Propriété d’approximation commutative

Stefan Neuwirth

Résumé

Ce petit texte présente des résultats récents en analyse fonctionnelle. Ils concernent un raffinement de la propriété d’approximation dans les espaces de Banach.

Le but recherché est d’étudier dans quelle mesure certaines suites d’opérateurs de rang fini, dites approximantes, peuvent suppléer aux projections associées à une base de Schauder. On sait à présent que des espaces de Banach ne partagent pas la propriété d’approximation et n’ont a fortiori pas de base de Schauder, mais on sait peu de choses sur la variété de propriétés intermédiaires : à défaut de base, peut-on décomposer l’espace en une somme d’espaces de dimension finie ? Peut-on imposer à ces opérateurs de rang fini d’être des projections ?

Nous allons étudier ici une propriété plus faible : la suite approximante d’opérateurs peut-elle être choisie de sorte que ceux-ci commutent entre eux ?

Les résultats présentés ici ont été démontrés par Casazza, Godefroy et Kalton.

Table des matières

1 Définitions 1

2 Deux lemmes de perturbation 2

3 Le cas séparable 4 3.1 Le théorème de Casazza–Kalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2 Le cas où l’espace ne contient pas l_{1} . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.1 La topologie des boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.2 Le théorème de Godefroy–Kalton . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Problèmes 11

1 Définitions

Définition 1.1 (Grothendieck) Soit X un espace de Banach.

(i) X a la propriété d’approximation (AP) si pour tout compact K ⊆ X et pour tout ε > 0 il existe T opérateur de rang fini sur X tel que ∥T x − x∥ ≤ ε pour tout x ∈ K. (ii) X a la AP bornée (BAP) si T est borné indépendamment de K et de ε. (iii) X a la AP métrique (MAP) si on peut imposer ∥T ∥ ≤ 1.

De manière équivalente,

(i) X a la AP s’il existe un filtre {T_{α}} d’opérateurs de rang fini qui tend vers l’identité uniformément sur tout compact de X.

(ii) X a la BAP s’il existe un filtre {T_{α}} d’opérateurs de rang fini uniformément bornés qui tend vers l’identité uniformément sur tout compact de X. Ces énoncés expriment en fait que l’opérateur identité est approximable par des opérateurs de rang fini. Dés lors, les opérateurs compacts S sont approximables en norme par des opérateurs de rang fini : En effet, \overline{S(B_{X})} est compact et pour tout ε > 0, il existe T tel que ∥T S − S∥ ≤ ε.

Définition 1.2 X a la AP (resp. BAP) commutative s’il existe des filtres commutatifs vérifiant (i) (resp. (ii)).

Par le théorème d’Ascoli, on a la

Proposition 1.3 X a la BAP si et seulement si

Il existe λ tel que pour tout espace E ⊆ X de dimension finie, il existe T opérateur de rang fini sur X tel que ∥T ∥ ≤ λ et ∥T x − x∥ ≤ ε∥x∥ si x ∈ E.

Il existe un filtre {T_{α}} d’opérateurs de rang fini uniformément bornés qui tend fortement vers l’identité.

Il existe un filtre {T_{α}} d’opérateurs de rang fini uniformément bornés qui tend fortement vers l’identité sur un sous-ensemble dense de X.

Si X est séparable, X est limite croissante d’espaces de dimension finie X = \overline{∪_{n}X_{n}}. Alors il existe selon le (i) une suite bornée de T_{n} tels que ∥T_{n}x−x∥ ≤ \frac{∥x∥}{n} si x ∈ X_{n} et qui tend donc fortement vers l’identité sur un sous-ensemble dense. On peut ainsi considérer des suites à la place de filtres dans le (ii) ci-dessus ; de plus, par le théorème de Banach-Steinhaus, l’hypothèse d’une borne uniforme devient redondante. On appellera de telles suites des suites approximantes.

2 Deux lemmes de perturbation

Ces deux lemmes permettent de corriger infinitésimalement des opérateurs de rang fini et ont une grande importance pratique.

Scholie 2.1 (Auerbach) Soit X un espace normé de dimension n. Alors il existe x_{1}, …, x_{n} ∈ X et f_{1}, …, f_{n} ∈ X^{∗} de norme 1 tels que f_{i}(x_{j}) = δ_{ij}.

