Inconditionnalité métrique en analyse de Fourier

Stefan Neuwirth

1 Introduction

Cet exposé entreprend l’étude de la propriété d’approximation inconditionnelle métrique (umap) parmi les sous-espaces invariants par translation de L^{p}(𝕋) et de C(𝕋). Des résultats plus complets se trouvent dans [12]. Plaçons-nous dans le cadre suivant :

– 𝕋 = {λ ∈ ℂ; |λ| = 1} est le cercle unité et ℤ son groupe dual des entiers.

– X désignera un des espaces de fonctions L^{p}(𝕋) (1 ≤ p < ∞) ou C(𝕋), E ⊆ ℤ un spectre donné. Alors X_{E} est l’espace des fonctions f de X dont la transformée de Fourier f̂ est portée par E.

X_{E} peut alors être inconditionnel selon des sens divers :

1. E peut être une suite basique inconditionnelle dans X. On sait qu’alors E est lacunaire : E est une suite basique inconditionnelle dans L^{p}(𝕋) (resp. C(𝕋)) si et seulement si E est un ensemble Λ(max(p, 2)) (resp. de Sidon) (voir [15, preuve du th. 3.1]).

2. E peut être décomposable en blocs inconditionnels dans X. Si 1 < p < ∞, c’est le cas pour X = L^{p}(𝕋) et E = ℤ tout entier par la théorie de Littlewood–Paley [9] :

∥f∥_{p} ≈ ∥( ∑ |Δ_{k}f|^{2})^{1/2}∥_{p}, où
Δ̂_{0}f = f̂(0) et Δ̂_{k}f = f̂|_{]−2^{k},−2^{k−1}]∪[2^{k−1}, 2^{k}[} pour k ≥ 1.

Cela devient faux pour les espaces X = L^{1}(𝕋) ou C(𝕋) : sinon, ils seraient sous-espaces d’un espace à base inconditionnelle par [8, th. 1.g.5], ce qui est faux. Même ℕ ne peut pas être décomposé ainsi dans L^{1}(𝕋), bien que l’espace de Hardy H^{1}(𝕋) = L_{ℕ}^{1}(𝕋) admette une suite approximante [11, § 2, introduction] et même une base [10] inconditionnelles.

3. Nous allons étudier l’inconditionnalité de X_{E} sous la forme suivante :

Définition 1 ([3]) Soit Z un espace de Banach séparable. Z a la propriété d’approximation inconditionnelle (uap) s’il existe une suite d’opérateurs de rang fini {A_{n}} telle que ∑ A_{n}z converge inconditionnellement vers z pour tout z ∈ Z.

Par le théorème de Banach–Steinhaus, cette convergence inconditionnelle est équivalente à l’existence d’un C < ∞ tel que

∀n ∀λ_{1}, …, λ_{n} |λ_{n}| = 1  ∥ ∑_{k≤n} λ_{k}A_{k}∥_{L(Z)} ≤ C.  (1)

On vient de voir que les espaces L^{p}(𝕋) (1 < p < ∞) et H^{1}(𝕋) ont la (uap). Les espaces L^{1}(𝕋) et C(𝕋), ainsi que l’algèbre du disque A(𝕋) ne l’ont pas.

4. On peut se proposer d’étudier la propriété isométrique correspondante, i. e. C = 1 dans (1). Mais ce n’est pas naturel : par exemple, E est une base 1-inconditionnelle de C_{E}(𝕋) si et seulement si E a au plus deux éléments. Par contre, on a :

∥a_{1}e^{in_{1}t} + a_{2}e^{in_{2}t} + a_{3}e^{in_{3}t}∥_{∞} ⟶_{n_{3}→∞} |a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}|.

5. Introduisons donc la version presque isométrique de la (uap), la (uap) métrique.

Définition 2 ([2, § 3]) Z a la (umap) si pour tout ε > 0 il existe une suite approximante {T_{n}} telle que A_{n} = T_{n} − T_{n−1} vérifie (1) avec C = 1 + ε.

