowdisplayshortskip}%
\end{EngCadre}
For if $a\in\mathfrak G\setminus\mathfrak g$, then $a_-$~is a nonunit
of~$\mathfrak g$, so that it lies in some~$\mathfrak p\in N$ and is a nonunit of~$\mathfrak g_\mathfrak p$; therefore $a=\frac{a_+}{a_-}\notin\mathfrak g_\mathfrak p$.

\begin{EngCadre}
  \noindent\so{Theorem }12. \ \emph{If\/ $N$ contains all maximal\/ prime $t$-ideals, then, for all\/ $t$-ideals\/~$\mathfrak a$
    of\/~$\mathfrak g$, the intersection representation\/
    $\mathfrak a=\bigcap\limits_N\mathfrak a\mathfrak g_{\mathfrak p}$
    holds.}
\end{EngCadre}
For\label{commenton12} if $a\notin\mathfrak a$, then $\mathfrak g$~contains properly the $t$-ideal~$a^{-1}\mathfrak a\cap\mathfrak g$. Zorn's lemma provides a maximal prime $t$-ideal~$\mathfrak p$ that contains it, so that its elements are nonunits of~$\mathfrak g_\mathfrak p$. Therefore $a^{-1}\mathfrak a\mathfrak g_\mathfrak p\not\ni 1$ and $\mathfrak a\mathfrak g_{\mathfrak p}\not\ni a$.

Krull's well-ordering argument is confined to the proof of this last theorem.

\subsection{Transfer to the system of \texorpdfstring{$t$}t-ideals.}
\label{sec:transfer-t-system}

To consider a linear $r$-\hspace{0pt}supermonoid~$\mathfrak B$ of~$\mathfrak g$
($\mathfrak G\supseteq\mathfrak B\supseteq\mathfrak g$) is to consider
a linear $t$-\hspace{0pt}supermonoid~$\mathfrak L$ of the positive cone~$\mathfrak h$ of the Grothendieck lattice-preordered group~$\mathfrak h^*$ ($\mathfrak h^*\supseteq\mathfrak L\supseteq\mathfrak h$).
\begin{enumerate}[wide,nosep]
\item If $\mathfrak L$~is given,\label{1939p545t} then
  $\mathfrak B=\mathfrak L\cap\mathfrak G$ (using the identification
  of~$a$ with~$\frac{a\cdot\mathfrak g}{\mathfrak g}$) is a linear
  supermonoid of~$\mathfrak g$. Furthermore, if
  $\mathfrak B\supseteq\afini$, then
  $\mathfrak L\supseteq\{\frac{a_1\cdot\mathfrak g}{\mathfrak
    g},\dots,\frac{a_n\cdot\mathfrak g}{\mathfrak g}\}$, so that by
  hypothesis
  $\mathfrak L\supseteq(\frac{a_1\cdot\mathfrak g}{\mathfrak
    g}\wedge\dots\wedge\frac{a_n\cdot\mathfrak g}{\mathfrak
    g})\mathfrak h=\frac{\afini_{r_{a}}}{\mathfrak g}\mathfrak h$ and
  $\mathfrak B\supseteq\afini_{r_{a}}\supseteq\afini_{r}$.
  % if $\mathfrak a_{r_{a}}\ni a$, then
  % $\mathfrak a_{r_{a}}\supseteq a\cdot\mathfrak g$, so that
  % $\mathfrak L\supseteq\mathfrak h\ni\frac{a\cdot\mathfrak
  %   g}{\mathfrak a_{r_{a}}}$. Therefore, if
  % $\mathfrak B\supseteq\mathfrak a$, then
  % $\mathfrak L\ni\mathfrak a_{r_{a}}$ and $\mathfrak L\ni a$
  % and $\mathfrak B\ni a$, so that
  % $\mathfrak B\supseteq\mathfrak a_{r_{a}}\supseteq\mathfrak
  % a_r$.
  At this point of his argument, Lorenzen compares it to
  \citealt[Satz~15]{krull36}.
\item\sloppy Conversely, if $\mathfrak B$~is given, then $\mathfrak B$~is even an $r_{a}$-supermonoid: if
  $\mathfrak B\supseteq\afini$ and
  $\afini_{r_{a}}\ni a$, consider~$\cfini$ such that
  $\afini_r\cdot\cfini_r\supseteq a\cdot\cfini_r$; one may suppose that
  $c_1$~is minimal w.r.t.\ the linear
  monoid~$\mathfrak B$ among $c_1,\dots,c_p$, i.e.\
  $\mathfrak B\supseteq\{1,\dots,c_1^{-1}c_p\}$, so that
  $\mathfrak B\supseteq\afini\cdot\{1,\dots,c_1^{-1}c_p\}$; by hypothesis, $\mathfrak B\supseteq\afini_r\cdot\{1,\dots,c_1^{-1}c_p\}_r\ni a$ %  then
  % $(\afini\cdot\{1,\dots,c_1^{-1}c_p\})_r\ni a$ shows that
  % $\mathfrak B\ni a$,
  and we conclude that $\mathfrak
  B\supseteq\afini_{r_{a}}$. For every finite subset~$\afini$
  of~$\mathfrak G$, one may suppose that $a_1$~is minimal
  w.r.t.~$\mathfrak B$ among $a_1,\dots,a_n$, i.e.\
  $\mathfrak B\supseteq\{1,\dots,a_1^{-1}a_n\}$, and then
  $\mathfrak B\supseteq\{1,\dots,a_1^{-1}a_n\}_{r_{a}}$ and
  $a_1\mathfrak B=\afini_{r_{a}}\mathfrak B$. Consider
  $\mathfrak
  L=\bigl\{\frac{\afini_{r_{a}}}{\bfini_{r_{a}}}\mid\bfini_{r_{a}}\mathfrak
  B\supseteq\afini_{r_{a}}\mathfrak B\bigr\}$: as for all $a,b\in\mathfrak G$ either $b\mathfrak B\supseteq a\mathfrak B$ or vice versa, $\mathfrak L$~is a linear supermonoid of~$\mathfrak h$; it is a linear $t$-supermonoid of~$\mathfrak h$ because the meet of two elements of~$\mathfrak L$ is in~$\mathfrak L$: if $\bfini_{r_{a}}\mathfrak
  B\supseteq\afini_{r_{a}}\mathfrak B$ and $\dfini_{r_{a}}\mathfrak
  B\supseteq\cfini_{r_{a}}\mathfrak B$, then $\{b_1d_1,\dots,b_md_q\}_{r_{a}}\mathfrak B\supseteq\{a_1d_1,\dots,a_nd_q,b_1c_1,\dots,b_mc_p\}_{r_{a}}\mathfrak B$. Finally, note that $\mathfrak L\cap\mathfrak G=\mathfrak B$.
\end{enumerate}

This transfer proves at once
\begin{EngCadre}
\noindent\so{Theorem }14. \ \emph{Every\/ $r$-closed monoid is
  an intersection of linear\/ $r$-\hspace{0pt}supermonoids.}
\end{EngCadre}

\subsection{Excerpt.}

Our excerpt is from pages~535--537, 540, and 544--546 of ``Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie'', \emph{Mathematische Zeitschrift}~45.

Note that in this article and in his 1938 letters to Krull, Lorenzen consistently makes a choice opposite to the now standard one: he considers $\mathfrak g$ as the cone of nonpositive elements of~$\mathfrak G$, so that his preorder~$\preccurlyeq$ satisfies $a\preccurlyeq b\iff a\cdot b^{-1}\in\mathfrak g$. Consistently, he writes $a\lor b$ and $\mathfrak a_r+\mathfrak b_r$ where we write $a\land b$ and $\mathfrak a_r\land\mathfrak b_r$, respectively. He probably does so to match the preorder relation~$\subseteq$ between subsets of~$\mathfrak G$.

\begin{Cadre}
  \noindent\hfil§~1.\medskip

  \noindent\hfil\textbf{Idealsysteme.}\medskip

Wir wollen eine Menge~$\mathfrak g$, für deren Elemente $a,b,c,\dots$ eine kommutative
und assoziative Multiplikation definiert ist, eine \emph{Halbgruppe} nennen, wenn

1.~aus $ac =  bc$ stets $a =  b$ folgt,

2.~$\mathfrak g$ ein Einselement~$1$ enthält.

Zu jeder Halbgruppe~$\mathfrak g$ gibt es eindeutig die
Gruppe~$\mathfrak G$, die aus den Quotienten~$\frac ab$
besteht. $\mathfrak G$~heißt die Quotientengruppe von~$\mathfrak
g$. So ist z.\ B. die Menge der von Null verschiedenen Elemente eines
Integritätsbereiches eine Halbgruppe, und die von Null verschiedenen
Elemente des Quotientenkörpers bilden die Quotientengruppe.

Viele Definitionen der Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen
lassen sich unmittelbar auf Halbgruppen übertragen. Von den Elementen
von~$\mathfrak G$ nennen wir die Elemente von~$\mathfrak g$ die ganzen
Elemente, $b$~heißt ein Teiler von~$a$, und $a$~heißt Vielfaches
von~$b$, wenn $\frac ab$~ganz ist. Das Hauptideal~$(a)$ besteht aus
allen Vielfachen von~$a$. Ist eine Verwechslung ausgeschlossen, dann
wird das Hauptideal $(a)$ einfach mit~$a$ bezeichnet. Ein ganzes
Element~$a$ heißt Einheit, wenn $a^{-1}$ ganz ist.

Die Dedekindsche Definition der Ideale in Integritätsbereichen läßt
sich natürlich nicht übertragen, da in Halbgruppen ja keine Addition
erklärt zu sein braucht. Dagegen ist der Begriff der Idealsysteme, wie
er von Prüfer und Krull aufgestellt worden ist, fast unmittelbar auch
in Halbgruppen anzuwenden. Zur Formulierung der Definition wollen wir,
wenn $\mathfrak a, \mathfrak b$ beliebige Untermengen
von~$\mathfrak G$ sind, unter $\mathfrak a\mathfrak b$ die Menge der
Elemente~$ab$ mit $a\in\mathfrak a$, $b\in\mathfrak b$ und unter
$\mathfrak a : \mathfrak b$ die Menge der Elemente~$c$ mit
$c\mathfrak b\subseteq\mathfrak a$ verstehen.  Statt $(1): \mathfrak a$
schreiben wir $\mathfrak a^{-1}$.\smallskip

\so{De{f}inition 1}. \ Es seien zu jeder endlichen oder zu jeder
beliebigen Untermenge~$\mathfrak a$ von~$\mathfrak G$, für die
$\mathfrak a^{-1}\ne0$ ist, eine Untermenge~$\mathfrak a_r$
von~$\mathfrak G$ so definiert, daß die folgenden Bedingungen erfüllt
sind:\smallskip

1. $\mathfrak a\subseteq\mathfrak a_r$,

2. aus $\mathfrak a \subseteq\mathfrak b_r$ folgt
$\mathfrak a_r\subseteq\mathfrak b_r$,

3. für ein Element~$a$ ist $a_r =  (a)$,

4. $a\mathfrak a_r = (a\mathfrak a)_r$.\smallskip

\noindent $\mathfrak a_r$ heißt dann das \emph{aus\/ $\mathfrak a$
  erzeugte\/ $r$-Ideal}. Ist~$\mathfrak a$ endlich, so
heißt~$\mathfrak a_r$ ein endliches $r$-Ideal. Die Menge aller
$r$-Ideale nennen wir das \emph{$r$-\hspace{0pt}Idealsystem}. Ist sogar für jede
Untermenge~$\mathfrak a$ mit $\mathfrak a^{-1}\ne0$ ein $r$-Ideal
definiert, so nennen wir die Menge aller $r$-Ideale das \emph{totale\/
$r$-\hspace{0pt}Idealsystem}.\smallskip

Die Summe zweier Ideale wird durch
$\mathfrak a_r+\mathfrak b_r=(\mathfrak a\cup\mathfrak b)_r$, das
Produkt durch
$\mathfrak a_r\mathfrak b_r = (\mathfrak a\mathfrak b)_r$
definiert. Diese Definitionen sind unabhängig von der
Erzeugung der Ideale. Wegen~4.\ gilt das Distributivgesetz:
\[
  (\mathfrak a_r+\mathfrak b_r)\mathfrak c_r = \mathfrak a_r\mathfrak c_r+\mathfrak b_r\mathfrak c_r\text.
\]

\dotfill\smallskip

Für beliebige Halbgruppen konstruieren wir jetzt zwei wichtige
Idealsysteme. Wir setzen:
\[
  \mathfrak a_s=\bigcup_{a\in\mathfrak a}(a),\qquad\mathfrak
  a_v=\bigcap_{\mathfrak a\subseteq(a)}(a)\text.
\]

\dotfill\smallskip

\so{De{f}inition 2}. \ Eine Halbgruppe heißt \emph{$r$-\hspace{0pt}abgeschlossen},
wenn $\mathfrak c_r : \mathfrak c_r = 1$ für jedes endliche
$r$-Ideal~$\mathfrak c_r$ gilt.

\dotfill\smallskip

Die Bedeutung der $r$-\hspace{0pt}Abgeschlossenheit liegt darin, daß in jeder
$r$-\hspace{0pt}abgeschlossenen Halbgruppe die folgende Konstruktion eines neuen
Idealsystems möglich ist [\dots]:\smallskip

\so{De{f}inition 3}. \ Ist $\mathfrak a$ eine endliche Untermenge
von~$\mathfrak G$, und ist~$\mathfrak g$ $r$-\hspace{0pt}abgeschlossen, so soll
$\mathfrak a_{r_a}$ aus den Elementen~$a$ bestehen, für die es ein
endliches $r$-Ideal~$\mathfrak c_r$ gibt mit
$a\mathfrak c_r\subseteq\mathfrak a_r\mathfrak c_r$.\smallskip

Die Mengen $\mathfrak a_{r_a}$ bilden dann ein Idealsystem, das System
der $r_a$-Ideale.

Die $r_a$-Ideale haben nun die Eigenschaft, eine \emph{Halbgruppe} zu bilden,
d.\ h.\ für beliebige endliche $r_a$-Ideale
$\mathfrak a, \mathfrak b, \mathfrak c$ folgt aus
$\mathfrak a\mathfrak c = \mathfrak b\mathfrak c$ stets
$\mathfrak a = \mathfrak b$. [\dots]

\dotfill\medskip

\noindent\hfil §~2.\nopagebreak\medskip

\noindent\hfil \textbf{Totale Idealsysteme, Endlichartigkeit.}\nopagebreak\medskip

[\dots] Wir bezeichnen dazu mit~$\mathfrak e$ stets Mengen aus
endlich vielen Elementen von~$\mathfrak G$. Ist dann $\mathfrak a$~eine beliebige Untermenge
von~$\mathfrak G$ mit $\mathfrak a^{-1}\ne0$, so setzen wir
\[
  \mathfrak a_{r_s}=\bigcup_{\mathfrak e\subseteq\mathfrak a}\mathfrak e_r\text,\quad\mathfrak a_{r_v}=\bigcap_{\mathfrak a\subseteq\mathfrak e_r}\mathfrak e_r\text.
\]

\dotfill\smallskip

Wir nennen das $v_s$-System kürzer das $t$-System.

\dotfill\medskip


\noindent\hfil §~3.\nopagebreak\medskip

\noindent\hfil \textbf{Vollständige Halbgruppen.}\nopagebreak\medskip

Im §~4 werden wir zeigen, wie der Idealbegriff dazu dienen kann, viele
Fragen über Halbgruppen auf die Untersuchung der folgenden sehr
speziellen Klasse von Halbgruppen zurückzuführen:\smallskip

\so{De{f}inition 5}\label{1939def5}. \ Eine Halbgruppe heißt \emph{vollständig}, wenn je
zwei Elemente~$a,b$ einen größten gemeinsamen Teiler~$a\lor b$
besitzen.

\dotfill\smallskip

Außerdem müssen wir noch den Begriff der Quotientenringe eines
Integritätsbereiches auf Halbgruppen übertragen. Sei
dazu~$\mathfrak g$ eine beliebige Halbgruppe, $S$~eine Unterhalbgruppe
von~$\mathfrak g$, dann soll $\mathfrak g_S$ die Halbgruppe aller
Quotienten~$\frac ab$ ($a\in\mathfrak g$, $b\in S$) sein. \ $\mathfrak g_S$ heißt eine \emph{Quotientenhalbgruppe}
von~$\mathfrak g$ (vgl.\ Grell [1]).

