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\title{Théories spectrales}
\author{Stefan Neuwirth}
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\theoremstyle{plain}

\newtheorem{thm}{Théorème}[section]

\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}

\newtheorem{prp}[thm]{Proposition}

\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem{dfn}{Définition}[section]

\newtheorem*{Ter}{Terminologie}

\newtheorem*{Not}{Notation}

\newtheorem{pb}{Problème}
\newtheorem{Ex}{Exercice}
\newtheorem*{Pb}{Problème}

\newtheorem{ex}{Exemple}[section]
\newtheorem{exalg}{Exemple d'algèbre}

\newtheorem{Q}{Question}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}{Remarque}[section]

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\def\myvdots{\lower2pt\vbox{\baselineskip=4pt \lineskiplimit=0pt\kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}}

\newcommand{\ev}[1][0]{\ifcase#1 E\or F\or G\fi}
\newcommand{\el}[1][0]{\ifcase#1 v\or w\or w_1\fi}
\newcommand{\op}[1][0]{\ifcase#1 x\or y\or z\fi}
\newcommand{\mor}[1][0]{\ifcase#1 \varphi\or \psi\fi}
\newcommand{\ouv}[1][0]{\ifcase#1 U\or V\or W\fi}
\def\un{u}

\renewcommand{\labelenumi}{$(\roman{enumi})$}
\providecommand{\Entiers}[2]{[\![#1,#2]\!]}
\providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
\providecommand{\Norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\providecommand{\scal}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\providecommand{\pair}[2]{#1\left(#2\right)}
\providecommand{\rest}[2]{\hbox{${#1\vphantom{lp}\mkern1mu\vrule\,}_{#2}$}}
\def\le{\leqslant}
\def\ge{\geqslant}
\def\imp{\Rightarrow}
\def\ssi{\Leftrightarrow}
\def\e{\mkern1mu\mathrm e\mkern1mu}
\def\iu{\mkern1mu\mathrm i\mkern1mu}


\def\eps{\varepsilon}
\def\vth{\vartheta}
\def\rh{\varrho}
\def\la{\lambda}
\def\corps{\mathds K}
\def\N{\mathds N}
\def\borne{\mathscr B}
\def\fourier{\mathscr F}
\def\lin{\mathscr L}
\def\mat{\mathscr M}
\def\hol{\mathscr O}
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\renewcommand{\labelenumi}{$(\roman{enumi})$}
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\def\Im{\mathop{\mathrm{Im}}}
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\def\klammer#1{{\textrm(}#1{\textrm)}}

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\def\car{\omega}


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\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\chapter*{Introduction historique}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction historique}


Voici le point de départ historique de la théorie des
opérateurs: le problème de Sturm-Liouville
\begin{align}
  \label{sturm}
  \left\{
    \begin{aligned}
      &(p\el')'+q\el=r(\lambda \el+\el[1])\\
      &\alpha \el(a)+\alpha'\el'(a)=0\\
      &\beta \el(b)+\beta'\el'(b)=0
    \end{aligned}
  \right.
\end{align}
où $p\in\Cont^1[a,b]$ est strictement positive, $q\in\Cont[a,b]$ est
réelle, le \emph{poids} $r\in\Cont[a,b]$ est strictement positif et
$(\alpha,\alpha'),(\beta,\beta')\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$: il
s'agit de trouver $\el\in\Cont^2[a,b]$ en fonction du paramètre $\lambda\in\CC$ et du
\emph{terme inhomogène} $\el[1]\in\Cont[a,b]$. L'\emph{équation homogène
  associée} est l'équation \eqref{sturm} avec $\el[1]=0$. Sturm a
montré en 1836 que les $\lambda$ pour lesquels l'équation homogène a
une solution non nulle forment une suite de nombres réels qui tend vers
$-\infty$; si $\lambda$ n'est pas un terme de cette suite, alors la
solution de l'équation \eqref{sturm} est de la forme
\begin{equation}
  \label{op-int}
  \el(s)=\int_a^bk(s,t)\el[1](t)(r(t)\,\de t)\text.
\end{equation}
Notons $\ev$ l'espace vectoriel des $\el\in\Cont^2[a,b]$ tels que
$\alpha \el(a)+\alpha'\el'(a)=\beta \el(b)+\beta'\el'(b)=0$. En langage
moderne, la suite des $\lambda$ est formée des valeurs
propres de l'opérateur différentiel
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \op\colon \ev&\to\Cont[a,b]\\
    \el&\mapsto\frac{(p\el')'+q\el}r\text.
  \end{aligned}
\end{equation*}
$\Cont[a,b]$ est un espace préhilbertien si on le munit du produit
scalaire défini par
\begin{equation*}
  \langle \el,\el[1]\rangle=\int_a^b\el(t)\overline{\el[1](t)}(r(t)\,\de t)\text.
\end{equation*}
Notons $\lVert \el\rVert_2=\langle \el,\el\rangle^{1/2}$. Si $\lambda\in\R$
n'est pas valeur propre, nous allons montrer que l'opérateur $\op-\lambda$ admet un
inverse à gauche $\op[1]$ de la forme 
\begin{equation*}
  (\op[1](\el[1]))(s)=\langle \el[1],k(s,\cdot)\rangle=\int_a^bk(s,t)\el[1](t)(r(t)\,\de t).
\end{equation*}
avec $k\in\Cont([a,b]\times[a,b])$ réelle et symétrique: $\op[1]$ est un
endomorphisme hermitien de l'espace préhilbertien $\Cont[a,b]$. On dit
que $\op[1]$ est un \emph{opérateur intégral de noyau intégral $k$}. Les
valeurs propres $\mu$ non nulles de $\op[1]$ sont les inverses des valeurs
propres de $\op-\lambda$: nous allons démontrer que seul un nombre fini
d'entre elles sont positives et qu'elles forment une suite réelle qui
tend vers $0$ par valeurs négatives; les espaces propres associés sont de dimension $1$ et
il y a donc (à multiplication par un nombre complexe de module 1
près) exactement une fonction propre $\el[1]_\mu$ associée à $\mu$
telle que $\lVert \el[1]_\mu\rVert_2=1$. De plus, la suite des $\el[1]_\mu$ forme une base
hilbertienne orthonormée de l'espace préhilbertien $\Cont[a,b]$.

Consid\'erons le cas particulier $a=0$, $b=1$, $p=r=1$, $q=0$,
$\alpha'=\beta'=0$, c'est-\`a-dire 
\begin{align*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      &\el''=\lambda \el+\el[1]\\
      &\el(0)=\el(1)=0\text.
    \end{aligned}
  \right.
\end{align*}
Alors les valeurs propres de $\op$ sont les
$-n^2\pi^2$ avec $n\in\N^*$ de fonction propre associée
$\el_n(s)=\sqrt2\sin(n\pi s)$. L'inverse à gauche de $\op$ est
l'opérateur intégral de noyau 
\begin{equation*}
  k(s,t)=
  \begin{cases}
    (s-1)t&\text{si $0\le t\le s$}\\
    (t-1)s&\text{si $s\le t\le 1$}
  \end{cases}
  \ =st-\min(s,t).
\end{equation*}
Pour toute fonction $\el[1]\in\Cont[a,b]$, on a
\begin{equation*}
  \Bigl\lVert \el[1]-\sum_{n=1}^N\langle \el[1],\el_n\rangle \el_n\Bigr\rVert_2\xrightarrow[{N\to\infty}]{}0
\end{equation*}
et la solution de l'équation différentielle linéaire du deuxième ordre
$\el''=\el[1]$ avec condition aux bords $\el(0)=\el(1)=0$ est donc la fonction
\begin{equation*}
  \el(s) = \int_0^1k(s,t)\el[1](t)\,\de t 
  = \sum_{n=1}^N\frac{-1}{n^2\pi^2}\langle \el[1],\el_n\rangle \el_n.
\end{equation*}
Pour résoudre cette équation différentielle, il est donc très
utile de calculer la suite des coefficients $\langle \el[1],\el_n\rangle$.
Cette remarque est à l'origine de l'\emph{analyse de Fourier.}


\chapter{Définition d'une algèbre}

\section{Définition d'une algèbre}

\begin{dfn}
  Soit $\corps$ un corps commutatif.
  \begin{enumerate}
  \item Une algèbre sur $\corps$ est un $\corps$-espace vectoriel $A$,
    muni d'une application $\corps$-bilinéaire
    \begin{equation*}
      \begin{aligned}[t]
        A\times A&\to A\\
        (\op,\op[1])&\mapsto \op\op[1]
      \end{aligned}
    \end{equation*}
    appelée la \emph{multiplication} dans $A$, qui est associative. La multiplication dans $A$
    satisfait donc
    \begin{gather*}
      \lambda(\op\op[1])=(\lambda \op)\op[1]=\op(\lambda \op[1])\\
      (\op+\op[1])\op[2]=\op\op[2]+\op[1]\op[2]\\
      \op(\op[1]+\op[2])=\op\op[1]+\op\op[2]\\
      \op(\op[1]\op[2])=(\op\op[1])\op[2]
    \end{gather*}
    pour tous $\op,\op[1],\op[2]\in A$ et $\lambda\in\corps$.

  \item Lorsque la multiplication dans $A$ admet un élément neutre
    $\un$, c'est-à-dire que
    \begin{equation*}\un \op=\op\un=\op\end{equation*} pour tout $\op\in A$, on dit
    que $\un$ est l'\emph{unité} de $A$ et que $A$ est une algèbre
    \emph{unifère}. 

  \item Soit $A$ une algèbre munie d'une unit\'e $\un$.  Un
    élément $\op\in A$ est \emph{inversible} s'il existe $\op[1]\in A$ tel
    que $\op\op[1]=\op[1]\op=\un$. On note alors $\op[1]=\op^{-1}$.
    L'ensemble des éléments inversibles est noté $A^{-1}$.
% : c'est le \emph{groupe linéaire} de $A$.


  \item Lorsque la multiplication dans $A$ est commutative,
    c'est-à-dire que
    \begin{equation*}\op\op[1]=\op[1]\op\end{equation*} pour tous $\op,\op[1]\in A$, on dit
    que $A$ est \emph{commutative}.

  \item Étant données deux $\corps$-algèbres $A$ et $B$, on appelle
    \emph{morphisme d'algèbres} de $A$ dans $B$ une application
    linéaire $\mor\colon A\to B$ telle que $\mor$ soit
    \emph{multiplicative}:
    \begin{equation*}
      \mor(\op\op[1])=\mor(\op)\mor(\op[1])
    \end{equation*} 
    pour tous $\op,\op[1]\in A$. Si $A$ et $B$ sont unifères et $\mor$
    transforme l'unité de $A$ en l'unité de $B$, on dit que $\mor$
    est un \emph{morphisme d'algèbres unifères}. 

  \item Un sous-espace vectoriel $B$ de l'algèbre $A$ est une
    \emph{sous-algèbre} si $\op\op[1]\in B$ pour tous $\op,\op[1]\in B$. 

  \item Un sous-espace vectoriel $B$ de l'algèbre $A$ est un
    \emph{idéal} si $\op\op[1],\op[1]\op\in B$ pour tout $\op\in A$ et tout $\op[1]\in B$.
  \end{enumerate}
\end{dfn}

\begin{rem}
  $A$ est une algèbre unif\`ere si et seulement si $A$ est un anneau et
  \begin{equation}
    \label{mor-ann}
    \mor\colon
    \begin{aligned}[t]
      \corps&\to A\\
      \lambda&\mapsto\lambda\un
    \end{aligned}
  \end{equation}
  est un morphisme d'anneaux, o\`u $\un$ est l'unit\'e de l'anneau $A$.
\end{rem}

\begin{exalg}
  Le corps commutatif $\corps$ muni de la multiplication donnée par la
  structure de corps est une algèbre commutative sur $\corps$ dont l'unité est $1$.
\end{exalg}

Les corps que nous allons effectivement considérer dans ce cours sont le corps
$\R$ des nombres réels et sa clôture algébrique, le corps $\CC$
des nombres complexes. Mais nous essaierons de ne pas exclure d'autres
corps, comme le corps fini $\Z/p\Z$ avec $p$ un nombre premier, si ce
n'est pas nécessaire.

\begin{rem}
  Si $A$ admet une \emph{unité à gauche} $\un_1$:
  \begin{equation*}
    \un_1\op=\op\text{ pour tout $\op\in A$}
  \end{equation*}
  et une \emph{unité à droite} $\un_2$:  
  \begin{equation*}
    \op\un_2=\op\text{ pour tout $\op\in A$,}
  \end{equation*}
  alors $\un_1=\un_2$. 
\end{rem}

\begin{rem}
  Si $\op$ admet un \emph{inverse à gauche} $\op[1]_1$, c'est-\`a-dire que
  \begin{math}
    \op[1]_1\op=\un,
  \end{math}
  et un \emph{inverse à droite} $\op[1]_2$, c'est-\`a-dire que
  \begin{math}
    \op\op[1]_2=\un,
  \end{math}
  alors $\op[1]_1=\op[1]_2$. 
\end{rem}

\begin{rem}
  Le noyau d'un morphisme d'algèbres est un idéal; son image est une algèbre. 
\end{rem}

\begin{exalg}
  [la multiplication triviale] Soit $A$ un $\corps$-espace vectoriel
  quelconque. Alors la multiplication définie par $\op\op[1]=0$ quels que
  soient $\op,\op[1]\in A$ munit $A$ d'une structure d'algèbre commutative.
  Si $A\ne\{0\}$, $A$ n'est pas unifère.
\end{exalg}

\begin{prp}
  \label{inv-mor}
  Si $\mor\colon A\to B$ est un morphisme d'algèbres unifères et
  $\op\in A$ est inversible, alors $\mor(\op)$ est inversible et
  $\mor(\op)^{-1}=\mor(\op^{-1})$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\op$ est inversible, alors
  \begin{equation*}
    \mor(\op^{-1})\mor(\op)=\mor(\op^{-1}\op)=\mor(u_A)=u_B
  \end{equation*} et
  aussi $\mor(\op)\mor(\op^{-1})=u_B$.\end{proof}

\section{Définition d'une algèbre involutive}

\begin{dfn}
  Soit $\corps$ un corps commutatif muni d'une morphisme de corps involutif $\la\mapsto\bar\la$, qu'on appellera \emph{conjugaison}:
  \begin{equation*}
    \overline{\la+\mu}=\bar\la+\bar\mu,\ \overline{\la\mu}=\bar\la\bar\mu,\ \overline{\bar\la}=\la.
  \end{equation*}
  \begin{enumerate}
  \item Soit $A$ une $\corps$-algèbre. Une \emph{involution} de $A$
    est une application semilinéaire, antimultiplicative et involutive
    $\op\mapsto \op^*$ de $A$ dans $A$:
    \begin{equation*}
      (\op+\op[1])^*=\op^*+\op[1]^*,\ 
      (\lambda \op^*)=\bar\lambda \op^*,\ 
      (\op\op[1])^*=\op[1]^*\op^*,\ 
      {(\op^*)}^*=\op.
    \end{equation*}
    L'élément $\op^*$ est \emph{l'adjoint} de $\op$. Une algèbre
    \emph{involutive} est une algèbre munie d'une involution.
  \item Une partie $B$ de $A$ est \emph{autoadjointe} si $\op^*\in B$
    pour tout $\op\in B$; si $B$ est une sous-algèbre, on dit aussi
    que $B$ est une \emph{sous-algèbre involutive}.
  \item Si $\op^*=\op$, $\op$
    est \emph{hermitien}.
  \item S'il existe $\op[1]_1,\dots,\op[1]_k\in A$ tels que
    $\op=\op[1]^*_1\op[1]_1+\dots+\op[1]^*_k\op[1]_k$,  $\op$ est
    \emph{positif}. 
  \item Si $\op\op^*=\op^*\op$, $\op$ est \emph{normal}.
  \item Si $A$
    admet une unité $u$ et $\op^*\op=\op\op^*=u$, $\op$ est \emph{unitaire}.
  \item Si
    $B$ est une deuxième algèbre involutive et $\mor\colon A\to
    B$ est un morphisme d'algèbres tel que
    $\mor(\op^*)=\mor(\op)^*$ pour tout $\op\in A$, on dit que
    $\mor$ est un \emph{morphisme d'algèbres involutives}.
  \end{enumerate}
  \end{dfn}

\begin{exalg}
  Si $\corps$ est muni d'un morphisme de corps involutif, alors la
  $\corps$-algèbre $\corps$ peut être munie de l'involution
  définie par $\op^*=\bar \op$. 
\end{exalg}

\begin{rem}
  On peut munir tout corps $\corps$ de l'automorphisme involutif
  identité, défini par $\bar\la=\la$. Dans ce cas, toute
  $\corps$-algèbre commutative peut être munie de l'involution
  identité, définie par $\op^*=\op$, mais nous essaierons de ne pas
  exclure d'autres corps, comme les extensions de corps de degr\'e
  $2$, si ce n'est pas n\'ecessaire.
\end{rem}


Si $\corps=\R$, l'unique morphisme de corps involutif est
l'identité. Le corps $\CC$ admet exactement deux morphismes de corps
involutifs, l'identité et la conjugaison. Nous n'allons considérer
que $\R$ muni de l'identité et $\CC$ muni de la conjugaison dans ce
cours. 

\begin{itemize}
\item Dans le cas de l'algèbre $\R$, tout élément est hermitien,
  un élément positif est un nombre positif et les seuls
  éléments unitaires sont $1$ et $-1$.
\item Dans le cas de l'algèbre
  $\CC$, un élément hermitien est un nombre réel, un élément
  positif est un nombre réel positif et un élément unitaire est
  un nombre complexe de module $1$.
\end{itemize}

\begin{rem}
  Si $A$ est une algèbre commutative involutive, tout élément de $A$ est normal.
\end{rem}

\begin{rem}
  Le noyau d'un morphisme d'algèbres involutives est un idéal
  autoadjoint; son image est une algèbre involutive. L'image d'un
  élément hermitien, positif, normal est respectivement un élément hermitien,
  positif, normal.
\end{rem}

\begin{prp}
  Soit $A$ une algèbre involutive munie d'une unité $u$. Alors
  $u^*=u$. Si $\op\in A$, alors $\op$ est inversible si et seulement
  si $\op^*$ est inversible et alors ${(\op^*)}^{-1}={(\op^{-1})}^*$.
\end{prp}


\chapter{Algèbres linéaires}

\section{Algèbres  de matrices}

\subsection{\texorpdfstring{Algèbre  des matrices $n\times n$}{Algèbre  des matrices n\texttimes n}}

\begin{exalg}
  L'algèbre ${\mat}_n$ des matrices $n\times n$ à coefficients dans
  $\corps$. La multiplication est définie par
  \begin{equation}
    \label{mult-Mn}
    (\op\op[1])_{ij}=\sum_{k=1}^n\op_{ik}\op[1]_{kj}\quad\text{pour tout
      $(i,j)\in{\Entiers1n}^2$.}
  \end{equation}
  Si $n\ge2$, cette algèbre n'est pas commutative. L'unité de
  ${\mat}_n$ est la matrice identité, notée $\id$. Si $\corps$ est muni d'une morphisme de corps involutif, l'application définie par
  \begin{equation*}
    {(\op^*)}_{ij}=\overline{\op_{ji}}\quad\text{pour tout
      $(i,j)\in{\Entiers1n}^2$}
  \end{equation*}
  est une involution de ${\mat}_n$.  Si $\corps=\R$, cette involution
  est la transposition; alors les éléments hermitiens, positifs et
  unitaires de $\mat_n$ sont respectivement les matrices symétriques,
  positives et orthogonales. Si $\corps=\CC$, cette involution est
  l'adjonction; alors les éléments hermitiens, positifs et unitaires
  de $\mat_n$ sont respectivement les matrices hermitiennes, positives
  et unitaires. La formule de la comatrice montre qu'une matrice est
  inversible si et seulement si son d\'eterminant est non nul. 
\end{exalg}

\subsection{\texorpdfstring{Algèbre des matrices $n\times n$ à coefficients dans une
  algèbre}{Algèbre des matrices n\texttimes n à coefficients dans une
  algèbre}}

\begin{exalg}
  Soit $A$ une algèbre. L'algèbre ${\mat}_n(A)$ des matrices $n\times
  n$ à coefficients dans $A$ est munie de la multiplication définie par
  \eqref{mult-Mn}. Elle est unifère si et seulement
  si $A$ est unifère et alors son unité est la matrice diagonale dont
  chaque coefficient diagonal est l'unité de $A$.  Si $A$ est une
  algèbre involutive, l'application définie par
  \begin{equation*}
    {(\op^*)}_{ij}=\op_{ji}^*\quad\text{pour tout
      $(i,j)\in{\Entiers1n}^2$}
  \end{equation*}
  est une involution de ${\mat}_n(A)$. Si $A$ est l'algèbre $\mat_m$,
  alors l'application qui à $\op\in\mat_n(\mat_m)$ associe la matrice
  par blocs $\op[1]\in\mat_{nm}$ définie par
  \begin{equation*}
    \op[1]_{(i-1)m+k,(j-1)m+l}={(\op_{ij})}_{kl}\quad\text{pour tout
      $\bigl((i,j),(k,l)\bigr)\in{\Entiers1n}^2\times{\Entiers1m}^2$}
  \end{equation*}
  est un isomorphisme d'algèbres unifères involutives.
\end{exalg}

\subsection{\texorpdfstring{Limite inductive des $\mat_n(A)$}{Limite inductive des matrices finies}}

\begin{exalg}
  Soit $A$ une algèbre. Si $n\le m$, alors ${\mat}_n(A)$ est isomorphe
  à la sous-algèbre de ${\mat}_m(A)$ formée des matrices à
  coefficients nuls hors du coin $n\times n$ en haut à gauche. En
  identifiant ${\mat}_n(A)$ à cette sous-algèbre, on peut former la
  somme et le produit d'une matrice de taille $n$ avec une matrice de
  taille $m$ dans $\mat_m(A)$. Ces opérations munissent
  $\displaystyle\mat_\infty(A)=\bigcup_{n=1}^\infty\mat_n(A)$ d'une
  structure d'algèbre. $\mat_\infty(A)$ est la \emph{limite inductive
    des $\mat_n(A)$ pour $n\to\infty$}. Si $A\ne\{0\}$, elle n'est pas
  unifère. Si $A$ est involutive, $\mat_\infty(A)$ l'est aussi.
\end{exalg}


\section{Algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel}

\subsection{Morphisme et quotient d'espaces vectoriels}

Soient $\ev$ et $\ev[1]$ deux ${\corps}$-espaces vectoriels. Une
application $\corps$-linéaire $\op$ de $\ev$ dans $\ev[1]$ est un
\emph{morphisme d'espaces vectoriels}. On dit aussi que $\op$ est un 
\emph{opérateur}. On note $\ker \op=\{\el\in \ev:\op(\el)=0\}$ le
\emph{noyau} de $\op$ et $\im \op=\op(\ev)=\{{\el[1]}\in
\ev[1]:\exists\,\el\in \ev\ \op(\el)={\el[1]}\}$ l'\emph{image} de
$\op$. Si $\op$ est une bijection, alors l'application r\'eciproque
$y\colon\ev[1]\to\ev$ est $\corps$-lin\'eaire: c'est l'op\'erateur
inverse de $x$ et on note $y=x^{-1}$.

Si $S$ est un sous-espace vectoriel de $\ev$, le \emph{quotient} $\ev/S$
est l'espace vectoriel des classes d'équivalence modulo $S$. Si $\ev/S$
est de dimension finie, alors sa dimension est la \emph{codimension}
de $S$ dans $\ev$.  Notons $\el+S$ la classe de $\el$ modulo $S$ et soit
\begin{equation*}
  \pi\colon
  \begin{aligned}[t]
    \ev&\to \ev/S\\
    \el&\mapsto \el+S
  \end{aligned}
\end{equation*}
l'application quotient canonique. Pour tout opérateur
$\op\colon \ev\to \ev[1]$ de noyau
$S$, il existe une \emph{factorisation canonique} unique
\begin{equation*}
  \begin{CD}
  \ev/S @>{\tilde \op}>> \im \op\\
  @A{\pi}AA @VV{\iota}V\\
  \ev@>{\op}>>\ev[1]
\end{CD}
\end{equation*}
o\`u $\iota$ est l'inclusion.  En effet, si $\el-\el_1\in S$, alors
$\op(\el)=\op(\el_1)$: on peut donc définir $\tilde \op$ de sorte que
le diagramme commute. Si $\op=\iota\circ\op[1]\circ\pi$, alors $\op[1](\el+S)=\tilde \op(\el+S)$
pour tout $\el\in\ev$: donc $y=\tilde\op$.  De plus, $\tilde
\op$ est un isomorphisme: $\tilde \op$ est injectif puisque si $\tilde
\op(\el+S)=0$, alors $\op(\el)=0$ et $\el\in S$.  En particulier,
$\dim\im \op=\dim E/S$ si ces espaces sont de dimension finie.

Le \emph{conoyau} de $\op$ est $\coker \op=\ev[1]/\im \op$. Donc, si $E$ et $\ev[1]$
sont de dimension finie égale, on a le \emph{théorème du rang}:
\begin{equation*}
  \dim\coker \op=\dim \ev[1]-\dim\im \op=\dim\ker \op.
\end{equation*}



\subsection{Algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel}

\begin{exalg}
  Soit $\ev$ un ${\corps}$-espace vectoriel. Alors  ${\lin}(\ev)$ est une algèbre muni de
  la multiplication définie par
  \begin{equation}\label{mult}
    (\op\circ \op[1])(\el)=\op(\op[1](\el))\quad\text{pour tout $\el\in \ev$:}
  \end{equation}
  c'est la composition des applications. Cette algèbre n'est pas
  commutative, sauf si la dimension de $\ev$ est $0$ ou $1$.  L'unité
  de ${\lin}(\ev)$ est l'endomorphisme identité, noté
  $\id\colon\el\mapsto \el$. Un op\'erateur $\op$ est un \'el\'ement
  inversible si et seulement si $\op$ est une bijection. Si $\ev$ est
  de dimension finie, alors $\op$ est une bijection d\`es que $\op$
  est injectif. Si $E$ n'est pas de dimension finie, c'est faux: soit
  $(\el_j)_{j\in I}$ une base de $\ev$, soit $i\in I$ et $\sigma\colon I\to
  I\setminus\{i\}$ une bijection. Alors l'op\'erateur d\'efini par
  $\op(\el_j)=\el_{\sigma(j)}$ est injectif sans \^etre surjectif.
\end{exalg}


Soit $\op\in\lin(\ev)$ et soit $\ev[1]$ un sous-espace vectoriel de
$\ev$ \emph{stable} par $\op$: $\op(\ev[1])\subset\ev[1]$. Alors la
\emph{restriction de $\op$ à $\ev[1]$} est l'endomorphisme
$\rest{\op}{\ev[1]}\in\lin(\ev[1])$ défini par $\rest{\op}{\ev[1]}(\el)=\op(\el)$ pour tout
$\el\in\ev[1]$.

Si $A$ est une algèbre, l'application $L\colon A\mapsto\lin(A)$
définie par $L_{\op}(\op[1])=\op\op[1]$ est un morphisme d'algèbres.
Si $A$ admet une unité $\un$, ce morphisme est injectif: en effet, si
$L_{\op}=0$, alors $L_{\op}(\un)=\op=0$.