Démonstration. Soit {g_{1}, …, g_{n}} une base de X^{∗}. Considérons

V (y_{1}, …, y_{n}) = det([g_{i}(y_{j})]_{1≤i, j≤n})

et soit (x_{1}, …, x_{n}) le maximum de V sur le compact {(y_{1}, …, y_{n}) : ∥y_{i}∥ ≤ 1}. Alors ∥x_{j}∥ = 1 et les

f_{i}(x) = \frac{V (x_{1}, …, x_{i−1}, x, x_{i+1}, …, x_{n})}{V (x_{1}, …, x_{n})}

vérifient l’hypothèse. Un tel système de (x_{i}, f_{i}) est appelé base biorthogonale de X.

Scholie 2.2 Soit X un espace de Banach et E ⊆ X un sous-espace de dimension k. Alors il existe une projection de X sur E bornée par k.

Démonstration. Soit {(x_{i}, f_{i})} une base biorthogonale de E produite par le scholie 2.1 et notons f̂_{i} les prolongements de Hahn-Banach à X des f_{i}. P (x) =

k ; ∑_{i} ; 1 f̂_{i}(x)x_{i} est la projection recherchée.

Lemme 2.3 (Johnson–Rosenthal–Zippin) Soit T un opérateur d’un espace de Banach X sur un sous-espace de dimension finie E ⊆ X. Soit F ⊆ X un sous-espace de dimension k tel que ∥T |_{F} − Id|_{F} ∥ < ε < 1, où \frac{kε}{1−ε} < 1. Alors il existe un opérateur de rang fini S tel que

\{ \begin{matrix}S|_{F} = Id|_{F} , & im S ⊆ im T + F, \\ ∥S − T ∥ < \frac{kε}{1−ε}∥T ∥, & im S^{∗} = im T^{∗}. \end{matrix}

Démonstration. U = T |_{F} : F → T (F) vérifie ∥U∥ < 1+ε et ∥U^{−1}∥ < \frac{1}{1−ε}. Donc ∥U^{−1}−Id|_{T (F)}∥ < \frac{ε}{1−ε}. Par le scholie 2.2, il existe une projection P : E → T (F) bornée par k. Posons

V = U^{−1}P + (Id|_{E} − P) et S = V T.

Alors S|_{F} = Id|_{F} et im S ⊆ im T + F. Comme ∥V − Id|_{E}∥ = ∥U^{−1}P − P ∥ < \frac{kε}{1−ε} < 1, ∥S − T ∥ < \frac{kε}{1−ε}∥T ∥ et V est injective. S et T ont donc même noyau et S^{∗} et T^{∗}, étant de rang fini, même image.

Lemme 2.4 (Singer) Soit T un opérateur de rang fini sur X. Soient F ⊆ X un sous-espace de dimension k et G ⊆ X^{∗} un sous-espace de dimension l tels que ∥T |_{F} − Id|_{F} ∥ < ε < 1 et ∥T^{∗}|_{G} − Id|_{G}∥ < η < 1, où \frac{kε}{1−ε} < μ < 1, μ∥T ∥ + η < ρ < 1 et \frac{lρ}{1−ρ} < ν < 1. Alors il existe un opérateur de rang fini S tel que

\{ \begin{matrix}S|_{F} = Id|_{F} , S^{∗}|_{G} = Id|_{G}, & im S ⊆ im T + F \\ ∥S − T ∥ < (μ + ν + μν)∥T ∥, & im S^{∗} ⊆ im T^{∗} + G. \end{matrix}

Démonstration. Par le lemme 2.3, il existe un opérateur U de rang fini tel que

\{ \begin{matrix}U|_{F} = Id|_{F} , & im U ⊆ im T + F, \\ ∥U − T ∥ < μ∥T ∥, & im U^{∗} = im T^{∗}. \end{matrix}

Alors

∥U^{∗}x^{∗} − x^{∗}∥ ≤ ∥U^{∗}x^{∗} − T^{∗}x^{∗}∥ + ∥T^{∗}x^{∗} − x^{∗}∥ < (μ∥T ∥ + η)∥x^{∗}∥ pour x^{∗} ∈ G.