Die Nichteinheiten von~$\mathfrak g_S$, die gleichzeitig in~$\mathfrak g$
liegen, bilden ein $s$-\hspace{0pt}Primideal~$\mathfrak p$ von~$\mathfrak
g$. Bezeichnen wir dann mit $\mathfrak g_\mathfrak p$ die
Quotientenhalbgruppe der Elemente~$\frac ab$ ($a\in\mathfrak g$,
$b\in\mathfrak g$, $b\notin\mathfrak p$) so wird
$\mathfrak g_{\mathfrak p}=\mathfrak g_S$. Die Quotientenhalbgruppen
von~$\mathfrak g$ entsprechen also umkehrbar eindeutig den
\emph{$s$-\hspace{0pt}Primidealen} von~$\mathfrak g$.

Ist nun $\mathfrak g$~vollständig, so auch jede
Quotientenhalbgruppe~$\mathfrak g_S$, denn sind $s,s'$ Elemente
von~$S$, so liegt mit $\frac as,\frac{a'}{s'}$ auch
\[\frac as\lor\frac{a'}{s'}=\frac{s'a\lor sa'}{ss'}\]
in~$\mathfrak g_S$ und liefert gleichzeitig den größten gemeinsamen
Teiler von $\frac as,\frac{a'}{s'}$ bezüglich der Teilbarkeit in
$\mathfrak g_S$.

Umgekehrt\label{1939p545} ist aber auch jede Oberhalbgruppe~$\overline{\mathfrak g}$
von~$\mathfrak g$ (natürlich
$\mathfrak g\subseteq\overline{\mathfrak g}\subseteq\mathfrak G$), die
mit zwei Elementen $a, b$ auch $a\lor b$ enthält, eine
Quotientenhalbgruppe von~$\mathfrak g$, denn für jedes Element~$a$ von
$\mathfrak G$ gilt $a=\frac{a(1\lor a)^{-1}}{(1\lor a)^{-1}}$, wobei
$a(1\lor a)^{-1}$ und $(1\lor a)^{-1}$ Elemente von~$\mathfrak g$
sind. Ist $a\in\overline{\mathfrak g}$, so folgt
$1\lor a\in\overline{\mathfrak g}$ und
damit~$\overline{\mathfrak g}=\mathfrak g_S$, wenn $S$~aus den
Einheiten von~$\overline{\mathfrak g}$ besteht, die in~$\mathfrak g$
liegen.

Die wichtigsten Quotientenhalbgruppen sind die
Quotientenhalbgruppen~$\mathfrak g_{\mathfrak p}$, bei denen $\mathfrak p$~ein
$t$-\hspace{0pt}Primideal von~$\mathfrak g$ ist, denn es gilt:\smallskip

\so{Satz }10\label{1939satz10}. \ \emph{Jede
  Quotientenhalbgruppe\/~$\mathfrak g_{\mathfrak p}$ nach einem\/
  $t$-\hspace{0pt}Primideal\/~$\mathfrak p$ ist linear.}\smallskip

Jede Nichteinheit von $\mathfrak g_{\mathfrak p}$
 läßt sich nämlich als Quotient~$\frac ps$ ($p\in\mathfrak p$, $s\notin\mathfrak p$)
darstellen, und sind $\frac ps,\frac{p'}{s'}$
zwei Nichteinheiten, so ist auch
\[
  \frac ps\lor\frac{p'}{s'}=\frac{s'p\lor sp'}{ss'}
\]
Nichteinheit, da $s'p\lor sp'\in\mathfrak p$.
Für jedes $a \in\mathfrak G$ folgt also aus
\[{\frac1{1\lor a}}\lor{\frac1{1\lor a^{-1}}}=1\text,\]
daß $\frac1{1\lor a}$ oder $\frac1{1\lor a^{-1}}$ Einheit
von~$\mathfrak g_{\mathfrak p}$ ist, d.\ h.\
$a\in\mathfrak g_{\mathfrak p}$ oder
$a^{-1}\in\mathfrak g_{\mathfrak p}$.\smallskip

\so{Satz }11. \ \emph{Es sei\/~$N$ eine Menge von\/ $t$-\hspace{0pt}Primidealen
  von\/~$\mathfrak g$ derart, daß jede Nichteinheit
  von\/~$\mathfrak g$ in mindestens einem\/~$\mathfrak p\in N$ liegt, dann
  ist\/~$\mathfrak g$ Durchschnitt der linearen
  Oberhalbgruppen\/~$\mathfrak g_{\mathfrak p}$\/ $(\mathfrak p\in N)$}
\[
  \mathfrak g=\bigcap_N\mathfrak g_{\mathfrak p}\text.
\]
Denn ist $a\notin\mathfrak g$, so ist $(1\lor a)^{-1}$ Nichteinheit
von~$\mathfrak g$.  Also gibt es ein $\mathfrak p\in N$ mit
$(1\lor a)^{-1}\in\mathfrak p$, und hieraus folgt
$a\notin\mathfrak g_{\mathfrak p}$.\smallskip

\so{Satz }12. \ \emph{Enthält\/ $N$ alle maximalen\/ $t$-\hspace{0pt}Primideale, so gilt für alle\/ $t$-Ideale\/~$\mathfrak a$
von\/~$\mathfrak g$ die Durchschnittsdarstellung\/ $\mathfrak a=\bigcap\limits_N\mathfrak a\mathfrak g_{\mathfrak p}$.}\smallskip

Denn ist $a\notin\mathfrak a$, so ist $a^{-1}\mathfrak a\cap\mathfrak g\subset\mathfrak g$. Es gibt
also ein $\mathfrak p\in N$ mit $a^{-1}\mathfrak a\cap\mathfrak g\subseteq\mathfrak p$, woraus wieder $a\notin\mathfrak a\mathfrak g_{\mathfrak p}$ folgt.

Diese Sätze gestatten zunächst für vollständige Halbgruppen Fragen
über die linearen Oberhalbgruppen von~$\mathfrak g$ in rein
idealtheoretische Fragen zu verwandeln. Diese Reduktion auch für
allgemeinere Halbgruppen durchzuführen, ist das Ziel von §~4.\medskip

\noindent\hfil§~4.\medskip

\noindent\hfil \textbf{Idealbrüche.}\medskip

Die Konstruktion der vollständigen Halbgruppe, auf die die
Strukturuntersuchung allgemeinerer Halbgruppen zurückgeführt werden
soll, ist z.\ B. für total abgeschlossene Halbgruppen~$\mathfrak g$
leicht geschehen, denn dann bilden ja die sämtlichen ganzen $v$-Ideale
von~$\mathfrak g$ ihrerseits eine vollständige Halbgruppe.  Ebenso,
wenn $\mathfrak g$~eine Multiplikationshalbgruppe bezüglich irgendeines
Idealsystems ist, d.\ h.\ also wenn jedes endliche Ideal umkehrbar
ist, so bilden die ganzen Ideale der
Form~$\mathfrak a\mathfrak b^{-1}$, wobei $\mathfrak a, \mathfrak b$
endliche Ideale sind, eine vollständige Halbgruppe. Gehört nämlich
noch~$\mathfrak c\mathfrak d^{-1}$ dazu, so auch der größte gemeinsame
Teiler von~$\mathfrak a\mathfrak b^{-1}$ und
$\mathfrak c\mathfrak d^{-1}$; denn dieser ist:
\[
  \mathfrak a\mathfrak b^{-1}+\mathfrak c\mathfrak d^{-1}=(\mathfrak
  a\mathfrak d+\mathfrak b\mathfrak c)(\mathfrak b\mathfrak d)^{-1}\text.
\]
Aber wir brauchen von unserer Halbgruppe, in der etwa das System der
$r$-Ideale gegeben sei, nur vorauszusetzen, daß sie $r$-\hspace{0pt}abgeschlossen
ist, um auf eine vollständige Halbgruppe zu kommen. Denn
ist~$\mathfrak g$ $r$-\hspace{0pt}abgeschlossen, so bilden die endlichen
$r_a$-Ideale eine Halbgruppe; wir können also deren Quotientengruppe
bilden. Diese besteht aus den „\emph{Idealbrüchen}“
$\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}$, wobei $\mathfrak a, \mathfrak b$
endliche $r_a$-Ideale sind. Wir definieren dann für zwei Idealbrüche
$\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}\subseteq\frac{\mathfrak c}{\mathfrak
  d}$, wenn $\mathfrak a\mathfrak d\subseteq\mathfrak b\mathfrak
c$. Es wird dadurch die Relation~$\subseteq$ fortgesetzt in die
Quotientengruppe.

Betrachten wir nun alle Idealbrüche
$\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}\subseteq1$. Diese bilden eine
Halbgruppe~$\mathfrak h$, und zwar eine vollständige Halbgruppe. Der
größte gemeinsame Teiler von $\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}$ und
$\frac{\mathfrak c}{\mathfrak d}$ ist natürlich durch
$\frac{\mathfrak a\mathfrak d+\mathfrak b\mathfrak c}{\mathfrak
  b\mathfrak d}$ gegeben. Ist
$\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}\subseteq1$, so nennen wir
$\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}$ einen „\emph{ganzen
  Idealbruch}“. Die vollständige Halbgruppe der ganzen Idealbrüche
ersetzt uns den Kroneckerschen Funktionalring, wie er in Prüfer~[1]
konstruiert worden ist. Das wichtige Ergebnis, das Krull~[5] über den
Funktionalring beweist, läßt sich auf~$\mathfrak h$ übertragen. Es
handelt sich dabei um die linearen Oberhalbgruppen von~$\mathfrak g$
einerseits, $\mathfrak h$~andererseits.  Ist $\mathfrak L$~eine
lineare Oberhalbgruppe von~$\mathfrak h$, so bilden die Elemente~$a$
von~$\mathfrak G$, deren Hauptideal~$(a)$ in~$\mathfrak L$ liegt,
ersichtlich eine ebenfalls lineare Oberhalbgruppe~$\mathfrak B$
von~$\mathfrak g$. Enthält~$\mathfrak L$ mit endlich vielen Elementen
auch deren größten gemeinsamen Teiler, so hat~$\mathfrak B$ noch
folgende Eigenschaft:\smallskip

$\mathfrak B$ enthält mit endlich vielen Elementen $a_1,\dots,a_n$
auch das $r$-Ideal $(a_1,\dots,a_n)_r$.\smallskip

Nennen wir Halbgruppen mit dieser Eigenschaft $r$-\hspace{0pt}Halbgruppen, so
können wir unser Ergebnis kurz so fassen:\smallskip

Jede lineare $t$-\hspace{0pt}Oberhalbgruppe von~$\mathfrak h$ liefert eine lineare
$r$-\hspace{0pt}Oberhalbgruppe von~$\mathfrak g$.\smallskip

Dieser Satz läßt sich nun umkehren. Ist nämlich eine lineare
$r$-\hspace{0pt}Oberhalbgruppe~$\mathfrak B$ von~$\mathfrak g$ gegeben, so
zeigen wir zunächst, daß $\mathfrak B$~auch $r_a$-Oberhalbgruppe
ist. Dazu sei $d\in(a_1,\dots,a_n)_{r_a}$, \ $a_\nu\in\mathfrak B$
($\nu=1,\dots,n$), d.\ h.\ es gibt ein endliches $r$-Ideal
$\mathfrak c=(c_1,\dots,c_m)_r$, so daß
$d\mathfrak c\subseteq(a_1,\dots,a_n)_r\mathfrak c$.  Da
$\mathfrak B$~linear ist, gibt es unter den Elementen $c_1,\dots,c_m$
eines --~etwa~$c_1$~--, so daß $c_1^{-1}c_\nu\in\mathfrak B$
($\nu=1,\dots,m$). Dann folgt wegen
\[
  d(1,c_1^{-1}c_2,\dots,c_1^{-1}c_m)_r\subseteq(a_1,\dots,a_n)_r(1,c_1^{-1}c_2,\dots,c_1^{-1}c_m)_r\text,
\]
daß $d$~in einem endlichen $r$-Ideal liegt, das aus lauter Elementen
von~$\mathfrak B$ erzeugt wird, also muß~$d$ in~$\mathfrak B$
liegen. \ $\mathfrak B$~ist somit lineare $r_a$-Oberhalbgruppe, woraus
weiter folgt, daß für jedes endliche $r_a$-Ideal
$\mathfrak a=(a_1,\dots,a_n)_{r_a}$ stets $\mathfrak a$ in dem aus
$a_1,\dots,a_n$ erzeugten $s$-Ideal von~$\mathfrak B$ enthalten
ist. \ $\mathfrak a\mathfrak B$ ist also Hauptideal in~$\mathfrak
B$. Wir definieren jetzt eine lineare Oberhalbgruppe~$\mathfrak L$
von~$\mathfrak h$ durch
$\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}\in\mathfrak L$, wenn
\[
  \mathfrak a\mathfrak B\subseteq\mathfrak b\mathfrak B\text.
\]
$\mathfrak L$ ist dann eine lineare $t$-\hspace{0pt}Oberhalbgruppe
von~$\mathfrak h$ und enthält ein Hauptideal~$(a)$ genau dann, wenn
$a$~in~$\mathfrak B$ liegt. Insgesamt erhalten wir unter
Berücksichtigung von §~3:\smallskip

\so{Satz }13. \ \emph{Die linearen\/ $r$-\hspace{0pt}Oberhalbgruppen einer\/
  $r$-\hspace{0pt}abgeschlossenen Halbgruppe entsprechen umkehrbar eindeutig den
  linearen\/ $t$-\hspace{0pt}Oberhalbgruppen der Halbgruppe\/~$\mathfrak h$ der
  ganzen Idealbrüche und damit den\/ $t$-\hspace{0pt}Primidealen
  von\/~$\mathfrak h$.}\smallskip

Als Folgerung dieses Satzes ergibt sich sofort:\smallskip

\so{Satz }14. \ \emph{Jede\/ $r$-\hspace{0pt}abgeschlossene Halbgruppe ist
  Durchschnitt von linearen\/ $r$-\hspace{0pt}Oberhalbgruppen.}\smallskip

% Dieser Satz ist die Verallgemeinerung des bekannten Fundamentalsatzes
% der Bewertungstheorie aus Krull~[3]:

% Jeder ganz abgeschlossene Integritätsbereich ist Durchschnitt von Bewertungsringen.

% Denn die linearen d-Oberhalbgruppen eines Integritätsbereiches sind ja
% offensichtlich gerade die Bewertungsoberringe.

\dotfill\medskip

\noindent\hfil\textbf{Literaturverzeichnis.}\nopagebreak\medskip

\dotfill\nopagebreak\smallskip

\small\noindent H. Grell.\nopagebreak

[1] Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math.\ Annalen~\textbf{97}
(1927).

\dotfill\smallskip

\noindent W. Krull.

\dotfill\smallskip

% [3] Allgemeine Bewertungstheorie, J. reine angew.\ Math.~167 (1931).

[5] Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche, Beitrag~I, Math.\ Zeitschr.~\textbf{41} (1936).

\dotfill\smallskip

\noindent H. Prüfer.

[1] Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften von Körpern, J. reine
angew.\ Math.\ \textbf{168} (1932).

\end{Cadre}

\section{\texorpdfstring{\citealt{Lor1950}}{Lorenzen 1950}: the Fundamentalsatz without valuations.}
\label{sec:1950}



\citealt{Lor1950} takes place in the framework of preordered
noncommutative monoids.  It proposes an analysis of a system of ideals
as an embedding into a semilattice.
\begin{EngCadre}
  In the commutative setting, the systems of ideals are always introduced as
  systems of certain subsets. But if one removes this set-theoretic
  clothing, then the concept of an ideal may be defined quite simply: a
  system of ideals of a preordered set is nothing but an
  embedding into a semilattice.
\end{EngCadre}
This enables Lorenzen to analyse the concept of $r$-\hspace{0pt}supermonoid
of \citealt{Lor1939} as \emph{$r$-allowable monoid} corresponding to
an \emph{$r$-allowable preorder}, i.e.\ a preorder that is the
restriction of a homomorphic image of the system of $r$-ideals. The
reader is invited to return to the part of the letter to Krull dated 6 June 1944
that is translated in the introduction (\cpageref{19440606t}), and
to reflect upon the simplification and clarification w.r.t.\
\cref{w(a+b)} of the definition of a valuation.