\section{\texorpdfstring{Algèbre des opérateurs adjoignables sur un espace $A$-her\-mi\-tien}{Algèbre des opérateurs adjoignables sur un espace A-hermitien}}

\subsection{\texorpdfstring{Espace $A$-hermitien}{Espace A-hermitien}}


Soit $\corps$ un corps commutatif muni d'un morphisme de corps
involutif $\la\mapsto\bar\la$ et soit $A$ une $\corps$-algèbre
involutive. $\ev$ est un \emph{espace $A$-hermitien} si $\ev$ est un
$\corps$-espace vectoriel muni d'une application
$\scal\cdot\cdot\colon \ev\times \ev\to A$ appelée \emph{produit
intérieur }qui est linéaire à gauche et \emph{$A$-hermitienne}:
\begin{gather*}
  \scal{\la \el}{\el[1]}=\la\scal \el{\el[1]},\\
  \scal{\el_1+\el_2}{\el[1]}=\scal{\el_1}{\el[1]}+\scal {\el_2}{\el[1]},\\
  \scal {\el[1]}\el={\scal \el{\el[1]}}^*.
\end{gather*}
Le produit intérieur est donc semi-linéaire à droite:
\begin{gather*}
  \scal{\el}{\la {\el[1]}}
  ={\scal{\la\el[1]}{\el}}^*
  =({\la\scal {\el[1]}\el})^*
  =\bar\la\scal \el{\el[1]},\\
  \scal{\el}{{\el[1]_1}+{\el[1]}_2}
  ={\scal{ {\el[1]_1}+{\el[1]}_2}\el}^*
  ={(\scal {\el[1]_1}\el+\scal{{\el[1]}_2}\el)}^*
  =\scal \el{\el[1]_1}+\scal{\el}{{\el[1]}_2}.
\end{gather*}

Si $A=\corps=\R$ ou $A=\corps=\CC$ et si le produit intérieur est de
plus \emph{d\'efini positif}:
\begin{equation*}
  \forall\,\el\in\ev\setminus\{0\}\quad \scal \el\el>0,
\end{equation*}
alors $\scal\cdot\cdot$ est un produit \emph{scalaire}
et $\ev$ est un espace \emph{préhilbertien}; on a en particulier
l'\emph{in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz}:
\begin{equation*}
  \forall\,\el,\el[1]\in\ev\quad
  \abs{\scal{\el}{\el[1]}}\le
  {\scal{\el}{\el}}^{1/2}{\scal{\el[1]}{\el[1]}}^{1/2}.
\end{equation*}
Si $\ev$ est un espace préhilbertien de dimension finie, alors $A$
est un espace \emph{euclidien} si $\corps=\R$ et un espace \emph{hermitien} si
$\corps=\CC$.

Si $\ev$ est $A$-hermitien, alors $\ev^n$ peut être
muni du produit intérieur défini par
\begin{equation*}
  \scal{(\el_1,\dots \el_n)}{({\el[1]}_1,\dots {\el[1]}_n)}=\sum_{k=1}^n\scal{\el_k}{{\el[1]}_k}.
\end{equation*}

\subsection{Orthogonalité int\'erieure}
\label{orth-eh}

Si $\scal \el{\el[1]}=0$, on dit que $\el$ et ${\el[1]}$ sont
\emph{orthogonaux}; on a alors le \emph{th\'eor\`eme de Pythagore}:
\begin{equation*}
  \scal{\el+\el[1]}{\el+\el[1]}=\scal \el\el+\scal{\el[1]}{\el[1]}.
\end{equation*}
Plus généralement, soit $S$ une partie de $\ev$. Alors
\begin{equation*}
  S^\perp=\{{\el[1]}\in \ev:\forall\,\el\in S\ \scal \el{\el[1]}=0\}
\end{equation*}
est \emph{l'orthogonal de $S$ dans $\ev$}. $S^\perp$ est un
espace vectoriel et $\vect S\subset{(S^\perp)}^\perp$. On a
$\{0\}^\perp=E$. 

Si $E^\perp=\{0\}$, on dit que le produit int\'erieur est \emph{non
  d\'eg\'en\'er\'e}.  Un vecteur $\el$ est \emph{isotrope} si
$\scal\el\el=0$. Si seul le vecteur nul est isotrope, on dit que le
produit int\'erieur est \emph{anisotrope}: on a alors $S\cap S^\perp=\{0\}$. En particulier, tout produit scalaire est anisotrope.

\subsection{\texorpdfstring{Opérateur adjoignable entre espaces $A$-hermi\-tiens}{Opérateur adjoignable entre espaces A-hermitiens}}


Supposons que tous les
produits int\'erieurs consid\'er\'es sont non d\'eg\'en\'er\'es.

Soient $\ev$ et $\ev[1]$ deux espaces $A$-hermitiens et $\op\colon
\ev\to \ev[1]$. Supposons qu'il existe $\op^*\colon \ev[1]\to \ev$ tel
que
\begin{equation*}
  \scal {\op(\el)}{\el[1]}=
  \scal \el{\op^*({\el[1]})}
  \text{ pour tout $\el\in\ev$ et ${\el[1]}\in \ev[1]$}.
\end{equation*}
On dit que $\op$ est \emph{adjoignable}. Alors $\op^*$ est unique:
c'est l'\emph{adjoint} de $\op$. De plus, $\op$ et $\op^*$ sont
nécessairement $\corps$-linéaires et ${(x^*)}^*=x$.  Soit $\ev[2]$ un
troisième espace $A$-hermitien. Si $\op[1]\colon \ev[1]\to \ev[2]$ est
aussi adjoignable, alors $\op[1]\circ\op$ l'est et
${(\op[1]\circ\op)}^*=\op^*\circ{\op[1]}^*$. Si $\op$ est inversible,
alors $\op^*$ est inversible et ${(\op^*)}^{-1}={(\op^{-1})}^*$. On a
$(\im \op)^\perp=\ker \op^*$. En effet,
\begin{align*}
  \op^*({\el[1]})=0\quad  
  \Leftrightarrow\quad\forall\,\el\in \ev\ \scal{\op^*({\el[1]})}\el=0
  \quad \Leftrightarrow\quad  
  \forall\,\el\in \ev\ \scal {\el[1]}{\op(\el)}=0.
\end{align*}
On en déduit $\im \op^*\subset(\ker \op)^\perp$.  Si $\op^*=\op^{-1}$,
on dit que $\op$ est \emph{unitaire}, c'est-\`a-dire que $\op$ est un
isomorphisme d'espaces $A$-hermitiens: $\op$ est inversible et
\begin{equation}\label{isom}
  \scal{\op(\el)}{\op(\el[1])}=\scal{\el}{\el[1]}\quad\text{ pour tous }\el,{\el[1]}\in \ev.
\end{equation}
\begin{itemize}
\item Si $A=\corps=\R$, $\op^*$ est l'opérateur transposé de $\op$ et on a 
  \begin{equation}\label{polr}
    \scal{\el}{\el[1]}=\frac14\left({\norm{\el+\el[1]}}^2-{\norm{\el-\el[1]}}^2\right).
  \end{equation}
\item Si $A=\corps=\CC$, $\op^*$ est l'opérateur adjoint de $\op$ et on a 
  \begin{equation}\label{polc}
    \scal{\el}{\el[1]}
    =\frac14\sum_{k=0}^3\iu^k{\norm{\el+\iu^k\el[1]}}^2.
  \end{equation}
\end{itemize}
Les formules \eqref{polr} et \eqref{polc} sont les \emph{formules de polarisation}: elles
montrent que si $\ev$ est un espace pr\'ehilbertien, un op\'erateur
$\op$ satisfait \eqref{isom} si et seulement si
$\scal{\op(\el)}{\op(\el)}=\scal \el\el$ pour tout $\el\in \ev$: on
dit que $\op$ est une \emph{isométrie}.

On note $\lin_A(\ev,\ev[1])$ l'ensemble
des applications adjoignables.

\subsection{Algèbre des opérateurs adjoignables}

\begin{exalg}
  Soit $\ev$ un espace muni d'un produit int\'erieur non
  d\'eg\'en\'er\'e. Alors $\lin_A(\ev)$ est une $\corps$-algèbre
  involutive dont l'unité est $\id$. Si $A=\corps$ et $\ev$ est de
  dimension finie, alors $\lin_A(\ev)=\lin(\ev)$ et l'isomorphisme
  \eqref{iso-lin} est involutif. Plus généralement, notons
  \begin{align*}
    p_k&\colon
    \begin{aligned}[t]
      \ev^n&\to\ev\\
      (\el_1,\dots,\el_n)&\mapsto \el_k.
    \end{aligned}
    \intertext{Alors}
    p_k^*&\colon
    \begin{aligned}[t]
      \ev&\to\ev^n\\
      \el_k&\mapsto (0,\dots,0,\el_k,0,\dots,0)
    \end{aligned}
  \end{align*}
  et
  \begin{equation*}
    \begin{aligned}[t]
      \lin_A(E^n)&\to\mat_n(\lin_A(E))\\
      \op&\mapsto(p_i\circ \op\circ p_j^*)_{1\le i,j\le n}
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est un isomorphisme d'algèbres unifères involutives puisque c'est une bijection et
  \begin{gather*}
    \begin{split}
      p_i\circ \op\circ \op[1]\circ p_j^*
      = p_i\circ\op\circ\left(\sum_{k=1}^np_k^*\circ p_k\right)\circ \op[1]\circ p_j^* 
      =\sum_{k=1}^n (p_i\circ \op\circ p_k^*)\circ (p_k\circ \op[1]\circ p_j^*)\text,
    \end{split}
    \\
    {(p_j\circ \op\circ p_i^*)}^* = p_i\circ \op^*\circ p_j^*\text.
  \end{gather*}
  $\op$ est un élément hermitien de $\lin_A(\ev)$ si et seulement si
  \begin{equation*}
    \scal{\op(\el)}{\el[1]}=\scal \el{\op({\el[1]})}\text{ pour tous }\el,{\el[1]}\in \ev
  \end{equation*}
  et un élément normal si et seulement si
  \begin{equation*}
    \scal{\op(\el)}{\op({\el[1]})}=\scal{\op^*(\el)}{\op^*({\el[1]})}\text{ pour tous }\el,{\el[1]}\in \ev.
  \end{equation*}
\end{exalg}

\begin{prp}
  \label{ker-normal}
  Soit $\ev$ un espace muni d'un produit int\'erieur anisotrope et
  $\op\in\lin_A(\ev)$ normal.  Alors
  $\ker\op=\ker\op^*=\ker\op^*\circ\op=\ker\op^2$. Donc
  $\ker\op^k\circ{\op^*}^l=\ker \op$ pour tout couple $(k,l)\ne(0,0)$.
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. Prouvons que  
  \begin{math}
    \ker\op^2\subset\ker\op^*\circ\op\subset\ker\op.
  \end{math}
  Si
  $\op^2(\el)=0$, alors
  \begin{math}
    {\op^*}^2\circ\op^2(\el)=0
  \end{math}
  et donc
  \begin{equation*}
    \scal{(\op^*\circ\op)^2(\el)}{\el}=\scal{\op^*\circ\op(\el)}{\op^*\circ\op(\el)}=0
  \end{equation*}
  et $\op^*\circ\op(\el)=0$. Si $\op^*\circ\op(\el)=0$, alors
  \begin{math}
     \scal{\op^*\circ\op(\el)}{\el}=\scal{\op(\el)}{\op(\el)}=0   
  \end{math}
  et $\op(\el)=0$. Le cas g\'en\'eral r\'esulte de ce que $\ker\op^{2^{k+1}}\subset\ker{\op^*}^{2^k}\circ\op^{2^k}\subset\ker\op^{2^k}$.
\end{proof}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 


\section{Algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel normé}

Soit $\corps$ le corps des réels ou des complexes et soit $\ev$ un
${\corps}$-espace vectoriel normé.  Notons $\ball_{\ev}=\{\el\in \ev:\norm
\el\le1\}$ et $\sphere_{\ev}=\{\el\in \ev:\norm \el=1\}$ la \emph{boule unité} et
la \emph{sphère unité} de $\ev$. 

\subsection{Opérateur borné et norme d'opérateur}


Soit $\ev[1]$ un deuxième espace vectoriel normé.  Une application
$\corps$-linéaire continue $\op\colon \ev\to \ev[1]$ est un
\emph{morphisme d'espaces vectoriels normés} ou encore un
\emph{opérateur borné}. Alors $\ker\op$ est un sous-espace vectoriel
fermé de $E$; $\im\op$ n'est pas fermé en général!

L'espace vectoriel $\borne(\ev,\ev[1])$ des opérateurs bornés est
normé par la \emph{norme d'opérateur} définie par
\begin{equation*}
  \norm \op=
  \sup_{\el\ne0}\frac{\norm{\op(\el)}}{\norm \el}=
  \sup_{\el\in\sphere_{\ev}}\norm{\op(\el)}=
  \sup_{\el\in\ball_{\ev}}\norm{\op(\el)}.
\end{equation*}
$\norm{\op}$ est la plus petite constante $C$ telle que $\norm{\op(\el)}\le
C\norm \el$ pour tout $\el\in \ev$. C'est aussi la constante de Lipschitz de $x$. 

Soit $\ev[2]$ est un troisième espace vectoriel normé. Si
$\op\in\borne(\ev,\ev[1])$ et $\op[1]\in\borne(\ev[1],\ev[2])$, alors
$\op[1]\circ \op\in\borne(\ev,\ev[2])$ et $\norm{\op[1]\circ
  \op}\le\norm {\op[1]}\,\norm \op$: en effet, si $\el\in\ball_{\ev}$,
alors
\begin{equation*}
  \norm{(\op[1]\circ \op)(\el)}=
  \norm{\op[1](\op(\el))}\le\norm {\op[1]}\,\norm{\op(\el)}\le
  \norm {\op[1]}\,\norm \op.
\end{equation*}

Supposons que $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$ est une bijection et soit
$\op[1]\colon\ev[1]\to\ev$ l'application r\'eciproque. Alors $\op[1]$
est un op\'erateur qui n'est pas n\'ecessairement born\'e. En fait,
$\op[1]$ est born\'e si et seulement s'il existe $c$ tel que
$\norm{\op(\el)}\ge c\norm\el$ pour tout $\el\in\ev$; le plus grand $c$
est alors ${\norm{\op[1]}}^{-1}$. On dit alors que $\op$ est un
\emph{op\'erateur born\'e inversible}. 
On note encore $\op[1]=\op^{-1}$ et on
dit que $\op$ est un \emph{isomorphisme d'espaces vectoriels normés}. On a n\'eanmoins

\begin{prp}
  \label{op-inv}
  Soient $\ev$ et $\ev[1]$ deux espaces de Banach et $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$. Alors
  $\op$ est inversible si et seulement si $\op$ est une bijection.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\op$ est inversible, $\op$ est une bijection. Réciproquement, si $\op$
  est une bijection, soit $\op[1]\colon \ev[1]\to \ev$ l'application linéaire
  inverse de $\op$ et montrons que $\op[1]$ est continue. Or le graphe de $\op[1]$
  est
  \begin{equation*}
    \{(\el[1],\op[1](\el[1])):\el[1]\in \ev[1]\}=\{(\op(\el),\el):\el\in \ev\}.
  \end{equation*}
  Par le théorème du graphe fermé, $\op[1]$ est continue. 
\end{proof}

Le dual $\borne(\ev,\corps)$ de $\ev$ est noté $\ev'$. C'est un espace de Banach. 
Par le théorème de Hahn-Banach, on a
pour tout $\el\in \ev$
\begin{equation*}
  \norm{\el}=\sup_{l\in\ball_{\ev'}}
  \abs{\pair l\el}=
  \sup_{l\in\sphere_{\ev'}}
  \abs{\pair l\el}.
\end{equation*}
  
L'\emph{injection canonique de $\ev$ dans son bidual} est
l'application $\iota_{\ev}\colon \ev\to \ev''$ d\'efinie par
$(\iota_{\ev}(v))(l)=l(v)$ pour tout $v\in\ev$ et tout
$l\in\ev'$. Une forme lin\'eaire sur $E'$ est pr\'efaiblement continue si et seulement si elle est de la forme $\iota_{\ev}(v)$ pour un $v\in\ev$.

\subsection{Orthogonalit\'e duale}
\label{orth-ev}

Soit $\ev$ un espace vectoriel normé et $S$ une partie de $\ev$. Alors
\begin{equation*}
  S^\perp=\{l\in \ev':\forall \el\in S\quad\pair l\el=0\}
\end{equation*}
est \emph{l'orthogonal de $S$ dans $\ev'$}. On a
$S^\perp={(\overline{\vect S})}^\perp$ et $S^\perp$ est un espace
vectoriel préfaiblement fermé: en effet, $S^\perp$ est l'intersection
des espaces vectoriels préfaiblement fermés $\ker\iota_E(v)=\{l\in
\ev':\pair l\el=0\}$ lorsque $\el$ parcourt $S$.

Soit $S$ une partie de $\ev'$. Alors
\begin{equation*}
  S_\perp=\{\el\in \ev:\forall\,l\in S\quad\pair l\el=0\}
\end{equation*}
est \emph{l'orthogonal de $S$ dans $\ev$}.  On a
$S_\perp={(\overline{\vect S}^{\,w^*})}_\perp$ et $S_\perp$ est un espace
vectoriel fermé: en effet, $S_\perp$ est l'intersection des espaces
vectoriels fermés $\ker l=\{\el\in \ev:\pair l\el=0\}$ lorsque $l$ parcourt $S$.

\begin{prp}\label{biorth-ev}
  Soit $\ev$ un espace vectoriel normé et $S$ une partie de $\ev$. Alors
  ${(S^\perp)}_\perp=\overline{\vect S}$
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\el\in S$ et $l\in S^\perp$, alors $\pair l\el=0$:
  $S\subset{(S^\perp)}_\perp$ et donc $\overline{\vect
    S}\subset{(S^\perp)}_\perp$. Si $\el\notin\overline{\vect S}$, il
  existe $l\in \ev'$ tel que $\pair l\el\ne0$ et $\rest
  l{\overline{\vect S}}=0$ par le théorème de Hahn-Banach.  Donc
  $l\in S^\perp$ et $\el\notin{(S^\perp)}_\perp$.
\end{proof}

De m\^eme ${(S_\perp)}^\perp\subset\overline{\vect S}^{\,w^*}$ et on
peut aussi montrer qu'il y a \'egalit\'e.


\subsection{Quotient d'espaces vectoriels normés}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace vectoriel normé et $S$ un sous-espace vectoriel
  de $E$. Notons
  \begin{equation*}
    d(\el,S)=\inf_{s\in S}\norm{\el-s}
  \end{equation*}
  la \emph{distance de $\el\in\ev$ \`a $S$}.
  \begin{enumerate}
  \item $\norm{\el+S}=d(\el,S)$ est une semi-norme sur $E/S$.
  \item Si $S$ est ferm\'e, alors c'est une norme. En particulier,
    l'image par l'application quotient canonique $\pi$ de la boule
    unité ouverte de $\ev$ est la boule unité ouverte de $\ev/S$: on
    dit que $\pi$ est une \emph{surjection métrique}.
  \item Si $\ev$ est un espace de Banach et $S$ est ferm\'e, alors $E/S$ est un espace de Banach.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. Si $\el-\el_1\in S$, alors $d(\el,S)=d(\el_1,S)$: donc
  $\norm{\el+S}$ est bien d\'efini. Si $\lambda\ne0$,
  $\norm{\lambda\el-s}=|\lambda|\,\norm{\el-\lambda^{-1}s}$ et donc 
  $\|\lambda\el+S\|=|\lambda|\,\norm{\el+S}$. De plus,
  \begin{equation*}
    \norm{\el_1+s_1}+\norm{\el_2+s_2}\ge\norm{(\el_1+\el_2)+(s_1+s_2)}
  \end{equation*}
  et donc $\norm{\el_1+S}+\norm{\el_2+S}\ge\norm{\el_1+\el_2+S}$.

  $(ii)$. $\norm{\el+S}=0\ \Leftrightarrow\ d(\el,S)=0\
  \Leftrightarrow\ \el\in\overline{S}\ \Leftrightarrow\ \el\in S$. Si
  $\norm{\el+S}<1$, il existe $s\in S$ tel que $\norm{\el+s}<1$. 

  $(iii)$. Montrons que toute s\'erie normalement convergente dans
  $E/S$ con\-verge: soient $\el_n\in\ev$ tels que $\sum\norm{\el_n+S}$
  converge. Quitte \`a ajouter \`a $\el_n$ un \'el\'ement de $S$, on
  peut supposer que $\norm{\el_n}\le\norm{\el_n+S}+2^{-n}$. Alors
  $\sum\norm{\el_n}$ converge et comme $\ev$ est complet, $\sum\el_n$
  converge vers un \'element $\el\in\ev$. Donc
  $\sum(\el_n+S)=\sum\pi(\el_n)$ converge vers $\pi(\el)$.
\end{proof}
Si $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$ consid\'erons la factorisation
canonique (attention! $\im \op$ n'est pas fermé dans $\ev[1]$ en
général)
\begin{equation*}
  \begin{CD}
  \ev/\ker\op @>{\tilde \op}>> \im \op\\
  @A{\pi}AA @VV{\iota}V\\
  \ev@>{\op}>>\ev[1].
\end{CD}
\end{equation*}
Alors
$\norm{\tilde \op}=\norm \op$: en effet, $\norm{\tilde
  \op(\el+\ker\op)}=\norm{\op(\el)}=\norm{\op(\el+s)}$ pour tout $s\in \ker\op$ et
donc
\begin{equation*}
  \norm{\tilde \op(\el+\ker\op)}=
  \inf_{s\in S}\norm{\op(\el+s)}\le
  \inf_{s\in S}\norm{\op}\,\norm{\el+s}=
  \norm{\op}\,\norm{\el+\ker\op}.
\end{equation*}
Si de plus $\ev$ est un espace de Banach et $\im\op$ est complet,
$\tilde\op$ est une bijection entre espaces de Banach et a donc un
inverse ${\tilde\op}^{-1}$ born\'e. Cela donne la proposition suivante.
\begin{prp}
  Soient $\ev$ et $\ev[1]$ deux espaces de Banach et $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$.
  \begin{enumerate}
  \item L'image de $\op$ est ferm\'ee si et seulement s'il existe une
    constante $c>0$ telle que pour tout $\el[1]\in\im\op$ il existe
    $\el\in\ev$ tel que $\op(\el)=\el[1]$ et $\norm{\el[1]}\ge
    c\norm{\el}$.
  \item $\op$ est injectif et d'image ferm\'ee si et seulement s'il
    existe $c>0$ telle que pour tout $\el\in\ev$ on a
    $\norm{\op(\el)}\ge c\norm{\el}$.
  \item $\op$ est surjectif si et seulement si $\op$ est une
    \emph{application ouverte}: il existe une constante $c$ telle que
    $c\ball_{\ev[1]}\subset\op(\ball_{\ev})$.
\end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. L'image de $\op$ est ferm\'ee si et seulement si
  ${\tilde\op}^{-1}$ est born\'e: il existe une constante $c>0$ telle
  que pour tout $\el[1]\in\im\op$ on a
  $c\norm{{\tilde\op}^{-1}(\el[1])}\le\norm{\el[1]}$. Or
  $\norm{{\tilde\op}^{-1}(\el[1])}$ est l'infimum des $\norm{\el}$
  pour $\el$ image r\'eciproque de $\el[1]$ par $\op$.

  $(ii)$. L'op\'erateur $\op$ est injectif si et seulement si pour tout
  $\el\in\ev$, $\el$ est l'unique image r\'eciproque de $\op(\el)$ par $\op$.

  $(iii)$. Si $\op$ est surjectif, la partie $(i)$ montre qu'il existe
  $c>0$ tel que tout $\el[1]\in{\ev[1]}$ de norme inf\'erieure \`a $c$
  a une image r\'eciproque de norme inf\'erieure \`a $1$.
\end{proof}

\begin{prp} 
  \label{(E/S)'}
  Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e et $S$ un sous-espace vectoriel ferm\'e de $E$.
  \begin{enumerate}
  \item $(E/S)'$ est isométriquement isomorphe à $S^\perp$.
  \item $E'/S^\perp$ est isométriquement isomorphe à $S'$.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$.  On v\'erifie que L'application $l\mapsto l\circ\pi$ est un
  isomorphisme isométrique entre $(\ev/S)'$ et $S^\perp$.

  $(ii)$. L'application de restriction
  \begin{equation*}
    \begin{aligned}
      \ev'&\to S'\\
      l&\mapsto\rest lS
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est une surjection métrique par le théorème de Hahn-Banach. Son
  noyau est $S^\perp$: sa factorisation canonique définit donc un isomorphisme isométrique
  entre $\ev'/S^\perp$ et $S'$.
\end{proof}

\subsection{Opérateur transposé}\label{trans-ev}

\begin{dfn}
  Soient $\ev$ et $\ev[1]$ des espaces vectoriels normés et
  $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$. L'\emph{opérateur transposé} $\op'\colon \ev[1]'\to
  \ev'$ est défini par
  \begin{equation*}
    \pair{(\op'(l))}\el=l\circ\op(\el).
  \end{equation*}
\end{dfn}

On appelle aussi $\op'$ l'op\'erateur adjoint \`a $\op$, qu'il ne faut
pas confondre avec l'op\'erateur adjoint au sens du paragraphe \ref{adj-hilb}.

\begin{prp}
  \label{adj-prp1}
  L'application $\op\mapsto \op'$ est isométrique, linéaire et
  antimultiplicative:
  \begin{equation*}
    \norm{\op'}=\norm \op,\ 
    (\lambda \op)'=\lambda \op',\ 
    (\op+\op[1])'=\op'+\op[1]',\ 
    (\op\circ \op[1])'=\op[1]'\circ \op'.
  \end{equation*}
  Si $\ev[1]=\ev$, $\id_{\ev}'=\id_{\ev'}$. De plus,
  \begin{itemize}
  \item ${(\im\op')}_\perp=\ker\op$.
  \item ${(\im \op)}^\perp=\ker \op'$ et donc $\overline{\im \op}=(\ker
    \op')_\perp$.
  \item Si l'image de $\op$ est fermée, 
alors $(\coker \op)'$ est isométriquement
    isomorphe à $\ker \op'$. En particulier, si $\ker \op'$ est de
    dimension finie, alors $\im \op$ est de codimension finie et
    \begin{equation*}
      \dim\coker \op=\dim\ker \op'.
    \end{equation*}
  \end{itemize}
\end{prp}

\begin{proof}
  $\el\in\ker\op$ $\Leftrightarrow$ $\forall\,l\in \ev'$
  $l\circ\op(\el)=0$ $\Leftrightarrow$ $\forall\,l\in \ev'$
  $\pair{(\op'(l))}\el=0$ $\Leftrightarrow$ $\el\in{(\im\op')}_\perp$
  et $l\in\ker \op'$ $\Leftrightarrow$ $\op'(l)=0$ $\Leftrightarrow$
  $\forall\,\el\in \ev$ $\pair{(\op'(l))}\el=0$ $\Leftrightarrow$
  $\forall\,\el\in \ev$ $l\circ\op(\el)=0$ $\Leftrightarrow$ $l\in(\im
  \op)^\perp.$ Alors $(\ker \op')_\perp=((\im
  \op)^\perp)_\perp=\overline{\im \op}$. Si $\im \op$ est fermé, alors
  $(\coker \op)'$ est isométriquement isomorphe à $(\im
  \op)^\perp=\ker \op'$.
\end{proof}

\begin{prp}\label{obit-ev} 
  Soit $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$. Alors
  $\op''\circ\iota_{\ev}=\iota_{\ev[1]}\circ \op$: on a le
  diagramme commutatif
  \begin{equation*}
    \begin{CD}
      \ev'' @>{\op''}>> \ev[1]''\\
      @A{\iota_{\ev}}AA @A{\iota_{\ev[1]}}AA\\
      \ev@>{\op}>>\ev[1].
    \end{CD}
  \end{equation*}
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\el\in \ev$ et $l\in{\ev[1]}'$, alors
  \begin{equation*}
    \pair{\op''\circ\iota_{\ev}(\el)}l = 
    \pair{\iota_{\ev}(\el)}{\op'(l)} = 
    \pair{\op'(l)}\el = 
    \pair l{\op(\el)} = 
    \pair{\iota_{\ev[1]}\circ \op(\el)}l. 
    \qedhere
  \end{equation*}
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$. Si $\op$ est inversible, alors
  $\op'$ est inversible et ${(\op')}^{-1}={(\op^{-1})}'$. Si
  $\ev$ et $\ev[1]$ sont des espaces de Banach, alors la r\'eciproque
  est vraie.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\op^{-1}=\op[1]$, alors $\op'\circ \op[1]'=(\op[1]\circ
  \op)'=\id_{\ev}'=\id_{\ev'}$ et de même $\op[1]'\circ
  \op'=\id_{\ev[1]'}$: donc $\op[1]'=(\op')^{-1}$.  Réciproquement, si
  $\op'$ est inversible, alors $\op''$ est inversible.  Notons
  $\iota_{\ev}\colon \ev\to \ev''$ l'injection canonique de $\ev$ dans
  son bidual.  Alors $\op''\circ\iota_{\ev}=\iota_{\ev[1]}\circ \op$:
  donc $\op$ est injectif et $\iota_{\ev[1]}(\im
  \op)=\op''(\iota_{\ev}(\ev))$. Comme $\iota_{\ev}(\ev)$ est fermé et
  $\op''$ est inversible, $\im \op$ est fermé. Donc $\im \op={(\ker
    \op')}_\perp$ et comme $\op'$ est injectif, $\op$ est surjectif.
  Si $\ev=\ev[1]$, on a
  ${(\lambda\id_{\ev}-\op)}'=\lambda\id_{\ev'}-\op'$.
\end{proof}