Une nouvelle application du lemme donne un opérateur de la forme

S^{∗} = ((U^{∗}|_{G})^{−1}P + Id|_{E} − P)U^{∗},

où E = im U^{∗} et P : E → U^{∗}(G) est une projection, tel que

\{ \begin{matrix}S^{∗}|_{G} = Id|_{G}, & im S^{∗} ⊆ im U^{∗} + G = im T^{∗} + G \\ ∥S^{∗} − U^{∗}∥ < ν∥T ∥, & im S^{∗∗} = im U^{∗∗}. \end{matrix}

Comme U^{∗} est l’adjoint d’un opérateur de rang fini, S^{∗} est effectivement l’adjoint d’un S. Comme S et U sont de rang fini, im S = im U ⊆ im T + F. Notons que

∥S − T ∥ ≤ ∥S − U∥ + ∥U − T ∥ < ν∥U∥ + μ∥T ∥ < (μ + ν + μν)∥T ∥.

Montrons que S|_{F} = Id|_{F} : soit x ∈ F et x^{∗} ∈ X^{∗}. Alors

⟨x^{∗}, Sx⟩ = ⟨(U^{∗}|_{G})^{−1}P U^{∗}x^{∗}, x⟩ + ⟨U^{∗}x^{∗}, x⟩ − ⟨P U^{∗}x^{∗}, x⟩
= ⟨U^{∗}(U^{∗}|_{G})^{−1}P U^{∗}x^{∗}, x⟩ + ⟨x^{∗}, x⟩ − ⟨P U^{∗}x^{∗}, x⟩
= ⟨x^{∗}, x⟩.

3 Le cas séparable

Nous allons considérer une suite approximante {T_{n}} d’un espace de Banach X séparable.

3.1 Le théorème de Casazza–Kalton

Ce théorème énonce qu’on peut construire une suite approximante commutative à partir d’une suite approximante métrique.

Scholie 3.1 Il existe une suite approximante {S_{n}} et une sous-suite {T_{k_{n}}} tels que T_{k_{n}} − S_{n} → 0 et S_{n}S_{m} = S_{m} si n > m.

Démonstration. Nous allons construire les S_{n} par récurrence. Soit S_{1} = T_{1} et supposons les S_{m} construits tels que S_{m}S_{k} = S_{k} si n > m > k. Soit X_{n} = im S_{n−1} et k_{n} tel que ∥T_{k_{n}}|_{X_{n}} − Id|_{X_{n}}∥ < ε < 1 avec \frac{ε}{1−ε} dim X_{n} ≤ \frac{1}{n}. Par le lemme 2.3, il existe S_{n} tel que S_{n}x = x pour x ∈ X_{n} et ∥S_{n} − T_{k_{n}}∥ < \frac{1}{n}∥T_{k_{n}}∥. La suite {S_{n}} est approximante et vérifie clairement S_{n}S_{m} = S_{m} si m < n et T_{k_{n}} − S_{n} → 0.

Proposition 3.2 (Casazza–Kalton) Si {T_{n}} vérifie T_{n}T_{m} = T_{m} pour n > m et [T_{m}, T_{n}] ⟶_{m→∞} 0 pour tout n, il existe une suite approximante {R_{n}} et une sous-suite {T_{k_{n}}} telles que T_{k_{n}} − R_{n} → 0 et R_{m}R_{n} = R_{n}R_{m} = R_{m} si n > m.

Démonstration. On peut de plus supposer im T_{n} = im T_{n}^{2}. En effet, soit une projection bornée P_{n} : X → im T_{n} et α_{n} tels que α_{n}∥P_{n}∥ → 0 et \frac{α_{n}}{α_{n}−1} ne soit pas valeur propre de T_{n}. C’est possible : cet opérateur est de rang fini et son spectre est fini. On considère alors (1 − α_{n})T_{n} + α_{n}P_{n} au lieu de T_{n}. Construisons alors par récurrence une suite approximante {R_{n}} et une sous-suite {T_{k_{n}}} telles que

im R_{n}^{2} = im R_{n} = im T_{k_{n}},
R_{n} est un polynôme en les T_{k_{j}}, j ≤ n,
R_{n}R_{k} = R_{k}R_{n} = R_{k} pour k < n.

Soit R_{1} = T_{1} et supposons R_{n} construit. Comme cet opérateur est bijectif sur son image, il existe W_{n} polynôme en R_{n} et inverse de R_{n} sur son image. Comme R_{n}(Id|_{X} − T_{m}) ⟶_{m→∞} 0, on peut choisir k_{n+1} tel que

∥R_{n}(Id|_{X} − T_{k_{n+1}})∥ < \frac{1}{n∥W_{n}∥}.