Mais il faut à présent préciser la nature des choix de signes λ_{k} : réels parmi 𝕌 = {−1, 1} ou complexes parmi 𝕌 = 𝕋. Des exemples montrent qu’alors (umap) réelle et complexe sont effectivement distinctes. Casazza et Kalton ont découvert le critère suivant (voir [2, th. 3.8] et [5, lemme 8.1]) :

Z a la (umap)  ⟺  sup_{λ∈𝕌} ∥T_{n} + λ(Id − T_{n})∥ → 1.  (2)

L’idée est donc que la constante d’inconditionnalité entre T_{n}Z et (Id − T_{n})Z s’améliore jusqu’à l’optimum pour n → ∞.

La question à laquelle nous voulons donner des éléments de réponse est : pour quels X et E est-ce que X_{E} a la (umap) ? Li [7] a déjà montré, pour X = C(𝕋), que la réponse ne peut être simple : il a construit un ensemble de Hilbert H tel que C_{H}(𝕋) a la (umap) ; à l’inverse, son critère [7, lemme 12] montre que l’ensemble E = {2^{n}} ∪ {0} ne convient pas !

2 Comment construire des suites approximantes inconditionnelles métriques ?

Le critère (2) nous suggère d’étudier des relations d’inconditionnalité entre une sorte de début et un genre de fin de Z. Des techniques de décomposition skipped blocking de Bourgain et Rosenthal [1] revues par Kalton et Werner [6] permettent en fait de caractériser simplement la (umap) pour les espaces de cotype fini : voir [12, th. 3.2.4] pour le cas général. Dans le cas de sous-espaces invariants par translation, cette caractérisation a la forme concrète suivante :

Définition 3 E est bloc-inconditionnel dans X si, pour tous ε > 0 et F ⊆ E fini, il existe G ⊆ E cofini tel que

osc_{λ∈U} ∥f + λg∥_{X} = sup_{λ, μ∈U} ∥f + λg∥_{X} − ∥f + μg∥_{X} ≤ ε

pour f ∈ B_{X_{F}} et g ∈ B_{X_{G}}.

On a alors le

Théorème 4 ([12, th. 5.2.3]) Soit E ⊆ ℤ et

– X = L^{p}(𝕋) (1 < p < ∞) : L_{E}^{p}(𝕋) a la (umap) si et seulement si E est bloc-inconditionnel dans L^{p}(𝕋) ;

– X = L^{1}(𝕋) : L_{E}^{1}(𝕋) a la (umap) si et seulement si L_{E}^{1}(𝕋) a la (uap) et E est bloc-inconditionnel dans L^{1}(𝕋) ;

– X = C(𝕋) : si C_{E}(𝕋) a la (umap), E est bloc-inconditionnel dans C(𝕋) ; la réciproque vaut lorsque E est un ensemble de Sidon.

Donnons-en une application immédiate :

Proposition 5 Soit E = {n_{k}} ⊆ ℤ. Si n_{k+1}/n_{k} est un entier impair pour tout k, alors C_{E}(𝕋) a la (umap) réelle.

En effet, comme E est nécessairement Sidon, il suffit de vérifier que E est blocinconditionnel au sens réel : soient F ⊆ E ∩ [−n, n] et G = E \ {n_{1}, …, n_{l}}. Prenons f ∈ B_{C_{F}} et g ∈ B_{C_{G}}. Alors g(u + π/n_{l}) = −g(u) par hypothèse et

|f(u + π/n_{l}) − f(u)| ≤ π/|n_{l}| · ∥f′∥_{∞} ≤ πn/|n_{l}|

par l’inégalité de Bernstein. Donc on a pour un certain u ∈ 𝕋

∥f − g∥_{∞} = |f(u) + g(u + π/n_{l})|
≤ |f(u + π/n_{l}) + g(u + π/n_{l})| + πn/|n_{l}|
≤ ∥f + g∥_{∞} + πn/|n_{l}|

Or |n_{l}| est arbitrairement grand. Donnons encore un autre résultat positif :

Proposition 6 Soit E = {n_{k}} ⊆ ℤ. Si |n_{k+1}/n_{k}| → ∞, alors C_{E}(𝕋) a la (umap) complexe.