\subsection{Algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel normé}

\begin{exalg}
  Soit $\ev$ un ${\corps}$-espace vectoriel normé.  Les opérateurs
  bornés sur $E$ forment un espace vectoriel normé ${\borne}(\ev)$ qui
  est une algèbre muni de la composition comme en \eqref{mult}.  Comme
  $\id$ est continu, $\id$ est l'unité de ${\borne}(\ev)$. Supposons
  que $\ev$ est un espace de Banach. Alors un op\'erateur born\'e sur
  $\ev$ est inversible si et seulement si $\op$ est bijectif. Mais en
  g\'en\'eral, un op\'erateur injectif n'est pas surjectif: si $\ev$
  est un espace de suites $(\el_n)_{n\in\N}$ tel que l'op\'erateur de décalage
  à droite $\op$ qui à la suite $(\el_0,\el_1,\dots)$ associe la suite
  $(0,\el_0,\el_1,\dots)$ est bien d\'efini, alors $x$ est injectif
  sans être surjectif.
\end{exalg}

\subsection{Opérateur compact}
\label{sec:compact}

\begin{dfn}
  Soient $\ev$ et $\ev[1]$ deux espaces vectoriels normés et $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$.
  \begin{itemize}
  \item $\op$ est un opérateur \emph{compact} si l'image par $\op$ de la boule unité de
    $\ev$ est relativement compacte dans $\ev[1]$:
    $\overline{\op(\ball_{\ev})}$ est compact. On note
    $\compact(\ev,\ev[1])$ l'ensemble des opérateurs compacts.
  \item $\op$ est un opérateur \emph{de rang fini} si son image est de
    dimension finie.
  \end{itemize}
\end{dfn}

\begin{prp}
  $\compact(\ev,\ev[1])$ est un espace vectoriel qui contient les
  opérateurs de rang fini. Soit $\ev[2]$ un troisième espace vectoriel
  normé et $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$,
  $\op[1]\in\borne(\ev[1],\ev[2])$. Si $\op$ est compact ou $\op[1]$
  est compact, alors $\op[1]\circ \op$ est compact. Donc
  $\compact(\ev)=\compact(\ev,\ev)$ est un id\'eal.
\end{prp}

\begin{proof}
  On a $(\lambda \op)(\ball_{\ev})=\lambda
  \op(\ball_{\ev})$ et $(\op+\op[1])(\ball_{\ev})\subset \op(\ball_{\ev})+\op[1](\ball_{\ev})$; comme 
  l'homothétique d'un compact est compact et la somme de deux compacts
  est compacte, $\compact(\ev)$ est un espace vectoriel. Un opérateur de rang fini est compact puisqu'une
  partie bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie est relativement
  compacte.  Si $\op$ est compact, alors $(\op[1]\circ
  \op)(\ball_{\ev})=\op[1](\op(\ball_{\ev}))$ est relativement compact parce que
  $\op(\ball_{\ev})$ l'est. Si $\op[1]$ est compact, alors $(\op[1]\circ
  \op)(\ball_{\ev})\subset \op[1](\|\op\|\ball_{\ev})=\|\op\|\op[1](\ball_{\ev})$ est relativement
  compact.
\end{proof}


\begin{prp}
  Si $\ev$ et $\ev[1]$ sont des espaces de Banach, alors $\compact(\ev,\ev[1])$ est fermé.
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $(\op_n)$ une suite d'opérateurs compacts qui tend vers $\op$ dans
  $\borne(\ev,\ev[1])$ et montrons que $\op(B_{\ev})$ est relativement compact. Comme
  $\ev$ est complet, il suffit de montrer que $\op(\ball_{\ev})$ est
  précompact. Soit $\varepsilon>0$ et $n$ tel que
  $\norm{\op-\op_n}\le\varepsilon$. Recouvrons $\op_n(\ball_{\ev})$ par un
  nombre fini $N$ de boules $\ball(\op_n(\el_k),\eps)$ avec
  $\el_1,\dots,\el_N\in\ball_{\ev}$. Alors
  \begin{math}\displaystyle
    \op(\ball_{\ev})\subset\bigcup_{k=1}^n\ball(\op(\el_k),3\eps):
  \end{math}
  si $\el\in\ball_{\ev}$, il existe $k$ tel que
  \begin{equation*}
    \norm{\op(\el)-\op(\el_k)}
    \le
    \norm{\op(\el)-\op_n(\el)}+\norm{\op_n(\el)-\op_n(\el_k)}
    +\norm{\op_n(\el_k)-\op(\el_k)}
    \le
    3\eps.
    \qedhere
  \end{equation*}
\end{proof}

\begin{cor}
  Si $\ev$ et $\ev[1]$ sont des espaces de Banach et
  $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$ est limite d'une suite d'opérateurs de
  rang fini, alors $\op$ est compact.
\end{cor}


De nombreux espaces de Banach $\ev[1]$ satisfont la réciproque:
$\compact(\ev,\ev[1])$ est l'adhérence des opérateurs de rang fini
dans $\borne(\ev,\ev[1])$ pour tout espace de Banach $\ev$; on dit
alors que $\ev[1]$ a la \emph{propriété d'approximation}.

\begin{prp}
  Soient $\ev$ et $\ev[1]$ des espaces de Banach. Un op\'erateur $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$ est compact si et seulement si son transpos\'e $\op'$ l'est.
\end{prp}

\begin{proof}
  Notons $\tau$ la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de $\ev[1]$. Comme
  \begin{equation*}
    \norm{\op'(l)} = 
    \sup_{\el\in\ball_{\ev}}\abs{\pair{(\op'(l))}\el} =
    \sup_{\el\in\ball_{\ev}}\abs{\pair l{\op(\el)}} =
    \sup_{{\el[1]}\in\overline{\op(\ball_{{\ev[1]}})}}\abs{\pair l{\el[1]}},
  \end{equation*}
  $\op'\colon({\ev[1]}',\tau)\to \ev'$ est continue si $\op$ est
  compact. Comme $\ball_{{\ev[1]}'}$ est équicontinue, la topologie
  $\tau$ restreinte à $\ball_{{\ev[1]}'}$ coïncide avec la topologie
  de la convergence simple, c'est-à-dire la topologie préfaible. Or
  $\ball_{{\ev[1]}'}$ est préfaiblement compacte: donc
  $\op'(\ball_{{\ev[1]}'})$ est compact (et pas seulement relativement
  !) Réciproquement, si $\op'$ est compact, alors $\op''$ est compact
  et donc $\iota_{\ev[1]}\circ \op=\op''\circ\iota_{\ev}$ est compact
  et
  $\overline{\iota_{\ev[1]}(x(\ball_{\ev}))}$ 
  est compact.  Comme $\iota_{\ev[1]}(F)$ est ferm\'e dans
  ${\ev[1]}''$, $\overline{x(\ball_{\ev})}$ est compact.
\end{proof}

\begin{prp}
  \label{comp-prol}
  Soient $\ev$ et $\ev[1]$ deux espaces de Banach. Soient
  $\ev_0\subset\ev$ et ${\ev[1]}_0\subset\ev[1]$ deux sous-espaces
  vectoriels denses. Soit $\op_0\in\compact(\ev_0,{\ev[1]}_0)$ et
  $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$ son unique prolongement par continuit\'e.
  Alors $\op\in\compact(\ev,\ev[1])$ et $\im\op\subset{\ev[1]}_0$ .
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $(\el_n)$ une suite born\'ee dans $\ev$. Il existe des 
  $\el_n^0\in\ev_0$ tels que $\el_n-\el_n^0\to0$. Alors
  $(\op(\el_n^0))$ admet une sous-suite $(\op(\el_{k_n}^0))$
  convergente: mais alors $(\op({\el}_{k_n}))$ converge. Donc $\op$
  est compact. Si $\el\in\ev$, $\el$ est limite d'une suite de
  $\el_n^0\in\ev_0$; comme $\op$ est compact, on peut supposer que
  $(\op({\el}_n^0))$ converge vers un \'el\'ement
  $\el[1]\in{\ev[1]}_0$: donc $\op(\el)=\el[1]$.
\end{proof}



\section{Espaces vectoriels de dimension finie}

Soit $\ev$ un espace vectoriel sur un corps commutatif $\corps$.
Alors le dual \emph{algébrique} de $\ev$ est $\lin(E,\corps)$ et on
peut définir les notions d'orthogonal et d'opérateur transposé
comme dans les sections \ref{orth-ev} et \ref{trans-ev}. 

Supposons maintenant que $\ev$ est de dimension finie.  Alors les
propositions \ref{biorth-ev}, \ref{(E/S)'}, \ref{adj-prp1} et
\ref{obit-ev} restent vraies en notant $E'$ le dual algébrique de $E$
et en omettant ce qui réfère à la norme comme les adhérences et le mot
``isométrique''.  Le th\'eor\`eme de la base
incompl\`ete permet d'éviter l'usage du théorème de Hahn-Banach dans
la démonstration de la proposition \ref{biorth-ev}: si $S$ est un
sous-espace vectoriel de $\ev$, alors on montre que $\dim
S^\perp=\dim\ev-\dim S$; donc $\dim{(S^\perp)}_\perp=\dim S$ et comme
$S\subset{(S^\perp)}_\perp$, on a ${(S^\perp)}_\perp=S$.

 Si $\ev$ est de dimension $n$, soit $(\el_j)_{1\le j\le n}$ une
  base de $\ev$ de base duale $(l_i)_{1\le i\le n}$:
  \begin{equation*}
    l_i(\el_j)=\delta_{ij}=\
    \begin{cases}
      1&\text{si $i=j$}\\
      0&\text{si $i\ne j$}
    \end{cases}\quad\text{pour tous $(i,j)\in{\Entiers1n}^2$.}
  \end{equation*}
  Alors
  \begin{equation}
    \label{iso-lin}
    \begin{aligned}
      {\lin}(\ev)&\to\mat_n\\
      \op&\mapsto\bigl(l_i\circ \op(\el_j)\bigr)_{1\le i,j\le n}
    \end{aligned}
  \end{equation}
  est un isomorphisme d'algèbres unifères. En effet, c'est une bijection et
  \begin{gather*}
    l_i\circ \id(\el_j)=l_i(\el_j)=\delta_{ij},\\
    \begin{split}
      l_i\circ \op\circ \op[1](\el_j) 
      = l_i\circ \op(\op[1](\el_j)) 
      = l_i\circ \op\left(\sum_{k=1}^n l_k\circ \op[1](\el_j)\el_k\right)
      = \sum_{k=1}^n l_i\circ \op(\el_k)\, l_k\circ \op[1](\el_j).
    \end{split}
  \end{gather*}
  \begin{ex}
    Considérons l'espace vectoriel $\corps_{n-1}[t]$ des polynômes
    de degré au plus $n-1$ et soit
    \begin{equation*}
      l_i\colon
      \begin{aligned}[t]
        \corps_{n-1}[t]&\to\corps\\
        p&\mapsto p^{(i)}(0)
      \end{aligned}
    \end{equation*}
    pour tout $i\in\Entiers0{n-1}$. Si $p=a_0+a_1t+\dots+a_{n-1}t^{n-1}$,
    alors $p^{(i)}(0)=i!a_i$ et donc
    \begin{equation*}
      p=\sum_{i=0}^{n-1}p^{(i)}(0)\frac{t^i}{i!}.
    \end{equation*}
    Donc $\{l_i\}_{1\le i\le n}$ est la base duale de la base des
    polynômes $\el_j=\dfrac{t^j}{j!}$. Considérons l'opérateur $x$ de
    dérivation. Alors $x(\el_0)=x(1)=0$ et $x(\el_j)=\el_{j-1}$. Donc
    $l_i\circ \op(\el_j)=\delta_{i\,j-1}$ et la matrice associée à $x$
    est
    \begin{equation*}
      \begin{pmatrix}
        0&1&0&\ddots&0\\
        0&0&1&\ddots&0\\
        \ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\
        0&0&0&\ddots&1\\
        0&0&0&\ddots&0
      \end{pmatrix}.
    \end{equation*}
  \end{ex}
  Si $\corps$ est le corps des réels ou des complexes et $\ev$ un
  ${\corps}$-espace vectoriel normé de dimension finie, alors toutes
  les normes sur $\ev$ sont équivalentes et
  $\borne(\ev,\ev[1])=\lin(\ev,\ev[1])$. En particulier, $\ev'$ est le
  dual algébrique de $\ev$ et $\ev'$ a la même dimension que $\ev$.


\section{Algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert}

Soit $\corps$ le corps des r\'eels ou des complexes et $\ev$ un
$\corps$-espace préhilbertien. Alors 
\begin{equation*}
  \norm \el={\scal \el\el}^{1/2}
\end{equation*}
d\'efinit une norme sur $\ev$. Si $\ev$ muni de cette norme est
complet, on dit que $\ev$ est un \emph{espace de Hilbert}.

\subsection{Projection orthogonale et théorème de représentation de
  Fischer-Riesz}

\begin{prp}[th\'eor\`eme de projection]
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $S$ une partie convexe ferm\'ee
  de $\ev$.  Pour tout $\el\in\ev$, il existe un unique point $\el[1]\in S$
  tel que $\norm{\el[1]-\el}$ est minimal.
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $\displaystyle d=\inf_{\el[1]\in S}\norm{\el[1]-\el}$. Si
  $\el_1,\el_2\in S$, alors 
  \begin{align*}
    {\norm{{\el}_1-\el}}^2+{\norm{{\el}_2-\el}}^2
    &=2\left(
      {\Norm{\dfrac{{\el}_1+{\el}_2}2-\el}}^2+{\Norm{\dfrac{{\el}_1-{\el}_2}2}}^2
    \right)\\
    &\ge2d^2+\frac{{\norm{{\el}_1-{\el}_2}}^2}2
  \end{align*}
  par l'identit\'e du parall\'elogramme et parce que
  $\dfrac{{\el}_1+{\el}_2}2\in S$. Donc
  \begin{equation*}
    {\norm{{\el}_1-{\el}_2}}^2
    \le2\left({\norm{{\el}_1-\el}}^2-d^2\right)+
    2\left({\norm{{\el}_2-\el}}^2-d^2\right).
  \end{equation*}
  En particulier, si $\norm{{\el}_1-\el}=\norm{{\el}_2-\el}=d$,
  alors ${\el}_1={\el}_2$; si $(\el_n)$ est une suite dans
  $S$ telle que $\norm{\el_n-\el}\to d$, alors $(\el_n)$ est une
  suite de Cauchy.
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $S$ un sous-espace vectoriel
  ferm\'e de $\ev$. Alors il existe $p_S\in\borne(\ev)$ tel que
  $p_S(v)=v$ pour tout $v\in S$ et $p_S(\el)=0$ pour tout $\el\in
  S^\perp$: $p_S$ est la \emph{projection orthogonale sur $S$}. On a
  $p_S^2=p_S$ et $p_S^*=p_S$. De plus $\id-p_S=p_{S^\perp}$: on a
  \begin{math}
    \norm\el^2=\norm{p_S(v)}^2+\norm{p_{S^\perp}(v)}^2
  \end{math}
  et on \'ecrit $\ev=S\oplus_2 S^\perp$. Si $S\ne\{0\}$, alors
  $\|p_S\|=1$.
\end{prp}

\begin{proof}
  On a $S\cap S^\perp={0}$. Soit $\el\in\ev$ et soit $\el_1\in S$
  le point tel que $\norm{\el_1-\el}=d$ est minimal. Montrons que
  $\el_2=\el_1-\el\in S^\perp$. Soit $\el[1]\in S$ et
  $\epsilon\in\corps$ de module $1$.  Comme
  \begin{math}
    f\colon t\mapsto\norm{\el_2+t\epsilon\el[1]}^2
    =d^2+2t\Re(\epsilon\scal{\el[1]}{\el_2})+t^2{\norm{\el[1]}}^2
  \end{math}
  atteint son minimum en $0$,
  $f'(0)=2\Re(\epsilon\scal{\el[1]}{\el_2})=0$. Donc
  $\scal{\el[1]}{\el_2}=0$. On a ainsi $\el=\el_1+\el_2$ et
  ${\norm{\el}}^2={\norm{\el_1}}^2+{\norm{\el_2}}^2$. Les applications
  $p_S\colon\el\mapsto\el_1$ et $p_{S^\perp}\colon\el\mapsto\el_2$ sont donc des op\'erateurs
  born\'es de norme au plus $1$. 
\end{proof}

En particulier, la factorisation canonique de $p_{S^\perp}$
d\'efinit un isomorphisme isom\'etrique entre $E/S$ et $S^\perp$ qui
permet d'identifier ces deux espaces.

\begin{cor}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $S$ un sous-espace vectoriel
  ferm\'e de $\ev$. $S^\perp$ est un sous-espace vectoriel fermé de $E$ et
  ${(S^\perp)}^\perp=\overline{\vect S}$.
\end{cor}




\begin{prp}
  Soient $\ev,\ev[1]$ deux espaces de Hilbert et
  $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$. 
  \begin{itemize}
  \item $\op$ est inversible \`a gauche si et seulement si $\op$ est
    injectif d'image ferm\'ee.
  \item $\op$ est inversible \`a droite si et seulement si $\op$ est
    surjectif.
  \end{itemize}
\end{prp}

\begin{proof}
  Dans le premier cas, la factorisation canonique de $\op$ d\'efinit
  un op\'erateur born\'e inversible $\tilde\op\colon\ev\to\im\op$ et
  $\el\mapsto{\tilde\op}^{-1}(p_{\im\op}(\el))$ est un inverse \`a
  gauche de $\op$.  Dans le deuxi\`eme cas, la factorisation canonique
  de $\op$ d\'efinit un op\'erateur born\'e inversible
  $\tilde\op\colon(\ker\op)^\perp\to\ev[1]$ et $\el\mapsto{\tilde\op}^{-1}(\el)$
  est un inverse \`a droite de $\op$.  
\end{proof}


\begin{prp}[théorème de représentation de Fischer-Riesz]
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert. L'application
\begin{equation*}
  \Phi_E\colon
  \begin{aligned}[t]
    \ev&\to \ev'\\
    {\el[1]}&\mapsto\scal\cdot {\el[1]}
  \end{aligned}
\end{equation*}
est une bijection semilinéaire isométrique: toute forme
linéaire continue $l$ sur $\ev$ est de la forme $l=\Phi_E(\el)$ pour un
unique $\el\in \ev$ et
\begin{gather*}
  \Phi_E({\el[1]}_1+{\el[1]}_2)=\Phi_E({\el[1]}_1)+\Phi_E({\el[1]}_2),\ 
  \Phi_E(\la {\el[1]})=\bar\la\Phi_E({\el[1]}),\\
  \Norm{\Phi_E(\el[1])}
   =\sup_{\el\in \ball_{\ev}}\abs{\scal \el{\el[1]}}
  =\norm {\el[1]}.
\end{gather*}
\end{prp}

\begin{proof}
  La derni\`ere \'egalit\'e r\'esulte de l'in\'egalit\'e de
  Cauchy-Schwarz et mon\-tre que $\Phi_{\ev}$ est isom\'etrique et donc
  injective. Montrons que $\Phi_E$ est surjective. Soit $l\in\ev'$. Si
  $l=0$, $l=\Phi_E(0)$. Sinon, le noyau $S$ de $l$ est un sous-espace
  vectoriel ferm\'e propre de $\ev$ et donc $S^\perp\ne\{0\}$: soit $\el[1]\in\ball_{S^\perp}$. Soit $\el\in\ev$ et soient $\el_1\in S$
  et $\la\in\corps$ tels que $\el=\el_1+\la\el[1]$. Alors
  $\scal\el{\el[1]}=\la$ et $l(\el)=\la
  l(\el[1])=\scal\el{\overline{l(\el[1])}\el[1]}$.
\end{proof}

Cette application permet donc d'identifier $E'$ avec $E$. En
particulier,
\begin{equation*}
  \{l\in\ev':\pair l\el=0\}=\Phi_E\bigl(\{{\el[1]}\in\ev:\scal \el{\el[1]}=0\}\bigr)
\end{equation*}
et donc l'orthogonal d'une partie de $E$ au sens du paragraphe
\ref{orth-ev} correspond à son orthogonal au sens du paragraphe
\ref{orth-eh} dans cette identification. 


\subsection{Adjoint d'un op\'erateur sur un espace de Hilbert}
\label{adj-hilb}

Soit $\ev[1]$ un deuxième espace de Hilbert et
$\op\in\borne(E,\ev[1])$. Pour chaque ${\el[1]}\in E$, l'application
$\el\mapsto\scal {\op(\el)}{\el[1]}$ est une forme linéaire continue sur $E$:
il existe donc un unique élément noté $\op^*({\el[1]})\in E$ tel que $\scal
{\op(\el)}{\el[1]}=\scal \el{\op^*({\el[1]})}$. L'application ${\el[1]}\mapsto \op^*({\el[1]})$ est $\corps$-linéaire et continue: si $\|{\el[1]}\|\le1$, alors 
\begin{align*}
  \sup_{{\el[1]}\in\ball_{\ev[1]}}   \norm{\op^*({\el[1]})}
  &=\sup_{{\el[1]}\in\ball_{\ev[1]}}\sup_{\el\in\ball_{\ev}}\abs{\scal \el{\op^*({\el[1]})}}\\
  &=\sup_{\el\in\ball_{\ev}}\sup_{{\el[1]}\in\ball_{\ev[1]}}  \abs{\scal {\op(\el)}{\el[1]}}\\
  &=\sup_{\el\in\ball_{\ev}}\norm{\op(\el)}=\norm{\op}.
\end{align*}
$x^*$ est l'adjoint de $\op$ et donc
$\borne(E,\ev[1])\subset\lin_\corps(E,\ev[1])$. En fait, on a
$\Phi_E\circ \op^*=\op'\circ\Phi_{\ev[1]}$. 

Comme $\scal{\op(\el)}{\op(\el)}=\scal{\op^*\circ\op(\el)}{\el}$ et
$\norm{\op^*\circ\op}\le\norm{\op^*}\,\norm{\op}$, on a
$\norm\op^2=\norm{\op^*\circ\op}$. Cette propri\'et\'e est tr\`es profonde. En particulier, si $\op$ est unitaire, alors $\norm{\op}=1$. 

On a $\overline{\im\op^*}=(\ker \op)^\perp$.


\subsection{Syst\`eme orthonorm\'e et  base hilbertienne}

Si $\ev$ est un espace vectoriel norm\'e quelconque et $S$ est un ensemble
quelconque, on dit que la s\'erie $\displaystyle\sum_{s\in S}\el_s$ \`a
valeurs dans $\ev$ converge vers $\el\in\ev$ si pour tout $\eps>0$ il
existe $S_1\subset S$ fini tel que pour tout $S_2\supset S_1$ fini on a
\begin{equation*}
  \Bigl\lVert\el-\sum_{s\in S_2}\el_s\Bigr\rVert<\eps.
\end{equation*}

Soit $\ev$ un espace pr\'ehilbertien. Une partie
$S\subset\sphere_{\ev}$ est un \emph{syst\`eme orthonorm\'e} si ses
\'el\'ements sont orthogonaux deux \`a deux. Soit $\el\in\ev$. Alors 
\begin{equation*}
  \sum_{\el[1]\in S}\abs{\scal\el{\el[1]}}^2\le\norm{\el}^2. 
\end{equation*}
C'est l'\emph{in\'egalit\'e de Bessel}.  Si $\ev$ est un espace
de Hilbert, la s\'erie
\begin{equation*}
  \sum_{\el[1]\in S}\scal\el{\el[1]}\el[1]
\end{equation*}
converge vers $p_{\overline{\vect S}}(v)$.  Un syst\`eme orthonorm\'e
$S$ est une \emph{base hilbertienne} si $\overline{\vect S}=E$. Le
\emph{th\'eor\`eme de la base hilbertienne} \'enonce que tout
syst\`eme orthonorm\'e peut \^etre compl\'et\'e en une base
hilbertienne. Si $S$ est une base hilbertienne, alors
\begin{gather*}
   \scal{\el_1}{\el_2}=\sum_{\el[1]\in S}\scal{\el_1}{\el[1]}\scal{\el[1]}{\el_2},\\ 
  \norm{\el}^2=\sum_{\el[1]\in S}\abs{\scal{\el}{\el[1]}}^2.
\end{gather*}
C'est l'\emph{\'egalit\'e de Parseval}.