In the letter to Krull dated 13 March 1944 (page~\pageref{19440313}), Lorenzen stresses the
importance of these discoveries in his research.
\begin{EngCadre}
  \noindent E.g.\ the insight that a system of ideals is intrinsically
  nothing but a supersemilattice, and a valuation nothing but a linear preorder, strikes me as the most essential result of my
  effort.
\end{EngCadre}

In the noncommutative framework, integral dependence cannot be captured anymore by
passing from the $r$- to the $r_{a}$-system. Therefore Lorenzen
devises a new construction that may be considered as the birth of
dynamical algebra. In the introduction, he describes it for the
system of Dedekind ideals.
\begin{EngCadre}
  Let\label{1950p489t} $I$~be an arbitrary integral domain, $\mathfrak a$~a (finite or
  infinite) ideal of~$I$, $a$~an element of the field of
  fractions~$K$. We ask ourselves under what
  circumstances $a\in\mathfrak aB$ holds for every valuation
  superring~$B$ of~$I$.  For
  arbitrary~$z\in K^*$ and any valuation superring~$B$ of~$I$, always
\[
  z\in B\quad\text{or}\quad z^{-1}\in B\text.
\]
holds. Therefore, whenever $a\in\mathfrak aI[z]$ and $a\in\mathfrak aI[z^{-1}]$ holds, so
does $a\in\mathfrak aB$. Likewise follows: if there are elements
$z_1,\dots,z_n\in K^*$ for which
\[
  a\in\mathfrak aI[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]\leqno\qquad3)
\]
holds for each of the $2^n$~combinations of signs, then, for every valuation superring~$B$ of~$I$, holds:
\[
  a\in\mathfrak aB\text.
\]

This condition~3) is also necessary. Namely, if~3) is not fulfilled
for any $z_1,\dots,z_n$, then a simple well-ordering\label{zornintroeng} argument shows
that there is a maximal superring~$\overline{I}$ of~$I$ with the
property that, for all $z_1,\dots,z_n\in K^*$,
\[
a\notin\mathfrak a\overline I[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]
\]
holds for at least one combination of signs. Therefore in particular
$a\notin\mathfrak a\overline I$ holds. If this~$\overline I$ were not
a valuation ring, then there would be a $z\in K^*$ with
$z\notin\overline I$ and $z^{-1}\notin\overline I$, therefore there
would be elements $x_1,\dots,x_m$ and $y_1,\dots,y_n$ with
\[
  \begin{aligned}
a&\in\mathfrak a\overline I[z][x_1^{\pm1},\dots,x_m^{\pm1}]\\
a&\in\mathfrak a\overline I[z^{-1}][y_1^{\pm1},\dots,y_n^{\pm1}]
\end{aligned}
\]
for each combination of signs. But from this
\[
a\in\mathfrak a\overline I[z^{\pm1},x_1^{\pm1},\dots,x_m^{\pm1},y_1^{\pm1},\dots,y_n^{\pm1}]
\]
would follow, i.e.\ a contradiction. Therefore $\overline I$~is a valuation ring.

With that, the following new result is gained:

$a\in\mathfrak aB$ holds for every valuation superring~$B$ of~$I$ exactly when there are elements $z_1,\dots,z_n\in K^*$ for which
\[
  a\in\mathfrak aI[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]
\]
holds for each combination of signs.

\dotfill\smallskip

\label{end-intro-1950}$a$~is integrally dependent on~$I$ if there are elements $z_1,\dots,z_n$ of the field of fractions that fulfil
$a\in I[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]$ for each combination of signs.
\end{EngCadre}

The gist of Lorenzen's new construction is that in a computation in an
integral domain~$I$, one may at any time open two branches concerning
an element~$z$: in one branch, one supposes that~$I$ contains~$z$; in
the other, that~$I$ contains~$z^{-1}$. If a result may be obtained in each branch by a computation,
then there is a computation that yields this result without opening the branches. This construction embodies the
computational content of the proof method described by \citet{krull36}:
see \cpageref{method}.

This leads to a reshaping of Krull's Fundamentalsatz for integral domains into Theorem~26.
% \begin{EngCadre}
% \label{satz26}\noindent\so{Theorem} 26. \ An $r$-group is $r$-\hspace{0pt}principal group if and only if the associated monoid is $r$-closed.
% \end{EngCadre}
We postpone our discussion of this reshaping until the next section, on \citealt{Lor1952}, instead of dwelling on the 1950 version.

But let us stress another discovery reported in this article: the
property of regularity\label{regularity} (see Satz~8 on \cpageref{satz8}). It consists
in requiring of an $\ell$-group that if $a\land xax^{-1}=1$, then
$a=1$. This property may be seen as specifying the amount of commutativity that must be
granted in an $\ell$-group in order to be allowed to open branches in computations as described above. For more on this, see
\citealt{coquandlombardineuwirthkonstanz}.

\subsection{Excerpt.}

Our excerpt is from pages~483--490, 492--494, 496--500, 502--503, 506, 509--512, and~515--518 of ``Über halbgeordnete Gruppen'', \emph{Mathematische Zeitschrift}~52.

\begin{Cadre}\leqnomode\parskip1.5pt plus.5pt minus.5pt\newcommand\dotle{\mathrel{\dot\le}}
  Ein Integritätsbereich~$I$ definiert in der multiplikativen Gruppe~$K^*$
  seines Quotientenkörpers~$K$ eine Teilbarkeitsrelation. [\dots]

  \dotfill\smallskip

  Wie man der Theorie der kommutativen Halbgruppen entnehmen kann,
  sind die Ordnungen, die einen Bewertungsring~$B$ bestimmen, der~$I$
  umfaßt, dadurch gekennzeichnet, daß sie zugleich eine Ordnung der
  Ideale~$\mathfrak a,\mathfrak b,\dots$ von~$I$ ermöglichen, so daß stets gilt:
  \[
    \mathfrak c\le\mathfrak a,\ \mathfrak c\le\mathfrak
    b\implies\mathfrak c\le\mathfrak a+\mathfrak b\text.\leqno\qquad5)
  \]
  Genauer gesagt: die Teilbarkeitsrelationen der Bewertungsoberringe
  von~$I$ sind die Ordnungen von~$K^*$, die durch die Ordnungen des
  Idealsystems von~$I$ induziert werden, die~5) erfüllen. Die hier
  auftretenden Ordnungen des Idealsystems nennen wir die zulässigen
  Ordnungen.

  Wir definieren in §~4 Idealsysteme für beliebige halbgeordnete
  Mengen und insbesondere für halbgeordnete Gruppen. Wir definieren
  auch für diesen allgemeinen Fall die zulässigen Ordnungen eines
  Idealsystems und dann weiter:

  Eine Ordnung einer halbgeordneten Gruppe~$G$, zu der ein
  Idealsystem~$H$ gegeben ist, heißt zulässig (bezgl.~$H$), wenn sie
  durch eine zulässige Ordnung von~$H$ in~$G$ induziert wird. Die
  Teilbarkeitsrelationen der Bewertungsoberringe von~$I$ sind dann also
  genau die (bezgl.\ des \textsc{Dedekind}schen Idealsystems) zulässigen
  Ordnungen von~$K^*$.

  \dotfill\smallskip

  Gegeben sei eine beliebige halbgeordnete Gruppe~$G$ und ein
  beliebiges Idealsystem~$H$ von~$G$. Wann und wie ist die Halbordnung
  von~$G$ als Konjunktion zulässiger Ordnungen von~$G$ darstellbar? [\dots]

  \dotfill\smallskip

\noindent Wie läßt sich eine halbgeordnete Gruppe in
  eine Verbandsgruppe einbetten~-- vorausgesetzt, daß eine solche Einbettung möglich ist?

  \dotfill\smallskip

  Wir erhalten die Antwort auf unsere Frage durch eine genaue
  halbordnungstheoretische Analyse des Idealbegriffs. Im Kommutativen
  werden die Idealsysteme stets als Systeme von gewissen Untermengen
  eingeführt. Beseitigt man aber diese mengentheoretische Einkleidung,
  so läßt sich der Idealbegriff ganz einfach definieren: ein Idealsystem
  einer halbgeordneten Menge ist nichts anderes als eine Einbettung
  in einen Halbverband. (Ich bemerke ausdrücklich, daß man hier statt
  „Halbverband“ nicht „Verband“ setzen darf.)

  \dotfill\smallskip

  Ist die Halbordnung von~$G$ als Konjunktion zulässiger Ordnungen
  von~$G$ darstellbar, so gibt es ein Idealsystem~$H'$ von~$G$, dessen
  $v$-Ideale eine reguläre Verbandsgruppe bilden. [\dots]
  % Die zulässigen
  % Ordnungen von~$G$ sind eineindeutig den primen vollständigen
  % invarianten Unterhalbgruppen zugeordnet. Diese Zuordnung ist ein
  % Isomorphismus bezgl.\ der Bildung von Konjunktion bzw.\
  % Durchschnitt.

  Die hier auftretenden Idealsysteme~$H'$, die in der Arithmetik
  „arithmetisch brauchbar“ heißen, nennen wir auch im allgemeinen Fall
  „brauchbar“.

  \dotfill\smallskip

  % Der arithmetische Satz, daß der Übergang von~$H$ zu~$H'$ eine
  % Strichoperation darstellt, erhält im allgemeinen Falle seinen
  % einfacheren Ausdruck durch:

  % Jedes brauchbare Idealsystem~$H'$ ist homomorph zu~$H$.

  Wie in der Arithmetik ergibt sich dann weiter, daß unter den
  brauchbaren Idealsystemen eines ausgezeichnet ist, zu dem alle
  anderen homomorph sind [\dots]
  % Dieses ausgezeichnete Idealsystem ist in der Arithmetik das
  % KRULLSche 6-\hspace{0pt}Idealsystem, das bekanntlich mit dem P rüferschen
  % α-\hspace{0pt}Idealsystem identisch ist.

  % Die Kenntnis des ausgezeichneten brauchbaren Idealsystems
  % vorausgesetzt, ergeben sich also alle brauchbaren Idealsysteme als
  % homomorphe Bilder
  % -- nach der Untersuchung von § 3 damit aber als eineindeutig
  % zugeordnet gewissen regulären vollständigen invarianten
  % Unterhalbgruppen, die in Satz 22 angegeben werden. Dieses Ergebnis
  % ist für die Arithmetik nicht neu, nur der Beweis ist vereinfacht
  % durch Benutzung des Homomorphiebegriffes.

  \dotfill\smallskip

  Zur Beantwortung unserer Ausgangsfragestellung für halbgeordnete
  Gruppen bleibt uns jetzt vor allem folgende Frage:

  Wie\label{wie} läßt sich das ausgezeichnete brauchbare Idealsystem einer
  halbgeordneten Gruppe~$G$ konstruieren --~vorausgesetzt, daß es
  überhaupt existiert.

  Wir setzen also voraus, daß die Halbordnung von~$G$ als Konjunktion
  zulässiger Ordnungen von~$G$ darstellbar ist. Bei der Konstruktion
  des ausgezeichneten brauchbaren Idealsystems wollen wir aber die
  Kenntnis dieser Ordnungen nicht voraussetzen, weil wir gerade mit
  Hilfe des Idealsystems die zulässigen Ordnungen bestimmen wollen.

  Diese Konstruktion wird in der Arithmetik geliefert durch den
  \textsc{Prüfer}schen Begriff der Ganzabhängigkeit von einem Ideal~$\mathfrak a$ des
  gegebenen Integritätsbereiches~$I$.

  Ein Element~$a$ des Quotientenkörpers~$K$ heißt ganz abhängig
  von~$\mathfrak a$, wenn~$a$ einer Gleichung
\[a^n+a_1a^{n-1}+\cdots+a_n=0\leqno\qquad1)\]
mit $a_\nu\in\mathfrak a^\nu$ genügt.

In der Theorie der kommutativen Halbgruppen tritt an die Stelle
von~1) die Bedingung, daß es ein endliches Ideal~$\mathfrak c$ geben soll, so daß
\[
  a\mathfrak c\subseteq\mathfrak a\mathfrak c\leqno\qquad2)
\]
gilt. Auch diese Bedingung 2) läßt sich jedoch nicht auf den
nichtkommutativen Fall ausdehnen.

Um den Grundgedanken unserer neuen Konstruktion, die wir statt~1)
oder~2) verwenden, deutlich zu machen, führe ich sie hier für den
arithmetischen Spezialfall durch. §~6 des Textes bringt die
Durchführung für beliebige halbgeordnete Gruppen.

$I$\label{1950p489}~sei ein beliebiger Integritätsbereich, $\mathfrak a$~ein (endliches
oder unendliches) Ideal von~$I$, $a$~ein Element des
Quotientenkörpers~$K$. Wir fragen uns, wann für jeden
Bewertungsoberring~$B$ von~$I$ gilt: $a\in\mathfrak aB$.  Für beliebiges~$z\in K^*$
und jeden Bewertungsoberring~$B$ von~$I$ gilt stets
\[
  z\in B\quad\text{oder}\quad z^{-1}\in B\text.
\]
Gilt also $a\in\mathfrak aI[z]$ und $a\in\mathfrak aI[z^{-1}]$, so
gilt stets $a\in\mathfrak aB$. Ebenso folgt: Gibt es Elemente
$z_1,\dots,z_n\in K^*$, für die
\[
  a\in\mathfrak aI[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]\leqno\qquad3)
\]
für jede der $2^n$~Vorzeichenkombinationen gilt, so gilt für jeden Bewertungsoberring~$B$ von~$I$:
\[
  a\in\mathfrak aB\text.
\]

Diese Bedingung~3) ist auch notwendig. Ist nämlich~3) für kein
$z_1,\dots,z_n$ erfüllt, so zeigt ein einfacher Wohlordnungsschluß\label{zornintrodeu}, daß es
einen maximalen Oberring~$\overline{I}$ von~$I$ gibt, mit der Eigenschaft, daß für
jedes $z_1,\dots,z_n\in K^*$
\[
a\notin\mathfrak a\overline I[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]
\]
für mindestens eine Vorzeichenkombination gilt. Insbesondere gilt also
$a\notin\mathfrak a\overline I$. Wäre dieses~$\overline I$ kein Bewertungsring, so gäbe es ein $z\in K^*$ mit $z\notin\overline I$ und $z^{-1}\notin\overline I$, also gäbe es Elemente $x_1,\dots,x_m$ und $y_1,\dots,y_n$ mit
\[
  \begin{aligned}
a&\in\mathfrak a\overline I[z][x_1^{\pm1},\dots,x_m^{\pm1}]\\
a&\in\mathfrak a\overline I[z^{-1}][y_1^{\pm1},\dots,y_n^{\pm1}]
\end{aligned}
\]
für jede Vorzeichenkombination. Hieraus würde aber
\[
a\in\mathfrak a\overline I[z^{\pm1},x_1^{\pm1},\dots,x_m^{\pm1},y_1^{\pm1},\dots,y_n^{\pm1}]
\]
folgen, d.\ h.\ ein Widerspruch. Also ist~$\overline I$ Bewertungsring.

Damit ist das folgende neue Ergebnis gewonnen:

Es gilt genau dann $a\in\mathfrak aB$ für jeden Bewertungsoberring~$B$ von~$I$, wenn es Elemente $z_1,\dots,z_n\in K^*$ gibt, für die
\[
  a\in\mathfrak aI[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]
\]
für jede Vorzeichenkombination gilt.

Der\label{einfach} Beweis ist so einfach, daß er sich ohne weiteres in beliebigen
halbgeordneten Gruppen durchführen läßt und hier sowohl eine Konstruktion des ausgezeichneten brauchbaren Idealsystems liefert (vorausgesetzt, daß es existiert), als auch die folgende Frage beantwortet:

Wann ist die Halbordnung einer halbgeordneten Gruppe~$G$ als
Konjunktion zulässiger Ordnungen von~$G$ darstellbar?

Zum Schluß zeigen wir, daß sich diese Ergebnisse mit den bekannten Ergebnissen im Kommutativen in Übereinstimmung befinden. [\dots]
% Dadurch erhält man für die Arithmetik einen neuen, sehr vereinfachten
% Beweis für die Identität des $a$- und ö-\hspace{0pt}Idealsystems.
Ferner erhält man für den grundlegenden Begriff der Ganzabhängigkeit
eines Elementes~$a$ von einem Integritätsbereich~$I$ einen neuen
gleichwertigen Ausdruck:

\label{fin-intro-1950}$a$~ist genau dann ganz abhängig von~$I$,
wenn es Elemente $z_1,\dots,z_n$ des Quotientenkörpers gibt, die
$a\in I[z_1^{\pm1},\dots,z_n^{\pm1}]$ für jede Vorzeichenkombination erfüllen.\bigskip

\noindent\hfil§~1.\nopagebreak\smallskip

\noindent\hfil\textbf{Halbordnungen.}\nopagebreak\medskip

\dotfill\smallskip

Für jede Halbordnung benutzen wir außerdem zur Abkürzung:
\[
  \begin{aligned}
    &a\ge b\text{, wenn $b\le a$ gilt,}\\
    &a \equiv b\text{, wenn $a\le b$ und $a \ge b$ gilt,}
  \end{aligned}
\]
\dotfill\smallskip

Die ganzen Elemente einer halbgeordneten Gruppe~$G$ bilden eine
invariante Unterhalbgruppe~$\mathfrak g$ von~$G$. Es gilt nämlich
\[1\ge1\text,\]
für jedes~$a,b\in G$:
\[a\ge1,\ b\ge1\implies ab\ge1\text,\]
für jedes~$a,x\in G$:
\[a\ge1\implies xax^{-1}\ge1\text.\]
Dies bedeutet für die Menge~$\mathfrak g$ der ganzen Elemente
\[1\in\mathfrak g\text,\]
für jedes~$a,b\in G$:
\[a\in\mathfrak g,\ b\in\mathfrak g\implies ab\in\mathfrak g\text,\]
für jedes~$a,x\in G$:
\[a\in\mathfrak g\implies xax^{-1}\in\mathfrak g\text.\]
Wir nennen die invariante Unterhalbgruppe der ganzen Elemente kurz
die (zu~$\le$) zugehörige Halbgruppe.