L’opérateur

R_{n+1} = T_{k_{n+1}} + W_{n}R_{n}(Id|_{X} − T_{k_{n+1}})

vérifie alors les hypothèses : la deuxième et la troisième sont immédiates. Vérifions la première. Comme im R_{n+1} ⊆ im T_{k_{n+1}}, il suffit de montrer que R_{n+1} est injectif sur im T_{k_{n+1}} : soit x ∈ im T_{k_{n+1}} tel que R_{n+1}x = 0. Alors T_{k_{n+1}}x ∈ im T_{k_{n}} par la définition de R_{n+1}. Donc T_{k_{n+1}}^{2}x = T_{k_{n+1}}x, et comme T_{k_{n+1}} est injectif sur son image, T_{k_{n+1}}x = x. Par la définition de R_{n+1}, x = 0. La suite {R_{n}} est approximante et vérifie clairement T_{k_{n}} − R_{n} → 0.

Corollaire 3.3 (Casazza–Kalton) Si {T_{n}} vérifie [T_{m}, T_{n}] ⟶_{m, n→∞} 0, il existe

une suite approximante {R_{n}} telle que R_{m}R_{n} = R_{n}R_{m} = R_{m} pour m < n.

Démonstration. Par le scholie 3.1, il existe une suite {S_{k}} d’opérateurs de rang fini et une sous-suite T_{n_{k}} telles que S_{l}S_{k} = S_{k} si l > k et S_{k} − T_{n_{k}} → 0. Alors on a encore [S_{m}, S_{n}] ⟶_{m, n→∞} 0. En passant à une sous-suite à nouveau notée S_{k},

on peut supposer ∑_{n} ∥[S_{n}, S_{n+1}]∥ < ∞. Notons ε_{n} = ∥[S_{n}, S_{n+1}]∥ et A(n, k) = S_{n} ⋯ S_{n+k−1}. Alors

A(n, k + 1) = A(n, k) + A(n, k − 1)[S_{n+k−1}, S_{n+k}].

Notons

M_{n}(k) = max_{1≤l≤k} ∥A(n, l)∥.

Alors M_{n}(1) = ∥S_{n}∥ et M_{n}(k + 1) ≤ M_{n}(k)(1 + ε_{n+k−1}). Donc ∥A(n, k)∥ ≤

∥S_{n}∥ ∏_{i=n}^{∞}(1+ε_{i}) et les A(n, k) sont uniformément bornés. R_{n}(x) = lim_{k→∞} A(n, k)x est défini pour x ∈ ⋃_{n} im S_{n} et donc pour x ∈ X par densité et la borne uniforme.

R_{n} est de rang fini et vérifie encore R_{m}R_{n} = R_{n} pour m > n. Mais alors

[R_{m}, R_{n}] = R_{n} − R_{n}R_{m} = R_{n} − S_{n} ⋯ S_{m}R_{m}
= S_{n} ⋯ S_{m−2}(S_{m−1} − S_{m−1}S_{m})R_{m}
= A(n, m − n − 1)[S_{m−1}, S_{m}]R_{m}

et donc [R_{m}, R_{n}] ⟶_{m→∞} 0 pour tout n. La proposition 3.2 permet de conclure. On a immédiatement le

Corollaire 3.4 Si {T_{n}} est commutative, il existe une suite approximante {R_{n}} et une sous-suite {T_{k_{n}}} telles que T_{k_{n}} − R_{n} → 0 et R_{m}R_{n} = R_{n}R_{m} = R_{m} si n > m.

Proposition 3.5 (Johnson) Si X a la CBAP, alors il existe une norme équivalente sur X pour laquelle X a la CMAP.

Démonstration. On peut supposer que T_{n}T_{m} = T_{m}T_{n} = T_{n} pour m > n. |||x||| = sup_{n} ∥T_{n}x∥ définit par hypothèse une norme équivalente sur X. Posons

S_{n} = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)}{2} ; ∑_{k} ; \frac{(n−1)n}{2} +1 T_{k}.

Alors S_{n}S_{m} = S_{m}S_{n} = S_{n} pour m > n, S_{n}x → x pour tout x ∈ X et |||S_{n}||| → 1.