\subsection{Algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert}

Voici deux exemples d'espaces de Hilbert.
\begin{itemize}
\item L'espace $\ell_2(I)$ des suites de carré sommable muni du produit
  scalaire défini par
  \begin{equation*}
    \scal \el{\el[1]}=\sum_{i\in I}\el_i\overline{{\el[1]}_i}.
  \end{equation*}
  La base canonique de $\ell_2(I)$ est la base hilbertienne des $\e_i$, $i\in I$,
  d\'efinis par ${(\e_i)}_j=\delta_{ij}$.
\item Si $(T,\mu)$ est un
  espace mesuré, l'espace $\Ell^2(\mu)$ des classes d'équivalence de
  fonctions de carré Lebesgue-intégrable pour l'égalité presque
  partout, muni du produit scalaire défini par
  \begin{equation*}
    \scal \el{\el[1]}=\int_T \el(t)\overline{{\el[1]}(t)}\,\de t.
  \end{equation*}
  L'exemple pr\'ec\'edent est le cas particulier de la mesure de comptage.
  Consid\'erons $T=\T=\{\lambda\in\CC:\abs\lambda=1\}$, le cercle
  unit\'e du plan complexe. L'application $t\mapsto(2\pi)^{-1}\arg t$
  est un hom\'eomorphisme de $\T$ sur $\R/\Z$ dont l'inverse est
  $\vth\mapsto\e^{2\iu\pi \vth}$: on peut donc identifier fonctions
  mesurables $1$-p\'eriodiques et fonctions mesurables sur $\T$.
  Munissons $\T$ de la mesure $\mu$ définie par
  \begin{equation*}
    \mu(A)=m\bigl[\vth\in[0,1\mathclose[:\e^{\iu 2\pi \vth}\in A\bigr],
  \end{equation*} 
  où $m$ est la mesure de Lebesgue sur $\R$. $\mu$ est la \emph{mesure de
    Haar normalis\'ee} du groupe $(\T,\cdot)$: cela veut dire que
  $\mu$ est invariante par translation et $\mu(\T)=1$. En effet, pour tout $t=\e^{\iu 2\pi\tau}\in\T$,
  \begin{align*}
    \mu(tA)
    &=m\bigl[\vth\in[0,1\mathclose[:\e^{\iu 2\pi \vth}\in tA\bigr]\\
    &=m\bigl[\vth\in[0,1\mathclose[:\e^{\iu 2\pi(-\tau+\vth)}\in A\bigr]\\
    &=m\bigl[\vth\in[\tau,\tau+1\mathclose[:\e^{\iu 2\pi \vth}\in A\bigr]
    =\mu(A).
  \end{align*}
  Si $f$ est une
  fonction int\'egrable sur $\T$, alors
  \begin{equation*}
    \int_{\T}f(t)\,\de t
    =\int_0^1f\left(\e^{\iu 2\pi \vth}\right)\,\de \vth.
  \end{equation*}
  Si $s=\e^{\iu 2\pi\tau}\in\T$, on a donc
  \begin{gather*}
    \int_{\T}f(st)\,\de t
    =\int_0^1f\left(\e^{\iu 2\pi (\tau+\vth)}\right)\,\de \vth
    =\int_\tau^{\tau+1}f\left(\e^{\iu 2\pi\vth}\right)\,\de \vth
    =\int_{\T}f(t)\,\de t\\
    \int_{\T}f(t^{-1})\,\de t
    =\int_0^1f\left(\e^{-\iu 2\pi\vth}\right)\,\de \vth
    =\int_0^{-1}f\left(\e^{\iu 2\pi\vth}\right)\,\de(-\vth)
    =\int_{\T}f(t)\,\de t
  \end{gather*}
  Alors les classes $\e_n$, $n\in\Z$, des fonctions d\'efinies par
  $t\mapsto t^n$ forment une base hilbertienne de $\Ell^2(\mu)$ et les coefficients $\scal \el{\e_n}$ de $\el$ sont les coefficients de Fourier de $\el$.  
\end{itemize}

\begin{exalg}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert. L'algèbre $\borne(\ev)$ est une
  algèbre unifère involutive.
\end{exalg}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $\op$ un op\'erateur born\'e
  normal sur $\ev$.
  \begin{enumerate}
  \item Si $\op$ est d'image ferm\'ee, alors $\ev$ est la somme
    directe orthogonale de $\ker\op$ et de $\im\op$. De plus, la
    restriction de $\op$ \`a $\im\op$ est un isomorphisme d'espaces de
    Banach. En fait, $\im\op^k\circ{\op^*}^l=\im \op$ pour tout couple
    $(k,l)\ne(0,0)$.
  \item $\op$ est inversible si et seulement si $\op$ est inversible
    \`a gauche, si et seulement si $\op$ est inversible \`a droite, si
    et seulement s'il existe $c$ tel que $\norm{\op(\el)}\ge
    c\norm\el$ pour tout $\el\in\ev$.  
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. On a $\im\op=(\ker\op^*)^\perp=(\ker\op)^\perp$. Donc
  $\rest\op{\im\op}$ est injectif. Si $\el\in\ev$,
  $\el=\el_1+\op(\el_2)$ avec $x(\el_1)=0$ et $\el_2\in\ev$:
  alors $x(\el)=\op\circ\op(\el_2)$ et donc $\rest\op{\im\op}$ est
  surjectif. Par la proposition \ref{op-inv}, $\rest\op{\im\op}$ est
  un \'el\'ement inversible de l'espace de Hilbert $\borne(\im\op)$.
  De plus, $\op^*(\el)=\op^*\circ\op(\el_2)=\op\circ\op^*(\el_2)$

  $(ii)$. Si $\op$ est inversible \`a gauche, alors $\op$ est
  injective et d'image ferm\'ee et donc $\op$ est surjective. Si $\op$
  est inversible \`a droite, alors $\op$ est surjective et donc
  injective.
\end{proof}


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%%% End: 

\chapter{Calcul fonctionnel rationnel}

\section{Calcul fonctionnel polynomial}

\subsection{Polynôme en un élément d'une algèbre}

Soit $A$ une algèbre et soit $\op\in A$. Si $k\in\N^*$,
l'associativité de la multiplication permet de définir sans
ambiguïté l'élément
\begin{equation*}
  \op^k=\overbrace{\op\cdots \op}^{\text{$k$ fois}}.
\end{equation*}
On peut alors former 
\begin{equation}
  \label{poly-x}
  \sum_{k=1}^\infty a_k\op^k=a_1\op+a_2\op^2+\dots+a_k\op^k+\dots
\end{equation}
pour toute suite de coefficients $(a_k)_{k\in\N^*}$ à valeurs dans $\corps$ dont le
\emph{support} $\{k:a_k\ne0\}$ est un ensemble fini: si $n$ est le
maximum de cet ensemble, alors $\sum_{k=1}^\infty a_k\op^k$ se réduit
à une somme d'au plus $n$ termes non nuls. Si $(b_l)_{l\in\N^*}$
est aussi une suite de coefficients à valeurs dans $\corps$ de support fini, alors la
bilinéarité de la multiplication donne
\begin{align*}
  \biggl(\sum_{k=1}^\infty a_k\op^k\biggr) \biggl(\sum_{l=1}^\infty
  b_l\op^l\biggr) &= \sum_{k=1}^\infty \sum_{l=1}^\infty a_kb_l\op^k\op^l \\
  &= \sum_{k=1}^\infty \sum_{l=1}^\infty a_kb_l \op^{k+l} \\
  &= \sum_{n=2}^\infty \biggl(\sum_{k+l=n}a_kb_l\biggr) \op^n \\
  &= a_1b_1\op^2+(a_1b_2+a_2b_1)\op^3+(a_1b_3+a_2b_2+a_3b_1)\op^4+\dots
\end{align*}
puisque toutes les sommes infinies comportent en fait un nombre fini
de termes. 
Si $A$ admet une unité $u$, on pose $\op^0=u$ et on peut former
\begin{equation}
  \label{poly-x-u}
  \sum_{k=0}^\infty a_k\op^k=a_0u+a_1\op+\dots+a_k\op^k+\dots
\end{equation}
On a
\begin{align}
  \label{calc-poly}
  \biggl(\sum_{k=0}^\infty a_k\op^k\biggr) \biggl(\sum_{l=0}^\infty
  b_l\op^l\biggr)
  &= \sum_{n=0}^\infty \biggl(\sum_{k+l=n}a_kb_l\biggr) \op^n  \\
  &= a_0b_0u+(a_0b_1+a_1b_0)\op+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)\op^2+\dots \notag
\end{align}

\subsection{Algèbre de semi-groupe}


Ces calculs motivent l'introduction de l'algèbre suivante.

\begin{exalg}\label{c00}
  Considérons l'espace vectoriel $\corps[\N]$ des suites
  $a=(a_k)_{k\in\N}$ à valeurs dans $\corps$ dont le support est fini
  et munissons-le de la multiplication définie par
  \begin{equation*}
    {(a*b)}_n=\sum_{k+l=n}a_kb_l=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}:
  \end{equation*}
  $a*b$ est la \emph{convolée} de $a$ et $b$.  Muni de la convolution,
  cet espace est une algèbre commutative. 
  L'unité de cette algèbre est la suite $u$
  dont le seul terme non nul est le terme d'indice $0$, qui vaut $1$:
  en effet, $\sum_{k=0}^nu_ka_{n-k}=a_n$ pour
  chaque $n\in\N$. 
\end{exalg}

L'exemple \ref{c00} est l'\emph{algèbre de semi-groupe} du semi-groupe
commutatif $(\N,+)$. Si $T$ est un semi-groupe quelconque, on peut
encore construire l'algèbre de semi-groupe $\corps[T]$ de la m\^eme
mani\`ere.

\subsection{Algèbre des polynômes}


\begin{exalg}[suite de l'exemple d'alg\`ebre \ref{c00}]
  \label{poly} Soit $t$ la suite dont le seul terme non nul est le
  terme d'indice $1$, qui vaut $1$. Alors, pour tout $k\in\N$, $t^k$
  est la suite dont le seul terme non nul est le terme d'indice $k$,
  qui vaut $1$: $(t^k)_{k\in\N}$ est la base canonique de $\corps[\N]$
  et on a pour tout $\op=(\op_k)_{k\in\N}\in\corps[\N]$
  \begin{equation*} \op=\sum_{k=0}^\infty \op_kt^k
  \end{equation*} 
  (la somme est en fait finie.) Muni de cette base, cette algèbre est
  l'\emph{algèbre $\corps[t]$ des polynômes par rapport à l'indéterminée $t$}
  avec la multiplication habituelle. L'unité $t^0$ de cette algèbre
  est notée $1$ et l'élément $a_0t^0$ est noté $a_0$. On a donc
  pour 
  $p=a_0+a_1t+a_2t^2+\dots+a_nt^n$ et
  $q=b_0+b_1t+b_2t^2+\dots+b_mt^m$
  \begin{equation*}
    pq=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)t+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)t^2+\dots+a_nb_mt^{n+m}.
  \end{equation*}
\end{exalg}

\subsection{Calcul fonctionnel polynomial}

Les équations \eqref{poly-x} et \eqref{poly-x-u} mènent à la
définition suivante.

\begin{dfn}
  Supposons que $A$ admet une unité $u$. Soit $\op\in A$. Pour tout 
  \begin{equation*}
    p=a_0+a_1t+\dots+a_nt^n\in\corps[t],
  \end{equation*}
  on pose
  \begin{equation*}
    p(\op)=a_0u+a_1\op+\dots+a_n\op^n\in A.
  \end{equation*} L'application $p\mapsto p(\op)$ est
  appelée le \emph{calcul fonctionnel polynomial de $\op$}
  \klammer{l'ad\-jec\-tif perd l'accent circonflexe du nom commun.} On
  note $\corps[\op]$ l'image de ce morphisme.
\end{dfn}

\begin{itemize}
\item Prenons $A=\corps$: alors l'application qui à $\op\in\corps$
  associe $p(\op)\in\corps$ est la \emph{fonction polynomiale}
  associée à $p$.  On dit que $\op$ est un \emph{z\'ero} de $p$ si
  $p(\op)=0$.
\item Prenons $A=\corps[t]$ et $\op\in\corps[t]$: alors le polynôme
  $p(\op)$ est noté $p\circ \op$: c'est le polynôme \emph{composé} de
  $p$ et de $\op$.
\end{itemize}

\begin{dfn}
  Soit $A$ une alg\`ebre munie d'une unit\'e $\un$ et $S\subset A$.
  L'\emph{alg\`ebre unif\`ere engendr\'ee par $S$} est la plus petite
  sous-alg\`ebre de $A$ contenant $\un$ et $S$. 
\end{dfn}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre unif\`ere et $\op\in A$.  Le calcul
  fonctionnel polynomial de $\op$ est l'unique morphisme d'algèbres
  unifères de $\corps[t]$ dans $A$ qui transforme le polynôme $t$ en
  $\op$. $\corps[\op]$ est l'algèbre unifère engendrée par $\op$.
\end{prp}

\begin{proof}
Le calcul \eqref{calc-poly} montre que le calcul fonctionnel
  polynomial de $\op$ est un morphisme d'algèbres unifères.
  Réciproquement, si $\mor\colon\corps[t]\to A$ est un morphisme
  tel que $\mor(1)=u$ et $\mor(t)=\op$, alors
  $\mor(t^k)=\op^k$ pour tout $k\in\N$ par multiplicativité. On a alors 
  par linéarité
  \begin{equation*}
    \mor(a_0+a_1t+\dots+a_nt^n)=a_0u+a_1\op+\dots+a_n\op^n.\qedhere
  \end{equation*}
\end{proof}

Le noyau du calcul fonctionnel polynomial de $\op$ est \emph{l'idéal
  annulateur de $\op$}. En général, il est réduit à $\{0\}$.  S'il ne
l'est pas, il est de la forme $p\corps[t]$ avec
$p\in\corps[t]\setminus\{0\}$ puisque $\corps[t]$ est un anneau
principal: $p$ est le \emph{polynôme minimal} de $\op$. 

Si $A$ est de dimension finie, alors tout $\op$ admet un polyn\^ome
minimal. Le th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton montre que le polyn\^ome
minimal d'une matrice $x$ ou d'un op\'erateur sur un espace de
dimension finie divise le polyn\^ome d\'efini par la fonction
polynomiale $\lambda\mapsto\operatorname{d\acute et}(\la\id-x)$.

\begin{prp}
  Soit $\mor\colon A\to B$ un morphisme d'alg\`ebres unif\`eres.  Pour
  tout $\op\in A$ et tout $p\in\corps[t]$ on a $\mor(p(\op))=p(\mor(\op))$.
\end{prp}

\begin{proof}
  $\mor(a_0\un_A+a_1\op+\dots+a_n\op^n) 
  =a_0\mor(\un_A)+a_1\mor(\op)+\dots+a_n\mor(\op^n)
  =a_0\un_B+a_1\mor(\op)+\dots+a_n\mor(\op)^n$.
\end{proof}

En particulier, si $\mor$ est le morphisme \eqref{mor-ann}, on obtient
que $p(\la\un)=p(\la)\un$ pour tout $\la\in\corps$.

\section{Algèbre quotient}


\begin{dfn}
  Soit $I$ un idéal d'une $\corps$-algèbre $A$. Si
  $\op-\op_1,\op[1]-\op[1]_1\in I$, alors
  $\op(\op[1]-\op[1]_1),(\op-\op_1)\op[1]_1\in I$ et donc
  $\op\op[1]-\op_1\op[1]_1\in I$.  L'application
  $(\op+I,\op[1]+I)\mapsto(\op\op[1]+I)$ est donc bien définie et
  munit le $\corps$-espace vectoriel $A/I$ d'une multiplication: on
  obtient \emph{l'algèbre quotient de $A$ par $I$}.
  \begin{itemize}
  \item Si $A$ admet une unité $u$, alors $u+I$ est l'unité de $A/I$.
  \item Supposons que $A$ est une algèbre involutive et que $I$ est
    autoadjoint.  Si $\op-\op_1\in I$, alors $\op^*-\op_1^*\in I$.
    L'application $\op+I\mapsto \op^*+I$ est donc bien définie et
    munit $A/I$ d'une involution.
  \end{itemize}
\end{dfn}

L'application quotient canonique
\begin{equation*}
  \pi\colon
  \begin{aligned}[t]
    A&\to A/I\\
    \op&\mapsto \op+I
  \end{aligned}
\end{equation*}
est un morphisme d'algèbres surjectif de noyau $I$. Si $A$ est
unif\`ere ou involutive, $\pi$ est un morphisme d'algèbres unif\`eres ou involutives.   Soit
$\mor\colon A\to B$ un morphisme d'algèbres de noyau $I$ et
consid\'erons sa factorisation canonique
\begin{equation*}
  \begin{CD}
  A/I @>{\tilde \mor}>> \im \mor\\
  @A{\pi}AA @VV{\iota}V\\
  A@>{\mor}>>B.
\end{CD}
\end{equation*}
Alors $\tilde\mor$ est un morphisme d'alg\`ebres bijectif.  


% La suite
% exacte
% \begin{equation*}
%   0\to I\to A\to A/I\to0,
% \end{equation*}
% dans laquelle la fl\`eche de $I$ vers $A$ est l'inclusion, résume le
% quotient de manière abstraite.

\section{Calcul fonctionnel rationnel}

\subsection{Algèbre des fractions rationnelles}


L'exemple suivant va nous permettre de
définir le calcul fonctionnel rationnel.

\begin{exalg}
  Notons $\dfrac pq$ le couple
  $(p,q)\in\corps[t]\times\left(\corps[t]\setminus\{0\}\right)$. Les opérations
  définies par
  \begin{equation*}
    \lambda\frac pq=
    \frac{\lambda p}q,\quad
    \frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=
    \frac{p_1q_2+q_1p_2}{q_1q_2},\quad
    \frac{p_1}{q_1}\frac{p_2}{q_2}=
    \frac{p_1p_2}{q_1q_2}
  \end{equation*}
  munissent $\corps[t]\times\left(\corps[t]\setminus\{0\}\right)$ d'une structure
  de $\corps$-algèbre dont l'unité est $\dfrac11$. Notons
  \begin{equation*}
    I=\biggl\{\dfrac0q:q\in\corps[t]\setminus\{0\}\biggr\}:
  \end{equation*}
  $I$ est un idéal et on a $\dfrac {p_1}{q_1}-\dfrac {p_2}{q_2}\in I$
  si et seulement si $p_1q_2=p_2q_1$. On peut donc former l'algèbre
  quotient
  \begin{equation*}
    \corps(t)
    =\bigl(\corps[t]\times\left(\corps[t]\setminus\{0\}\right)\bigr)/I.
  \end{equation*}
  Cette algèbre est l'\emph{algèbre des fractions rationnelles par
    rapport à l'indéterminée $t$}.  Si $p=p_1d$ et $q=q_1d$, alors
  $\dfrac pq-\dfrac{p_1}{q_1}\in I$: toute fraction rationnelle $r$
  admet donc un représentant $\dfrac pq$ tel que $p$ et $q$ sont
  premiers entre eux et ce représentant est unique si on suppose de
  plus que $q$ est un polyn\^ome unitaire; les \emph{zéros} de $r$
  sont alors les zéros de $p$ et les \emph{pôles} de $r$ sont les
  zéros de $q$.  L'application qui à $p\in\corps[t]$ associe la classe
  de $\dfrac p1$ dans $\corps(t)$ est un morphisme d'algèbres unifères
  injectif par lequel on identifie $\corps[t]$ à une sous-algèbre de
  $\corps(t)$.
\end{exalg}

\subsection{Calcul fonctionnel rationnel}

Si $p_1q_2=p_2q_1$ et $q_1(x)$ et $q_2(x)$ sont inversibles, alors
\begin{equation*}
  p_1(x)q_1(x)^{-1}=p_2(x)q_2(x)^{-1}.
\end{equation*}
On peut donc poser la d\'efinition suivante sans ambigu\"\i t\'e.

\begin{dfn}
  Supposons que $A$ est unifère. Soit $\op\in A$ et $r\in\corps(t)$.
  Si $r$ admet un repr\'esentant $\dfrac pq$ tel que $q(\op)$ est
  inversible, on dit que $r(\op)$ est \emph{bien défini} et on pose
  \begin{equation*}
    r(\op)=p(\op)q(\op)^{-1}.
  \end{equation*}
  L'ap\-plication $r\mapsto r(\op)$ est appelée le \emph{calcul
    fonctionnel rationnel de $\op$}. On note $\corps(\op)$ l'image de
  ce morphisme.
\end{dfn}

\begin{itemize}
\item Prenons $A=\corps$: alors $r(\op)$ est bien d\'efini si et
  seulement si $\op$ n'est pas un p\^ole de $r$ et l'application
  \begin{equation*}
    \begin{aligned}
      \corps\setminus\{\text{p\^oles de $r$}\}&\to\corps\\
      \op&\mapsto r(\op)
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est la fonction rationnelle associée à $r$.
\item Prenons $\op\in\corps(t)$: alors la fraction rationnelle
  $r(\op)$ est notée $r\circ \op$: c'est la fraction rationnelle
  \emph{composée} de $r$ et de $\op$. Calculons $r\circ\op$ si $r$ est
  le polyn\^ome $a_0+a_1t+\dots+a_nt^n$ et $\dfrac pq$ est un repr\'esentant de $\op$: alors
  \begin{align*}
    \label{r o x}
    r\circ\op
    =a_0\dfrac11+a_1\dfrac pq+\dots+a_n{\left(\dfrac pq\right)}^n+I
    =\dfrac{a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\dots+a_np^n}{q^n}+I
  \end{align*}
  et $r\circ\op$ est bien défini sauf si $\op$ est une constante égale
  à un pôle de $r$.
\end{itemize}

\begin{dfn}
  Soit $A$ une alg\`ebre munie d'une unit\'e $\un$ et $S\subset A$.
  L'\emph{alg\`ebre pleine engendr\'ee par $S$} est la plus petite
  sous-alg\`ebre $B$ de $A$ contenant $\un$ et $S$ telle que tout
  \'el\'ement de $B$ inversible dans $A$ soit inversible dans $B$.
\end{dfn}

\begin{prp} Supposons que $A$ est unifère. Soit $\op\in A$. 
  \begin{enumerate}
  \item Le calcul fonctionnel rationnel de $\op$ est l'unique
    morphisme d'algèbres unifères de l'algèbre des fractions
    rationnelles bien définies en $\op$ dans $A$ qui transforme $t$ en
    $\op$. 
  \item Si $s(\op)$ et $r(s(\op))$ sont bien définis, alors $(r\circ
    s)(\op)$ est bien défini et $(r\circ s)(\op)=r(s(\op))$.
  \item Si $\mor\colon A\to B$ est un morphisme d'alg\`ebres
    unif\`eres et $r(\op)$ est bien d\'efini, alors $r(\mor(\op))$
    est bien d\'efini et $r(\mor(\op))=\mor(r(\op))$.
  \item $\corps(\op)$ est l'algèbre pleine engendrée par $\op$.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. Montrons que le calcul fonctionnel rationnel de $\op$ est un
  morphisme d'algèbres unifères. Si $r_1(\op)$ et $r_2(\op)$ sont bien
  définis, soient $\dfrac{p_1}{q_1}$ et $\dfrac{p_2}{q_2}$ des
  représentants tels que $q_1(x)$ et $q_2(x)$ sont inversibles. Alors
  $(q_1q_2)(x)$ est inversible et on a successivement
  \begin{gather*}
    r_1(\op)q_1(\op)=p_1(\op)\\
    r_2(\op)q_2(\op)=p_2(\op)\\
    \bigl(r_1(\op)+r_2(\op)\bigr)q_1(\op)q_2(\op)=p_1(\op)q_2(\op)+p_2(\op)q_1(\op)\\
    r_1(\op)+r_2(\op)=(p_1q_2+p_2q_1)(\op)\bigl((q_1q_2)(\op)\bigr)^{-1}=(r_1+r_2)(\op)\\
    r_1(\op)r_2(\op)q_1(\op)q_2(\op)=p_1(\op)p_2(\op)\\
    r_1(\op)r_2(\op)=(p_1p_2)(\op)\bigl((q_1q_2)(\op)\bigr)^{-1}=(r_1r_2)(\op)
  \end{gather*}
  en utilisant le calcul fonctionnel polynomial. Réciproquement, si
  $\mor$ est un morphisme d'alg\`ebres unif\`eres tel que
  $\mor(t)=\op$, alors $\mor(p)=p(\op)$ pour tout $p\in\corps[t]$.  Si
  $r$ admet un représentant $\dfrac pq$ avec $q(\op)$ inversible,
  alors
  \begin{equation*}
    p(\op)=\mor(p)=\mor(rq)=\mor(r)\mor(q)=\mor(r)q(\op)
  \end{equation*}
  et donc $\mor(r)=p(\op)q(\op)^{-1}$.

  $(ii)$. Si $s(\op)$ est bien d\'efini et $r\in\corps[t]$, alors la
  formule \eqref{r o x} montre que $(r\circ s)(\op)$ est bien défini.
  L'application $r\mapsto(r\circ s)(\op)$ est un morphisme d'algèbres
  unifères qui transforme $t$ en $s(\op)$ puisque c'est la compos\'ee
  du calcul fonctionnel polynomial de $s$ avec le calcul fonctionnel
  rationnel de $\op$. Par unicité, c'est le calcul
  fonctionnel polynomial de $s(\op)$ et donc $(r\circ
  s)(\op)=r(s(\op))$ pour tout $r\in\corps[t]$.  Soit $\dfrac {p}{q}$
  un représentant de $r$ tel que $q(s(\op))$ est inversible. Alors
  \begin{equation*}
    r(s(\op)) = p(s(\op))q(s(\op))^{-1} = 
    (p\circ s)(\op)\bigl((q\circ s)(\op)\bigr)^{-1} = 
    (r\circ s)(\op).
  \end{equation*}
  $(iii)$. Soit $\dfrac {p}{q}$ un représentant de $r$ tel que $q(\op)$ est
  inversible. Alors $q(\mor(\op))=\mor(q(\op))$ est inversible et
  \begin{equation*}
   p(\mor(\op))q(\mor(\op))^{-1}=\mor(p(\op))\mor(q(\op)^{-1})=\mor(r(\op)).\qedhere
  \end{equation*}
  $(iv)$.  Montrons que tout \'el\'ement de $\corps(\op)$ inversible
  dans $A$ est inversible dans $\corps(\op)$: si $p(\op){q(\op)}^{-1}$
  est inversible dans $A$, alors $p(\op)$ est inversible dans $A$ et
  l'inverse $q(\op){p(\op)}^{-1}$ de $p(\op){q(\op)}^{-1}$ appartient
  \`a $\corps(\op)$. Si on note $B$ l'algèbre pleine engendrée par
  $\op$, on a donc $B\subset\corps(\op)$.  R\'eciproquement, soient
  $p,q\in\corps[t]$. On a $p(\op),q(\op)\in B$, et si $q(\op)$ est
  inversible dans $A$, ${q(\op)}^{-1}\in B$ et donc
  $p(\op){q(\op)}^{-1}\in B$. Donc $\corps(\op)\subset B$.
\end{proof}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 

\chapter{Algèbres de fonctions}


\section{Algèbre des fonctions continues sur un espace
  localement compact, nulles à l'infini}

Un espace topologique $T$ dont tout point admet un voisinage compact
est dit \emph{localement compact}. Le \emph{compactifié d'Alexandroff}
$\tilde T$ de $T$ est la réunion de $T$ avec un point noté $\infty$,
munie de la topologie suivante: un ferm\'e de $\tilde T$ est soit un
compact de $T$ soit la r\'eunion de $\infty$ avec un ferm\'e de $T$.
\begin{itemize}
\item Les voisinages ouverts de $\infty$ sont donc les complémentaires
  des compacts de $T$.
\item Si $T$ est compact, $\{\infty\}$ est ouvert dans $\tilde T$:
  $\infty$ est un point isolé de $\tilde T$.
\item Si $T$ est compact et $t\in T$, un ferm\'e de $T$ est soit un
  compact de $T\setminus\{t\}$ soit la r\'eunion de $t$ avec un
  ferm\'e de $T\setminus\{t\}$: $T$ est hom\'eomorphe au compactifi\'e
  d'Alexandroff de $T\setminus\{t\}$ avec $t$ le point $\infty$.
\end{itemize}
  \begin{exalg}
  \label{Cont}
  Soit $\corps$ le corps des réels ou des complexes et $T$ un espace
  localement compact.  On dit qu'une fonction $\op\colon T\to\corps$
  est \emph{nulle à l'infini} si sa limite en $\infty$ vaut $0$: pour
  tout $\varepsilon>0$, $\{t\in T:\lvert \op(t)\rvert\ge\varepsilon\}$
  est compact. Si $T$ est compact, toute fonction $\op$ est donc nulle
  à l'infini. Une fonction continue sur $T$ à valeurs dans $\corps$
  nulle \`a l'infini est born\'ee et l'espace vectoriel $\Cont_0(T)$
  de ces fonctions est norm\'e en posant
  \begin{math}
    \displaystyle
    \norm{\op}=\max_{t\in T}\lvert \op(t)\rvert\text;
  \end{math} 
  de plus, $\Cont_0(T)$ est complet.  C'est une algèbre commutative
  munie de la multiplication des fonctions définie par
  \begin{equation}
    \label{mult-c}
    (\op\op[1])(t)=\op(t)\op[1](t)\quad\text{pour tout $t\in T$.}
  \end{equation}
  En effet, si $\varepsilon>0$, alors $\{t\in T:\lvert
  \op(t)\op[1](t)\rvert\ge\varepsilon\}\subset\{t\in T:\lvert
  \op(t)\rvert\,\norm{\op[1]}\ge\varepsilon\}$. Si $T$ est compact, on
  note aussi $\Cont(T)$ cet espace. Si $T$ est discret, on le note
  aussi $c_0(T)$.  Cette algèbre est involutive munie de l'involution
  définie par
  \begin{equation}
    \label{inv-c}
    \op^*(t)=\overline{\op(t)}\quad\text{pour tout $t\in T$.}
  \end{equation}
  $\op$ est hermitien si et seulement si $\op$ est à valeurs réelles,
  et $\op$ est positif si et seulement si $\op$ est à valeurs
  positives.  L'application qui à $\op\in\Cont_0(T)$ associe son
  prolongement par continuit\'e $\tilde \op\in\Cont(\tilde T)$ défini
  par
  \begin{equation}\label{id-c-c0}
    \tilde \op(t)=
    \begin{cases}
      \op(t)&\text{si $t\in T$}\\
      0&\text{si $t=\infty$}
    \end{cases}
  \end{equation}
  est un morphisme d'algèbres involutives injectif qui permet
  d'identifier $\Cont_0(T)$ avec l'idéal des éléments de $\Cont(\tilde
  T)$ nuls en $\infty$.  On démontre en topologie que si $K\subset T$
  est compact, alors il existe $\op\in{\Cont}_0(T)$ telle que
  $\op(t)=1$ pour tout $t\in K$ (c'est une conséquence du théorème de
  Tietze-Urysohn.) Si $u$ est l'unité de ${\Cont}_0(T)$, alors
  $u(t)=1$ pour tout $t\in T$. En effet, il existe
  $\op\in{\Cont}_0(T)$ telle que $\op(t)=1$, et si $u\op=\op$, alors
  $u(t)1=1$. Notons $\Un$ la fonction constamment égale à $1$: elle
  est nulle à l'infini si et seulement si $T$ est compact. Donc
  ${\Cont}_0(T)$ est unifère si et seulement si $T$ est compact. Si $\corps=\R$,
  $\op$ est unitaire si et seulement si $\op$ vaut $1$ ou $-1$ sur
  chaque composante connexe de $T$. Si $\corps=\CC$, $\op$ est unitaire
  si et seulement si $\op$ est à valeurs dans
  $\T=\{\lambda\in\CC:\abs\lambda=1\}$, le cercle unité du plan
  complexe. 
\end{exalg}

\begin{prp}
  Soit $T$ compact et $\op\in\Cont(T)$. L'\'el\'ement $\op$ est inversible si et
  seulement si $\op$ ne s'annule pas et alors $\op^{-1}(t)=\op(t)^{-1}$
  pour tout $t\in T$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\op\op[1]=\Un$, $\op(t)\ne 0$ et $\op[1](t)=\dfrac1{\op(t)}$
  pour tout $t\in T$. R\'eciproquement, si $\op$ ne s'annule pas,
  alors la fonction d\'efinie par $\op[1](t)=\dfrac1{\op(t)}$ est continue.
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $T$ compact, $\op\in\Cont(T)$ et $r\in\corps(t)$. $r(\op)$
  est bien d\'efini si et seulement si $r$ n'a pas de p\^ole dans
  $\op(T)$ et $r(\op)$ est la compos\'ee $r\circ \op\colon t\mapsto
  r(\op(t))$ de $\op$ avec la fonction rationnelle associ\'ee \`a
  $r$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Pour chaque $t\in T$, l'application $\op\mapsto\op(t)$ est un
  morphisme d'alg\`ebres unif\`eres. Donc $(r(\op))(t)=r(\op(t))$.
\end{proof}

En fait, $r(\op)$ est bien d\'efini si et seulement si la fonction
rationnelle associ\'ee \`a $r$ est bien d\'efinie sur $\op(T)$. Cela
montre qu'on peut \'etendre le calcul fonctionnel rationnel aux
fonctions continues sur le compact $\op(T)$.