\so{Satz} 1. \ Die Halbordnungen einer Gruppe~$G$ entsprechen eineindeutig den invarianten Unterhalbgruppen von~$G$.

\dotfill\bigskip

\noindent\hfil§~2.\smallskip

\noindent\hfil\textbf{Verbandsgruppen.}\medskip

\dotfill\smallskip

\noindent Wir nennen zwei Elemente~$a$ und~$b$ einer Verbandsgruppe
teilerfremd, wenn $a \land b \equiv 1$ gilt, und schreiben hierfür
$a\parallel b$. [\dots]

\dotfill\bigskip

\noindent\hfil§~3.\smallskip

\noindent\hfil\textbf{Hauptgruppen.}\medskip

\dotfill\smallskip

Wir nennen diese direkten Produkte von geordneten Gruppen
Vektorgruppen. [\dots]

\label{satz8}\so{Satz} 8. \ In einer Vektorgruppe~$G$ gilt für jedes $a, x \in G$
\[a\parallel xax^{-1}\implies a \equiv 1\text.\]

\so{Beweis.} \ Wir haben nur nachzuweisen, daß diese Bedingung für
geordnete Gruppen gilt. Aus $a > 1 \implies xax^{-1} > 1$ folgt aber sofort
$a > 1 \implies \min (a, x a x^{-1}) > 1$.

Wir nennen jede Verbandsgruppe, die die Bedingung des Satzes~8
erfüllt, regulär. Also ist jede Vektorgruppe eine reguläre Verbandsgruppe.

Dieser Satz läßt sich nicht umkehren, wohl aber gilt, daß jede
reguläre Verbandsgruppe Untergruppe einer Vektorgruppe ist. Dieses
wollen wir im Folgenden beweisen.

Wir definieren zunächst: Jede Untergruppe einer Vektorgruppe
heißt eine Hauptgruppe.

\dotfill\smallskip

Es seien~$H$ und~$H'$ Halbverbandshalbgruppen und $\to$ eine Abbildung von~$H$ in~$H'$, die für jedes~$a, b\in H$, $a',b'\in H'$ mit~$a\to a'$ und $b\to b'$ erfüllt:
\newsavebox{\boximplies}\sbox{\boximplies}{${}\implies{}$}
\begin{align*}
  a\le b&\usebox{\boximplies} a'\le b'\tag*{\qquad1)}\\
  a\land b&\makebox[\wd\boximplies]{\hfil$\to$\hfil}a'\land b'\tag*{\qquad2)}\\
  ab&\makebox[\wd\boximplies]{\hfil$\to$\hfil}a'b'\text.\tag*{\qquad3)}
  \end{align*}
Eine solche Abbildung nennen wir einen Homomorphismus von~$H$.

Jeder Homomorphismus definiert eine Relation~$\dotle$ in~$H$ auf folgende
Weise. Wir setzen fest, daß $a\dotle b$ in~$H$ genau dann gelten soll, wenn
$a'\le b'$ in~$H'$ gilt. $H$~ist bzgl.\ dieser Relation wieder eine Halbverbandshalbgruppe und die Relation~$\dotle$ erfüllt:
\begin{align*}
  \tag*{\qquad \hphantom{I}I)}a\le b&\implies a\dotle b\\
  \tag*{\qquad II)}x\dotle a,\ x\dotle b&\implies x\dotle a \land b\text.
\end{align*}
Es gilt auch die Umkehrung: Ist
$\dotle$~eine Halbordnung von~$H$, die~I)
und~II) erfüllt, so ist~$H$ bzgl.~$\dotle$ eine Halbverbandshalbgruppe (wir
wollen diese mit~$H'$ bezeichnen) und die Abbildung~$a\to a$ von~$H$ auf~$H'$
ist ein Homomorphismus.

\dotfill\smallskip
% Die Bedingung~1) folgt nämlich aus~I). Für die Gültigkeit von~2)
% hat man zu zeigen, daß das Element~$a\land b$ nicht nur in~$H$ (d.\ h. bzgl.~$\le$)
% der g.\ g.\ T. von~$a$ und~$b$ ist, sondern auch in~$H'$ (d.\ h.\ bzgl.~$\dotle$).
% Wegen~I) und $a\land b\le a$ und $a\land b\le b$ gilt aber
% \[a\land b\dotle a\quad\text{und}\quad a\land b\dotle b\text.\]
% Zusammen mit~II) folgt hieraus die Behauptung. Zugleich ist damit
% erwiesen, daß $H'$~eine Halbverbandshalbgruppe ist.

Aufgrund dieser Gleichwertigkeit betrachten wir statt der Homomorphismen von~$H$ nur die Halbordnungen von~$H$, die I)~und~II) erfüllen. Wir nennen diese Halbordnungen kurz die zulässigen Halbordnungen von~$H$.

Zwei Homomorphismen von~$H$, die dieselbe zulässige Halbordnung
definieren, nennen wir äquivalent. Es entsprechen dann also die Homomorphismen von~$H$ bis auf Äquivalenz eineindeutig den zulässigen
Halbordnungen von~$H$.

Für eine Verbandsgruppe~$G$ entsprechen die zulässigen Halbordnungen von~$G$ aber auch eineindeutig gewissen Unterhalbgruppen von~$G$.
Aus Satz~1 folgt nämlich sofort:

Ist $\mathfrak g$~die zugehörige Halbgruppe einer Verbandsgruppe~$G$, so entsprechen die zulässigen Halbordnungen von~$G$ eineindeutig den invarianten Unterhalbgruppen~$\dot{\mathfrak g}$ von~$G$, die für jedes~$a, b\in G$
\[\text{I)}\quad\mathfrak g\subseteq\dot{\mathfrak g}\qquad\quad
  \text{II)}\quad a\in\dot{\mathfrak g},\ b\in\dot{\mathfrak g}\implies a\land b \in\dot{\mathfrak g}
\]
erfüllen.

Diese Halbgruppen~$\dot{\mathfrak g}$ nennen wir die zulässigen Halbgruppen von~$G$.
Die Homomorphismen einer Verbandsgruppe~$G$ entsprechen also bis
auf Äquivalenz eineindeutig den zulässigen Halbgruppen von~$G$.

Die zulässigen Halbgruppen einer Verbandsgruppe lassen sich nun
durch „Quotientenbildung“ aus der zugehörigen Halbgruppe~$\mathfrak g$ gewinnen.
Dazu haben wir invariante Unterhalbgruppen~$S$ von~$\mathfrak g$ zu betrachten.
Gilt für jedes~$a,b\in\mathfrak g$
\[
  a \le b,\ b \in S \implies a \in S\text,
\]
so nennen wir $S$~vollständig.

\so{Satz} 9. \ Die Homomorphismen einer Verbandsgruppe~$G$ entsprechen
bis auf Äquivalenz eineindeutig den vollständigen, invarianten Unterhalbgruppen der zugehörigen Halbgruppe~$\mathfrak g$.\bigskip

\dotfill\smallskip

\so{Satz} 13. \ Jede reguläre Verbandsgruppe ist Hauptgruppe.

\dotfill\smallskip

Zusammengefaßt erhalten wir also eine Kennzeichnung der Hauptgruppen, die unabhängig ist vom Ordnungsbegriff. Die\label{superlattice} Bedeutung
dieser Kennzeichnung liegt darin, daß sich die Ordnungen einer Gruppe
im allgemeinen nur mit Wohlordnungsschlüssen konstruieren lassen~--
die Oberverbandsgruppen dagegen lassen sich auch ohne Wohlordnung
konstruieren mit Hilfe des Idealbegriffs.

\bigskip

\noindent\hfil§~4.\nopagebreak\smallskip

\noindent\hfil\textbf{Idealsysteme.}\nopagebreak\medskip

Wir definieren den Idealbegriff zunächst für beliebige halbgeordnete
Mengen.

Unter einem Idealsystem~$\mathfrak S$ einer halbgeordneten Menge~$M$ verstehen wir einen minimalen Oberhalbverband von~$M$. Ein Oberhalbverband von~$M$ enthält zu endlich vielen Elementen~$a_{\mu}$ von~$M$ ($\mu = 1 , \dots, m$)
stets den g.\ g.\ T.~$a_1\land\dotsc\land a_m$. Er heißt minimal, wenn er nur aus
Elementen dieser Form besteht. Es gibt dann nämlich keinen echten
Unterhalbverband, der auch noch~$M$ umfaßt.

\dotfill\smallskip

Der Idealbegriff ist für halbgeordnete Gruppen in dieser Form noch
zu unbestimmt. Als Idealsystem einer halbgeordneten Halbgruppe~$H$
wollen wir nur diejenigen Idealsysteme der halbgeordneten Menge~$H$
bezeichnen, in denen durch die Festsetzung
\[
  (a_1\land\dotsc\land a_m)(b_1\land\dotsc\land b_n)\equiv
  a_1b_1\land\dotsc\land a_mb_n
\]
eine Multiplikation definiert werden kann.

\dotfill\smallskip

Die Einführung\label{embedding} der Idealsysteme geschieht, um mit ihrer Hilfe die
Einbettung einer Hauptgruppe~$G$ in eine reguläre Verbandsgruppe
konstruktiv ohne Benutzung der Ordnungen von~$G$ zu ermöglichen.

\dotfill\bigskip

\noindent\hfil§~5.\smallskip

\noindent\hfil\textbf{$r$-Gruppen.}\medskip

\dotfill\smallskip

Damit unsere Untersuchung der halbgeordneten Gruppen auch die
speziellen Fragen der Arithmetik der kommutativen Integritätsbereiche
umfaßt, legen wir daher von jetzt ab eine halbgeordnete Gruppe zugrunde, zu der von vornherein ein festes Idealsystem gegeben ist.
Ist dies das System der $r$-Ideale, so nennen wir die halbgeordnete
Gruppe kurz eine $r$-Gruppe.

In einer $r$-Gruppe erklären wir nur diejenigen Halbordnungen als
$r$-\hspace{0pt}zulässig, die durch eine zulässige Halbordnung des $r$-\hspace{0pt}Idealsystems induziert werden.

Die $r$-\hspace{0pt}zulässigen Halbordnungen lassen sich unabhängig von dem
Begriff der zulässigen Halbordnung eines Halbverbandes kennzeichnen.
Ist nämlich eine beliebige halbgeordnete Gruppe~$G$ gegeben, und ist
$H$~ein Idealsystem von~$G$, so gilt

\so{Satz} 17. \ Eine Halbordnung~$\dotle$ von~$G$ wird genau dann durch
eine zulässige Halbordnung von~$H$ induziert, wenn
\[
  \leqno\qquad1)\enskip a \le b \implies a \dotle b
\]
erfüllt ist und wenn aus $a_1\land\dotsc\land a_m\le a$
in~$H$ für jedes~$x \in G$
folgt
\[
  \leqno\qquad2)\enskip x\dotle a_1,\dots,x\dotle a_m\implies x\dotle a\text.
\]

\dotfill\smallskip

Für die Ordnungen von~$G$ gilt darüber hinaus

\so{Satz} 18. \ Die zulässigen Ordnungen von~$H$ entsprechen eineindeutig den Ordnungen von~$G$, die 1)~und 2) erfüllen.

\dotfill\smallskip

Ist $G$~eine $r$-Gruppe und $\mathfrak g$~die zugehörige Halbgruppe, so entsprechen die $r$-\hspace{0pt}zulässigen Halbordnungen bzw.\ Ordnungen von~$G$ den
invarianten Unterhalbgruppen bzw.\ den linearen, invarianten Unterhalbgruppen~$\dot{\mathfrak g}$ die
\[
  \leqno\qquad1)\enskip \mathfrak g\subseteq\dot{\mathfrak g}
\]
erfüllen, und für die aus $a_1\land\dotsc\land a_m\mathrel{\smash{\underset{r}{\le}}}a$
folgt:
\[
  \leqno\qquad2)\enskip a_1\in\dot{\mathfrak g},\dots,a_m\in\dot{\mathfrak g}\implies a\in\dot{\mathfrak g}\text.
\]
Statt~2) läßt sich auch schreiben:
\[
  \leqno\qquad\phantom{2)}\enskip a_1\in\dot{\mathfrak g},\dots,a_m\in\dot{\mathfrak g}\implies(a_1,\dots,a_m)_r\subseteq\dot{\mathfrak g}\text.
\]

Wir nennen die invarianten Unterhalbgruppen von~$G$, die 1)~und~2)
erfüllen, die $r$-\hspace{0pt}zulässigen Halbgruppen von~$G$.

Eine $r$-Gruppe~$G$ heißt $r$-\hspace{0pt}Hauptgruppe, wenn die Halbordnung von~$G$ nicht nur Konjunktion von Ordnungen von~$G$ ist, sondern sogar
Konjunktion von $r$-\hspace{0pt}zulässigen Ordnungen ist. Das ist also genau dann
der Fall, wenn die zugehörige Halbgruppe Durchschnitt von linearen
$r$-\hspace{0pt}zulässigen Halbgruppen ist.

\dotfill\bigskip

\noindent\hfil§~6.\smallskip

\noindent\hfil\textbf{Die $r$-Abschließung.}\medskip

Wir wollen in diesem~§ nachweisen, daß sich das ausgezeichnete
$r$-\hspace{0pt}brauchbare Idealsystem, das $r_a$-System, einer $r$-Hauptgruppe unabhängig von den Begriffen der vorhergehenden~§§ kennzeichnen läßt.

Es sei $G$~eine beliebige $r$-Gruppe, $\mathfrak g$~die zugehörige
Halbgruppe, $\dot{\mathfrak g}$ eine $r$-\hspace{0pt}zulässige Halbgruppe,
$\mathfrak a = \{a_1,\dots, a_m\}$ eine endliche Untermenge von~$G$
und $a \in G$.

Wir bezeichnen das $r$-Ideal~$(a_1,\dots,a_m)_r$ mit~$\mathfrak a_r$.

Wir definieren das Produkt~$\mathfrak a_r\mathbin.\dot{\mathfrak g}$ als die kleinste Untermenge von~$G$, die sämtliche Elemente~$a\dot g$ mit $a \in \mathfrak a_r$ und $\dot g\in\dot{\mathfrak g}$ enthält und außerdem für jedes $x_1,\dots,x_n \in G$ die Bedingung
\[x_1\in\mathfrak a_r\mathbin.\dot{\mathfrak g},\dots,x_n\in\mathfrak a_r\mathbin.\dot{\mathfrak g}\implies(x_1,\dots,x_n)_r\subseteq\mathfrak a_r\mathbin.\dot{\mathfrak g}\]
erfüllt.

\dotfill\smallskip

[\dots] bezeichnen wir für jedes $x \in G$ mit $\dot{\mathfrak g}(x)_r$ den Durchschnitt aller $r$-\hspace{0pt}zulässigen Halbgruppen, die $\dot{\mathfrak g}$~umfassen und außerdem $x$~enthalten.
$\dot{\mathfrak g}(x)_r$ ist wieder eine $r$-\hspace{0pt}zulässige Halbgruppe, die „$r$-\hspace{0pt}Erweiterung“ von~$\dot{\mathfrak g}$ mit~$x$.

\dotfill\smallskip

\newcommand\ar{\mathrel{\alpha_r}}
Wir definieren dazu eine Relation $\ar$ zwischen den Elementen~$a$
und den Produkten~$\mathfrak a_r\mathbin.\dot{\mathfrak g}$.

Wir setzen $a\ar\mathfrak a_r\mathbin.\dot{\mathfrak g}$, wenn es Elemente
$x_1,\dots, x_n$ von~$G$ gibt mit
$a \in \mathfrak a_r \mathbin. \dot{\mathfrak g} (x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1})_r$ für jede der~$2^n$ möglichen Vorzeichenkombinationen.

\label{satz24}\so{Satz} 24. \ $a$ ist genau dann $r$-abhängig von $\mathfrak a_r$ in $\dot{\mathfrak g}$, wenn $a\ar\mathfrak a_r\mathbin.\dot{\mathfrak g}$
gilt.

\dotfill\smallskip

Die\label{radirect} Bedeutung dieses Satzes liegt darin, daß es jetzt möglich ist,
für jede $r$-Hauptgruppe eine direkte Konstruktion des $r_a$-\hspace{0pt}Idealsystems
anzugeben.