Théorème 3.6 (Casazza–Kalton) Si X a la MAP, alors X a la CMAP.

Démonstration. Par le scholie 3.1, il existe une suite approximante {T_{n}} telle que T_{m}T_{n} = T_{n} pour m > n et ∥T_{n}∥ ≤ 1 + ε_{n}, où on peut imposer ∑_{n} ε_{n} = α < ∞. Notons

V_{n}(t) = exp(t n ; ∑_{k} ; 1(T_{k} − Id|_{X})) (t > 0).

Alors

∥V_{n}(t)∥ ≤ e^{−nt} exp(t n ; ∑_{k} ; 1 ∥T_{k}∥) ≤ e^{αt}.

Si x ∈ E_{n} et m > n, alors V_{m}(t)x = V_{n}(t)x : il s’ensuit que S(t)x = lim_{n→∞} V_{n}(t)x est bien défini pour x ∈ ∑_{n} E_{n} et donc pour tout x ∈ X par densité et par la norme uniforme sur V_{n}(t). De plus, S(t) vérifie

(i) ∥S(t)∥ ≤ e^{αt} ⟶_{t→0} 1

(ii) ∀t_{1}, t_{2} > 0 S(t_{1} + t_{2}) = S(t_{1})S(t_{2}),

(iii) ∀x ∈ X S(t)x ⟶_{t→0} x

(iv) ∀t > 0 S(t) est compact.

(ii) vaut car les V_{n}(t) forment des semi-groupes à n fixé. (iii) vaut pour x ∈ E_{n} et par densité pour x ∈ X. Montrons (iv) : soit x ∈ E_{n} et l < n et calculons d(S(t)x, E_{l}) = d(V_{n}(t)x, E_{l}). En développant l’opérateur exp(T_{1} + ⋯ + T_{n}) − exp(T_{l+1} + ⋯ + T_{n}), on note que son image est contenue dans E_{l}. Donc

d(S(t)x, E_{l}) = e^{−nt}d(exp t(T_{l+1} + ⋯ + T_{n})x, E_{l})
≤ e^{−nt}∥ exp t(T_{l+1} + ⋯ + T_{n})∥ ∥x∥
≤ e^{αt}e^{−lt}∥x∥.

Cette inégalité vaut par densité pour tout x ∈ X; elle montre que l’image par S(t) de la boule unité est précompacte. Il existe donc une suite \{R_{n}\} d’opérateurs de rang fini telle que R_{n}−S(\frac{1}{n}) ⟶_{n→∞} 0.

Alors ∥R_{n}∥ ⟶_{n→∞} 1 et [R_{m}, R_{n}] ⟶_{m, n→∞} 0 puisque les S(\frac{1}{n}) commutent. On con-

clut en appliquant le corollaire 3.3.

3.2 Le cas où l’espace ne contient pas l_{1}

Dans ce cas, nous pouvons affiner le théorème 3.6 : la suite approximante commutative peut être choisie uniformément proche du semi-groupe convexe engendré par une suite approximante de contractions.

3.2.1 La topologie des boules

Le lemme suivant est la pierre angulaire du théorème de cette section.

Lemme 3.7 (Godefroy–Kalton) Si X ne contient pas l_{1} et P : X^{∗∗} → X^{∗∗} est une projection de norme 1 telle que X ⊆ im P, alors ker P est w^{∗}-fermé.

Nous allons utiliser un résultat sur la topologie des boules b_{X}, i. e. la topologie la plus faible telle que les boules fermées pour la norme de X soient fermées. En particulier, elle est plus faible que la topologie préfaible. Un point x ∈ X y

a pour base de voisinages les X\ ⋃_{i=1}^{n} B(x_{i}, r_{i}), où ∥x − x_{i}∥ > r_{i}. Donc

x_{α} ⟶_{α→F}^{b_{X}} x  ⟺  ∀y ∈ X ∥x − y∥ > r ⇒ ∃α ∀β ≥ α ∥x_{β} − y∥ > r
⟺  ∀y ∈ X lim inf_{α→F} ∥x_{α} − y∥ ≥ ∥x − y∥

Résultat 3.8 (Godefroy–Kalton) Soit X ⊆ Y ⊆ X^{∗∗} un sous-espace fermé. Si X ne contient pas l_{1}, alors (B_{Y} , b_{Y}) est séparé.