\section{Algèbre des classes de fonctions mesurables bornées}

\subsection{Algèbre des fonctions mesurables bornées}


\begin{exalg}
  \label{ELL}
  Soit $\corps$ le corps des réels ou des complexes et $(T,\mu)$ un
  espace mesuré.  L'ensemble des fonctions mesurables bornées sur $T$ est un
  espace vectoriel noté $\ELL^\infty(\mu)$ et norm\'e en posant 
  \begin{math}
    \displaystyle
    \norm{\op}=\sup_{t\in T}\lvert \op(t)\rvert\text;
  \end{math} 
  de plus, $\ELL^\infty(\mu)$ est complet, et m\^eme ferm\'e dans
  $\corps^T$ muni de la topologie produit, appel\'ee topologie de la
  convergence simple. C'est une algèbre commutative involutive muni de
  la multiplication des fonctions définie comme en \eqref{mult-c} et
  de l'involution définie comme en \eqref{inv-c}.  L'unité de
  $\ELL^\infty(\mu)$ est $\Un$.  Si $\mu$ est la mesure de comptage,
  on note aussi $\ell^\infty(T)$ cet espace; $\mu$ est une mesure
  bor\'elienne si on munit $T$ de la topologie discr\`ete.  Si $T$ est
  un espace localement compact et $\mu$ est une mesure borélienne,
  alors $\Cont_0(T)$ est un sous-espace vectoriel ferm\'e de
  $\ELL^\infty(\mu)$ qui est dense pour la topologie de la convergence
  simple.
\end{exalg}

\begin{prp}
  Soit $\op\in\ELL^\infty(\mu)$. $\op$ est inversible si et
  seulement s'il existe $\eps>0$ tel que $|\op(t)|\ge\varepsilon$ pour tout $t\in T$.
\end{prp}
\begin{proof}
  Soit $\op[1]$ mesurable born\'ee telle que $\op\op[1]=\Un$. Alors
  $\op(t)\ne 0$ et $\op[1](t)=\dfrac1{\op(t)}$ pour tout $t\in T$. Donc
  \begin{math}
    \displaystyle
    \abs{\op(t)}\ge{\left(\sup_{t\in T}\abs{\op[1](t)}\right)}^{-1}.
  \end{math}
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $\op\in\ELL^\infty(\mu)$ et $r\in\corps(t)$. $r(\op)$ est bien d\'efini si et seulement si
  $r$ n'a pas de p\^ole dans $\overline{\op(T)}$ et $r(\op)$ est la
  compos\'ee $r\circ{\op}\colon t\mapsto r(\op(t))$ de
  $\op$ avec la fonction rationnelle associ\'ee \`a $r$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $q\in\corps[t]$. Alors $q(\op)$ est la compos\'ee
  $q\circ{\op}\colon t\mapsto q(\op(t))$ de $\op$ avec la fonction
  polynomiale associ\'ee \`a $q$. Si $\la\in\overline{\op(T)}$, alors
  $q(\la)\in\overline{q(\op(T))}$.  Donc $q(\op)$ est inversible si et
  seulement si $q$ n'a pas de z\'ero dans $\overline{\op(T)}$.
\end{proof}

En fait, $r(\op)$ est bien d\'efini si et seulement si la fonction
rationnelle associ\'ee \`a $r$ est bien d\'efinie et born\'ee sur
$\op(T)$. Cela montre qu'on peut \'etendre le calcul fonctionnel
rationnel aux fonctions mesurables born\'ees sur $\op(T)$.


\subsection{Algèbre des classes de fonctions mesurables bornées}


\begin{exalg}[suite de l'exemple d'alg\`ebre \ref{ELL}]
  \label{Ell}
  Soit $I$ l'ensemble des fonctions mesurables bornées $\op$ nulles
  presque partout, c'est-à-dire que $\mu[\op\ne0]=0$. Alors $I$ est un
  espace vectoriel ferm\'e parce qu'une réunion d\'enombrable
  d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle. $I$ est en fait un
  idéal autoadjoint: on peut donc former l'algèbre quotient
  $\ELL^\infty(\mu)/I$ des classes d'équivalence de fonctions
  mesurables bornées pour l'égalité presque partout.  Cette algèbre,
  notée $\Ell^\infty(\mu)$, est commutative et involutive et son
  unit\'e, encore not\'ee $\Un$, est la classe de $\Un$.  Lorsqu'on
  considère un élément de $\Ell^\infty(\mu)$, on choisit en général
  tacitement une fonction qui en est un représentant, \`a moins que
  cela prête à confusion.  Si aucun ouvert de $T$ n'est de mesure
  nulle, alors toute fonction continue nulle presque partout est
  nulle: donc l'application qui à $\op\in\Cont_0(T)$ associe sa classe
  dans $\Ell^\infty(\mu)$ est un morphisme d'algèbres unifères
  involutives injectif qui permet d'identifier $\Cont_0(T)$ à une
  sous-algèbre de $\Ell^\infty(\mu)$.
\end{exalg}



\begin{prp}
  Soit $\op\in\Ell^\infty(\mu)$. $\op$ est inversible si et
  seulement s'il existe $\eps>0$ tel que $\mu[|\op|<\varepsilon]=0$.
\end{prp}
\begin{proof}
  Si $\mu[|\op|<\varepsilon]=0$, $\op$ admet un représentant $\tilde
  \op$ tel que $|\tilde \op(t)|\ge\varepsilon$ pour tout $t\in T$, et donc inversible.
  R\'eciproquement, si $\mu[|\op|<\varepsilon]>0$, alors $\op$ n'a pas
  de repr\'esentant inversible.
\end{proof}

\begin{dfn}
  L'\emph{image essentielle} de $\op\in\Ell^\infty(\mu)$ est
  \begin{equation*}
    \imess\op=\{\la\in\corps:\forall\,\eps>0\
  \mu[\abs{\la-\op}<\varepsilon]>0\}.
\end{equation*}
\end{dfn}

\begin{prp}
  Soit $\op\in\Ell^\infty(\mu)$. L'image essentielle de $\op$ est compacte et
  $\mu[\op\notin\imess\op]=0$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Le compl\'ementaire de $\imess\op$ est la r\'eunion de toutes les
  boules ouvertes $B$ de centre $\la\in\corps$ et de rayon $\eps>0$
  telles que $\mu[\op\in B]=0$. Cette r\'eunion se r\'eduit \`a une
  r\'eunion d\'enombrable de boules ouvertes.
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $\op\in\Ell^\infty(\mu)$ et $\tilde\op\in\ELL^\infty(\mu)$ un
  repr\'esentant de $\op$ tel que $\tilde\op(T)\subset\imess\op$.  Soit
  $r\in\corps(t)$.  $r(\op)$ est bien d\'efini si et seulement si $r$
  n'a pas de p\^ole dans $\imess\op$, et $r(\op)$ est la classe de la
  compos\'ee $r\circ\tilde{\op}\colon t\mapsto r(\tilde\op(t))$ de
  $\tilde\op$ avec la fonction rationnelle associ\'ee \`a $r$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $\pi\colon\ELL^\infty(\mu)\to\Ell^\infty(\mu)$ l'application
  quotient ca\-no\-nique. Si $r$ n'a pas de p\^ole dans $\imess\op$,
  $\pi(r(\tilde \op))=r(\pi(\tilde \op))=r(\op)$. Soit $q\in\corps[t]$
  et $\la$ un z\'ero de $q$. Soit $\op[1]\in\ELL^\infty(\mu)$ un repr\'esentant de $\op$. Si
  $\la\in\imess\op$, alors $\forall\,\eps>0\
  \mu[\abs{q(\op[1])}<\eps]>0$ et donc $q(\op[1])$ n'est pas
  inversible.
\end{proof}

Soit $\op\in\Ell^\infty(\mu)$ et $\op[1]\in\ELL^\infty(\mu)$. Si
${\tilde\op}_1$ et ${\tilde\op}_2$ sont deux repr\'esentants de $\op$,
alors les fonctions mesurables born\'ees $\op[1]\circ{\tilde\op}_1$ et
$\op[1]\circ{\tilde\op}_2$ sont \'egales presque partout: on peut donc
d\'efinir $\op[1]\circ\op$ sans ambigu\"\i t\'e et \'etendre le calcul
fonctionnel polynomial aux fonctions mesurables born\'ees. Par contre,
si ${\op[1]}_1$ est \'egale \`a $\op[1]$ presque partout, alors $\op[1]\circ\op$ n'est pas n\'ecessairement \'egal \`a ${\op[1]}_1\circ\op$. 


\section{Algèbres de groupe}

Soit $\corps$ le corps des complexes.

\subsection{\texorpdfstring{Algèbre $\ell^1({\Z})$}{Algèbre l\textonesuperior(Z)}}

\begin{exalg}\label{Z}
  Soit $\ell^1({\Z})$ l'espace des suites bi-infinies absolument
  convergentes.
  Si $\op,\op[1]\in\ell^1({\Z})$,
  alors
  \begin{multline*}
    \left(\sum_{k=-\infty}^\infty\lvert \op_k\rvert\right) 
    \left(\sum_{n=-\infty}^\infty\lvert \op[1]_n\rvert\right)  
    =\sum_{k=-\infty}^\infty\left(\lvert \op_k\rvert\sum_{n=-\infty}^\infty\lvert{\op[1]}_{-k+n}\rvert\right)\\
    =\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\sum_{k=-\infty}^\infty\lvert \op_k{\op[1]}_{-k+n}\rvert\right)  
    =\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\sum_{k+l=n}\lvert \op_k\op[1]_l\rvert \right) 
  \end{multline*}
  car la somme de séries absolument convergentes ne dépend pas
  de l'ordre de sommation. Donc
  \begin{equation*}
    \op*\op[1]=\biggl(\sum_{k+l=n}\op_k\op[1]_l\biggr)_{n\in\Z}
  \end{equation*}
  est un élément de $\ell^1({\Z})$: c'est la
  \emph{convolée} de $\op$ et $\op[1]$.  Muni de la convolution,
  $\ell^1({\Z})$ est une algèbre commutative. Vérifions par exemple la
  distributivité de la convolution: si $\op,\op[1],\op[2]\in\ell^1({\Z})$,
  alors $\op*\op[1]$, $\op*\op[2]$, $\op[1]+\op[2]$ et $\op*(\op[1]+\op[2])$ sont dans $\ell^1({\Z})$ et on a pour tout $n\in\Z$
  \begin{align*}
    \sum_{k+l=n}\op_k\op[1]_l+\sum_{k+l=n}\op_k\op[2]_l=\sum_{k+l=n}\op_k\op[1]_l+\op_k\op[2]_l=\sum_{k+l=n}\op_k(\op[1]_l+\op[2]_l).
  \end{align*}
  On a utilisé la formule de la somme de deux séries convergentes et
  la distributivité de la multiplication de $\corps$; on n'indique pas
  l'ordre de sommation des séries parce qu'elles sont absolument
  convergentes. 
% La base de Schauder canonique de $\ell^1({\Z})$ est
%   donn\'ee par les $\e_k=(\delta_{kn})_{n\in\Z}$, $k\in\Z$. 
  L'unité de $\ell^1({\Z})$ est la suite $\un$ dont tous les termes
  sont nuls sauf le terme d'indice $0$, qui vaut $1$. En effet,
  \begin{math}
    \displaystyle
    \sum_{k=-\infty}^\infty\un_k\op[1]_{l-k}=\op[1]_l
  \end{math}
  pour
  chaque $l\in\Z$. L'application définie par
  \begin{math}
    \op^*_n=\overline{\op_{-n}}
  \end{math} est une involution de $\ell^1({\Z})$. 
  Considérons l'application
  \begin{equation*}
    \fourier_\Z\colon
    \begin{aligned}[t]
      \ell^1({\Z})&\to\Cont(\T)\\
      \op&\mapsto \biggl(\hat\op\colon t\mapsto\sum_{n=-\infty}^\infty \op_nt^n\biggr)
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  Elle est bien définie car la série converge uniformément par
  rapport à $t$. $\fourier_\Z$ est la \emph{transformation de Fourier}
  du groupe discret $(\Z,+)$ et $\hat\op$ est la somme de la s\'erie de Fourier $\op$. On a
  \begin{align*}
    \widehat{\op*\op[1]}(t)&=\sum_{n=-\infty}^\infty\biggl(\sum_{k+l=n}\op_k\op[1]_l\biggr)t^n\\
    &=\sum_{n=-\infty}^\infty \sum_{k+l=n}(\op_kt^k) (\op[1]_lt^l)\\
    &=\sum_{k=-\infty}^\infty \op_kt^k\sum_{n=-\infty}^\infty \op[1]_nt^n=\hat\op(t)\hat{\op[1]}(t)
  \end{align*}
  puisque la somme de séries absolument convergentes ne dépend pas
  de l'ordre de sommation. De plus $\widehat{\un}=\Un$ et
  \begin{equation*}
    \widehat{\op^*}(t)=
    \sum_{n=-\infty}^\infty\overline{\op_{-n}}t^n=
    \overline{\sum_{n=-\infty}^\infty \op_{-n}t^{-n}}=
    \overline{\sum_{n=-\infty}^\infty \op_nt^n}= 
    {\hat\op}^*(t)
  \end{equation*}
  Donc $\fourier_\Z$ est un morphisme d'algèbres unifères involutives de
  $\ell^1({\Z})$ dans $\Cont(\T)$. L'image de $\fourier_\Z$
  est l'alg\`ebre involutive des fonctions continues sur $\T$ dont la série de
  Fourier converge normalement. Comme elle contient les $t\mapsto
  t^n$, elle est dense. Elle n'est pas ferm\'ee: on peut utiliser le
  th\'eor\`eme de Banach-Steinhaus pour le voir; 
  on peut aussi montrer que la s\'erie de Fourier
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\e^{\iu n\log n}}nt^n$ converge uniform\'ement.
\end{exalg}

L'exemple \ref{Z} est l'\emph{algèbre de groupe} du groupe commutatif
discret $(\Z,+)$. Si $T$ est un groupe discret quelconque, on peut
encore construire l'alg\`ebre de groupe $\ell^1(T)$ de la m\^eme
mani\`ere.

\subsection{\texorpdfstring{Algèbre $\Ell^1({\T})$}{Algèbre L\textonesuperior(T)}}

\begin{exalg}
  \label{T}
  Soit $\Ell^1({\T})$ l'espace de Banach des classes de fonctions
  intégrables sur $\T$. 
  Si
  $\op,\op[1]\in\Ell^1({\T})$, alors
  \begin{align*}
    \left(\int_{\T}\lvert \op(t)\rvert\,\de t\right) 
    \left(\int_{\T}\lvert \op[1](s)\rvert\,\de s\,\right)  
    &=\int_{\T}\left(\lvert \op(t)\rvert
      \int_{\T}\lvert \op[1](t^{-1}s)\rvert\,\de s
    \right)\de t  \\
    &=\int_{\T}\left(\int_{\T}\lvert \op(t) \op[1](t^{-1}s)\rvert\,\de t\right)\de s
  \end{align*}
  par le théorème de Fubini.  Donc
  \begin{equation*}
    \op*\op[1](s)=\int_{\T} \op(t)\op[1](t^{-1}s)\,\de t
  \end{equation*}
  existe pour presque tout $s$ et définit un élément de
  $\Ell^1({\T})$: c'est la \emph{convolée} de $\op$ et $\op[1]$.  Muni de la
  convolution, $\Ell^1({\T})$ est une algèbre commutative.
  L'application définie par
  \begin{equation*}
    \op^*(t)=\overline{\op(t^{-1})}\text{ presque partout}
  \end{equation*}
  est une involution de $\Ell^1({\T})$. Considérons l'application
  \begin{equation*}
    \fourier_\T\colon
    \begin{aligned}[t]
      \Ell^1({\T})&\to\cont_0(\Z)\\
      \op&\mapsto\hat\op={\bigg(\int_{\T}\op(t)t^{-n}\,\de t\bigg)}_{n\in\Z}.
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  Elle est bien définie par le lemme de Riemann-Lebesgue. $\fourier_\T$
  est la \emph{transformation de Fourier} du groupe compact
  $(\T,\cdot)$ et $\hat \op$ est la s\'erie de Fourier de
  $\op$.  On a
  \begin{align*}
    \widehat{\op*\op[1]}(n) &= \int_{\T} \biggl(
    \int_{\T}\op(t)\op[1](t^{-1}s)\,\de t\biggr)s^{-n}\,\de s \\
    &=\int_{\T}\biggl(\int_{\T}\bigl(\op(t)t^{-n}\bigr)
    \bigl(\op[1](t^{-1}s)(t^{-1}s)^{-n}\bigr)\,\de
    t\biggr)\de s \\
    &=\int_{\T}\biggl(\op(t)t^{-n}\int_{\T}
    \op[1](t^{-1}s)(t^{-1}s)^{-n}\,\de
    s\biggr)\de t \\
    &=\biggl(\int_{\T}\op(t)t^{-n}\,\de t\biggr)
    \biggl(\int_{\T}\op[1](s)s^{-n}\,\de s\biggr)=
    \hat\op(n)\hat{\op[1]}(n)
  \end{align*}
  par le théorème de Fubini et
  \begin{equation*}
    \widehat{\op^*}(n)=
    \int_{\T}\overline{\op(t^{-1})}t^{-n}\,\de t =
    \overline{\int_{\T} \op(t^{-1})t^n\,\de t} =
    \overline{\int_{\T} \op(t)t^{-n}\,\de t} =
    {\hat\op}^*(n):
  \end{equation*}
  donc $\fourier_\T$ est un morphisme d'algèbres involutives de
  $\Ell^1({\T})$ dans $\cont_0(\Z)$.   Si $\op\in\ell^1(\Z)$, alors 
  \begin{equation*}
    \int_{\T}\hat{\op}(t)t^{-n}\,\de t =    
    \int_{\T}\left(\sum_{k=-\infty}^\infty \op_kt^k\right)t^{-n}\,\de t =
    \sum_{n=-\infty}^\infty \op_k\int_{\T}t^{k-n}\,\de t =
    \op_n.
  \end{equation*}
  En identifiant les fonctions continues \`a leur classe dans $\Ell^1(\T)$, on a donc
  $\fourier_{\T}\circ\fourier_{\Z}(\op) = \op$.  En particulier,
  $\fourier_{\Z}$ est injective et $\fourier_{\T}$ est d'image dense.
  Elle n'est pas ferm\'ee: on peut utiliser le
  th\'eor\`eme de Banach-Steinhaus pour le voir; on peut aussi montrer
  que
  \begin{math}
    {\bigl(\signe(n)/\log(\abs n+2)\bigr)}_{n\in\Z}
  \end{math}
  n'est pas la s\'erie de Fourier d'une fonction int\'egrable.  

  $\fourier_{\T}$ est injective: c'est le th\'eor\`eme d'unicit\'e de
  la s\'erie de Fourier. Cela r\'esulte aussi du fait qu'on peut
  identifier $\fourier_{\T}'$ \`a $\fourier_{\Z}$, qui est d'image dense. En fait, si
  $\op\in\Ell^1(\T)$ et $l\in\ell^1(\Z)$, alors
  \begin{multline}
    \label{dual-fourier-T}
    %l(\fourier_{\T}(\op))
    \sum_{n=-\infty}^\infty l_n\hat \op(n)
    =\sum_{n=-\infty}^\infty l_n\int_\T \op(t)t^{-n}\,\de t\\  
    =\int_\T\left(\sum_{n=-\infty}^\infty l_nt^{-n}\right)\op(t)\,\de t
    =\int_\T\hat l(t^{-1})\op(t)\,\de t.
%    =(\widetilde{\fourier_{\Z}(l)})(\op)%.
  \end{multline}
%  Donc $\fourier_{\T}'(l)=\widetilde{\fourier_{\Z}(l)}$ 
  Si $\op[1]\in\Cont(\T)$, posons $(s(\op[1]))(t)=\check{\op[1]}(t)=\op[1](t^{-1})$.
  Soit $\pi$ le morphisme injectif qui permet d'identifier une
  fonction continue sur $\T$ avec sa classe dans $\Ell^\infty(\T)$.
  Alors \eqref{dual-fourier-T} montre que $\fourier_{\T}'=\pi\circ
  s\circ\fourier_{\Z}$. % En particulier,
%   si $\hat \op=0$, alors $\op$ est dans l'orthogonal de
%   $\pi(\im\fourier_{\Z})$ dans
%   $\Ell^1(\T)$. Comme $\overline{\im\fourier_{\Z}}=\Cont(\T)$, $\op=0$.  Donc $\fourier_{\T}$ est injective.

  Si $\Ell^1({\T})$ avait une unit\'e $u$, alors
  $\hat u(n)=1$ pour tout $n$, ce qui est impossible.
\end{exalg}

L'exemple \ref{T} est l'\emph{algèbre de groupe} du groupe commutatif compact
$(\T,\cdot)$. Si $T$ est un groupe localement compact quelconque,
on peut encore munir $T$ d'une mesure de Haar et construire
l'alg\`ebre de groupe $\Ell^1(T)$ de la m\^eme mani\`ere.