\dotfill\smallskip

[\dots] Gilt $a\ar(1)\mathbin.\dot{\mathfrak g}$, so nennen wir $a$~$r$-\hspace{0pt}abhängig von~$\dot{\mathfrak g}$, da $(1)\mathbin. \dot{\mathfrak g} = \dot{\mathfrak g}$ ist.

Liegt jedes von~$\dot{\mathfrak g}$ $r$-\hspace{0pt}abhängige Element in~$\dot{\mathfrak g}$, so nennen wir $\dot{\mathfrak g}$
$r$-\hspace{0pt}abgeschlossen.

\dotfill\smallskip

% Aus Satz 24 folgt jetzt
% S a t z 25. Eine r-zulässige Halbgruppe g ist genau dann r-abgeschlossen, wenn g Durchschnitt von linearen r-zulässigen Halbgruppen ist.

\label{satz26}\so{Satz} 26. \ Eine $r$-Gruppe ist genau dann $r$-\hspace{0pt}Hauptgruppe, wenn die
zugehörige Halbgruppe $r$-\hspace{0pt}abgeschlossen ist.
\end{Cadre}

\section{\texorpdfstring{\citealt{Lor1952}}{Lorenzen 1952}: the Fundamentalsatz for semilattice domains.}
\label{sec:Lor1952}
\newcommand{\R}{\mathrel{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrel{S}}



The first three sections of \citealt{Lor1952} propose a streamlined
version of \citealt{Lor1950} in the more general framework of a
\emph{domain}~$(B,{\preccurlyeq_B},G)$, i.e.\ of a preordered
set~$(B,{\preccurlyeq_B})$ with a 
monoid~$G$ of preorder-preserving operators
on~$B$. $(H,\preccurlyeq_H,G)$ is a \emph{semilattice
  domain} if $(H,\preccurlyeq_H)$~is a semilattice and if the
action of~$G$ preserves meets. A preorder~$\preccurlyeq$ on a
semilattice domain~$H$ is \emph{$\preccurlyeq_H$-allowable} if it is
coarser than~$\preccurlyeq_H$ and if meets (w.r.t.~$\preccurlyeq_H$)
are also meets w.r.t.~$\preccurlyeq$. One can similarly define lattice domains and the corresponding allowability.

A \emph{domain of ideals}~$H_r$ for a domain~$B$ is a minimal
supersemilattice domain. A preorder~$\preccurlyeq$ on~$B$ is
\emph{$r$-allowable} if it is induced by an allowable preorder
of~$H_r$. $B$~is an \emph{$r$-principal domain} if its preorder is a
conjunction of $r$-allowable linear preorders.

Krull's Fundamentalsatz for integral domains becomes a characterisation of an $r$-principal
domain as a domain~$B$ in which behaving as if it were linearly
preordered, i.e.\ in which assuming that certain pairs of
elements~$\alpha_1,\dots,\alpha_e\in B\times B$ are linearly
preordered, does not add new preordered pairs to the preorder. His
formulation of this ``as if'' goes as follows: it is the simultaneous
consideration of $2^e$~different preorders corresponding to
preordering each pair one way or the other (a way described by a combination
of signs $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_e=\pm1$), and each of these
preorders is the
conjunction $R[\alpha_1^{\varepsilon_1},\dots,\alpha_e^{\varepsilon_e}]_r$
of all the $r$-allowable preorders coarser than~$\preccurlyeq_B$ in
which the pairs are preordered in the described way (here below, $R$~is Lorenzen's notation for the preorder~$\preccurlyeq_B$).
\begin{EngCadre}
  \noindent\so{Theorem 1}. \ \emph{An\/ $r$-domain\/~$B$ (w.r.t.\/~$R$ and\/~$G$) is an\/ $r$-principal domain if, and only if, for all pairs\/ $\alpha_1,\dots,\alpha_e$ from\/~$B$, holds:}
  \[\bigcap\limits_{\makebox[0pt][c]{$\scriptstyle\varepsilon=\pm1$}}{}_{\strut\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_e}R[\alpha_1^{\varepsilon_1},\dots,\alpha_e^{\varepsilon_e}]_r\subset R\text.\]\vspace{-\belowdisplayskip}
\end{EngCadre}

This final shape of the Fundamentalsatz corresponds to
Satz~26 of~\citealt{Lor1950} (see above) and is
obtained by the arguments developed there. The characterisation given
in Theorem~1 is but a formulation of \emph{$r$-closedness}: compare
the formulation of integral dependence at the end of the introduction
of~\citealt{Lor1950} (\cpageref{fin-intro-1950}, translated on
\cpageref{end-intro-1950}).

Note that the article \citealt{Lor1951} shows that Lorenzen had the
means of a considerably simpler formulation of this ``as if'' by
starting from the logic-free and set-theory-free formal system given
by~$H_r$ and by adding the $e$~axioms corresponding to preordering the
pairs (see, in
this respect,
\citealt{coquandlombardineuwirth19,coquandlombardineuwirthkonstanz}). He may have refrained from doing so in order to stick
to a purely algebraic framework that would suit his potential readers.

In the last section, the property of regularity introduced in \citealt{Lor1950} is given the following symmetrical form for a distributive lattice domain~$(V,\preccurlyeq_V,G)$: that $xa\land yb\preccurlyeq_Vxb\lor ya$ for $a,b\in V$ and $x,y\in G$.
\subsection{Excerpt.}

Our excerpt is from pages~269--274 of ``Teilbarkeitstheorie in Bereichen'',
\emph{Mathematische Zeitschrift}~55.

\begin{Cadre}
  \leqnomode
  \noindent\hfil§~1.\nopagebreak\smallskip

  \noindent\hfil \textbf{Bereiche.}\nopagebreak\medskip

  $B$~sei eine Menge (Elemente $a ,b , \dots$), $R$~eine zweistellige
  Relation in~$B$ und $G$~eine Menge von Operatoren $x,y, \dots$
  von~$B$.

  \so{De{f}inition 1}. \ B heißt ein \emph{Bereich} (bezügl.~$R$ und~$G$),
  wenn für alle~$a$, $b$, $c$ und~$x$ gilt
  \begin{align*}
    &a\R a\tag{1.1}\\
    &a\R b, b\R c\to a\R c\tag{1.2}\\
    &a\R b\to xa\R xb\text.\tag{1.3}
  \end{align*}

Da (1.3) für den Operator 1 (definiert durch $1 \cdot a = a$) und für~$xy$ (definiert durch $(xy) a = x(ya)$) gilt, falls für~$x$ und~$y$, sei im
Folgenden stets angenommen, daß $G$~eine Halbgruppe mit Einselement ist.

$R$~heißt die Halbordnung von~$B$. Statt $a \R b$ werde $a < b$ oder
$b > a$ geschrieben. $a = b$ bedeute $a < b$ und $b < a$ ($=$ braucht nicht
die Identität zu sein).

Gilt $a < b$ oder $a > b$ für alle~$a$ und~$b$, dann heißt~$\R$ eine \emph{Ordnung}.

\so{De{f}inition 2}. \ Ein Bereich~$B$ heißt ein \emph{Halbverbandsbereich},
wenn für alle $a, b$~ein größter gemeinsamer Teiler $a\land b$ existiert, so
daß für alle~$c$ und~$x$ gilt
\begin{gather*}
  c < a \land b \longleftrightarrow c < a , c < b\tag{1.4}\\
  x(a\land b) = x a \land xb\text.\tag{1.5}
\end{gather*}


  \dotfill\smallskip

% Existiert auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches~$a \lor b$ mit zu~(1.4), (1.5) dualen Bedingungen, dann heißt~$B$ ein Verbandsbereich.

\so{De{f}inition 3}. \ Eine Halbordnung~$\rS$ eines Halbverbandsbereiches~$B$ (bezügl.~$\R$ und~$G$) heißt \emph{zulässig}, wenn für alle~$a$, $b$, $c$ und~$x$ gilt
\begin{align*}
\tag{1.6}&R\subset S\\
\tag{1.7}&{a \rS b}\to {x a \rS xb}\\
\tag{1.8}&{c\rS a}, {c\rS b} \to {c\rS {a \land b}} \text.
\end{align*}


  \dotfill\smallskip


% Eine Halbordnung eines Verbandsbereichs heißt zulässig, wenn
% auch noch die zu~(1.8) duale Bedingung gilt.

Die Halbordnung~$\R$ eines Bereichs~$B$ induziert in jeder Untermenge~$B_0$ von~$B$ eine Halbordnung~$R_0$ von~$B_0$. $R$~heißt eine \emph{Fortsetzung} von~$R_0$ auf~$B$. Ist~$B_0$ zulässig bezügl.~$G$ (d.\ h.\ $xB_0\subset B_0$ für
alle~$x$), dann induziert~$G$ eine Operatorenhalbgruppe~$G_0$ von~$B_0$. $B$~heißt dann ein \emph{Oberbereich} von~$B_0$ (bezügl.~$R_0$ und~$G_0$).\bigskip

  \noindent\hfil§~2.\smallskip

  \noindent\hfil \textbf{Ideale.}\medskip

  $B$~sei ein Bereich (bezügl.~$\R$ und~$G$).

  \so{De{f}inition 4}. \ Ein minimaler Halbverbandsoberbereich~$H$
  von~$B$ heißt ein \emph{Idealbereich} von~$B$.

  \dotfill\smallskip

  Die Idealbereiche~$H$ werden durch einen Kennbuchstaben unterschieden. $r$~sei eine Variable für diese Kennbuchstaben.

  Ein Bereich~$B$ mit einem Idealbereich~$H_r$ heiße ein \emph{$r$-Bereich}.

  \so{De{f}inition 5}. \ Eine Halbordnung~$S$ eines $r$-Bereiches~$B$
  heiße \emph{$r$-\hspace{0pt}zulässig}, wenn~$S$ durch eine zulässige Halbordnung
  von~$H_r$ induziert wird.

  \dotfill\smallskip

  \so{De{f}inition 6}. \ Ein $r$-Bereich~$B$ heißt \emph{$r$-\hspace{0pt}Hauptbereich}, wenn
  die Halbordnung~$\R$ von~$B$ Konjunktion $r$-\hspace{0pt}zulässiger Ordnungen
  von~$B$ ist.

  \dotfill\smallskip

\noindent werde für
jede $r$-\hspace{0pt}zulässige Halbordnung~$S$ und jedes Paar $\alpha = a_1, a_2$ aus~$B$ die
$r$-\hspace{0pt}Erweiterung $S[\alpha]_r$ als Konjunktion aller $r$-\hspace{0pt}zulässigen Halbordnungen~$\overline{S}$ von~$B$ mit
\begin{align*}
\tag{2.1}S\subset\overline{S}\\
\tag{2.2}a_1\mathrel{\overline{S}}a_2
\end{align*}
definiert.
Zur bequemeren Formulierung sei ferner gesetzt
\[
  \begin{gathered}
    \hbox to7em{\dotfill}\\
    \alpha^{+1}=a_1,a_2\text,\quad\alpha^{-1}=a_2,a_1\text.
  \end{gathered}
\]
  \dotfill\smallskip


\so{Satz 1}. \ \emph{Ein\/ $r$-Bereich\/~$B$ (bezügl.\/~$R$ und\/~$G$) ist genau dann
    ein\/ $r$-\hspace{0pt}Hauptbereich, wenn für alle Paare\/ $\alpha_1,\dots,\alpha_e$ aus\/~$B$ gilt:}
  \[\bigcap\limits_{\makebox[0pt][c]{$\scriptstyle\varepsilon=\pm1$}}{}_{\strut\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_e}R[\alpha_1^{\varepsilon_1},\dots,\alpha_e^{\varepsilon_e}]_r\subset R\text.\]
  \dotfill\bigskip

  \noindent\hfil§~4.\smallskip

  \noindent\hfil \textbf{Reguläre Verbandsbereiche.}\medskip

  \so{De{f}inition} 9. \ Ein Verbandsbereich~$V$ heißt \emph{regulär}, wenn $V$~distributiv ist und für $a, b$ und $x, y$ gilt: $x a \land y b < x b \lor y a$.

  \dotfill\smallskip

  \so{Satz}~3. \ \emph{Die Halbordnung eines Verbandsbereiches\/~$V$ ist genau
dann Konjunktion zulässiger Ordnungen von\/~$V$, wenn\/ $V$~regulär ist.}
\end{Cadre}


\section{\texorpdfstring{\citealt{Lor1953}}{Lorenzen 1953}: the Fundamentalsatz for integral domains as an embedding into a super-\texorpdfstring{$\ell$}{l}-group.}
\label{sec:1953}

The introduction of \citealt{Lor1953} describes his state of the art on Krull's Fundamentalsatz for integral domains:
\begin{itemize}[wide,nosep]
\item\citealt{Lor1950} shows that the problem of representing an
  integral domain~$I$ as intersection of valuation rings may be
  reduced to the problem of constructing a super-$\ell$-group of
  the divisibility group~$G$ of~$I$ such that the meets of elements
  of~$G$ form a homomorphic image of the system of Dedekind ideals.
\item In fact, Satz~3 of \citealt{Lor1952} (see above) establishes
  that the preorder of a regular lattice domain may be represented as
  a conjunction of allowable linear preorders, and this corresponds to an
  intersection of valuation rings in the case of an integral domain.
\end{itemize}

\begin{EngCadre}
  According to the Fundamentalsatz, the integral domains~$I$ that are representable as intersection of valuation rings are characterised by being integrally closed. On the other hand, the representability of~$I$ as an intersection of valuation rings is equivalent to the existence of a lattice-preordered supergroup~$V$ of the multiplicative group~$G$ of the field of fractions~$K$ of~$I$ -- where~$V$ must satisfy the condition that the domain of ideals~$H$ (which consists of all g.c.d.s $a_1\land\dots\land a_n$ with $a_\nu\in G$) contained in~$V$ is a homomorphic image of the domain of Dedekind ideals~$H_d$ of~$I$.

  This last equivalence results from the more general domain-theoretic theorem that the preorder of every regular lattice-preordered domain is a conjunction of allowable total orders -- if one adds that every commutative lattice-preordered group is trivially regular. Therefore two routes to the proof of Krull's Fundamentalsatz are available: one\label{Wege} has to construct, for an integrally closed integral domain, either an intersection representation through valuations or a lattice-preordered supergroup. Both proof possibilities are carried out for commutative groups -- for noncommutative groups, however, and more generally for domains, only the first route has been hitherto practicable.

  The present work describes the second proof course also in the general case. If afterwards one specialises the general method to divisibility in commutative fields~$K$, then the following results. For the construction of a lattice-preordered supergroup it is required only to define when, for arbitrary elements $a_\mu,b_\nu$ out of the multiplicative group~$G$ of~$K$,
\[a_1\land\dots\land a_m\prec b_1\lor\dots\lor b_n\]
is to hold ($\prec$ stands for ``divides'', $\land$~denotes the g.c.d., $\lor$~the l.c.m.).

For every integrally closed integral domain~$I$, one obtains a lattice-preordered supergroup of~$G$ if one defines
\[a_1\land\dots\land a_m\prec b_1\lor\dots\lor b_n\longleftrightarrow1\in{\textstyle\sum\limits_1{}_{\!\raisebox{-2pt}{$\scriptstyle\varkappa$}}}(a_1b_1^{-1},\dots,a_\mu b_\nu^{-1},\dots,a_mb_n^{-1})^\varkappa\text.\leqno(1)\]
For $n=1$, $b_1=b$,  this definition changes into the prüferian definition of integral dependence of~$b$ on $(a_1,\dots,a_m)$
\[a_1\land\dots\land a_m\prec b\longleftrightarrow b^k+c_1b^{k-1}+\dotsb+c_k=0\qquad[c_\varkappa\in(a_1,\dots,a_m)^\varkappa]\text.\leqno(2)\]
Therefore (1)~describes a suitable enlargement of the concept of integral dependence.
\end{EngCadre}

In this last article on the subject, Lorenzen proposes the construction
of an $\ell$-group from a preordered group~$G$ and a semilattice of
ideals~$H_r$; $G$~embeds into this $\ell$-group if and only if it is
$r$-closed. He does so by first constructing the distributive lattice generated by an ``entailment relation'' associated with~$H_r$ (see \citealp{coquandlombardineuwirthkonstanz}) and then proving that it is a lattice-preordered group.

\subsection{Excerpt.}

Our excerpt is from page~15 of ``Die Erweiterung halbgeordneter Gruppen zu
Verbandsgruppen'', \emph{Mathematische Zeitschrift}~58.

\begin{Cadre}
  Nach dem \textsc{Krull}schen Fundamentalsatz [\emph{1}] sind die
  Integritätsbereiche~$I$, die als Durchschnitt von Bewertungsringen
  darstellbar sind, dadurch charakterisiert, daß sie ganz
  abgeschlossen sind. Die Darstellbarkeit von~$I$ als Durchschnitt von
  Bewertungsringen ist andererseits äquivalent [\emph{3}] mit der Existenz
  einer Verbandsobergruppe~$V$ der multiplikativen Gruppe~$G$ des
  Quotientenkörpers~$K$ von~$I$ --~wobei~$V$ der Bedingung genügen muß,
  daß der in~$V$ enthaltene Idealbereich~$H$ (der aus allen
  g.g.T. $a_1\land\dotsc\land a_n$ mit $a_\nu\in G$ besteht) ein
  homomorphes Bild des \textsc{Dedekind}schen Idealbereichs~$H_d$
  von~$I$ ist.