Démonstration du lemme. Notons Y = im P et soit {x_{α}} ⊆ B_{Y} un filtre tel

que x_{α} ⟶_{α→F}^{w^{∗}} x^{∗∗}. Alors

∀y ∈ Y  lim inf_{α→F} ∥x_{α} − y∥ ≥ ∥x − y∥ ≥ ∥P x^{∗∗} − y∥,

i. e. x_{α} ⟶_{α→F}^{b_{Y}} P x^{∗∗}.

Si x^{∗∗} ∈ ker P ∩ B_{X^{∗∗}}, alors il existe {x_{α}} ⊆ B_{X} ⊆ B_{Y} tel que x_{α} ⟶_{α→F}^{w^{∗}} x^{∗∗} et,

par ce qui précède, x_{α} ⟶_{α→F}^{b_{Y}} P x^{∗∗} = 0. Inversement, dès qu’il existe {x_{α}} ⊆ B_{Y}

tel que x_{α} ⟶_{α→F}^{w^{∗}} x^{∗∗} et x_{α} ⟶_{α→F}^{b_{Y}} 0, comme x_{α} ⟶_{α→F}^{b_{Y}} P x^{∗∗} et que (B_{Y} , b_{Y}) est

séparée par le résultat 3.8, P x^{∗∗} = 0. Donc

ker P ∩ B_{X^{∗∗}} = ⋂_{V (B_{Y} , b_{Y} )-voisinage de 0} \overline{V}^{w^{∗}},

et ker P ∩ B_{X^{∗∗}} est w^{∗}-fermé. Par le théorème de Banach-Dieudonné, ker P est w^{∗}-fermé.

3.2.2 Le théorème de Godefroy–Kalton

Scholie 3.9 Si {T_{n}} vérifie T_{n}^{∗}T_{m}^{∗} −T_{m}^{∗} ⟶_{n→∞} 0, il existe une suite approximante {S_{n}} et une sous-suite {T_{k_{n}}} tels que T_{k_{n}} − S_{n} → 0 et S_{n}S_{m} = S_{m}S_{n} = S_{m} si n > m.

Démonstration. Nous allons construire les S_{n} et les k_{n} par récurrence. Soit S_{1} = T_{1} et supposons les S_{m} construits tels que

S_{m}S_{k} = S_{k}S_{m} = S_{k} si n > m > k,

X_{n} = im S_{n−1} ⊆ ∑_{j=1}^{n−1} im T_{k_{j}} et

X_{n}^{∗} = im S_{n−1}^{∗} ⊆ ∑_{j=1}^{n−1} im T_{k_{j}}^{∗}.

Soit k_{n} tel que ∥T_{k_{n}}|_{X_{n}} − Id|_{X_{n}}∥ < ε < 1 et ∥T_{k_{n}}^{∗}|_{X_{n}^{∗}} − Id|_{X_{n}^{∗}}∥ < η < 1 avec \frac{ε}{1−ε} dim X_{n} < \frac{1}{n}, \frac{1}{n}∥T ∥ + η < ρ < 1 et \frac{ρ}{1−ρ} dim X_{n}^{∗} < \frac{1}{n}. Alors par le lemme 2.4, il existe S_{n} tel que

S_{n}x = x pour x ∈ X_{n},
S_{n}^{∗}x^{∗} = x^{∗} pour x^{∗} ∈ X_{n}^{∗} et
∥S_{n} − T_{k_{n}}∥ < \frac{3}{n}∥T_{k_{n}}∥.

De plus, im S_{n} ⊆ ∑_{j=1}^{n} im T_{k_{j}} et im S_{n}^{∗} ⊆ ∑_{j=1}^{n} im T_{k_{j}}^{∗}.

La suite {S_{n}} est approximante et vérifie clairement S_{n}S_{m} = S_{m}S_{n} = S_{m} si m < n et T_{k_{n}} − S_{n} → 0.

Définition 3.10 M est localement complémenté dans X si pour tout F de dimension finie, il existe A : F → M borné indépendamment de F tel que Ax = x pour x ∈ F ∩ M.

Scholie 3.11 Soit P : X^{∗} → X^{∗} une projection de noyau M^{⊥}, où M est fermé. Alors M est localement complémenté dans X.