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\chapter{Spectre}


\section{Spectre}

\subsection{Spectre dans une algèbre unifère}


\begin{dfn}
  Supposons que $A$ admet une unité $u$ et soit $\op\in A$.  Un
  élément $\lambda\in\corps$ est \emph{valeur spectrale} de $\op$ si
  $\lambda u-\op$ n'est pas inversible. Le \emph{spectre} de $\op$ est
  l'ensemble de ses valeurs spectrales. Ce spectre sera noté $\spec
  \op$, ou $\spec_A \op$ s'il y a un risque de confusion. Son
  complémentaire est l'\emph{ensemble résolvant} de $\op$ et noté
  $\res \op$. Soit $\Res_\la$ la fraction rationnelle $\dfrac{1}{\la-t}$.
  La \emph{r\'esolvante} de $\op$ est la fonction
  \begin{equation*}
    \Res(\op)\colon\begin{aligned}[t]
      \res\op&\to A\\
      \la&\mapsto\Res_\la(\op)={(\la\un-\op)}^{-1}.
    \end{aligned}
  \end{equation*}
\end{dfn}

Si $a\in\corps$, alors $\spec(a\un+\op)=a+\spec\op$. Si
$b\in\corps\setminus\{0\}$, alors $\spec(b\op)=b\spec\op$; c'est
encore vrai si $b=0$ lorsque $\spec\op$ n'est pas vide. Si $\op$ est
inversible, alors $\spec(\op^{-1})=(\spec\op)^{-1}$. On obtient ainsi
que
\begin{equation*}
  \spec\left((a\un+b\op){(c\un+d\op)}^{-1}\right)
  =\left\{\dfrac{a+b\la}{c+d\la}:\la\in\spec\op\right\}
\end{equation*}
sauf si $\dfrac{a+bt}{c+dt}$ est constant
% \begin{math}
%   \left|
%     \begin{smallmatrix}
%       a&b\\
%       c&d
%     \end{smallmatrix}
%   \right|=0
% \end{math}
et $\spec\op$ est vide.  

\begin{itemize}
\item Si $A=\corps$, alors $\spec \op=\{\op\}$: en effet,
  $\lambda-\op$ est inversible si et seulement si $\lambda-\op\ne0$.
\item Si $A=\mat_n$ ou $A=\lin(E)$ ave $E$ de dimension $n$, $\spec x$
  est l'ensemble des $\lambda$ tels que $\operatorname{d\acute
    et}(\lambda\id-\op)=0$ et a donc au plus $n$ \'el\'ements, et au
  moins un \'el\'ement si $\corps$ est algébriquement clos.
\end{itemize}


\begin{prp}
  \label{spec-mor}
  \sloppy
  Soit $\mor\colon A\to B$ un morphisme d'algèbres unifères et $\op\in A$.
  Alors $\spec_B\mor(\op)\subset\spec_A\op$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\lambda\un_A-\op$ est inversible, alors 
  $\mor(\lambda\un_A-\op)=\lambda\un_B-\mor(\op)$ l'est aussi.
\end{proof}


\begin{prp}
  Si $A$ est une algèbre involutive unifère et $\op\in A$, 
  $\spec \op^*=\{\bar\la:\la\in\spec \op\}$.
\end{prp}
\begin{itemize}
\item Si $\op$ est hermitien, $\spec\op$ est stable par conjugaison.
\item Si $\op$ est unitaire, $\spec\op$ est stable par
  $\la\mapsto\overline{\la^{-1}}$.
\end{itemize}


\subsection{Premi\`ere moiti\'e du th\'eor\`eme spectral}


\begin{prp} 
  Soit $A$ un alg\`ebre unif\`ere. Soit $\op\in A$ et $r\in\corps(t)$
  tel que $r(\op)$ est bien défini. Si $\la\in\spec\op$, alors
  $r(\la)\in \spec r(\op)$: on a
  \begin{equation*}
    r(\spec\op)\subset\spec r(\op)\text.
  \end{equation*}
\end{prp}

 
\begin{proof}
  Si $r$ est un polyn\^ome et $\la\in\corps$, alors il existe un
  polyn\^ome $s$ tel que $r(\la)-r=(\la-t)s$ et donc
  $r(\la)\un-r(\op)=(\la\un-\op)s(\op)$. Si $r(\la)\un-r(\op)$ est
  inversible, alors $\la\un-\op$ est inversible: 
  \begin{equation*}
    (\lambda u-\op)s(\op){\bigl(r(\lambda)u-r(\op)\bigr)}^{-1}=
    s(\op){\bigl(r(\lambda)u-r(\op)\bigr)}^{-1}(\lambda\un-\op)=\un
  \end{equation*}
  Soit $r$ une fraction rationnelle et $\dfrac pq$ un repr\'esentant de $r$ avec
  $q(\op)$ inversible. Soit $\la\in\spec\op$: alors $q(\la)\ne0$ et $r(\la)\un-r(\op)$ est
  inversible si et seulement si $r(\la)q(\op)-p(\op)$ est inversible; or $0=r(\la)q(\la)-p(\la)\in\spec r(\la)q(\op)-p(\op)$.%   Il existe $f\in\corps[t]$ tel que
%   $p(\la)q-q(\la)p=(\lambda-t)f(\op)$: donc
%   \begin{math}
%     p(\la)q(\op)-q(\la)p(\op)=(\lambda\un-\op)f(\op)
%   \end{math} 
%   et
%   \begin{math}
%     p(\la)\un-q(\la)r(\op)=(\lambda\un-\op)f(\op){q(\op)}^{-1}.
%   \end{math} 
%   On en conclut que si $\la\in\spec\op$, $q(\la)\ne0$ et   
% \begin{math}
%     r(\la)\un-r(\op)=(\lambda\un-\op)f(\op){(q(\la)q(\op))}^{-1}:
%   \end{math} 
% donc $r(\la)\in\spec r(\op)$.
%   Soit $\lambda\in\corps$. Comme
%   $r(\lambda)-r$ est de la forme
%   $(\lambda-t)s$ avec $s(\op)$ bien d\'efini,
%   \begin{math}
%     r(\lambda)u-r(\op)=(\lambda u-\op)s(\op).
%   \end{math} 
%   Si $r(\la)\in\res r(\op)$, 
%   \begin{equation*}
%     (\lambda u-\op)s(\op){\bigl(r(\lambda)u-r(\op)\bigr)}^{-1}=
%     {\bigl(r(\lambda)u-r(\op)\bigr)}^{-1}s(\op)(\lambda\un-\op)=\un
%   \end{equation*}
%   et donc $\lambda\in\res\op$.
%   alors $(\lambda u-\op)$ n'est pas inversible et donc
%   $r(\lambda)u-r(\op)$ n'est pas inversible.
\end{proof}

\subsection{Deuxi\`eme moiti\'e du th\'eor\`eme spectral}

\begin{prp}
  \label{th-spec-2}
  Soit $\corps$ un corps algébriquement clos et $A$ une
  alg\`ebre unif\`ere. Soit $\op\in A$ et $r\in\corps(t)$. Si $r(\op)$
  est bien défini, alors
  \begin{equation*}
    \spec r(\op)=r(\spec \op)
\end{equation*}
sauf dans le cas o\`u \`a la fois $\spec \op$ est vide et $r$ est
constant.
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $\dfrac pq$ un repr\'esentant de $r$ avec
  $q(\op)$ inversible. Soit $\mu\in\corps$. Si $r$ n'est pas
  constante, la d\'ecomposition de $\mu q-p$ en facteurs premiers donne 
  \begin{equation*}
    \mu - \dfrac pq
    =\dfrac{\mu q-p}q
    =\dfrac{a\prod_{\la\in\Lambda}{(t-\la)}^{\alpha_\la}}q
  \end{equation*} 
  avec $\Lambda=\{\la\in\corps:r(\la)=\mu\}$ et $\alpha_\la$ la
  multiplicit\'e du z\'ero $\la$ dans $\mu q-p$. Alors
  \begin{equation*}
    \mu\un-r(\op) = a{q(\op)}^{-1}\prod_{\la\in\Lambda}{(\op-\la\un)}^{\alpha_\la}\text:
  \end{equation*} 
  Donc $\mu \un-r(\op)$ est inversible si et seulement si $\op-\la\un$
  est inversible pour tout $\la\in\Lambda$: $\mu\in\spec r(\op)$ si et
  seulement s'il existe $\la\in\spec\op$ tel que $r(\la)=\mu$. Cette
  égalité reste vraie lorsque $r$ est une constante si $\spec \op$
  n'est pas vide.
\end{proof}


\subsection{Calcul fonctionnel rationnel dans un corps algébriquement clos}

Si $\corps$ est algébriquement clos, alors on peut pr\'eciser quand
$r(x)$ est bien d\'efini gr\^ace \`a l'alg\`ebre suivante.

\begin{exalg}\label{rat-K}
  Soit $T\subset\corps$ et ${\corps(t)}_T$ l'ensemble des fractions
  rationnelles sans pôle dans $T$. C'est une sous-algèbre
  unifère de $\corps(t)$.
\end{exalg}

\begin{prp}  Supposons que $\corps$ est algébriquement clos et que $A$
  est unifère. Soit $\op\in A$.
  \begin{enumerate}
  \item L'élément $r(\op)$ est bien défini si et seulement si $r$
    n'a pas de pôle dans le spectre de $\op$: $\op\in{\corps(t)}_{\spec \op}$.
  \item Le calcul fonctionnel rationnel de $\op$ est l'unique
    morphisme d'algèbres unifères de ${\corps(t)}_{\spec \op}$ dans
    $A$ qui transforme $t$ en $\op$.
  \item Si $r\in{\corps(t)}_{\spec \op}$ et $s\in{\corps(t)}_{\spec
      r(\op)}$, alors $s(r(\op))=(s\circ r)(\op)$.
  \end{enumerate}
\end{prp}



\begin{proof}
  $(i)$. Soit $\dfrac pq$ le représentant de $r$ tel que
  $p$ et $q$ sont deux polynômes premiers entre eux. Alors $q\ne0$ et donc
  $q(\op)$ est inversible si et seulement si $0\notin q(\spec
  \op)$.
\end{proof}

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\section{Spectre d'un endomorphisme d'un espace vectoriel}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace vectoriel et $\op\in\lin(\ev)$.  Si $\lambda$
  est valeur propre de $\op$, alors $\lambda$ est valeur spectrale de
  $\op$. $\la$ est valeur spectrale sans \^etre valeur propre si et
  seulement si $\la\id-\op$ est injectif non surjectif.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\lambda\id-\op$ n'est pas injectif, alors $\lambda\id-\op$
  n'est pas bijectif. 
\end{proof}

Si $\ev$ est de dimension finie, alors toute
valeur spectrale est valeur propre.

\begin{lem}[lemme de décomposition des noyaux]
  \label{dec-noyaux}
  Soient $p_1,p_2\in\corps[t]$ et $\op\in\lin(\ev)$. Si $p_1$ et $p_2$ sont
  premiers entre eux, alors $\ker (p_1p_2)(\op)=\ker p_1(\op)\oplus\ker p_2(\op)$.
\end{lem}

\begin{proof}
  Il existe $q_1$, $q_2\in\corps[t]$ tels que $q_1p_1+q_2p_2=1$. Alors
  $(q_1p_1)(\op)+(q_2p_2)(\op)=\id$.  Donc tout $\el\in E$ s'écrit
  \begin{align*}
    \el=
    \bigl((q_1p_1)(\op)\bigr)(\el)+\bigl((q_2p_2)(\op)\bigr)(\el)
    =\bigl(q_1(\op)\circ p_1(\op)\bigr)(\el)+\bigl(q_2(\op)\circ p_2(\op)\bigr)(\el). 
  \end{align*}
  Si $\el\in\ker p_1(\op)\cap\ker p_2(\op)$, on en déduit que $\el=0$. Si $\el\in\ker
  (p_1p_2)(\op)$, alors
  \begin{equation*}
    \bigl(p_2(\op)\circ p_1(\op)\bigr)(\el)=
    \bigl(p_1(\op)\circ p_2(\op)\bigr)(\el)=0
  \end{equation*}
  et on en déduit que $\el$ s'écrit comme la somme d'un élément
  de $\ker p_2(\op)$ avec un élément de $\ker p_1(\op)$.
  Réciproquement, $\ker p_1(\op)\cup\ker p_2(\op)\subset\ker (p_1p_2)(\op)$.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $x\in\lin(\ev)$. Les sous-espaces propres de $\op$ 
  sont en somme directe. Si $\op$ admet un polyn\^ome minimal $p$,
  toute valeur spectrale de $x$ est valeur propre et les racines
  de $p$ forment le spectre de $\op$.
\end{cor}

\begin{proof}
  Si $\la_1,\dots,\la_n\in\corps$, alors $\la_1-t,\dots,\la_n-t$ sont
  des polyn\^omes premiers entre eux. Si $\la$ est valeur spectrale,
  alors $p(\la)\in\spec p(\op)$ et donc $p(\la)=0$.  R\'eciproquement, si
  $p(\la)=0$, alors $p=(\lambda-t)q$ et donc $(\la\id-\op)\circ
  q(\op)=0$ et $\im q(\op)\subset\ker\la\id-\op$.  Or $q(\op)\ne0$
  parce que $p$ est minimal.
\end{proof}


\begin{thm}[réduction de Jordan]
  \label{jordan}
  Considérons les suites de sous-espaces de $\ev$ définies par
  $N_k=\ker \op^k$ et $I_k=\im \op^k$. Alors
  \begin{enumerate}
  \item $N_k\subset N_{k+1}$ et $I_{k+1}\subset I_k$.
  \item S'il existe $m$ minimal tel que $N_m=N_{m+1}$, alors $N_l=N_m$ pour
    tout $l\ge m$. De plus $\op(N_m)\subset N_m$ et $N_m\cap I_m=\{0\}$.
  \item S'il existe $n$ minimal tel que $I_{n+1}=I_n$, alors $I_l=I_n$ pour
    tout $l\ge n$. De plus $\op(I_n)=I_n$ et $N_n+I_n=\ev$.
  \item Supposons que de tels $m$ et $n$ existent. Alors $m=n$ et
    donc $\ev=N_m\oplus I_m$. De plus,
    \begin{itemize}
    \item la restriction de $\op$ à $I_m$ est inversible;
    \item soit $\op[1]=\rest\op{N_m}$ la restriction de $\op$ à $N_m$:
      alors $\ker \op[1]=\ker \op$ et $\coker \op[1]$ est isomorphe à
      $\coker \op$.  En particulier, si $N_m$ est de dimension finie,
      alors $\coker \op$ est de dimension finie et on a le
      th\'eor\`eme du rang:
      \begin{equation*}
        \dim\coker \op=\dim\ker \op.
      \end{equation*}
    \end{itemize}
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof} 
  $(i)$.  
  Comme
  \begin{equation*}
    \op^k(\el)=0\ \Rightarrow\ 
    \op^{k+1}(\el)=0,
  \end{equation*}
  on a $N_k\subset N_{k+1}$. 
  Comme
  \begin{equation*}
    \el=\op^{k+1}({\el[1]})\ \Rightarrow\ 
    \el=\op^k(\op({\el[1]})),
  \end{equation*}
  on a $I_{k+1}\subset I_k$. 

  $(ii)$. On a
  \begin{equation*}
    \el\in N_{k+1}\ \Leftrightarrow\ 
    \op^{k+1}(\el)=0\ \Leftrightarrow\ 
    \op^k(\op(\el))=0\ \Leftrightarrow\ 
    \op(\el)\in N_k
  \end{equation*}
  et donc, si $N_k=N_{k+1}$, alors $N_{k+1}=N_{k+2}$ et
  $\op(N_k)\subset N_k$.  Si $\el$ est tel que $\op^m(\el)=0$ et qu'il
  existe ${\el[1]}\in \ev$ avec $\el=\op^m({\el[1]})$, alors $\op^{2m}({\el[1]})=0$ et donc
  $\op^m({\el[1]})=0$ et $\el=0$.

  $(iii)$. On a
  \begin{equation*}
    \el\in I_{k+1}\ \Leftrightarrow\ 
    \exists\,{\el[1]}\in \ev\ \el=\op^{k+1}({\el[1]})=\op(\op^k({\el[1]}))\ \Leftrightarrow\ 
    \el\in \op(I_k)
  \end{equation*}
  et donc, si $I_k=I_{k+1}$, alors $I_{k+1}=I_{k+2}$ et $\op(I_k)=I_k$.  Soit $\el\in \ev$.
  Comme $I_{2n}=I_n$, il existe ${\el[1]}\in \ev$ tel que $\op^n(\el)=\op^{2n}({\el[1]})$. Donc
  $\el-\op^n({\el[1]})\in N_n$ et $\el=(\el-\op^n({\el[1]}))+\op^n({\el[1]})$.

  $(iv)$. Supposons $m\le n$: alors $N_n=N_m$; montrons que
  $I_m\subset I_n$ et donc $m\ge n$. Si $\el\in I_m$, soient $\el_1\in
  N_n$ et $\el_2\in I_n$ tels que $\el=\el_1+\el_2$: comme $I_n\subset I_m$, $\el_1\in
  N_m\cap I_m$ et donc $\el_1=0$ et $\el=\el_2$. Supposons $m\ge n$: alors
  $I_m=I_n$; montrons que $N_m\subset N_n$ et donc $m\le n$. Si
  $\el\in N_m$, soient $\el_1\in N_n$ et $\el_2\in I_n$ tels que $\el=\el_1+\el_2$:
  comme $N_n\subset N_m$, $\el_2\in N_m\cap I_m$ et donc $\el_2=0$ et $\el=\el_1$.

  On a déjà montré que $\op(I_m)=I_m$ et donc la restriction de
  $\op$ à $I_m$ est un opérateur bien défini et surjectif.
  Montrons que cet opérateur est injectif.
  Soit $\el\in I_m$ tel que $\op(\el)=0$ et soit ${\el[1]}$ tel que $\el=\op^m({\el[1]})$.
  Alors $\op^{m+1}({\el[1]})=0$ et comme $N_{m+1}=N_m$, $\op^m({\el[1]})=0$ et donc
  $\el=0$.

  On a $\ker \op[1]=N_m\cap\ker \op=N_m\cap N_1=N_m$. % Montrons que $\ker \op\subset N_m$: si
%   $\el\in\ker \op$, soient $\el_1\in N_m$ et $\el_2\in I_m$ tels que $\el=\el_1+\el_2$.
%   Alors $0=\op(\el_1)+\op(\el_2)$ et donc successivement $\op(\el_2)\in I_m\cap N_m$,
%   $\op(\el_2)=0$ et $\el_2=0$. Donc $\el\in N_m$.
  Comme $\im \op[1]\subset\im \op$, l'opérateur
  \begin{equation*}
    \Phi\colon
    \begin{aligned}[t]
      N_m/\im \op[1]&\to \ev/\im \op\\
      \el+\im \op[1]&\mapsto \el+\im \op
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est bien défini. Montrons que $\Phi$ est injectif.  Soit $\el\in
  N_m$ tel que $\Phi(\el+\im \op[1])=0+\im \op$. Alors $\el\in\im
  \op$; soit $\el[1]\in \ev$ tel que $\el=\op(\el[1])$ et soient
  $\el[1]_1\in N_m$ et $\el[1]_2\in I_m$ tels que
  $\el[1]=\el[1]_1+\el[1]_2$. Alors
  $\el=\op[1](\el[1]_1)+\op(\el[1]_2)$ et donc $\op(\el[1]_2)\in
  N_m\cap I_m$. Donc $\op(\el[1]_2)=0$ et $\el\in\im \op[1]$. Montrons
  que $\Phi$ est surjectif. Soit $\el\in \ev$; il existe $\el_1\in
  N_m$ et $\el_2\in I_m$ tels que $\el=\el_1+\el_2$. Alors $\el_2\in
  \op(I_m)$ et $\el+\im \op=\el_1+\im \op=\Phi(\el_1+\im \op[1])$.

  Si $N_m$ est de dimension finie, alors $\dim N_m=\dim\ker \op[1]+\dim\im \op[1]$.
\end{proof}

\section{\texorpdfstring{Spectre d'un opérateur normal sur un espace $A$-hermitien}{Spectre d'un opérateur normal sur un espace A-hermitien}}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace vectoriel muni d'un produit int\'erieur
  anisotrope et $\op\in\lin_A(\ev)$ normal.
  \begin{enumerate}
  \item Si $\el$ est vecteur propre de $\op$ associé à la valeur
    propre $\lambda$, alors $\el$ est vecteur propre de $\op^*$
    associé à la valeur propre $\bar\lambda$: l'espace propre de $\op$
    pour $\la$ \'egale l'espace propre de $\op^*$ pour $\bar\la$; de
    plus, l'espace propre de $\op$ pour $\la$ \'egale l'espace
    spectral de $\op$ pour $\la$:
    $\ker{(\lambda\id-\op)}^n=\ker\lambda\id-\op$ pour tout $n\ge1$.
  \item Deux espaces propres de $\op$
    associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
  \item Si $\op$ est hermitien, alors toute valeur propre de $\op$ est réelle. 
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$ se déduit de la proposition \ref{ker-normal} parce que
  $\lambda\id-\op$ est normal si $\op$ est normal et donc
  $\ker\lambda\id-\op=\ker\bar\lambda\id-\op^*$.

  $(ii)$. Si $\el\in \ker\lambda\id-\op$ et ${\el[1]}\in \ker\mu\id-\op$, alors
  \begin{equation*}
    \la\scal \el{\el[1]}=
    \scal{\op(\el)}{\el[1]}=
    \scal \el{\op^*({\el[1]})}=
    \scal \el{\bar\mu {\el[1]}}=
    \mu\scal \el{\el[1]}
  \end{equation*}
  et donc $(\la-\mu)\scal \el{\el[1]}=0$.

  $(iii)$. Si $\el\in \ker\lambda\id-\op$, alors
  \begin{math}
    \la\scal \el\el=
    \scal{\op(\el)}\el=
    \scal \el{\op(\el)}=
    \scal \el{\la \el}=
    \bar\la\scal \el\el
  \end{math}: donc $\scal \el\el\Im\la=0$.
\end{proof}


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\section{Adjonction d'une unité}

\begin{dfn}
  Soit $A$ une $\corps$-algèbre. Sur l'ensemble $A^1=\corps\times A$,
  définissons les lois de composition suivantes:
  \begin{align*}
    \lambda(\mu,\op)&=(\lambda\mu,\lambda \op)\\
    (\lambda,\op)+(\mu,\op[1])&=(\lambda+\mu,\op+\op[1])\\
    (\lambda,\op)(\mu,\op[1])&=(\lambda\mu,\lambda \op[1]+\mu \op+\op\op[1]).
  \end{align*}
  Alors $A^1$ est une $\corps$-algèbre unifère et $u^1=(1,0)$ est l'unité
  de $A^1$. 
  Si $A$ est involutive, on munit $A^1$ de l'involution définie par
  \begin{equation*}
    (\lambda,\op)^*=(\bar\lambda,\op^*).
  \end{equation*}
  On dit que $A^1$ est l'algèbre \emph{déduite de $A$ par adjonction
    d'une unité}.
\end{dfn}

L'ensemble $\{0\}\times A$ est un idéal de $A^1$: c'est l'image de
l'application
\begin{equation*}
  \iota\colon
  \begin{aligned}[t]
    A&\to A^1\\
    \op&\mapsto(0,\op),
  \end{aligned}
\end{equation*}
qui est un
morphisme d'algèbres injectif au moyen duquel on identifie $A$ et
$\{0\}\times A$. Notons
\begin{equation}
  \label{delta}
  \delta\colon
  \begin{aligned}[t]
    A^1&\to\corps\\
    (\lambda,\op)&\mapsto\lambda:
  \end{aligned}
\end{equation}
c'est un morphisme d'alg\`ebres unif\`eres.
On peut résumer l'adjonction d'une unité par la suite exacte scindée
\begin{equation*}0\to A\xrightarrow\iota A^1\xrightarrow \delta\corps\to0.\end{equation*}
L'élément $(\lambda,\op)$ est noté $\lambda+\op$.    

\begin{dfn}
  Si $A$ et $B$ sont des algèbres, le \emph{produit} $A\times B$ est
  une algèbre muni de la multiplication
  \begin{equation*}
    (a,b)(a',b')=(aa',bb').
  \end{equation*}
  Si $A$ admet une unité $u_A$ et $B$ admet une unité $u_B$, alors
  $(u_A,u_B)$ est l'unité de $A\times B$. Si $A$ et $B$ sont
  involutives, alors $(\op^*,\op[1]^*)$ est l'adjoint de l'élément
  $(\op,\op[1])$.
\end{dfn}

\begin{lem}
  \label{lem-prod1}
  Si $A$ admet une unité $u$, alors
  \begin{equation*}
    \mor\colon
    \begin{aligned}[t]
      A^1&\to\corps\times A\\
      \lambda+\op&\mapsto(\lambda,\lambda u+\op)
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est un isomorphisme d'algèbres unifères qui est involutif si $A$ est involutif.
\end{lem}

Dans l'exemple d'alg\`ebre \ref{Cont},
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \Cont_0(T)^1&\to\Cont(\tilde T)\\
    \lambda+\op&\mapsto\lambda\Un+\op
  \end{aligned}
\end{equation*}
est un isomorphisme d'algèbres unifères involutives.  Dans l'exemple
d'alg\`ebre \ref T, l'unité adjointe peut être réalisée comme la
mesure de Dirac $\delta_1$ en $1$ en identifiant $\Ell^1(\T)$ \`a un
sous-espace vectoriel ferm\'e du dual de $\Cont(\T)$.
% : si $\op\in\Ell^1(\T)$ et $\op[1]\in\Cont(\T)$, alors
% \begin{math}
%   \displaystyle \op[2]\colon
%   s\mapsto\int_{\T}\op(t)\op[1](ts)\,\de t
% \end{math}
% est une fonction continue 
% %\`a laquelle $\tilde\op\ast\op[1]$ est \'egale presque partout 
% et par la d\'efinition de la convolution pour les distributions, 
% \begin{equation*}
%   \int_{\T}(\delta_1*\op)(t)\op[1](t)\,\de t
%   =\scal{\delta_1}{z}=z(1)=\int_{\T}\op(t)\op[1](t)\,\de t.
% \end{equation*}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre et $\op\in A$. Soit $r\in\corps(t)$. Si $r(0+x)$ est bien d\'efini
  et $r$ s'annule en $0$, alors $r(0+x)\in A$. 
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $\delta$ le morphisme d'alg\`ebres unif\`eres \eqref{delta}. Alors
  \begin{equation*}
    \delta(r(0+x))=r(\delta(0+x))=r(0)=0.\qedhere
  \end{equation*}
\end{proof}

On peut ainsi d\'efinir un calcul fonctionnel rationnel lorsque
$A$ n'est pas n\'ecessairement unif\`ere.



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\section{Spectre dans une algèbre non nécessairement unifère}

\begin{lem}
  \label{lem-prod2}
  Si $A$ et $B$ sont des algèbres unifères et $(a,b)\in A\times B$, alors
  \begin{equation*}
    \spec_{A\times B}(a,b)=\spec_Aa\cup\spec_Bb.
  \end{equation*}
\end{lem}

\begin{proof}
  $\lambda(u_A,u_B)-(a,b)=(\lambda u_A-a,\lambda u_B-b)$ est inversible dans $A\times B$ si et
  seulement si $\lambda u_A-a$ est inversible dans $A$ et $\lambda u_B-b$ est
  inversible dans $B$.
\end{proof}

\begin{dfn}
  Soit $A$ une algèbre et $\op\in A$. On note $\spec^1\op$ le \emph{spectre de
    $0+\op$ relativement à l'algèbre unifère $A^1$ déduite de $A$ par
  adjonction d'une unité}.
\end{dfn}
\begin{prp}Soit $A$ une algèbre et $\op\in A$.
  \begin{enumerate}
  \item $0\in\spec^1\op$.
  \item Si $\mor\colon
    A\to B$ est un morphisme d'algèbres, alors
    $\spec^1_B\mor(\op)\subset\spec^1_A\op$.
  \item\label{spec1} Si $A$ admet une unité $u$, $\spec^1 \op=\{0\}\cup\spec \op$.
  \item Si $A$ est involutive, alors $\spec^1 \op^*=\overline{\spec^1 \op}$.
  \end{enumerate}
\end{prp}
\begin{proof}
  $(i)$. En effet, si $\lambda+\op[1]\in A^1$, alors
  $(\lambda+\op[1])(0+\op)=0+(\lambda \op+\op[1]\op)\ne1+0$.

  $(ii)$. Il suffit de vérifier que l'application qui à
  $\lambda+\op\in A^1$ associe $\lambda+\mor(\op)\in B^1$ est un
  morphisme d'algèbres unifères.

  $(iii)$ résulte des lemmes \ref{lem-prod1} et \ref{lem-prod2}.
\end{proof}


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\section{Spectre de fonction}

\subsection{\texorpdfstring{Spectre dans $\Cont_0(T)$}{Spectre dans l'alg\`ebre des fonctions continues}}


\begin{prp}
  \begin{enumerate}
  \item Si $T$ est compact et $\op\in\Cont(T)$, alors $\spec
    \op=\op(T)$.  
  \item Si $T$ est localement compact et
    $\op\in\Cont_0(T)$, alors $\spec^1\op=\{0\}\cup\op(T)$.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $T$ est compact, l'\'el\'ement $\lambda\Un-\op$ est inversible si
  et seulement s'il ne s'annule pas. Si $T$ est localement compact,
  alors $\op$ s'identifie \`a $\tilde \op\in\Cont(\tilde T)$ d\'efinie par
\begin{equation*}
    \tilde \op(t)=
    \begin{cases}
      \op(t)&\text{si $t\in T$}\\
      0&\text{si $t=\infty$}
    \end{cases}
    \qedhere
  \end{equation*}
 \end{proof}

\subsection{\texorpdfstring{Spectre dans $\Ell^\infty(\mu)$}{Spectre dans l'alg\`ebre des fonctions born\'ees}}

\begin{prp}
  Si $\op\in\Ell^\infty(\mu)$, alors $\spec\op=\imess\op$.
\end{prp}

\begin{proof}
  $\la\Un-\op$ est inversible si et seulement si $\exists\,\eps>0$
  $\mu[|\la-\op|<\varepsilon]=0$.
\end{proof}

\section{Spectre dans les algèbres de groupe}


\begin{itemize}
\item Soit $\op\in\ell_1(\Z)$. Alors
  \begin{equation*}
    \spec \op\supset\spec\hat{\op}=
    \biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty \op_nt^n:t\in\T\biggr\},
  \end{equation*}
  parce que $\fourier$ est un morphisme d'algèbres et par la
  proposition \ref{spec-mor}. On a en fait égalité: c'est le théorème
  de Wiener qui résultera de la théorie de Gelfand.
\item   Soit $\op\in\Ell^1(\T)$. Alors de même
  \begin{equation*}
    \spec^1 \op\supset\spec^1\hat{\op} = \{0\} \cup 
    \left\{\int_\T \op(t)t^{-n}\,\de t:n\in\Z\right\}.
  \end{equation*}
  La théorie de Gelfand montrera qu'on a égalité.
% \item   Soit $\op\in\Ell^1(\R)$. Alors encore
%   \begin{equation*}
%     \spec^1 \op\supset\spec^1\widehat{\op} = \{0\} \cup 
%     \biggl\{\int_{-\infty}^\infty \op(t)\e^{-\iu\vartheta t}\,\de t:\vartheta\in[0,2\pi\mathclose[\biggr\}
%   \end{equation*}
%   et la théorie de Gelfand montrera encore qu'on a égalité.
\end{itemize}


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\section{Spectre dans une alg\`ebre de Banach}

Soit $\corps$ le corps des r\'eels ou des complexes. 