  Diese letztere Äquivalenz ergibt sich aus dem allgemeineren
  bereichstheoretischen [\emph{4}] Satz, daß die Halbordnung jedes regulären
  Verbandsbereiches Konjunktion von zulässigen Ordnungen ist --~wenn
  man hinzufügt, daß jede kommutative Verbandsgruppe trivialerweise
  regulär ist. Daher stehen zum Beweis des \textsc{Krull}schen
  Fundamentalsatzes zwei Wege zur Verfügung: Man hat für einen ganz
  abgeschlossenen Integritätsbereich entweder eine
  Durchschnittsdarstellung durch Bewertungen oder eine
  Verbandsobergruppe zu konstruieren. Beide Beweismöglichkeiten sind
  für kommutative Gruppen durchgeführt --~für nichtkommutative Gruppen
  und allgemeiner für Bereiche ist bisher jedoch nur der erste Weg
  gangbar.

  Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Beweisgang auch im
  allgemeinen Falle dar. Spezialisiert man anschließend die allgemeine Methode auf die Teil%
barkeit in kommutativen Körpern~$K$, so ergibt sich folgendes. Zur Konstruktion
einer Verbandsobergruppe braucht nur definiert zu werden, wann für beliebige
Elemente $a_\mu,b_\nu$ aus der multiplikativen Gruppe~$G$ von~$K$ gelten soll [\emph{5}]
\[a_1\land\dotsc\land a_m\prec b_1\lor\dotsc\lor b_n\]
($\prec$ steht für "`teilt"', $\land$~bezeichnet den g.g.T., $\lor$~das k.g.V.).

Für jeden ganz abgeschlossenen Integritätsbereich~$I$ erhält man eine Ver%
bandsobergruppe von~$G$, wenn man definiert
\[a_1\land\dotsc\land a_m\prec b_1\lor\dotsc\lor b_n\longleftrightarrow1\in{\textstyle\sum\limits_1{}_{\!\raisebox{-2pt}{$\scriptstyle\varkappa$}}}(a_1b_1^{-1},\dots,a_\mu b_\nu^{-1},\dots,a_mb_n^{-1})^\varkappa\text.\leqno(1)\]
Für $n=1$, $b_1=b$ geht diese Definition über in die \textsc{Prüfer}sche Definition der
Ganzabhängigkeit von~$b$ von $(a_1,\dots,a_m)$
\[a_1\land\dotsc\land a_m\prec b\longleftrightarrow b^k+c_1b^{k-1}+\dotsb+c_k=0\qquad[c_\varkappa\in(a_1,\dots,a_m)^\varkappa]\text.\leqno(2)\]
Daher stellt (1) eine zweckmäßige Ausdehnung des Begriffes der Ganzab%
hängigkeit dar.

  \dotfill\medskip

\noindent\hfil\textbf{Literatur.}\smallskip

\small[\emph{1}]~\textsc{Krull}, W.: Allgemeine Bewertungstheorie. J. reine angew.\ Math.~\textbf{167}, 160--196
(1931). -- [\dots]
% -- [2]~\textsc{Prüfer}, H.: Untersuchungen über die
% Teilbarkeitseigenschaften von
% Körpern. J. reine angew.\ Math.~168, 1--36 (1932). --
[\emph{3}]~\textsc{Lorenzen}, P.: Über halbgeordnete
Gruppen. Math.\ Z.~\textbf{52}, 483--526 (1949). -- [\emph{4}]~\textsc{Lorenzen}, P.: Teilbarkeitstheorie in Be%
reichen. Math. Z.~\textbf{55}, 269--275 (1952). -- [\emph{5}]~\textsc{Lorenzen}, P.: Algebraische und logistische
Untersuchungen über freie Verbände. J.\ Symb.\ Log.~\textbf{16}, 81--106 (1951).
\end{Cadre}

\section{A letter from Krull to Scholz from 1953: the
well-ordering theorem.}
\label{sec:letter-from-krull}

\subsection{Extract.}
\label{sec:excerpt}

We translate an extract from
the letter that Krull sent to Scholz on 18 April 1953 (Heinrich Scholz Archive at University and State Library of Münster), edited on \cpageref{19530418}.
\foreignlanguage{german}{Heinrich-Scholz-Archiv} at
\foreignlanguage{german}{Universitäts- und Landesbibliothek Münster}%, \url{http://www.uni-muenster.de/IVV5WS/ScholzWiki/doku.php?id=scans:blogs:ko-05-0647}, page~\pageref{19530418}
.

\begin{EngCadre}
In working with the uncountable, in particular with the
well-ordering theorem, I always had the feeling that one uses fictions
there that need to be replaced some day by more reasonable
concepts. But I was not getting upset over it, because I was convinced
that in a careful application of the common ``fictions'' nothing false
comes out, and because I was firmly counting on the man who would some
day put all in order. Lorenzen has now found according to my
conviction the right way [\dots].
\end{EngCadre}


\subsection*{Well-ordering arguments and constructions.}

In his articles, Lorenzen uses well-ordering arguments in several places:
\begin{itemize}[wide,nosep]
\item in \citealt{Lor1939} for the proof of Satz~4 (spelled out in our comment on the proof of Theorem~12 on \cpageref{commenton12});
\item in \citealt{Lor1950} for the proof of Satz~24 (stated in the introduction for the case of integral domains, see \cpageref{zornintrodeu} and the translation on \cpageref{zornintroeng}); for the proof of Satz~13 and of Satz~1 in Teil~II;
\item in \citealt{Lor1952} for the proof of his lemma to Theorem~1, a version of \citealt[Satz~24]{Lor1950}; for the proof of Satz~3, a version of \citealt[Satz~13]{Lor1950}.
\item However, no well-ordering argument appears in \citealt{Lor1953}.
\end{itemize}

Three kinds of uses may be distinguished.
\begin{itemize}[wide,nosep]
\item \citealt[Satz~4]{Lor1939}: Zorn's lemma is used in order to obtain a maximal prime ideal.
\item \citealt[Satz~24]{Lor1950}; \citealt[lemma to Theorem~1]{Lor1952}: a ``more reasonable concept'', which amounts to behaving as if the domain were
linearly preordered, is introduced to replace the ``fiction'' of valuations.
\item \citealt[Satz~13]{Lor1950}; \citealt[Satz~3]{Lor1952}: Zorn's lemma is used to obtain linear preorders. These are ``fictions'' which are replaced by the ``more reasonable concept'' of an $\ell$-group, in which one may compute as if it were linearly preordered.
\end{itemize}

We can retrace Lorenzen's position w.r.t.\ well-ordering arguments through his use of the word \emph{construction} and related words. Let us gather the relevant passages.
\begin{enumerate}[wide,nosep]
\item In Lorenzen's correspondence edited in the appendix, these words appear only in his letter to Krull, dated 25 April 1944 (page~\pageref{19440425}), in which he provides a detailed description of his habilitation, and in his last two letters to Hasse, dated July and September 1963.
\item In the introduction to \citealt{Lor1950}, he writes the following
  (see \cpageref{wie}).
\begin{EngCadre}
  How can a preordered group be embedded into a lattice-preordered
  group -- assuming that such an embedding is possible?

  \dotfill\smallskip

  How can the distinguished brauchbar\footnotemark\ system of ideals of a
  preordered group~$G$ be constructed -- assuming that it actually
  exists?

  We thus assume that the preorder of~$G$ is representable as
  conjunction of allowable linear preorders of~$G$. But we do not
  want to use the knowledge of these linear preorders, because the allowable linear preorders are
  just what we want to determine by the
  aid of the system of ideals.

  In arithmetic, This construction is provided by the prüferian
  concept of integral dependence on an ideal~$\mathfrak a$ of the
  given integral domain~$I$.
\end{EngCadre}\footnotetext{In Lorenzen's approach, the distinguished brauchbar system of ideals is the system of
$r_a$-ideals.}
\item After presenting his ``new construction'', he adds the following
  (see \cpageref{einfach}).
  \begin{EngCadre}
    The proof is so easy that it may be carried out in arbitrary
    preordered groups and here provides a construction of the
    distinguished brauchbar system of ideals (assuming that it exists),
   and also answers the following question:

    When is the preorder of a preordered group~$G$ representable as conjunction of allowable preorders of~$G$?
  \end{EngCadre}
\item After having proved Satz~13, he makes the following comment (see
  \cpageref{superlattice}).
\begin{EngCadre}
  \noindent The significance of this characterisation lies in the fact that, in general, the linear preorders of a group can be constructed only with well-ordering arguments -- whereas the super-lattice-preordered groups can also be constructed without a well-ordering by the aid of the concept of ideal.
\end{EngCadre}
\item He repeats this a few pages later (see \cpageref{embedding}).
\begin{EngCadre}
  Systems of ideals are introduced in order to make possible by their aid the embedding of a principal group~$G$ into a regular lattice-preordered group
  constructively, without use of the linear preorders of~$G$.
\end{EngCadre}
\item Satz~24 is accompanied by the following comment (see
  \cpageref{radirect}).
\begin{EngCadre}
  \noindent The significance of this theorem lies in the fact that it is now
  possible to state, for every $r$-principal group, a direct
  construction of the system of $r_a$-ideals.
\end{EngCadre}
\item\citet[page~273]{Lor1952} uses the following wording, which is the most explicit in the articles studied here.
  \begin{EngCadre}
    For $\varrho$-principal domains~$B$, Theorem~2 provides a
    ``constructive'' definition of the
    domain of $\varrho_a$-superideals~$V_{\varrho_a}$ of~$B$, i.e.\ a definition without use of the
    $\varrho$-\hspace{0pt}allowable linear preorders of~$B$.
\end{EngCadre}
\item Finally, \citet{Lor1953} uses the following formulation (see \cpageref{Wege}).
\begin{EngCadre}
  \noindent [\dots] one has to construct for an integrally closed integral domain either an intersection representation through valuations or a lattice-preordered supergroup.
\end{EngCadre}
\end{enumerate}

As these passages show, Lorenzen holds that a well-ordering
argument provides a construction, but he makes distinctions: such an
argument avers \emph{that} something is possible, but not
\emph{how}; other strategies have to be developed in order to gain
knowledge of the thing over and above its bare existence. He also specifies
for each construction whether it relies on a well-ordering argument or
not, in which latter case it is ``direct'', or ``constructive''. This
adjective and the adverb ``constructively'' have a more restricted use
than the word ``construction'' and mean that the well-ordering
argument or the ``fiction'' of a linear preorder have been avoided.

The distinctions he makes show that, like \citet{krull36}, he thinks
that well-ordering arguments provide only the ``mere existence'' of the
thing constructed. He therefore devises new constructions that bypass
them: systems of ideals, super-lattice-preordered groups, the right to
compute as if everything were linearly preordered. However, we have not
found any
passage in which he explains the problem as clearly and
simply as Krull does, or in which he motivates his work along the
lines of Krull's letter to Scholz.
\[*\ *\ *\]

Lorenzen's reshaping of Krull's Fundamentalsatz for integral domains can be presented as a process in three steps.
\begin{enumerate}[wide,nosep]
\item \citealt{Lor1939} generalises Krull's well-ordering argument from integral domains to preordered cancellative monoids; valuation rings become linear $r$-\hspace{0pt}supermonoids.
\item \citealt{Lor1950} and \citeyear{Lor1952} successively generalise the well-ordering argument
  to preordered noncommutative monoids and to domains, so
  that valuations correspond to $r$-allowable linear preorders; the
  right to compute as if the monoid were linearly preordered is
  embodied in the relation~$\alpha_r$, which is shown to yield finite
  approximations of them on the proviso that they exist; Lorenzen describes a direct construction of an embedding into a lattice-preordered group on
  the proviso that it exists.
\item \citealt{Lor1953} provides the construction of the free lattice-preordered group generated by a regular noncommutative monoid without this proviso by applying Satz 7 of \citealt{Lor1951}, nowadays called the \emph{fundamental theorem of entailment relations} (see \citealp[§~2B]{coquandlombardineuwirth19}).
\end{enumerate}

Let us state a further step forward, which Lorenzen does not make.
\begin{enumerate}[wide,nosep,resume]
\item %The effect of the well-ordering argument on computations in an
  The condition of integral closedness for an integral domain consists
in the admissibility of the axiom that divisibility is linear for the formal
system generated by the integral domain. The condition of $r$-closedness for a regular noncommutative monoid consists in the admissibility of the axiom that the preorder is linear.
\end{enumerate}

In the articles discussed here, Lorenzen does not question the
existence of a thing provided by a well-ordering argument, but the
nonconstructive nature of its existence fails to provide the
mathematical clarity needed for extending his work to a noncommutative
setting.

The three steps made by Lorenzen are thus genuinely motivated by
his endeavour to clarify mathematics, as he writes in his letter to Krull dated
6 June 1944 (page~\pageref{19440606}, partly translated on
\cpageref{19440606t}), rather than philosophically: viz.,
\begin{enumerate}[wide,nosep]
\item to unveil the order-theoretic nature of the Fundamentalsatz;
\item to devise a counterpart of valuations that works in a noncommutative setting;
\item to bypass valuations by the direct construction of the free lattice-preordered group.
\end{enumerate}

With Step 4 above, dynamical algebra is taking up this process of clarification: see \citet{Lom2016}.


\appendix
\part*{Lorenzen's correspondence with Hasse, Krull, and Aubert, together with some relevant documents.}\addcontentsline{toc}{part}{Lorenzen's correspondence with Hasse, Krull, and Aubert, together with some relevant documents.}

This appendix proposes an edition of the reports on Lorenzen's Ph.D. thesis by Helmut Hasse and Carl Ludwig Siegel, of the known correspondence of Lorenzen with Hasse, Wolfgang Krull, and Karl Egil Aubert, and of a relevant letter from Krull to Heinrich Scholz. It provides evidence for the circumstances in which Lorenzen comes to his insights during the studied period of time.

The reports on Lorenzen's Ph.D. thesis, the letters from Lorenzen to Hasse, and the carbon copies of the letters from Hasse to Lorenzen are in the \foreignlanguage{german}{Universitätsarchiv Göttingen}. The letters from 1938 are in the Wolfgang-Krull-Nachlass at \foreignlanguage{german}{Archiv der Universitäts- und Landesbibliothek} of \foreignlanguage{german}{Universität Bonn}. The letters from Krull and Aubert to Lorenzen, the carbon copies of the letters from Lorenzen to Krull from 1943--1944, to Scholz dated 26 May and 2 June 1944, and to Aubert, as well as the ``\foreignlanguage{german}{Bescheinigung}'' from 1942, are in the \foreignlanguage{german}{Paul-Lorenzen-Nachlass} at \foreignlanguage{german}{Philosophisches Archiv} of \foreignlanguage{german}{Universität Konstanz}. The request of statement to and statement from the Dozentenbundsführer, the Military government of Germany Fragebogen, the report and certificates on Lorenzen's political attitude under national socialism, as well as the notification on Lorenzen's inaugural lecture are in the Universitätsarchiv Bonn. The other letters from Lorenzen to Scholz, the letter from Krull to Scholz, and the carbon copies of the letters from Scholz to Lorenzen are in the \foreignlanguage{german}{Heinrich-Scholz-Archiv} at \foreignlanguage{german}{Universitäts- und Landesbibliothek Münster}.