Démonstration. P^{∗} : X^{∗} → X^{∗} a pour image M^{⊥⊥} = \overline{M}^{w^{∗}} = M^{∗∗}. Soit F ⊆ X de dimension finie et ε > 0. Par le principe de réflexivité locale appliqué à M, il existe T : P^{∗}(F) → M tel que T x = x pour x ∈ M et ∥T^{−1}∥ ∥T ∥ ≤ 1 + ε. Alors T P^{∗}|_{F} : F → M vérifie l’hypothèse.

Scholie 3.12 Soit Z un sous-espace séparable de E et {S_{n}} une suite d’opérateurs tels que S_{n}x ⟶_{n→F}^{w} Sx pour x ∈ M et un filtre F. Alors il existe une suite

{R_{n}} de combinaisons convexes successives des S_{n} telle que R_{n}x ⟶_{n→∞} Sx pour x ∈ M.

Démonstration. Soit {x_{i}} dense dans M. Pour chaque suite {R_{k, n}} telle que

R_{k, n}x_{i} ⟶_{n→∞} Sx_{i} pour chaque i ∈ {1, …, k},

il existe par le théorème de Mazur une suite {R_{k+1, n}} de combinaisons convexes successives des R_{k, n} telle que R_{k+1, n}x_{i} ⟶_{n→∞} Sx_{i} lorsque 1 ≤ i ≤ k + 1. La suite des R_{n} = R_{n, n} vérifie alors la conclusion.

Lemme 3.13 (Godefroy–Kalton) Soit U un ultrafiltre tel que

P x^{∗∗} = w^{∗}- lim_{n→U} T_{n}^{∗∗}x^{∗∗}

définit une projection bornée de noyau w^{∗}-fermé. Alors il existe une suite {C_{k}} de combinaisons convexes successives des T_{n}T_{m}, n < m et une suite {B_{k}} d’opérateurs de rang fini telles que C_{k} − B_{k} → 0 et B_{n}B_{k} = B_{k}B_{n} = B_{k} pour k < n.

Démonstration. M = (ker P)_{⊥} est fermé. Notons Q : X^{∗} → X^{∗}/M l’application quotient canonique.

Construisons une suite \{V_{n}\} telle que \{ \begin{matrix}(i) QV_{n}^{∗} ⟶_{n→∞} 0 et \\ (ii) V_{n}^{∗}x^{∗} ⟶_{n→∞} x^{∗} pour x^{∗} ∈ M. \end{matrix}

(i) Si x^{∗} ∈ M, alors

⟨x^{∗∗}, T_{n}^{∗}x^{∗}⟩ → ⟨P x^{∗∗}, x^{∗}⟩ = ⟨x^{∗∗}, x^{∗}⟩,

c’est-à-dire T_{n}^{∗}x^{∗} ⟶_{n→U}^{w} x^{∗}. Donc M ⊆ Z = \overline{∑ im T_{n}^{∗}}; comme Z est séparable, M

l’est aussi. Par le scholie 3.12, il existe une suite {S_{n}} de combinaisons convexes successives des T_{n} telle que S_{n}^{∗}x^{∗} ⟶_{n→∞} x^{∗}.

(ii) On a ⟨x^{∗∗}, QS_{n}^{∗}x^{∗}⟩ ⟶_{n→U}⟨P Q^{∗}x^{∗∗}, x^{∗}⟩ = 0, c’est-à-dire QS_{n}^{∗}x^{∗} ⟶_{n→U}^{w} 0. Par

le scholie 3.12, il existe une suite {D_{n}} de combinaisons convexes successives

des S_{n} telle que QD_{n}^{∗}x^{∗} ⟶_{n→∞} 0 pour x^{∗} ∈ Z. Alors QD_{n}^{∗}D_{k}^{∗} ⟶_{n→∞} 0 puisque D_{k}^{∗}

est de rang fini. On peut donc choisir une sous-suite {U_{n}} de {D_{n}} telle que V_{n} = U_{n}U_{n+1} vérifie QV_{n}^{∗} → 0. {V_{n}} est encore une suite approximante :

\{ \begin{matrix}∥U_{n}x − x∥ < ε \\ ∥U_{n+1}x − x∥ < ε \end{matrix} ⟹ ∥V_{k}x−x∥ = ∥U_{n}(U_{n+1}x−x)+U_{n}x−x∥ < (∥U_{n}∥+1)ε.