\subsection{Alg\`ebre norm\'ee et alg\`ebre de Banach}

%\subsection{D\'efinition topologique}

Dans chacun de nos exemples d'alg\`ebre qui est aussi un espace
norm\'e, l'in\'egalit\'e
$\norm{\op\op[1]}\le\norm{\op}\,\norm{\op[1]}$ vaut: la multiplication
est une application bilin\'eaire born\'ee. Soit $A$ une alg\`ebre et
consid\'erons le morphisme d'algèbres $L\colon A\mapsto\borne(A)$
défini par $L_{\op}(\op[1])=\op\op[1]$.

\begin{itemize}
\item Consid\'erons une alg\`ebre $A$ qui est aussi un espace de
  Banach, telle que la multiplication est s\'epar\'ement continue:
  pour chaque $\op\in A$, les op\'erateurs $\op[1]\mapsto\op\op[1]$ et
  $\op[1]\mapsto\op[1]\op$ sont born\'es.  Soit
  $S=\{L_{\op}:\op\in\ball_{A}\}$.  Pour chaque $\op[1]\in A$,
  $\{L_{\op}(\op[1]):\op\in\ball_{A}\}$ est born\'e. Par le
  th\'eor\`eme de Banach-Steinhaus, $S$ est born\'e:
  \begin{equation}
    \label{mult-borne}
    \exists\,C\ge0\quad\ \forall\,\op,\op[1]\in A\quad
    \norm{\op\op[1]}
    \le C\norm{\op}\norm{\op[1]}.
\end{equation}
  Donc la multiplication est une application bilin\'eaire born\'ee.

\item Consid\'erons une alg\`ebre $A$ qui est aussi un espace norm\'e,
  telle que \eqref{mult-borne} vaut.
  \begin{itemize}
  \item Si $A$ admet une unit\'e $\un$, alors $L$ est un isomorphisme
    d'alg\`ebres unif\`eres et d'espaces norm\'es sur une
    sous-alg\`ebre ferm\'ee de $\borne(A)$ contenant $\id$. En effet,
    \begin{equation*}
      C\norm{\op}\ge \norm{L_{\op}}\ge \biggl\lVert
      L_{\op}\biggl(\dfrac{\un}{\norm{\un}}\biggr)\biggr\rVert=
      \dfrac{\norm{\op}}{\norm{\un}}.
    \end{equation*}
    On a alors
    \begin{equation*}
      \norm{L_{\op}\circ
        L_{\op[1]}}\le\norm{L_{\op}}\,\norm{L_{\op[1]}}\quad\text{et}\quad\norm{L_{\un}}=1.
    \end{equation*}

  \item Si $A$ n'est pas unif\`ere, notons qu'on peut munir $A^1$
    d'une norme qui \'etend la norme sur $A$: posons
    $\norm{\la+\op}=\abs\la+\norm{\op}$.  Alors \eqref{mult-borne}
    vaut aussi pour $A^1$ et la m\^eme discussion montre que
    $L^1\colon A\mapsto\borne(A^1)$ définie par
    $L^1_{\op}(\la+\op[1])=(0+\op)(\la+\op[1])$ est un isomorphisme
    d'alg\`ebres et d'espaces norm\'es sur une sous-alg\`ebre
    ferm\'ee de $\borne(A^1)$. On a alors
    \begin{equation*}
      \norm{L^1_{\op}\circ
        L^1_{\op[1]}}\le\norm{L^1_{\op}}\,\norm{L^1_{\op[1]}}.
    \end{equation*}
  \end{itemize}
\end{itemize}

Cette discussion donne des conditions tr\`es g\'en\'erales auxquelles
$A$ est, pour une norme \'equivalente, une alg\`ebre norm\'ee au sens
de la d\'efinition suivante.
% Nous ne consid\'ererons dor\'enavant que le cas o\`u $\corps=\CC$.
% Cela motive la d\'efinition suivante.

\begin{dfn}
  \begin{enumerate}
  \item Une \emph{alg\`ebre norm\'ee} est une alg\`ebre $A$ qui est
    aussi un espace vectoriel norm\'e, telle que la multiplication
    satisfait $\norm{\op\op[1]}\le\norm{\op}\,\norm{\op[1]}$.
  \item $A$ est une \emph{alg\`ebre norm\'ee unif\`ere} si $A$ est
    une alg\`ebre norm\'ee et $A$ admet une unit\'e $\un$ telle que
    $\norm{\un}=1$.
  \item Si $A$ est de plus complet, on dit que $A$ est une
    \emph{alg\`ebre de Banach}.
  \item Si $A$ et $B$ sont deux alg\`ebres
    norm\'ees, on appelle \emph{morphisme d'alg\`ebres norm\'ees} de
    $A$ dans $B$ un morphisme d'alg\`ebres $\mor\colon A\to B$ tel
    que $\mor$ soit born\'e.
  \end{enumerate}
\end{dfn}

%\subsection{D\'efinition normique }

% \begin{dfn}
%   \begin{enumerate}
%   \item Une \emph{alg\`ebre de Banach (complexe)} est une $\CC$-alg\`ebre $A$ qui
%     est aussi un espace de Banach, telle que la multiplication
%     satisfait $\norm{\op\op[1]}\le\norm{\op}\,\norm{\op[1]}$.


%   \item \'Etant donn\'ees deux algèbres de Banach $A$ et $B$, on
%     appelle \emph{morphisme d'algèbres de Banach} de $A$ dans $B$ un
%     morphisme d'algèbres $\mor\colon A\to B$ telle que $\mor$ soit
%     born\'e.  
%   \end{enumerate}
% \end{dfn}

L'alg\`ebre $\borne(\ev)$ est norm\'ee si $\ev$ est un espace norm\'e,
et une alg\`ebre de Banach si $\ev$ est un espace de Banach.

Si $A$ est munie d'une involution qui est continue, alors, quitte \`a
remplacer la norme de $A$ par la norme \'equivalente d\'efinie par
$\max(\norm{\op},\norm{\op^*})$, on peut poser la d\'efinition suivante.

\begin{dfn}
  \begin{enumerate}
  \item $A$ est une \emph{alg\`ebre norm\'ee involutive} si $A$ est
    une alg\`ebre involutive qui est une alg\`ebre norm\'ee et
    $\norm{\op^*}=\norm{\op}$ pour tout $\op\in A$.
  \item $A$ est une \emph{alg\`ebre stellaire} si $A$ est une
    alg\`ebre de Banach involutive telle que
    $\norm{\op^*\op}={\norm{\op}}^2$ pour tout $\op\in A$.
  \end{enumerate}
\end{dfn}

\begin{rem}
  \label{stell-ineg}
  Si $A$ est une alg\`ebre de Banach telle que
  ${\norm{\op}}^2\le\norm{\op^*\op}$, alors $A$ est une alg\`ebre
  stellaire. Si une alg\`ebre stellaire admet une unit\'e $\un$, alors
  n\'ecessairement $\norm\un=1$.
\end{rem}

Les alg\`ebres de groupe, l'alg\`ebre du disque et $\hardy^\infty$
sont des alg\`ebres norm\'ees involutives. Les alg\`ebres suivantes
sont stellaires: $\Cont_0(T)$, $\ELL^\infty(\mu)$, $\Ell^\infty(\mu)$,
et $\borne(\ev)$ si $\ev$ est un espace de Hilbert.


\subsection{Inverse, r\'esolvante et spectre dans une alg\`ebre de Banach}




\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre norm\'ee unif\`ere et $\op\in A$. Si la
  s\'erie $\sum \op^k$ converge dans $A$, alors $\un-\op$ est
  inversible et
  \begin{equation*}
    {(\un-\op)}^{-1}=\sum_{k=0}^\infty \op^k.
  \end{equation*}
  Si $\norm{\op}<1$, cette s\'erie converge
  normalement; si elle converge dans $A$, 
  \begin{equation*}
 %   \Norm{{(\un-\op)}^{-1}}\le\dfrac{1}{1-\norm{\op}},\quad
    \Norm{{(\un-\op)}^{-1}-\un}\le\dfrac{\norm{\op}}{1-\norm{\op}}.  
  \end{equation*}
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $\op_n=\un+\op+\dots+\op^n$. Alors
  $(\un-\op)\op_n=\op_n(\un-\op)=\un-\op^{n+1}$. Comme
  $\op^{n+1}\to0$, on a $(\un-\op)\op_n=\op_n(\un-\op)\to\un$. Comme
  la s\'erie $\sum \op^k$ converge et la multiplication est
  s\'epar\'ement continue, on a
  \begin{equation*}
    (\un-\op)\sum_{k=0}^\infty \op^k=
    \Biggl(\sum_{k=0}^\infty \op^k\Biggr)(\un-\op)=\un.
  \end{equation*}
  Si $\norm{\op}<1$, alors
  \begin{math}
    \displaystyle
    \sum_{k=0}^\infty\norm{\op^k}\le
    \sum_{k=0}^\infty\norm{\op}^k=
    \dfrac{1}{1-\norm{\op}}.
  \end{math}
  De plus,
  \begin{math}
    \displaystyle
    {(\un-\op)}^{-1}-\un=
    \sum_{k=1}^\infty \op^k=
    \op\sum_{k=0}^\infty \op^k.
    %\op{(\un-\op)}^{-1}.%\qedhere
\end{math}
%  et cette
% s\'erie converge normalement; si $A$ est une alg\`ebre de Banach, elle
% converge.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach unif\`ere. Alors $A^{-1}$ est
  ouvert. Soit $\op\in A$. Alors $\res\op$ est un voisinage ouvert de
  l'infini. La r\'esolvante de $\op$ est d\'eveloppable en s\'erie
  enti\`ere au voisinage de tout point de $\res\op$ et
    \begin{equation*}
      \Norm{\Res_\la(\op)-\la^{-1}\un}\le
      \dfrac{1}{\abs{\la}^{2}}\dfrac{\norm{\op}}{1-{\abs{\la}}^{-1}\norm{\op}}=
      O\left(\frac1{\la^2}\right)
    \end{equation*}
%     \begin{math}
%       \norm{{(\la-\op)}^{-1}}\le{(\abs\la-\norm{\op})}^{-1}
%     \end{math}
    pour $\abs\la>\norm\op$.
\end{cor}

\begin{proof}
  Si $\op\in A^{-1}$ et $\norm{\op-\op[1]}<{\norm{\op^{-1}}}^{-1}$, alors
  \begin{math}
    \op[1]=(\un-(\op-\op[1])\op^{-1})\op
  \end{math}
  est inversible: donc $A^{-1}$ est ouvert. En particulier, si
  $\la\in\res\op$ et
  $\abs{\la-\mu}<{\norm{{(\la\un-\op)}^{-1}}}^{-1}$, alors
  $\mu\un-\op$ est inversible et
  \begin{align*}
    \Res_\mu(\op)
    ={(\mu\un-\op)}^{-1}
    &={(\la\un-\op)}^{-1}\sum_{k=0}^\infty\bigl((\la-\mu){(\la\un-\op)}^{-1}\bigr)^k\\
    &=\sum_{k=0}^\infty{(\la\un-\op)}^{-k-1}(\la-\mu)^k.
  \end{align*}
%   \begin{equation*}
%     \mu\un-\op=
%     (\la\un-\op)+(\mu-\la)\un=
%     {(\la\un-\op)}\bigl(\un-(\la-\mu){(\la\un-\op)}^{-1}\bigr):
%   \end{equation*}
%   si $\norm{(\la-\mu){(\la\un-\op)}^{-1}}<1$, alors $\mu\un-\op$ est
%   inversible et on a donc pour $\abs{\mu-\la}<{\norm{{(\la\un-\op)}^{-1}}}^{-1}$ 
%   \begin{equation*}
%     \Res_\mu(\op)=(\mu\un-\op)^{-1}=
%     \sum_{k=0}^\infty(\la\un-\op)^{k+1}(\la-\mu)^k.\qedhere
%   \end{equation*}
  Si $\abs\mu\,\norm\op<1$, la s\'erie
  $\sum\op^k\mu^k$ converge vers
  % $r=\liminf\limits_{k\to\infty}\norm{\op^k}^{-1/k}$
  ${(\un-\mu\op)}^{-1}$. Posons $\la=1/\mu$. Comme
  ${(\un-\mu\op)}^{-1}=\la{(\la\un-\op)}^{-1}$, $\la\in\res\op$ si
  $\abs\la>\norm\op$ et
  \begin{equation*}
    \norm{{\la(\la\un-\op)}^{-1}-\un}
  \le\abs{\la^{-1}}\,\norm{\op}{(1-\abs{\la^{-1}}\,\norm{\op})}^{-1}.\qedhere
  % $\abs{\la}\,\norm{{(\la-\op)}^{-1}}\le{(1-\abs{\la^{-1}}\,\norm{\op})}^{-1}$.
\end{equation*}
\end{proof}

  Soit $\la\in\spec\op$ et $n\ge1$. Alors cette d\'emonstration donne
  $\abs\la\le\norm\op$; comme $\la^n\in\spec\op^n$, on a aussi
  $\abs{\la^n}\le\norm{\op^n}$ et donc
  $\abs\la\le{\norm{\op^n}}^{1/n}$. 

\begin{dfn}
  Soit $A$ une alg\`ebre norm\'ee et $\op\in A$. Le \emph{rayon
    spectral} de $\op$ est
%  $\displaystyle\rs(\op)=\limsup_{n\to\infty}{\norm{\op^n}}^{1/n}$.
  $\displaystyle\rs(\op)=\inf_{n\ge1}{\norm{\op^n}}^{1/n}$.
\end{dfn}

\begin{cor}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach unif\`ere et $\op\in A$. Alors le
  spectre de $\op$ est une partie ferm\'ee du disque ferm\'e de centre
  $0$ et de rayon $\rs(\op)$.
\end{cor}

\begin{cor}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach unif\`ere et $\op\in A$. Si
  $\norm{\op}=\norm{\op^{-1}}=1$, alors $\spec\op\subset\T$. C'est le
  cas en particulier si $A$ est une alg\`ebre stellaire et $\op$ est unitaire.
\end{cor}

\begin{proof}
  %Soit $\D$ le disque ferm\'e de centre $0$ et de rayon $1$.  
  On a $\spec\op$, $\spec(\op^{-1})\subset\{\la\in\CC:\abs\la\le1\}$ et donc
  \begin{equation*}
    \spec\op={(\spec(\op^{-1}))}^{-1}\subset\{\la\in\CC:\abs\la\ge1\}\text.
  \end{equation*}
  Donc $\spec\op\subset\{\la\in\CC:\abs\la=1\}$.
\end{proof}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 


\section{Spectre d'un endomorphisme d'un espace vectoriel normé}

\begin{dfn}
  Soit $\ev$ un espace vectoriel normé et $\op\in\borne(\ev)$. Un
  élément $\la\in\corps$ est \emph{valeur propre approchée de
  $\op$} s'il existe une suite $(\el_n)$ dans $\sphere_{\ev}$ telle que
  $\la\el_n-\op(\el_n)\to0$.
\end{dfn}

Toute valeur propre approchée est valeur spectrale. Supposons que
$\ev$ est un espace de Banach.
\begin{itemize}
\item $\la$ est valeur propre approchée de $\op$ sans être une valeur
  propre si et seulement si $\la\id-\op$ est injectif d'image non
  fermée.
\item $\la$ est valeur spectrale de $\op$ sans être une valeur propre
  approchée si et seulement si $\la\id-\op$ est injectif d'image
  fermée différente de $\ev$.
\end{itemize}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace de Banach et
  $\op$ \`a la fronti\`ere de ${\borne(\ev)}^{-1}$. Alors $0$ est valeur propre
  approch\'ee de $\op$. 
\end{prp}

\begin{proof}
  Comme ${\borne(\ev)}^{-1}$ est ouvert, 
  $\op$ est non inversible limite d'une suite d'op\'erateurs $\op_n$ inversibles.
  Alors $\norm{\op_n^{-1}}$ n'est pas born\'e: sinon, il existerait
  $n$ tel que $\norm{\op_n-\op}<{\norm{\op_n^{-1}}}^{-1}$ et donc
  $\op$ serait inversible. On peut donc supposer que
  $\norm{\op_n^{-1}}\to\infty$. Il existe donc une suite
  d'\'el\'ements ${\el[1]}_n$ de norme $1$ telle que
  $\norm{\op_n^{-1}({\el[1]}_n)}\to\infty$. Posons
  $v_n=\dfrac{\op_n^{-1}({\el[1]}_n)}{\norm{\op_n^{-1}({\el[1]}_n)}}$.
  Alors $\el_n\in\sphere_{\ev}$ et $\op_n(\el_n)\to0$. Donc
  $\op(\el_n)\to0$.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $\ev$ un espace de Banach et $\op\in\borne(\ev)$. Si $\la$ est
  \`a la fronti\`ere de $\spec\op$, alors $\la$ est valeur propre approch\'ee de
  $\op$.
\end{cor}


\begin{prp}
  Soit $\op\in\borne(\ev)$ et $r\in\corps(t)$ tel que $r(\op)$ est
  bien défini. Si $\la$ est valeur propre approchée de $\op$
  associée à $(\el_n)$, alors $r(\la)$ est valeur propre
  approchée de $r(\op)$ associée à $(\el_n)$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Commen\c cons par montrer le résultat lorsque $r$ est un
  polynôme et faisons une récurrence sur le degré de $r$. Si $r$
  est une constante $a_0$, l'énoncé devient trivial.  Soit $r$ de
  degré $n\ge1$ et de terme constant $a_0$, et posons
  $s=\dfrac{r-a_0}{t}$.  Si $\la\el_n-\op(\el_n)\to0$ et
  $s(\la)\el_n-s(\op)(\el_n)\to0$, alors, par continuité de $\op$, on a successivement
  \begin{gather*}
    s(\la)\op(\el_n)-\op\circ s(\op)(\el_n)\to0\\
    (ts)(\la)\el_n-(ts)(\op)(\el_n)\to0\\
    r(\la)\el_n-r(\op)(\el_n)\to0.
  \end{gather*}
  Soit à présent $\dfrac
  pq$ un représentant de $r$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux.
  Alors $q(\la)\el_n-q(\op)(\el_n)\to0$ et par continuité de
  $r(\op)$, $q(\la)r(\op)(\el_n)-p(\op)(\el_n)\to0$. Or
  $p(\la)\el_n-p(\op)(\el_n)\to0$ et donc
  $q(\la)r(\op)(\el_n)-p(\la)\el_n\to0$. En particulier, $q(\la)\ne0$
  puisque sinon $p(\la)\ne0$. Donc $r(\op)(\el_n)-r(\la)\el_n\to0$.
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace de Banach et $\op\in\borne(\ev)$. Le spectre de
  $\op'$ dans $\borne(\ev')$ égale le spectre de $\op$ dans
  $\borne(\ev)$.
\end{prp}

\begin{proof}
  On a ${(\lambda\id_{\ev}-\op)}'=\lambda\id_{\ev'}-\op'$.
\end{proof}



\section{Spectre d'un opérateur borné sur un espace de Hilbert}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et soit $\op\in\borne(\ev)$ normal.
  Alors toute valeur spectrale de $\op$ est valeur propre approchée de $\op$.
\end{prp}

% \begin{prp}
%   Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $\op\in\borne(\ev)$ unitaire.
%   Alors $\spec\op\subset\T$.
% \end{prp}

% \begin{proof}
%   On a $\norm{\op}=\norm{\op^{-1}}=1$.
% \end{proof}


\subsection{Spectre et image numérique}


\begin{dfn}
  Soit $E$ un espace de Hilbert et soit $\op\in\borne(\ev)$.
  L'\emph{image numérique} de $\op$ est
  \begin{equation*}
    \nr(\op)=
    \{\scal {\op(\el)}\el:\el\in\sphere_{\ev}\}.
  \end{equation*}
  Le \emph{rayon numérique} de $\op$ est
  $\displaystyle\rn(\op)=\sup_{\la\in\nr(\op)}\abs{\la}$.
\end{dfn}

On a $\nr(\op^*)=\{\bar\la:\la\in\nr(\op)\}$; si $a,b\in\corps$, alors
$\nr(a\id+b\op)=a+b\nr(\op)$.

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $\op\in\borne(\ev)$. Alors $\spec
  \op\subset\overline{\nr(\op)}$.
\end{prp}

\begin{proof}
  $\overline{\nr(\op)}$ est une partie fermée et bornée de $\corps$.
  Si $\la\notin \overline{\nr(\op)}$, alors
  \begin{math}
    \displaystyle
    d=\inf_{\mu\in\nr(\op)}\abs{\la-\mu}>0.
  \end{math}
  On a donc pour tout $\el\in\sphere_{\ev}$
  \begin{equation}
    \label{nr-est}
    d\le
    \abs{\la-\scal \el{\op(\el)}}
    =\abs{\scal \el{(\la\id-\op)(\el)}}
    \le\norm{(\la\id-\op)(\el)}.
  \end{equation}
  On en d\'eduit que  $\la\id-\op$ induit  un isomorphisme d'espaces norm\'es
  entre $\ev$ et $\im(\la\id-\op)$. Donc $\im(\la\id-\op)$ est complet
  et par cons\'equent fermé dans $\ev$.  De plus \eqref{nr-est} montre que
  $(\im(\la\id-\op))^\perp$ est réduit à $\{0\}$ puisque sinon, cet
  espace contiendrait un élément $\el$ de norme $1$ qui donnerait
  $d\le0$. % Supposons $\im(\la\id-\op)\ne \ev$: alors
%   $(\im(\la\id-\op))^\perp\ne\{0\}$. Soit
%   $\el\in(\im(\la\id-\op))^\perp$ de norme $1$. Alors
%   \begin{equation*}
%     0=\scal \el{(\la\id-\op)(\el)}=\la-\scal \el{\op(\el)}
%   \end{equation*}
%   et donc $\la\in\nr(\op)$. C'est absurde.
  Donc $\la\id-\op$ est inversible et $\la\notin\spec \op$.
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $\op\in\borne(\ev)$ et soit $\Phi(\el,\el[1])=\scal{\op(\el)}{\el[1]}$ la forme bilinéaire
  associée.
  \begin{enumerate}
  \item Si $\corps=\CC$, $\op$ est hermitien si et seulement si
    $\Phi$ est une forme hermitienne, si et seulement si $\nr(\op)\subset\R$.
  \item Si $\op$ est hermitien,     
    \begin{math}
      \rn(\op)=
      \norm\op.
    \end{math}
  \item Si $\nr(\op)\subset\R^+$, c'est-à-dire que $\Phi$ est une
    forme hermitienne positive, alors on a pour tout $\el\in\ev$
    \begin{equation*}
      \norm{\op(\el)}\le\norm{\op}^{1/2}\scal{\op(\el)}{\el}^{1/2}.
    \end{equation*}
  \item Si $\op$ est hermitien, alors
    $\displaystyle\la=\inf_{\el\in\sphere_{\ev}}\scal{\op(\el)}\el$
    est valeur propre approchée de $\op$; si cet infimum est atteint
    en un élément $\el$, alors $\la$ est valeur propre de $\op$
    associée au vecteur propre $\el$. De même pour
    $\displaystyle\mu=\sup_{\el\in\sphere_{\ev}}\scal{\op(\el)}\el$.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof} $(i)$.  Si $\op$ est hermitien, alors $\Phi(\el,\el) =
  \overline{\Phi(\el,\el)}$ et donc $\nr(\op)\subset\R$.
  Réciproquement, si $\nr(\op)\subset\R$, alors pour tout $\epsilon$ de module $1$
  \begin{equation}\label{pol}
    \Phi(\el+\epsilon\el[1],\el+\epsilon\el[1]) =
    \Phi(\el,\el) +
    \epsilon\Phi(\el[1],\el) +
    \bar\epsilon\Phi(\el,\el[1])+
    \Phi({\el[1]},{\el[1]})\in\R
  \end{equation}
  et donc
  \begin{equation*}
    \epsilon\Bigl(\Phi({\el[1]},\el)-\overline{\Phi(\el,{\el[1]})}\Bigr)+
    \bar\epsilon\Bigl(\Phi(\el,{\el[1]})-\overline{\Phi({\el[1]},\el)}\Bigr)=0
  \end{equation*}
  En posant successivement $\epsilon=1$ et $\epsilon=\iu$, on obtient 
  $\Phi(\el,{\el[1]})=\overline{\Phi({\el[1]},\el)}$ et donc
  \begin{math}
    \scal{\op(\el)}{\el[1]}
    %=\overline{\scal{\op({\el[1]})}\el}
    =\scal\el{\op({\el[1]})}.
  \end{math}

  $(ii)$. Si
  $\epsilon\in\corps$ est de module $1$, on a par \eqref{pol}
  \begin{equation*}
    \Phi(\el+\epsilon\el[1],\el+\epsilon\el[1])-\Phi(\el-\epsilon\el[1],\el-\epsilon\el[1])=
    4\Re\left(\bar\epsilon\Phi(\el,\el[1])\right).
  \end{equation*}
  Par l'identité du parallélogramme,
  \begin{equation*}
    4\Re\left(\bar\epsilon\Phi(\el,\el[1])\right)\le
    \rn(\op)\norm{\el+\epsilon\el[1]}^2+\rn(\op)\norm{\el-\epsilon\el[1]}^2=
    \rn(\op)(2\norm\el^2+2\norm{\el[1]}^2).
\end{equation*}
  et donc
  \begin{math}
    \displaystyle\norm\op=
    \sup_{\el\in\ball_{\ev}}\sup\limits_{\el[1]\in\ball_{\ev}}
    \max_{\abs{\epsilon}=1}
    \Re\left(\bar\epsilon\Phi(\el,\el[1])\right)
    \le\rn(\op)\le\norm\op.
  \end{math}

  $(iii)$. Si $\nr(\op)\subset\R^+$, $\Phi$  est une forme
  hermitienne positive et l'inégalité de 
  Cauchy-Schwarz donne
  \begin{align*}
    \norm{\op(\el)}^2=
    \scal{\op(\el)}{\op(\el)}=
    \Phi(\el,\op(\el))&\le
    \Phi(\el,\el)^{1/2}\Phi(\op(\el),\op(\el))^{1/2}\\
    &\le\scal{\op(\el)}{\el}^{1/2}\norm{x}^{1/2}\norm{\op(\el)}.
  \end{align*}
  
  $(iv)$.  Soit $(v_n)$ une suite dans $\sphere_{\ev}$ telle que
  $\scal{\op(\el_n)}{\el_n}\to\la$: alors
  $\nr(\op-\la\id)=\nr(\op)-\la\subset\R^+$ et
  $\scal{(\op-\la\id)(\el_n)}{\el_n}\to0$. L'inégalité $(iii)$
  donne alors $(\op-\la\id)(\el_n)\to0$; si
  $\scal{(\op-\la\id)(\el)}{\el}=0$, elle donne $(\op-\la\id)(\el)=0$.
% Le même
%   raisonnement montre que $\mu$ est valeur approchée.
\end{proof}

\begin{cor}
  \label{herm-norm}
  Soit $\op\in\borne(\ev)$ hermitien.
  \begin{itemize}
  \item Le spectre de $\op$ est une partie fermée de
    \begin{math}
      \displaystyle
      \Bigl[
        \inf_{\el\in\sphere_{\ev}}\scal{\op(\el)}\el,
        \sup_{\el\in\sphere_{\ev}}\scal{\op(\el)}\el
      \Bigr]
    \end{math}
    et con\-tient les bornes de cet intervalle.
  \item $\op$ a une valeur propre approchée réelle de
    valeur absolue $\norm\op$.
  \item Si $r\in\corps(t)_{\spec\op}$, alors $\spec r(\op)=r(\spec\op)$.
  \end{itemize}
  % \item Si $\op$ est normal et $\corps=\CC$, $x$ a une valeur spectrale
%     de module $\norm\op$.
\end{cor}

\begin{proof}
  Notons qu'en particulier $\spec\op$ n'est pas vide.  Il reste à
  fournir la deu\-xième moitié du théorème spectral dans le cas
  où $\corps=\R$. Il suffit de montrer que $p(\op)$ est inversible
  pour tout $p=a_0+a_1t+t^2$ irréductible. Comme
  $p=a_0-\dfrac{a_1^2}{4}+\left(\dfrac{a_1}{2}+t\right)^2$, on a pour
  tout $\el\in\sphere_{\ev}$
  \begin{equation*}
    \scal{p(\op)(\el)}{\el}=
    a_0-\dfrac{a_1^2}{4}+\scal{{\left(\dfrac{a_1}{2}+\op\right)}^2(\el)}{\el}\ge
%  a_0+a_1\scal{\op(\el)}{\el}+\norm{\op(\el)}^2\ge
%  a_0-\abs{a_1}\,\norm{\op(\el)}+\norm{\op(\el)}^2\ge 
    a_0-\dfrac{a_1^2}{4}>0.\qedhere
  \end{equation*}
\end{proof}

\begin{rem}
  Si $\op$ est normal et $\corps=\CC$, $\op$ a une valeur spectrale de
  module $\norm\op$. Ce résultat sera démontré beaucoup plus tard: je
  ne connais pas de démonstration simple qui reposerait sur l'étude de
  $\nr(\op)$.
\end{rem}