En fait, nous pouvons prouver quelque chose de plus concret : dans ce cas, on a pour tout ε > 0 un l ≥ 1 tel que pour tout f(t) = ∑ a_{k}e^{in_{k}t}

∥f∥_{∞} ≥ (1 − ε)(∥ ∑_{k≤l} a_{k}e^{in_{k}t}∥_{∞} + ∑_{k>l} |a_{k}|).  (3)

Ceci revient à dire que la suite {π_{k}}_{k≥l} des projections associée à la base E réalise la \frac{1}{1−ε}-(uap). Pour obtenir l’inégalité (3), on utilise une récurrence basée sur l’idée suivante.

Soit u ∈ 𝕋 tel que ∥π_{k}f∥_{∞} = |π_{k}f(u)|. Il existe alors v ∈ 𝕋 tel que

|u − v| ≤ π/|n_{k+1}| et |π_{k}f(u) + a_{k+1}e^{in_{k+1}v}| = ∥π_{k}f∥_{∞} + |a_{k+1}|.

De plus, dans ce cas,

|π_{k}f(u) − π_{k}f(v)| ≤ |u − v| ∥π_{k}f′∥_{∞} ≤ π|n_{k}/n_{k+1}| ∥π_{k}f∥_{∞}.

En résumé, a_{k+1}e^{in_{k+1}t} a le même argument que π_{k}f très près du maximum de |π_{k}f|, et π_{k}f varie peu. Mais alors

∥π_{k}f(t) + a_{k+1}e^{in_{k+1}t}∥_{∞} ≥ |π_{k}f(v) + a_{k+1}e^{in_{k+1}v}|
≥ ∥π_{k}f∥_{∞} + |a_{k+1}| − π|n_{k}/n_{k+1}|∥π_{k}f∥_{∞}
= (1 − π|n_{k}/n_{k+1}|)∥π_{k}f∥_{∞} + |a_{k+1}|.

On obtient (3) en réitérant cet argument. Qu’est-ce qui se passe lorsque n_{k+1}/n_{k} est borné ? et en particulier lorsque n_{k+1}/n_{k} est pair ? Pour répondre à ces questions, il nous faut établir des

3 Conditions arithmétiques pour la (umap)

La propriété de bloc-inconditionnalité nous suggère d’étudier des expressions du type

Θ_{q}(λ, a_{1}, …, a_{m}) = ∥a_{1}e^{iq_{1}t} + … + a_{j}e^{iq_{j}t} + λ(a_{j+1}e^{iq_{j+1}t} + … + a_{m}e^{iq_{m}t})∥_{p}

comme fonction C^{∞} de λ, a_{1}, …, a_{m}. Si p est un entier pair, Θ_{q} est un polynôme ; sinon, c’est une série pour p < ∞. Pour p = ∞, il n’y a pas moyen d’exprimer Θ_{q}. La propriété de bloc-inconditionnalité se lit alors ainsi : à q_{1}, …, q_{j} ∈ E fixés, l’oscillation

osc_{λ∈𝕌} Θ_{q}(λ, a_{1}, …, a_{m}) ⟶_{q_{j+1}, ..., q_{m}∈E→∞} 0.

En utilisant un argument de compacité, on peut alors supposer que Θ_{q} → Θ en métrique C^{∞}; mais alors Θ est constante en λ. En développant Θ_{q}, on voit bien que certaines relations arithmétiques entre q_{1}, …, q_{m} ne peuvent persister à moins d’infirmer la (umap). Cette idée apparaît dans [4] et [13]. Cela donne les relations arithmétiques suivantes, selon que le choix de signes est réel ou complexe.