\section{Synopsis.}

Let us start with a diachronic synopsis of Lorenzen's (L) correspondence with Hasse (H), Krull (K), and Karl Egil Aubert, together with the relevant correspondence between Hasse and Krull edited by \citet{roquette04} (whose dates appear slanted below), of some relevant letters from Lorenzen to Heinrich Scholz, and of some related documents.\smallskip

\begin{liste}{14.02.1938}
\ligne[\slshape 14.02.1938]H suggests to K that L spend some time with K in Erlangen to discuss ideal theory.
\ligne[{\hyperref[19380219]{19.02.1938}}]L pays a visit to K.
\ligne[\textsl{02.03.1938}]K expresses his satisfaction with L.
\ligne[\textsl{07.03.1938}]H joins in this expression of satisfaction.
\ligne[{\hyperref[19380308]{08.03.1938}}]L corrects certain points concerning $v$-ideals and total closedness.
\ligne[{\hyperref[19380313]{13.03.1938}}]L finds the proof method of \citealt[§~3]{Lor1939}.
\ligne[{\hyperref[19380318]{18.03.1938}}]L reports a success that will turn out to be spurious.
\ligne[{\hyperref[19380322]{22.03.1938}}]L provides a glossary for his multiplicative ideal theory.
\ligne[\textsl{03.05.1938}]H sends K the carbon copy of L's Ph.D. thesis and asks for a brief report.
\ligne[\textsl{22.05.1938}]K sends H a very positive report on L's Ph.D. thesis.
\ligne[{\hyperref[19380524]{24.05.1938}}]H writes a very positive report on L's Ph.D. thesis.
\ligne[\textsl{31.05.1938}]H thanks K for his report and joins in his criticism of L's laconic style.
\ligne[{\hyperref[19380602]{02.06.1938}}]Carl Ludwig Siegel writes a vacuous report on L's Ph.D. thesis.
\ligne[{\hyperref[19380609]{09.06.1938}}]L pays a second visit to K.
\ligne[\textsl{21.06.1938}]H emphasises his agreement with K on their appreciation of L.
\ligne[{\hyperref[19380630]{30.06.1938}}]H tells L that he must meet the Dozentenbundsführer [leader of the union of lecturers] and asks a mathematical question.
\ligne[{\hyperref[19380706]{06.07.1938}}]L answers H's question from Erlangen. He reports that he is also working on lattice theory with Gottfried Köthe.
\ligne[\textsl{01.09.1938}]K reports to H that he and L have not been able to repair the defective proofs in L's Ph.D. thesis.
\ligne[\textsl{12.03.1939}]K has L in mind for a position as assistant in Bonn and asks H whether he would agree to let L leave Göttingen.
\ligne[\textsl{17.03.1939}]H agrees, but expresses some apprehension about how to replace L in Göttingen.
\ligne[\textsl{27.03.1939}]K weighs at length the pros and cons of L leaving Göttingen for Bonn.
\ligne[\textsl{30.03.1939}]H agrees with K that L should leave Göttingen for Bonn.
\ligne[\textsl{19.07.1939}]K asks H for L's military address in order to tell him that he will be appointed in Bonn from 1 August on.
\ligne[\textsl{21.07.1939}]H answers that he knows only L's home address in Bad Pyrmont.
\ligne[{\hyperref[19390809]{09.08.1939}}]L thanks H for his years of supervision.
\ligne[{\hyperref[19390811]{11.08.1939}}]H acknowledges L's thanks.
\ligne[{\hyperref[19390906]{06.09.1939}}]War has been declared and L is waiting for his incorporation. He asks H for help in finding a position as a mathematician in the army.
\ligne[\textsl{28.09.1939}]H suggests to K that L help him by composing a manuscript according to his drafts for a projected volume of \emph{Crelles Journal} on groups.
\ligne[{\hyperref[19391011]{11.10.1939}}]L thanks H again on the occasion of the printing of his Ph.D. thesis as an offprint of \emph{Mathematische Zeitschrift}.
\ligne[{\hyperref[19391110]{10.11.1939}}]L submits the manuscript of \citealt{MR0002113} to H as editor of \emph{Crelles Journal}.
\ligne[{\hyperref[19391116]{16.11.1939}}]H acknowledges receipt of L's manuscript and asks a mathematical question.
\ligne[{\hyperref[19391117]{17.11.1939}}]H spells out in detail his question from the day before.
\ligne[{\hyperref[19391213]{13.12.1939}}]L answers H's question.
\ligne[{\hyperref[19400104]{04.01.1940}}]H acknowledges receipt of L's announcement of marriage with Käthe and proposes that L apply for a military position under Alwin Walther by the Baltic sea.
\ligne[{\hyperref[19400109]{09.01.1940}}]L thanks H and tells him that he is waiting for K's permission to apply.
\ligne[{\hyperref[19400110]{10.01.1940}}]L applies for this military position.
\ligne[\textsl{01.02.1940}]K informs H that L has been incorporated.
\ligne[{\hyperref[19400203]{03.02.1940}}]Käthe Lorenzen does so too.
\ligne[{\hyperref[19400204]{04.02.1940}}]L does so himself.
\ligne[\textsl{06.02.1940}]H answers K and tells him that the process of L's candidature sent to Walther might take some time.
\ligne[{\hyperref[19400206]{06.02.1940}}]H answers Käthe Lorenzen along the same lines.
\ligne[{\hyperref[19400209]{09.02.1940}}]L asks H as treasurer of the Deutsche Mathematiker-Vereinigung to waive his member fee.
\ligne[{\hyperref[19400421]{21.04.1940}}]L sends an offprint to H and complains about his soul-killing service.
\ligne[{\hyperref[19400505]{05.05.1940}}]L tells H that his candidature is still on the way and gratefully accepts a proposition by H to join him at the Oberkommando der Kriegsmarine (OKM, Supreme Command of the Navy).
\ligne[{\hyperref[19400509]{09.05.1940}}]H answers that there is a misunderstanding: his proposition concerns a position as a cryptographer under Achim Teubner.
\ligne[{\hyperref[19400521]{21.05.1940}}]L thanks H and tells him that he applies for the position under Teubner.
\ligne[{\hyperref[19400611]{11.06.1940}}]L sends H some news of his application.
\ligne[{\hyperref[19400630]{30.06.1940}}]L reports on his participation in the Battle of France.
\ligne[\textsl{23.10.1940}]K greets L via H.
\ligne[\textsl{14.11.1940}]H tells K that he has not seen L for a while and that he hopes to meet him on 30 November.
\ligne[{\hyperref[19410426]{26.04.1941}}]L reports on his problems with the military hierarchy and on a little progress in group axiomatics made during a three-days arrest.
\ligne[{\hyperref[19410507H]{07.05.1941}}]H tells L what he thinks of his insubordination, stubbornness and unmilitariness, and presents Oswald Teichmüller as the example of a correct attitude. He warns L that he will also be judged in his scientific career according to his military attitude. He will not help L anymore, who should now prove his value as a soldier.
\ligne[{\hyperref[19410507]{07.05.1941}}]Käthe Lorenzen asks H for a good advice regarding her husband's difficulties.
\ligne[{\hyperref[19410517]{17.05.1941}}]L explains to H his attitude towards the military and asks for permission to write to him about his future assignment.
\ligne[{\hyperref[19420102]{02.01.1942}}]K attests that L fulfils the requirements for being admitted to habilitation.
\ligne[{\hyperref[19420318]{18.03.1942}}]L thanks H for his congratulations on the occasion of the birth of L's daughter Jutta and for his indication of Jean Dieudonné's interest in multiplicative ideal theory. He expresses satisfaction with his work as a teacher.
\ligne[{\hyperref[19420402]{02.04.1942}}]H asks L for advice on a manuscript by Hans R. Weber.
\ligne[{\hyperref[19420407]{07.04.1942}}]L answers that Weber's results are already known and can be found in Huntington's work.
\ligne[{\hyperref[19420512]{12.05.1942}}]The director of the Mathematical seminar in Bonn requests a statement of the leader of the union of lecturers on L's ideological and moral prerequisites for being appointed as assistant.
\ligne[{\hyperref[19420601]{01.06.1942}}]Ernst Klapp, the representing leader of the union of lecturers, states that his political attitude is unobjectionable, but that he presents certains deficiencies of character that make his admission to lecturership undesirable: a self-conceit that has also prejudiced his career in the army.
\ligne[{\hyperref[19430507]{07.05.1943}}]On the occasion of a review of \citealt{krull43}, L makes an analysis of the axiomatics of the star-operation.
\ligne[{\hyperref[19430920]{20.09.1943}}]L finds the proof method of \citealt{Lor1950}, the dynamical method in algebra.
\ligne[{\hyperref[19440104]{04.01.1944}}]K discusses the details of the habilitation process with L and projects that it take place at the beginning of the summer term.
\ligne[\textsl{06.02.1944}]K acknowledges receipt of a letter from H dated 23 January 1944, which must contain a strong criticism of the person and the work of~L\@. He defends L's work in lattice theory, but reckons that L deserves a repeated lesson, so that he proposes to suspend the process of L's habilitation.
\ligne[{\hyperref[19440206]{06.02.1944}}]In this letter to L, K expounds several obstacles to his habilitation.
\ligne[\textsl{19.02.1944}]K acknowledges receipt of a postcard by H that enables him to treat L's habilitation in agreement with H.
\ligne[{\hyperref[19440219]{19.02.1944}}]K writes to L that according to H his scientific publications do not suffice for letting him habilitate.
\ligne[{\hyperref[19440313]{13.03.1944}}]L answers that he should be judged on his habilitation manuscript and advocates his research in logic as stemming from the same motivation as in algebra.
\ligne[{\hyperref[19440401]{01.04.1944}}]K has begun to read L's habilitation manuscript and asks a question related to the condition of regularity (see page~\pageref{regularity}).
\ligne[{\hyperref[19440416]{16.04.1944}}]Upon having received a postcard by L, K denounces the lattice-ordered groups as being ``commutatively infected'' and expresses his disappointment that the scope of L's work does therefore not cover the full noncommutative generality. He uses this for reiterating his judgment that L's work is not sufficient for a habilitation.
\ligne[{\hyperref[19440425]{25.04.1944}}]L describes precisely his achievements, emphasises that his proof method is completely different from that of his Ph.D. thesis, and appends another manuscript in the hope of convincing K to change his mind.
\ligne[{\hyperref[19440505]{05.05.1944}}]L writes Scholz an account of his letter to K.
\ligne[{\hyperref[19440526]{26.05.1944}}]L accepts Scholz's proposal to contact Köthe.
\ligne[{\hyperref[19440529]{29.05.1944}}]K praises the clearness of L's letter and expresses the suspicion that the intricate style of his manuscripts might hide their relevance. He does not, however, change his mind.
\ligne[{\hyperref[19440602]{02.06.1944}}]L asks Scholz to send Köthe a copy of his manuscript.
\ligne[{\hyperref[19440606]{06.06.1944}}]L motivates his research as a quest for simplicity and conceptual clarification. He also describes the difficult conditions of his work and career.
\ligne[{\hyperref[194406]{\hfill06.1944}}]L thanks Scholz for his intercession with Köthe.
\ligne[{\hyperref[19440622]{22.06.1944}}]K writes that L's manuscript is a thorough failure and repeats his point with a reference to the requirement of high scientific quality.
\ligne[{\hyperref[19440628]{28.06.1944}}]L writes Scholz an account of K's letter.
\ligne[{\hyperref[19440709]{09.07.1944}}]L thanks Scholz for his encouragement; Köthe has written to him that he is willing to report on his habilitation; however, L sees no way to change K's negative judgment and to proceed with his project of habilitating.
\ligne[{\hyperref[19440716]{16.07.1944}}]K expresses his sympathy with L after the bombing of Wesermünde.
\ligne[{\hyperref[19441001]{01.10.1944}}]Although he is still not satisfied, K admits that L has improved his manuscript. He nevertheless suspects that L has not yet settled the noncommutative case, dealing only with a ``semi-commutative'' one.
\ligne[{\hyperref[19450725]{25.07.1945}}]L asks H whether he has some news on the whereabouts of K, Scholz, Ackermann, and Gentzen.
\ligne[{\hyperref[19450902]{02.09.1945}}]L reports on his political attitude under national socialism.
\ligne[{\hyperref[19450903]{03.09.1945}}]L fills out the Military government of Germany \emph{Fragebogen}, providing a ``chronological record of full-time employment and military service''.
\ligne[{\hyperref[19450906]{06.09.1945}}]Ernst Peschl certifies L's political attitude.
\ligne[{\hyperref[19450914]{14.09.1945}}]A board of examiners (Hellmuth von Weber, Hans Fitting, and Carl Troll) certifies L's political attitude.
\ligne[{\hyperref[19460607]{07.06.1946}}]L writes to Scholz that K agrees that he habilitate at once.
\ligne[{\hyperref[19460608]{08.06.1946}}]L writes to Scholz about his perspectives in Bonn.
\ligne[{\hyperref[19460813]{09.08.1946}}]L is habilitated by giving his inaugural lecture ``On the concept of lattice''.
\ligne[\textsl{15.08.1946}]K writes H on the occasion of L's habilitation and expresses his disagreement with H on the scientific value of L's works in lattice theory and logic. But he shares H's objections to L as person.
\ligne[\textsl{10.09.1946}]K distances himself from ``the conception of mathematics as a pure `theory of structure' in the sense of L (whom [he] tries otherwise to influence vigorously in the opposite direction)''.
\ligne[{\hyperref[19530418]{18.04.1953}}]K praises L in a letter to Scholz.
\ligne[{\hyperref[19530514]{14.05.1953}}]L writes to H on the occasion of his talk on mathematics as science, art, and power \citep{MR0053055}, and asks him to which extent he considers formalisation as a danger. An annotation shows that H discusses this with L on 3 July 1953.
\ligne[{\hyperref[19530605]{05.06.1953}}]H thanks L for his interest and announces that he will shortly pay a visit to Bonn and postpones his answer to that occasion.
\ligne[{\hyperref[19530609]{09.06.1953}}]L invites H to his home in anticipation of the latter’s visit to Bonn.
\ligne[{\hyperref[195907]{\hfill07.1959}}]L gives a sketch of proof of the assertion that the theory of commutative fields is undecidable.
\ligne[{\hyperref[19590801]{01.08.1959}}]H has checked L's sketch but for the logical conclusion.
\ligne[{\hyperref[19600307]{07.03.1960}}]H thanks L for sending a copy of \citealt{MR0111655}%[The origin of the exact sciences]
  .
\ligne[{\hyperref[19610627]{27.06.1961}}]H thanks L for sending an offprint of \citealt{MR0147364} and invites him to give a couple of colloquia in Hamburg about his results on the foundations of mathematics.
\ligne[{\hyperref[19610704]{04.07.1961}}]L gratefully accepts and proposes to question how the ``assertions used as `axioms' are to be \emph{proved}''.
\ligne[{\hyperref[19610708]{08.07.1961}}]H organises L's visit to Hamburg.
\ligne[{\hyperref[19610711]{11.07.1961}}]L fixes a last detail of his visit to Hamburg.
\ligne[{\hyperref[19621009]{09.10.1962}}]H congratulates L on his appointment as professor in Erlangen and thanks him for the copy of \citealt{lorenzen62}, expressing the hope of finding the time to read it up to the consistency proof for arithmetic.
\ligne[{\hyperref[196307]{\hfill07.1963}}]L thanks H for sending him a copy of \citealt{MR0153659}. He considers H's construction of the completion of a valuated field as a flaw.
\ligne[{\hyperref[196309]{\hfill09.1963}}]L thanks H for his postcard from Notre Dame. Even though he did not want H to justify himself, he is happy that H agrees that ``when one invokes `all' sequences (e.g.\ of rational numbers), one always means only `sufficiently many'{}''. L illustrates his statement that ``controlling that everywhere really always only `sufficiently many' are used, however, is in [his] opinion not trivial'' with \citealt{MR0057856}.
\ligne[{\hyperref[19780221]{21.02.1978}}]Aubert writes to L with an inquiry about K's attitude toward $t$-ideals (see page~\pageref{t-ideal}), which he considers ``building blocks of general arithmetics. They seem to form the true arithmetical divisors [\dots]''.
\ligne[{\hyperref[19780306]{06.03.1978}}]L answers that he had almost no contact with K in Bonn for ``political reasons (K had prevented [his] habilitation during war)'' and because of his ``foundation-theoretic works that K did not acknowledge as `mathematical' achievements''; he lost track of $t$-ideals when he focussed on divisibility theory in domains. He asks Aubert in return whether this latter theory has been developed by some algebraist.
\ligne[{\hyperref[19780410]{10.04.1978}}]Aubert expands on the importance of $t$-ideals as universal objects and points out the only reference to \citealt{Lor1952} that he is aware of.
\ligne[{\hyperref[19790618]{18.06.1979}}]L thanks Aubert for sending him his article on divisibility theory and points out that it deals only with commutative groups: ``Was the enlargement to noncommutative groups perhaps only an intellectual luxury?''
\end{liste}

\section{The correspondence between Krull and Lorenzen, 1938.}

\selectlanguage{german}

\Input[19.02.1938. Letter from Lorenzen to Krull]{19380219-1-23-4-Lorenzen-Krull}%\label{19380219}
\Input[08.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull]{19380308-1-23-6-Lorenzen-Krull}%\label{19380308}
\Input[13.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull]{19380313-1-23-5-Lorenzen-Krull}%\label{19380313}
\Input[18.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull]{19380318-1-23-7-Lorenzen-Krull}%\label{19380318}
\Input[22.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull]{19380322-1-23-8-Lorenzen-Krull}%\label{19380322}
\Input[09.06.1938. Letter from Lorenzen to Krull]{19380609-1-23-9-Lorenzen-Krull}%\label{19380609}

\section{The reports on Lorenzen's thesis.}

\subsection{[24.05.1938. Report by Hasse.]}
\label{19380524}

\begin{tabular}[t]{@{}c@{}}
Mathematisches Institut\\
der Universität\\
Prof.\ Dr.\ Hasse.\\[6pt]
Siegel
\end{tabular}\bigskip\hfill
\begin{tabular}[t]{@{}c@{}}
Göttingen, den 24.\ Mai 1938.\\
Bunsenstraße 3/5
\end{tabular}

Gutachten über die Dissertation Lorenzen.\footnote{\selectlanguage{english}This report is written on the basis of a description given in a letter from Krull to Hasse dated 22 May 1938 as proposed by Hasse in a letter dated 2 March 1938 and gratefully accepted by Hasse in letters dated 7 March and 3 May 1938 \citep[§§ 1.32--1.35]{roquette04}.}\medskip

\noindent Seitdem Dedekind den Idealbegriff in die Arithmetik und Algebra
eingeführt hat, sind vielfach Verallgemeinerungen dieses Be\bs
griffes vorgenommen worden, mit dem Ziel die Struktur beliebi\bs
ger Integritätsbereiche ebenso einfach zu übersehen, wie man
die ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers durch die
Dedekindschen Ideale übersieht. Lorenzen entwickelt eine zu\bs
sammenfassende Theorie aller dieser Idealbegriffe von einem
neuen einheitlichen Gesichtspunkt aus. Es erscheint dem Kenner
fast paradox, dass dabei die Addition, auf der doch der Dede\bs
kindsche Idealbegriff wesentlich beruht, vollständig ausser
Betracht gelassen wird, und nur die Multiplikation gebraucht
wird. Erst durch diese Lorenzensche Auffassung des Idealbegriffs
kommen die Zusammenhänge zwischen der idealtheoretischen und
der bewertungstheoretischen Behandlung des Strukturproblems
allgemeiner Integritätsbereiche klar und abgerundet heraus.
Lorenzen gibt neue verblüffend einfache Beweise für die in dieser Richtung liegenden Sätze von Krull, Prüfer u.\ a.