De même, on a encore V_{n}^{∗}x^{∗} ⟶_{n→∞} x^{∗} pour x^{∗} ∈ M.

On voudrait trouver une suite {U_{n}} d’opérateurs de rang fini telle que U_{n} − V_{n} → 0 et im U_{n}^{∗} ⊆ M. Comme QV_{n}^{∗} → 0, on a

∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N ∃M′ ⊆ M de dimension finie inf_{m∈M′} ∥V_{n}^{∗}x^{∗} − m∥ < ε∥x^{∗}∥

On peut donc trouver une suite de M_{n} ⊆ M de dimension finie telle que

sup_{∥x^{∗}∥≤1} inf_{m∈M_{n}} ∥V_{n}^{∗}x^{∗} − m∥ ⟶_{n→∞} 0.

Or M est localement complémenté par le scholie 3.11 : pour chaque F_{n} = im V_{n}^{∗}+ M_{n}, il existe un opérateur A_{n} : F_{n} → M borné indépendamment de n tel que A_{n}x = x pour x ∈ F_{n}. Les opérateurs U_{n} tels que U_{n}^{∗} = A_{n}V_{n}^{∗} conviennent alors :

∥V_{n} − U_{n}∥ = sup_{∥x^{∗}∥≤1} ∥V_{n}^{∗}x^{∗} − A_{n}V_{n}^{∗}x^{∗}∥
= sup_{∥x^{∗}∥≤1} inf_{m∈M_{n}} ∥V_{n}^{∗}x^{∗} − m − A_{n}(V_{n}^{∗}x^{∗} − m)∥ → 0

Mais alors U_{n}^{∗}U_{m}^{∗} −U_{m}^{∗} ⟶_{n→∞} 0 puisque U_{m}^{∗} est de rang fini. Le scholie 3.9 permet alors de conclure. Supposons à présent que {T_{n}} est une suite approximante de contractions. Notons S le semi-groupe convexe qu’elle engendre, S^{∗} la fermeture de S dans la topologie faible des opérateurs de X^{∗∗} dans X^{∗∗} et S_{0} = {T ∈ S^{∗}; T |_{X} = Id|_{X}}. S_{0} n’est pas vide par hypothèse.

Théorème 3.14 (Godefroy–Kalton) Si X ne contient pas l_{1}, il existe une suite {S_{n}} dans S et une suite approximante {R_{n}} telle que S_{n} − R_{n} → 0 et R_{n}R_{k} = R_{k}R_{n} = R_{k} pour k < n.

Démonstration. Définissons un ordre sur S_{0} par

S ≤ T ⇔ ∀x^{∗∗} ∈ X^{∗∗} ∥Sx^{∗∗}∥ ≤ ∥T x^{∗∗}∥.

(S_{′}, ≤) est un ensemble inductif et, par le théorème de Zorn, contient un élément minimal P. Montrons que P est une projection. En effet, on a ∥SP x^{∗∗} = P x^{∗∗}∥

pour tout x^{∗∗} ∈ X^{∗∗} et tout S ∈ S, en particulier pour S_{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} P^{k}. Or

S_{n}(P^{2} − P) = \frac{1}{n}(P^{n+2} − P^{2}) et

∥S_{n}(P^{2} − P)x^{∗∗}∥ = ∥S_{n}P (P x^{∗∗} − x^{∗∗}∥ = ∥(P^{2} − P)x^{∗∗}∥;

donc ∥P^{2} − P ∥ ≤ \frac{2}{n} pour tout n et P^{2} = P. Finalement, comme S est séparable en norme, il existe une suite {R_{n}} d’opérateurs de rang fini de S et un ultrafiltre U tels que P x^{∗∗} = w^{∗}- lim_{n→U} R_{n}^{∗∗}. Par le lemme 3.7, ker P est w^{∗}-fermé et on peut appliquer le lemme 3.12.

4 Problèmes

Trois problèmes majeurs se posent dès lors :

Problème 4.1 De manière équivalente,

(i) Si X a la BAP, existe-t-il une norme équivalente sur X pour laquelle X a la MAP ? (ii) Est-ce que BAP implique CBAP ?

Problème 4.2 Le théorème de Godefroy–Kalton vaut-il toujours lorsque X contient l_{1} ?

Problème 4.3 Que se passe-t-il dans le cas où X n’est pas séparable ?