Définition 7 E a la propriété (J_{n}) si, pour tout F ⊆ E fini, il existe G ⊆ E cofini tel que : si k ∈ ℤ admet deux représentations comme somme de n éléments de F ∪ G

∑_{j=1}^{n} p_{j} = k = ∑_{j=1}^{n} p′_{j},

alors – #[p_{j} ∈ F] = #[p′_{j} ∈ F], dans le cas du choix de signes complexe 𝕌 = 𝕋;

– #[p_{j} ∈ F] et #[p′_{j} ∈ F] ont même parité, dans le cas du choix de signes réel 𝕌 = {−1, 1}.

Notons que (J_{n+1}) ⇒ (J_{n}). Ce sont des relations entre le début et la fin de E. Elles n’interdisent l’existence ni de suites arithmétiques arbitrairement longues, ni de relations de parallélépipède. En particulier, le pas de E ne tend pas nécessairement vers l’infini, comme le veut l’exemple [7, th. 4]. Néanmoins, si l’ensemble E vérifie (J_{n}) pour un n ≥ 3, alors sa densité maximale est nulle [12, prop. 9.2]. On obtient le

Théorème 8 ([12, th. 6.6 et cor. 6.7]) Soit E = {n_{k}} ⊆ ℤ.

1. Si X = L^{p}(𝕋), p un entier pair, alors L_{E}^{p}(𝕋) a la (umap) si et seulement si E vérifie (J_{p/2}).

2. Si X = L^{p}(𝕋), p non entier pair, ou X = C(𝕋), alors X_{E} a la (umap) seulement si E vérifie (J_{n}) pour chaque n ≥ 1.

Cette propriété ne s’interpole donc pas. Au contraire, on a la hiérarchie suivante :

{C_{E}(𝕋) a \atop (umap)} ⇒ L_{E}^{p}(𝕋) a (umap) si p non entier pair ⇒ … ⇒ {L_{E}^{2n+2}(𝕋) \atop a (umap)} ⇒ {L_{E}^{2n}(𝕋) \atop a (umap)} ⇒ … ⇒

{L_{E}^{2}(𝕋) a \atop (umap).}

Appliquons le th. 8 aux suites géométriques G = {j^{k}}_{k≥0} avec j ≥ 2. La relation arithmétique suivante vaut sur G.

\underbrace{1 + … + 1}_{j fois} +j^{k+1} = j + \underbrace{j^{k} + … + j^{k}}_{j fois} .

Elle montre que L_{G}^{2j+2}(𝕋) n’a pas la (umap) complexe, ni la (umap) réelle si de plus j est pair. Donc la prop. 5 est optimale. De la même manière, pour voir que E = {k^{4}}_{k≥1}, l’ensemble des bicarrés, est tel que L_{E}^{6}(𝕋) n’a pas la (umap), il suffit de noter avec Ramanujan [14, p.386] que l’équation diophantienne a^{4} +b^{4} +c^{4} = d^{4} +e^{4} +f^{4} admet l’infinité suivante de solutions :

(4n^{5} − 5n)^{4} + (6n^{4} − 3)^{4} + (4n^{4} + 1)^{4} = (4n^{5} + n)^{4} + (2n^{4} − 1)^{4} + 3^{4}.

Donnons une autre application du th. 8. La partie entière de x ∈ ℝ est notée [x].

Corollaire 9 ([12, prop. 11.1.3]) Soient σ > 1 et E = {[σ^{k}]}_{k≥1}. Alors sont équivalentes

1. σ est un nombre transcendant.

2. L_{E}^{p}(𝕋) a la (umap) complexe pour tout entier pair p.

Références

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[14] S. Ramanujan. Notebooks. Tata, 1957.

[15] W. Rudin. Trigonometric series with gaps. J. Math. Mech., 9 :203–228, 1960.

Équipe d’Analyse, Université Paris VI, Boîte 186, 4, place Jussieu, F-75252 Paris cedex 05. E-mail : neuwirth@ccr.jussieu.fr