Es gelingt ihm ferner, die Identität des Prüferschen mit dem
Krullschen Idealsystem zu zeigen und dem Krullschen Hauptsatz
über Durchschnitte von allgemeinen Bewertungsringen (beliebige
nicht-archimedische Wertgruppe) einen entsprechenden Hauptsatz
über spezielle Bewertungsringe (archimedische Wertgruppe) an
die Seite zu stellen. Dieser Satz\footnote{\selectlanguage{english}\label{nonconclusive}The proofs of this and of the next assertion, which one can find in \citealt{Lor1938m}, are not conclusive: see Krull's letter to Hasse dated 1 September 1938 \citep[§~1.38]{roquette04}. As for this assertion, see footnote~\ref{nakayama} on page~\pageref{nakayama}. As for the next assertion, see the counterexample provided by Masayoshi \citet{MR47627,MR72866}.}
  % to both assertions have been found.
  %
  % Nakayama, T. On Krull's conjecture concerning completely integrally closed integrity domains, I, II. Proc. Imp. Acad. Tokyo 18, 1942, 185-187 and 233-236.
  %
  % Nagata, M. On Krull's conjecture concerning valuation rings. Nagoya Math. J. 4, 1952, 29-33.
  %
  % Ribenboim, P. Sur une conjecture de Krull en théorie des valuations. Nagoya Math. J. 9, 1955, 87-97.
  %
  % Ribenboim, P. Sur une note de Nagata relative à un probleme de Krull. Math. Z. 64, 1956, 159-168.
  %
  % Ribenboim, P. Un théorème sur les anneaux primaires et complètement intégralement clos. Math. Ann. 130, 1956, 399-404.
  %
  % Ribenboim, P. On the existence of fields with few discrete valuations. J. reine angew. Math. 216, 1964, 43-69
gibt also eine idealtheore\bs%[2]
tische Charakterisierung derjenigen Integritätsbereiche, die
bewertungstheoretisch durch das Positivsein von Exponenten\bs
bewertungen mit archimedischer Wertgruppe charakterisiert
sind. Ferner gibt Lorenzen auch eine idealtheoretische Cha\bs
rakterisierung der diskreten Bewertungsringe. Diese beiden
Charakterisierungen wurden von den Algebraikern lange gesucht.
Sie stellen wertvolle wissenschaftliche Ergebnisse dar. Auch
sonst finden sich in der Arbeit zahlreiche neue Einblicke in
die Beziehungen zwischen den verschiedenen in der Idealtheo\bs
rie studierten Begriffen.

Die Darstellung ist streng axiomatisch und leider von
äusserster Knappheit. Für den Druck erscheint mir eine etwas
ausführlichere Darstellung erwünscht und ausserdem auch eine
stärkere Anlehnung an die Literatur durch Verweise.

Da die Arbeit wesentlich neue und originelle Gedanken ent\bs
hält und wichtige Ergebnisse bringt, schlage ich die Annahme
mit dem Prädikat
\[\text{\uline{ausgezeichnet}}\]\nopagebreak
vor.\nopagebreak\medskip

\hfill Hasse

\subsection{[02.06.1938. Report by Siegel.]}
\label{19380602}

Eine sorgfältige Nachprüfung der Abhandlung hätte für mich eine Arbeit von
mehreren Monaten bedeutet, da der Text an vielen Stellen kaum zu verstehen ist
und sich wegen der mangelnden Literaturangaben auch nur schwer ergänzen
lässt. Ich muss mich deshalb eines genaueren Urteils über den Wert der Abhand\bs
lung enthalten. Das wenige, was ich mit Mühe habe verstehen können, macht
den Eindruck, als ob der Verfasser jedenfalls über gute mathematische Fähig\bs
keiten verfügt.\medskip

\hfil\hfil\hfil\hfil\hfil\hfil Siegel\hfil 1938 VI 2\qquad

\section{The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1938--1942.}

\Input[30.06.1938. Letter from Hasse to Lorenzen]{19380630-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-1-Hasse-Lorenzen}%\label{19380630}
\Input[06.07.1938. Letter from Lorenzen to Hasse]{19380706-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-1-Lorenzen-Hasse}%\label{19380706}
\Input[09.08.1939. Letter from Lorenzen to Hasse]{19390809-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-2-Lorenzen-Hasse}%\label{19390809}
\Input[11.08.1939. Letter from Hasse to Lorenzen]{19390811-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-2-Hasse-Lorenzen}%\label{19390811}
\Input[06.09.1939. Letter from Lorenzen to Hasse]{19390906-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-3-Lorenzen-Hasse}%\label{19390906}
\Input[11.10.1939. Letter from Lorenzen to Hasse]{19391011-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-4-Lorenzen-Hasse}%\label{19391011}
\Input[10.11.1939. Letter from Lorenzen to Hasse]{19391110-Cod-Ms-Hasse-33-3-Lorenzen-Hasse}%\label{19391110}
\Input[16.11.1939. Letter from Hasse to Lorenzen]{19391116-Cod-Ms-Hasse-33-3-Hasse-Lorenzen}%\label{19391116}
\Input[17.11.1939. Letter from Hasse to Lorenzen]{19391117-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-4-2-Hasse-Lorenzen}%\label{19391117}
\Input[13.12.1939. Letter from Lorenzen to Hasse]{19391213-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-4-1-Lorenzen-Hasse}%\label{19391213}
\Input[04.01.1940. Letter from Hasse to Lorenzen]{19400104-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-3-Hasse-Lorenzen}%\label{19400104}
\Input[09.01.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400109-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-5-Lorenzen-Hasse}%\label{19400109}
\Input[10.01.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400110-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-6-Lorenzen-Hasse}%\label{19400110}
\Input[03.02.1940. Postcard from Käthe Lorenzen to Hasse]{19400203-Cod-Ms-H-Hasse-1-1021-Lorenzen-Hasse}%\label{19400203}
\Input[06.02.1940. Letter from Hasse to Käthe Lorenzen]{19400206-Cod-Ms-H-Hasse-1-1021-Beil-Hasse-Lorenzen}%\label{19400206}
\Input[04.02.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400204-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-7-Lorenzen-Hasse}%\label{19400204}
\Input[09.02.1940. Postcard from Lorenzen to Hasse]{19400209-Cod-Ms-H-Hasse-27-1-Lorenzen-Hasse}%\label{19400209}
\Input[21.04.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400421-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-8-Lorenzen-Hasse}%\label{19400421}
\Input[05.05.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400505-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-9-Lorenzen-Hasse}%\label{19400505}
%\setcounter{section}{0}\renewcommand\thesection{\alph{section}}
\Input[09.05.1940. Letter from Hasse to Lorenzen]{19400509-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-4-Hasse-Lorenzen}%\label{19400509}
\Input[21.05.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400521-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-10-Lorenzen-Hasse}%\label{19400521}
\Input[11.06.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400611-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-11-Lorenzen-Hasse}%\label{19400611}
\Input[30.06.1940. Letter from Lorenzen to Hasse]{19400630-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-12-Lorenzen-Hasse}%\label{19400630}
\Input[26.04.1941. Letter from Lorenzen to Hasse]{19410426-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-13-Lorenzen-Hasse}%\label{19410426}
\Input[07.05.1941. Letter from Hasse to Lorenzen]{19410507-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-5-Hasse-Lorenzen}%\label{19410507H}
\Input[07.05.1941. Letter from Käthe Lorenzen to Hasse]{19410507-Cod-Ms-H-Hasse-1-1021-Lorenzen-Hasse}%\label{19410507}
\Input[17.05.1941. Letter from Lorenzen to Hasse]{19410517-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-15-Lorenzen-Hasse}%\label{19410517}
\Input[18.03.1942. Letter from Lorenzen to Hasse]{19420318-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-14-Lorenzen-Hasse}%\label{19420318}
\Input[02.04.1942. Letter from Hasse to Lorenzen]{19420402-Cod-Ms-Hasse-33-3-Hasse-Lorenzen}%\label{19420402}
\Input[07.04.1942. Letter from Lorenzen to Hasse]{19420407-Cod-Ms-Hasse-33-3-Lorenzen-Hasse}%\label{19420407}

\section{Documents relating to Lorenzen's career, 1942.}

\Input[02.01.1942. Attestation by Krull for Lorenzen]{19420102-PL-1-1-136-Krull}%\label{19420102}
\Input[12.05.1942. Request of statement from the director of the Mathematical seminar in Bonn]{19420512}%\label{19420512}
\Input[01.06.1942. Statement by the Dozentenführer]{19420601}%\label{19420601}

\section{The correspondence between Krull and Lorenzen, 1943--1944.}

\Input[07.05.1943. Letter from Lorenzen to Krull]{19430507-PL-1-1-140-Lorenzen-Krull}%\label{19430507}
\Input[20.09.1943. Letter from Lorenzen to Krull]{19430920-PL-1-1-139-Lorenzen-Krull}%\label{19430920}
\Input[04.01.1944. Postcard from Krull to Lorenzen]{19440104-PL-1-1-149-Krull-Lorenzen}%\label{19440104}
\Input[06.02.1944. Postcard from Krull to Lorenzen]{19440206-PL-1-1-145-Krull-Lorenzen}%\label{19440206}
\Input[19.02.1944. Letter from Krull to Lorenzen]{19440219-PL-1-1-143-Krull-Lorenzen}%\label{19440219}
\Input[13.03.1944. Letter from Lorenzen to Krull]{19440313-PL-1-1-131-Lorenzen-Krull}%\label{19440313}
\Input[01.04.1944. Postcard from Krull to Lorenzen]{19440401-PL-1-1-144-Krull-Lorenzen}%\label{19440401}
\Input[16.04.1944. Letter from Krull to Lorenzen]{19440416-PL-1-1-142-Krull-Lorenzen}%\label{19440416}
\Input[25.04.1944. Letter from Lorenzen to Krull]{19440425-PL-1-1-132-Lorenzen-Krull}%\label{19440425}
\Input[29.05.1944. Postcard from Krull to Lorenzen]{19440529-PL-1-1-146-Krull-Lorenzen}%\label{19440529}
\Input[06.06.1944. Letter from Lorenzen to Krull]{19440606-PL-1-1-133-Lorenzen-Krull}%\label{19440606}
\Input[22.06.1944. Letter from Krull to Lorenzen]{19440622-PL-1-1-141-Krull-Lorenzen}%\label{19440622}
\Input[16.07.1944. Postcard from Krull to Lorenzen]{19440716-PL-1-1-148-Krull-Lorenzen}%\label{19440716}
\Input[01.10.1944. Postcard from Krull to Lorenzen]{19441001-PL-1-1-147-Krull-Lorenzen}%\label{19441001}

\section{A postcard from Lorenzen to Hasse, 1945.}

\Input[25.07.1945. Postcard from Lorenzen to Hasse]{19450725-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-16-Lorenzen-Hasse}%\label{19450725}

\section{Documents relating to Lorenzen's career, 1945--1946.}


\Input[02.09.1945. Report by Lorenzen on his political attitude]{19450902-universitaetsarchiv_bonn-lorenzen-bericht_ueber_meine_politische_einstellung}%\label{19450902}
\Input[03.09.1945. Military government of Germany Fragebogen: chronological record of full-time employment and military service]{19450903-universitaetsarchiv_bonn-military_government_of_germany_fragebogen-D}%\label{19450903}
\Input[06.09.1945. Certificate by Ernst Peschl on Lorenzen's political attitude]{19450906-universitaetsarchiv_bonn-peschl-lorenzen-gutachten}%\label{19450906}
\Input[14.09.1945. Certificate by a board of examiners]{19450914-universitaetsarchiv_bonn-pruefungsauschuss_weber_fitting_troll-lorenzen_gutachten}%\label{19450914}
\Input[13.08.1946. Notification on Lorenzen's inaugural lecture of 9 August 1946]{19460813}%\label{19460813}

\section{A letter from Krull to Scholz, 1953.}

\Input[18.04.1953. Letter from Krull to Scholz]{19530418-ko-05-0647-Krull-Scholz}%\label{19530418}

\section{The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1953--1963.}

\Input[14.05.1953. Letter from Lorenzen to Hasse]{19530514-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-17-Lorenzen-Hasse}%\label{19530514}
\Input[05.06.1953. Letter from Hasse to Lorenzen]{19530605-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-6-Hasse-Lorenzen}%\label{19530605}
\Input[09.06.1953. Letter from Lorenzen to Hasse]{19530609-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-18-1-Lorenzen-Hasse}%\label{19530609}
\Input[July 1959. Letter from Lorenzen to Hasse]{195907-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-18-2-Lorenzen-Hasse}%\label{195907}
\Input[01.08.1959. Letter from Hasse to Lorenzen]{19590801-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-7-Hasse-Lorenzen}%\label{19590801}
\Input[07.03.1960. Letter from Hasse to Lorenzen]{19600307-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-8-Hasse-Lorenzen}%\label{19600307}
\Input[27.06.1961. Letter from Hasse to Lorenzen]{19610627-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-9-Hasse-Lorenzen}%\label{19610627}
\Input[04.07.1961. Letter from Lorenzen to Hasse]{19610704-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-19-Lorenzen-Hasse}%\label{19610704}
\Input[08.07.1961. Letter from Hasse to Lorenzen]{19610708-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-10-Hasse-Lorenzen}%\label{19610708}
\Input[11.07.1961. Letter from Lorenzen to Hasse]{19610711-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-20-Lorenzen-Hasse}%\label{19610711}
\Input[09.10.1962. Letter from Hasse to Lorenzen]{19621009-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-Beil-11-Hasse-Lorenzen}%\label{19621009}
\Input[July 1963. Letter from Lorenzen to Hasse]{196307xx-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-21-Lorenzen-Hasse}%\label{196307}
\Input[September 1963. Letter from Lorenzen to Hasse]{196309xx-Cod-Ms-H-Hasse-1-1022-22-Lorenzen-Hasse}%\label{196309}

\section{The correspondence between Aubert and Lorenzen, 1978--1979.}

\selectlanguage{english}
\Input[21.02.1978. Letter from Aubert to Lorenzen]{19780221-PL-5-Aubert-Lorenzen}%\label{19780221}
\selectlanguage{german}
\Input[06.03.1978. Letter from Lorenzen to Aubert]{19780306-PL-5-Lorenzen-Aubert}%\label{19780306}
\selectlanguage{english}
\Input[10.04.1978. Letter from Aubert to Lorenzen]{19780410-PL-5-Aubert-Lorenzen}%\label{19780410}
\selectlanguage{german}
\Input[18.06.1979. Letter from Lorenzen to Aubert]{19790618-PL-5-Lorenzen-Aubert}%\label{19790618}

\selectlanguage{english}

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\renewcommand\bibname{References.}


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\begin{thebibliography}{64}
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