% \begin{proof}
%   Si $\op$ est hermitien, cela résulte du $(iv)$ de la proposition
%   précédente. Si $\op$ est normal et $\corps=\CC$,
% \end{proof}


\subsection{Calcul fonctionnel continu d'un opérateur hermitien}

Soit $\op$ hermitien et $p=a_0+a_1t+\dots+a_nt^n\in\corps[t]$.  Alors
${p(\op)}^*=p^*(\op)$ avec
$p^*=\overline{a_0}+\overline{a_1}t+\dots+\overline{a_n}t^n$ et donc
$\norm{p(\op)}^2=\norm{{p(\op)}^*\circ p(\op)}=\norm{(p^*p)(\op)}$. Comme
$(p^*p)(\op)$ est hermitien, le corollaire \ref{herm-norm} donne
\begin{equation*}
  \displaystyle\norm{p(\op)}^2=
  \rs(p^*p)(\op)=
  \max_{\la\in\spec\op}\abs{(p^*p)(\la)}=
  \max_{\la\in\spec\op}\overline{p(\la)}p(\la)=
  \max_{\la\in\spec\op}|p(\la)|^2.
\end{equation*}

Donc le calcul fonctionnel polynomial définit une isométrie du
sous-espace vectoriel dense de $\Cont(\spec\op)$ formé des fonctions
polynomiales dans $\borne(\ev)$. Il s'étend de manière unique en une isométrie de
$\Cont(\spec\op)$ dans $\borne(\ev)$ qui est encore un morphisme d'algèbres.

\begin{dfn}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $\op\in\borne(\ev)$ hermitien. Soit
  $f\in\Cont(\spec\op)$. Soit $(p_n)$ une suite de fonctions
  polynomiales telles que $p_n\to f$. On pose
  \begin{equation*}
    f(\op)=\lim_{n\to\infty}p_n(\op).
  \end{equation*}
  L'ap\-plication $f\mapsto f(\op)$
  est appelée le \emph{calcul fonctionnel continu de $\op$}.
\end{dfn}

On a donc démontré la proposition suivante.

\begin{prp}
  Soit $\op\in\borne(\ev)$ hermitien. Le calcul fonctionnel con\-ti\-nu de
  $\op$ est l'unique morphisme d'algèbres normées unifères de
  $\Cont(\spec\op)$ dans $\borne(\ev)$ qui transforme la fonction
  $t\mapsto t$ en $\op$. De plus, c'est un morphisme d'algèbres
  involutives et une isométrie à valeurs dans les opérateurs normaux.
\end{prp}

\begin{prp} Soit $\op$ hermitien et $f\in\Cont(\spec\op)$.
  \begin{enumerate}
%  \item $f(\op)$ est normal et $\norm{f(\op)}=\norm{f}$.
  \item Si $\la$ est valeur propre approchée de $\op$ associée à
    $(\el_n)$, alors $f(\la)$ est valeur propre approchée de
    $f(\op)$ associée à $(\el_n)$.
  \item $\spec f(\op)=f(\spec\op)$.
  \item Supposons $f$ à valeurs réelles. Alors $f(\op)$ est
    hermitien. Si $g\in\Cont(\spec f(\op))$, alors $g(f(\op))=(g\circ
    f)(\op)$.
\end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
%%   $(i)$ et $(ii)$. Par continuité, le calcul fonctionnel continu est encore
%%   multiplicatif et satisfait toujours $f(\op)^*=f^*(\op)$.
  $(i)$. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions polynomiales tendant
  vers $f$. Alors $f_n(\la)\to f(\la)$, $f_n(\op)\to f(\op)$ et
  $f_n(\la)\el_n-(f_n(\op))(\el_n)\to0$. Donc   $f(\la)\el_n-(f(\op))(\el_n)\to0$.

  $(ii)$. Si $\la\in\spec\op$, alors $\la$ est valeur propre
  approchée de $\op$ et donc $f(\la)$  est valeur propre
  approchée de $f(\op)$: donc $f(\la)\in\spec f(\op)$. Si $\la\notin f(\spec\op)$,
  ${(\la-f)}^{-1}\in\Cont(\spec\op)$ et donc ${(\la\id-f(\op))}^{-1}$
  est bien défini: $\la\notin\spec f(\op)$. %% Réciproquement, soit
%%   $\la\in\spec\op$: il existe une suite $(\el_{k})$ dans
%%   $\sphere_{\ev}$ telle que $\la\el_k-\op(\el_{k})\xrightarrow{}0$.
%%   Soit $(f_n)$ une suite de fonctions polynomiales tendant vers $f$.
%%   Alors $f_n(\la)\el_k-f_n(\op)(\el_{k})\xrightarrow{}0$%%  comme le
%% %%   montre une récurrence sur le degré de $f_n$
%%   . Comme
%%   $f_n(\la)\un-f_n(\op)\to f(\la)-f(\op)$,
%%   $f(\la)\el_k-f(\op)(\el_k)\xrightarrow{}0$ et donc $f(\la)$ est
%%   valeur propre approximative de $f(\op)$.
  
  $(iii)$. Soit $\op[1]=f(\op)$. Alors $\op[1]$ est hermitien. Si
  $g\in\Cont(\spec f(\op))$, alors $g\circ f\in\Cont(\spec\op)$.
  Considérons $g\mapsto g\circ f(\op)$. C'est un morphisme
  d'algèbres normées unifères qui transforme la fonction
  $t\mapsto t$ en $\op[1]$. Par unicité, c'est le calcul fonctionnel
  continu de $\op[1]$ et donc $g\circ f(\op)=g(\op[1])$.
\end{proof}


\subsection{Opérateur positif}

\begin{prp} Soit $\op\in\borne(\ev)$. Les assertions suivantes sont 
  équivalentes.
  \begin{enumerate}
  \item $\op$ est positif.
  \item $\op$ est hermitien et $\nr(\op)\subset\R^+$, c'est-à-dire que $\Phi$ est
    une forme hermitienne positive.
  \item $\op$ est hermitien et de spectre positif.%$\spec\op\subset\R^+$. 
  \item Il existe $\op[1]$ hermitien tel que $\op=\op[1]^2$.
\end{enumerate}
On peut de plus supposer que $\op[1]$ est positif et alors $\op[1]$
est unique: c'est la \emph{racine carrée} de $\op$.
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)\imp(ii)$.  Si
  $\op=\op[1]_1^*\op[1]_1+\dots+\op[1]_k^*\op[1]_k$, alors
  $\scal{\op\el}\el=\scal{\op[1]_1\el}{\op[1]_1\el}+\dots+\scal{\op[1]_k\el}{\op[1]_k\el}\ge0$.
  
  $(ii)\imp(iii)$.  Si $\nr(\op)\subset\R^+$, alors aussi
  $\spec\op\in\R^+$. 
  
  $(iii)\imp(iv)$. Le calcul fonctionnel continu
  permet de définir l'hermitien de spectre positif $\sqrt{\op}$:
  alors $\sqrt{\op}^2=({\cdot}^2\circ\sqrt{\cdot})(\op)=\op$. 

  Si
  $\op[1]$ est positif tel que $\op[1]^2=\op$, alors $\op[1]$ est
  hermitien de spectre positif et
  $\op[1]=(\sqrt{\cdot}\circ{\cdot}^2)(\op[1])=\sqrt{\op[1]^2}=\sqrt{\op}$.
\end{proof}


\subsection{Décomposition polaire}

\begin{dfn}
  Soit $\op\in\borne(\ev)$. Le \emph{module} de $\op$ est
  l'opérateur $\abs{\op}=\sqrt{\op^*\circ\op}$.
\end{dfn}


\begin{prp}
  Soit $\op\in\borne(\ev)$. Il existe un unique $u\in\borne(\ev)$
  tel que $\op=u\circ\abs{\op}$ et $\ker u=\ker\op$. Alors $u$
  définit un opérateur unitaire entre $\overline{\im\abs{\op}}$ et
  $\overline{\im\op}$.
\end{prp}
 
La décomposition $\op=u\circ\abs{\op}$ s'appelle la \emph{décomposition polaire} de $\op$.

\begin{proof}
  Notons que 
  \begin{equation*}
    {\bigl\lVert\abs{\op}(\el)\bigr\rVert}^2=
    \scal{\abs{\op}^2(\el)}{\el}=
    \scal{\op^*\circ\op(\el)}{\el}=
    \scal{\op(\el)}{\op(\el)}=
    {\norm{\op(\el)}}^2.
  \end{equation*}
  En particulier, $\ker\abs{\op}=\ker\op$. Pour définir
  $u_0\in\borne(\im\abs{\op},\ev)$ tel que $\op=u_0\circ\abs{\op}$, il
  faut et il suffit de poser $u_0(\abs{\op}(\el))=\op(\el)$. Alors
  $u_0$ est une isométrie qui se prolonge de manière unique à
  $u_1\in\borne(\overline{\im\abs{\op}},\ev)$, qui est une isométrie
  d'image $\overline{\im\op}$. Comme
  ${\im\abs{\op}}^\perp=\ker\abs{\op}=\ker\op$, l'unique prolongement
  $u\in\borne(\ev)$ de $u_1$ tel que $\ker u=\ker\op$ est défini par
  $u(\el)=u_0(p_{\overline{\im\abs{\op}}}(\el))$.
%   opérateur $u\in\borne(\ev)$ en posant $u(\el)=0$ pour $\el\in
%   {\im\abs{\op}}^\perp=\ker\abs{\op}=\ker\op$.  Réciproquement, si
%   $\op=u\circ\abs{\op}$ et $\ker u=\ker\op$, alors
%   $u(\abs{\op}(\el))=\op(\el)$ et $u(\el)=0$ pour $\el\in
%   {\im\abs{\op}}^\perp$.
\end{proof}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 

\section{Spectre d'un opérateur compact}
\label{sec:riesz}

\subsection{Lemme de Riesz}

\begin{prp}
  Soit $\ev$ un espace vectoriel normé et $S$ un sous-espace vectoriel
  fermé propre de $\ev$. Pour tout $\delta>0$ il existe $\el\in \ev$ de
  norme $1$ tel que $d(\el,S)>1-\delta$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Soit $\delta>0$ et ${\el[1]}\in \ev\setminus S$. Alors $d(\el[1],S)>0$ puisque $S$
  est fermé: posons
  \begin{math}
    \displaystyle {\el[1]}_s=\frac{{\el[1]}-s}{\norm{{\el[1]}-s}}
  \end{math}
  pour chaque $s\in S$. Alors
  \begin{equation*}
    \displaystyle
    d({\el[1]}_s,S) = 
    \inf_{s'\in S}\Norm{\frac{{\el[1]}-s}{\norm{{\el[1]}-s}}-s'}=
    \frac{\inf\limits_{s'\in S}\bigl\|{\el[1]}-s-\norm{{\el[1]}-s}s'\bigr\|}{\norm{{\el[1]}-s}} =
%    \frac{\inf_{s''\in S}\norm{{\el[1]}-s''}}{\norm{{\el[1]}-s}} = 
    \frac{d(\el[1],S)}{\norm{{\el[1]}-s}}.
  \end{equation*}
  On peut donc prendre $\el={\el[1]}_s$ si on choisit $s\in S$ tel que
  $\norm{{\el[1]}-s}<\dfrac{d({\el[1]},S)}{1-\delta}$.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $\ev$ un espace vectoriel normé. Si $\ball_{\ev}$ est relativement
  compact, alors $\ev$ est de dimension finie.
\end{cor}

\begin{proof}
  Supposons que $\ev$ n'est pas de dimension finie: construisons par
  récurrence une suite $(\el_n)$ dans $\ball_{\ev}$ telle que
  $\norm{\el_n-\el_m}>1/2$ pour toute paire d'indices $n,m$ distincts.
  Soit $\el_1$ quelconque; si $(\el_1,\dots,\el_n)$ a été choisi, soit
  $S$ l'espace vectoriel engendré par $\el_1,\dots,\el_n$. Alors $S$ est
  un sous-espace vectoriel fermé propre de $\ev$ puisque $S$ est de
  dimension finie.  Par le lemme de Riesz, il existe $\el_{n+1}$ tel que
  $d(\el_{n+1},S)>1/2$: en particulier, $\norm{\el_{n+1}-\el_k}>1/2$ pour
  $k\in\Entiers1n$.

  Mais alors toute sous-suite $(\el'_n)$ de $(\el_n)$ satisfait encore
  $\norm{\el'_n-\el'_m}>1/2$: donc aucune sous-suite de $(\el_n)$ ne
  converge et $\ball_{\ev}$ n'est pas relativement compact.
\end{proof}

\subsection{Alternative de Fredholm}

L'alternative de Fredholm est une g\'en\'eralisation de la
r\'esolution de syst\`emes de $n$ \'equations lin\'eaires \`a $n$
inconnues. Soit $\op\in\mat_n$ et ${\el[1]}\in\corps^n$ et consid\'erons le
syst\`eme
\begin{equation}\label{systeme}
\left\{
  \begin{matrix}
    \op_{11}\,\el_1&+&\dots&+&\op_{1n}\,\el_n&=&{\el[1]}_1\\
    \hfill\myvdots\hfill\,\el_1&+&\dots&+&\hfill\myvdots\hfill\,\el_n&=&\hfill\myvdots\hfill\hphantom{.}\\
    \vphantom{\myvdots}\op_{n1}\,\el_1&+&\dots&+&\op_{nn}\,\el_n&=&{\el[1]}_n.\\
  \end{matrix}
  \right.
\end{equation}
Identifions $\el\in\corps^n$ avec le vecteur colonne 
\begin{math}
  \left(
  \begin{smallmatrix}
    \el_1\\
    \raise4pt\vbox{\baselineskip=3pt \lineskiplimit=0pt\kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}\\
    \el_n
  \end{smallmatrix}\right)
\end{math}
et $\op$ avec l'op\'erateur sur $\lin(\corps^n)$ d\'efini par 
\begin{math}
 \op(\el)=\op\el.
\end{math}
Alors le syst\`eme \eqref{systeme} s'\'ecrit $\op(v)=w$. Dire que ce
syst\`eme a une solution quel que soit $w$, c'est dire que $\op$ est
surjectif, et dire que la solution est unique, c'est dire que $\op$ est
injectif. Le th\'eor\`eme du rang dit que la codimension de l'image
de $\op$ \'egale la dimension de son noyau. En particulier, $\op$ est
inversible d\`es que $\op$ est injectif.


\begin{thm}
  \label{fred}
  Soit $\ev$ un espace de Banach et $\op\in\compact(\ev)$. Soit
  $\la\ne0$. On a l'alternative suivante:
  \begin{itemize}
  \item soit $\la\id-\op$ est inversible,
  \item soit $\ker\la\id-\op\ne\{0\}$,
  \end{itemize}
  c'est-à-dire que toute valeur spectrale non nulle de $\op$ est valeur
  propre de $\op$. De plus, $\ker\la\id-\op$ est de dimension finie,
  $\im\la\id-\op$ est de codimension finie et $\la\id-\op$ satisfait le th\'eor\`eme du rang:
  \begin{equation*}
    \dim\ker\la\id-\op=\dim\coker\la\id-\op=\dim\ker\la\id-\op'.
  \end{equation*}
\end{thm}

Ce théorème donne la méthode suivante pour résoudre l'équation
inhomogène $\op(\el)=\la \el+{\el[1]}$ si $\la\ne0$.
\begin{itemize}
\item Si l'équation homogène $\op(\el)=\la \el$ a comme solution unique
  $\el=0$, alors équation inhomogène $\op(\el)=\la \el+{\el[1]}$ a une solution $\el$
  unique pour tout ${\el[1]}\in \ev$.
\item Sinon, les solutions de l'équation homogène $\op(\el)=\la \el$ forment
  un espace vectoriel $\ev$ de dimension finie $n$ et les solutions de
  l'équation $\op'(l)=\la l$ forment aussi un espace vectoriel $\ev[1]$ de
  dimension $n$. Alors l'équation inhomogène $\op(\el)=\la \el+{\el[1]}$ a une
  solution $\el$ si et seulement si ${\el[1]}\in \ev[1]_\perp$; l'ensemble des
  solutions est alors $\el+\ev$.

  Concrètement, si on choisit une base $(\el_1,\dots,\el_n)$ pour $\ev$ et
  une base $(l_1,\dots,\allowbreak l_n)$ pour $\ev[1]$, alors l'équation inhomogène
  $\op(\el)=\la \el+{\el[1]}$ a une solution particuli\`ere $\el$ si et seulement si
  $\pair{l_1}{\el[1]}=\dots\pair{l_n}{\el[1]}=0$ et l'ensemble des solutions est
  alors $\{\el+\la_1\el_1+\dots+\la_n\el_n:\la_1,\dots,\la_n\in\corps^n\}$.
\end{itemize}

En effet, si l'équation homogène $\op(\el)=\la \el$ a comme solution
unique $\el=0$, alors $\op-\la\id$ est injectif et donc inversible;
sinon
\begin{math}
  \dim\ker\la\id-\op'=\dim\ker\la\id-\op
\end{math}
et
\begin{math}
  \im\la\id-\op=(\ker\la\id-\op)_\perp.
\end{math}

\subsection{Théorème spectral des opérateurs compacts}


\begin{thm}
  \label{spec-comp}
  Soit $\ev$ un espace de Banach et $\op\in\compact(\ev)$.
  \begin{enumerate}
  \item Si $\ev$ est de dimension infinie, alors $0\in\spec \op$;
    $0$ n'est pas nécessairement valeur propre de $\op$.
  \item $\spec \op\setminus\{0\}$ est soit vide soit fini soit
    dénombrable avec $0$ comme unique valeur d'adhérence.
  \item Si $\la\in\spec \op\setminus\{0\}$, alors $\la$ est valeur
    propre de $\op$; il existe $m_\la(\op)\in\N^*$ tel que
    $N_\la(\op)=\ker(\la\id-\op)^{m_\la(\op)}$ et $I_\la(\op)=\im(\la\id-\op)^{m_\la(\op)}$ sont
    des espaces vectoriels fermés invariants par $\op$, $N_\la(\op)$ est
    de dimension finie, $\ev$ est la somme directe de $N_\la(\op)$ et
    $I_\la(\op)$, et $\rest{\la\id-\op}{I_\la(\op)}$ est un
    isomorphisme d'espaces de Banach.
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{cor}
  \label{spec-comp-prol}
  Soit $\ev$ un espace de Banach et $\ev_0\subset\ev$ un sous-espace
  vectoriel dense. Soit $\op_0\in\compact(\ev_0)$ et
  $\op\in\compact(\ev)$ son unique prolongement par continuit\'e.
  Alors $\spec\op_0=\spec\op$ et pour tout
  $\la\in\spec\op_0\setminus\{0\}$, $m_\la(\op_0)=m_\la(\op)$ et
  $N_\la(\op_0)=N_\la(\op)$.
\end{cor}

\begin{proof}
  Il suffit d'appliquer la proposition \ref{comp-prol} et le th\'eor\`eme \ref{spec-comp}.
\end{proof}
La démonstration des théorèmes \ref{fred} et \ref{spec-comp} est
découpée en quatre lemmes et utilise la r\'eduction de Jordan.  Soit
$\la\ne0$. Alors $\la\id-\op=\la(\id-\la^{-1}\op)$ et quitte à
considérer $\la^{-1}\op$, on peut supposer que $\la=1$.  Soit
$\op[1]=\id-\op$. Intuitivement, la compacité de $\op$ signifie que
$\op$ est petit par rapport à $\id$: on dit que \emph{$\op[1]$ est une
  perturbation compacte de l'identité.}

\begin{lem}
  $\ker \op[1]$ est de dimension finie.
\end{lem}

\begin{proof}
  Il suffit de montrer que la boule unité de $\ker \op[1]$ est
  relativement compacte. Soit $(\el_n)$ une suite dans $\ball_{\ker
    \op[1]}$. Alors $(\op(\el_n))$ admet une sous-suite $(\op(\el'_n))$
  convergente. Comme $\op[1](\el'_n)=0$, $\op(\el'_n)=\el'_n$ et donc $(\el'_n)$
  converge.
\end{proof}

\begin{lem}
  Soit $S$ un sous-espace vectoriel fermé de $\ev$. Alors $\op[1](S)$
  est un sous-espace vectoriel fermé. En particulier, $\im \op[1]$ est
  un sous-espace vectoriel fermé de codimension finie.
\end{lem}

\begin{proof}
  Soit $\hat{\op[1]}\colon S\to \ev[1]$ l'op\'erateur $y$ restreint
  \`a $S$ et considérons la factorisation canonique
\begin{equation*}
  \begin{CD}
  S/\ker\hat{\op[1]} @>{\tilde{\op[1]}}>> \op[1](S)\\
  @AAA @VVV\\
  S@>{\hat{\op[1]}}>>S.
\end{CD}
\end{equation*}
Alors $\tilde{\op[1]}$ est une bijection continue. Pour montrer que
$\op[1](S)$ est fermé, il suffit de montrer que $\op[1](S)$ est
complet.  Comme $S/\ker\hat{\op[1]}$ est complet, il suffit de montrer
que $\tilde{\op[1]}^{-1}$ est continue. Procédons par l'absurde et
supposons au contraire qu'il existe une suite $(\el_n)$ dans $\ev[1]$
telle que $\norm{\el_n+\ker\hat{\op[1]}}=1$ et
$\hat{\op[1]}(\el_n)\to0$. Donc
  \begin{math}
    \displaystyle \inf_{{\el[1]}\in\ker\hat{\op[1]}}\norm{\el_n+{\el[1]}}=1.
  \end{math}
  Quitte à ajouter à $\el_n$ un élément de $\ker\hat{\op[1]}$, on peut
  supposer que $\norm{\el_n}\le2$. Alors $(\op(\el_n))$ admet une
  sous-suite $(\op(\el'_n))$ convergente et comme $\el'_n=\hat
  {\op[1]}(\el'_n)+\op(\el'_n)$, $(\el'_n)$ converge vers un élément $\el\in \ev[1]$.
  Alors $\norm{\el+\ker\hat{\op[1]}}=1$ et $\hat{\op[1]}(\el)=0$: c'est
  contradictoire. En particulier, $\im \op[1]$ est fermé. Comme $\op'$ est
  aussi compact, $\ker \op[1]'$ est de dimension finie et donc $\im \op[1]$
  est de codimension finie par la proposition \ref{adj-prp1}.
\end{proof}

\begin{lem}
  Considérons les suites de sous-espaces de $\ev$ définies par
  $N_k=\ker \op[1]^k$ et $I_k=\im \op[1]^k$. Alors
  \begin{enumerate}
  \item $N_k$ est de dimension finie; $I_k$ est fermé et de
    codimension finie.
  \item Il existe un $p$ tel que $N_k=N$ pour tout $k\ge p$ et $I_k=I$ pour tout $k\ge p$ .
  \end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof} 
  $(i)$ résulte des lemmes précédents parce que $\op[1]^k$ est
  encore une perturbation compacte de l'identité:
  \begin{equation*}
    \op[1]^k=(\id-\op)^k=\sum_{j=0}^k\binom kj(-\op)^j=\id-\op\circ\sum_{j=1}^k\binom kj(-\op)^{j-1}.
  \end{equation*}
  $(ii)$. Supposons que $N_k\ne N_{k+1}$ pour tout $k$. Alors, par le
  lemme de Riesz, pour tout $k$ il existe $\el_k\in N_{k+1}$ de norme
  $1$ tel que $d(\el_k,N_k)>1/2$. Mais alors, si $l<k$,
  \begin{equation*}
    \norm{\op(\el_k)-\op(\el_l)}=\norm{\el_k-\op[1](\el_k)-\el_l+\op[1](\el_l)}\ge d(\el_k,N_k)>\frac12
  \end{equation*}
  et donc $(\op(\el_k))$ n'a pas de sous-suite convergente: c'est absurde.
  Supposons que $I_k\ne I_{k-1}$ pour tout $k$. Alors, par le lemme de
  Riesz, pour tout $k$ il existe $\el_k\in I_{k-1}$ de norme $1$ tel que
  $d(\el_k,I_k)>1/2$. Mais alors, si $l>k$,
  \begin{equation*}
    \norm{\op(\el_k)-\op(\el_l)}=\norm{\el_k-\op[1](\el_k)-\el_l+\op[1](\el_l)}\ge d(\el_k,I_k)>\frac12
  \end{equation*}
  et donc $(\op(\el_k))$ n'a pas de sous-suite convergente: c'est
  absurde.
\end{proof}

\begin{lem}
  \begin{enumerate}
  \item $N$ est un espace de dimension finie, $I$ est fermé et de
    codimension finie et $\ev=N\oplus I$.
  \item $\op[1](N)\subset N$.
  \item $\op[1](I)=I$ et la restriction de $\op[1]$ à $I$ est un
    isomorphisme d'espaces de Banach.
  \item On a $\dim\coker \op[1]=\dim\ker \op[1]$.
  \end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
  Tout cela résulte de la réduction de Jordan (th\'eor\`eme \ref{jordan})
  grâce au lemme précédent. La restriction de $\op[1]$ à $I$ est
  inversible par la proposition \ref{op-inv}.
\end{proof}


\begin{proof}[Démonstration du théorème spectral des
  opérateurs compacts]
  $(i)$. Si $0\notin\spec \op$, $\op$ est inversible et donc
  $\op\circ \op^{-1}=\id$ est compact. Donc $\ev$ est de dimension finie.
  L'opérateur de Volterra sur
  $\Cont[0,1]$ est compact et injectif.

  $(ii)$. Il s'agit de montrer que $\{\la\in\spec \op:\abs\la>\eps\}$
  est fini pour chaque $\eps>0$. Supposons au contraire que $\op$ a
  une infinité de valeurs propres $\la_k$ deux à deux distinctes
  de module supérieur à $\eps$. Pour chaque $k$ soit $\el_k$
  vecteur propre associé à $\la_k$. Alors les $\el_k$ sont
  linéairement indépendants par le lemme \ref{dec-noyaux} de
  décomposition des noyaux. Soit $\ev_k$ l'espace vectoriel
  engendré par $\{\el_1,\dots,\el_k\}$. Par le lemme de Riesz, pour
  tout $k$ il existe ${\el[1]}_k\in \ev_k$ de norme $1$ tel que
  $d({\el[1]}_k,\ev_{k-1})>1/2$. Comme $\op(\ev_k)\subset \ev_k$ et
  $(\op-\la_k)(\ev_k)\subset \ev_{k-1}$ pour tout $k$, on a pour $k>l$
  \begin{equation*}
    \norm{\op({\el[1]}_k)-\op({\el[1]}_l)}=
    \norm{\la_k{\el[1]}_k+(\op-\la_k)({\el[1]}_k)-\op({\el[1]}_l)}\ge
    \abs{\la_k}d({\el[1]}_k,\ev_{k-1})>\frac\eps2
  \end{equation*}
  et donc $(\op({\el[1]}_k))$ n'a pas de sous-suite convergente: c'est
  absurde.
\end{proof}

\section{Spectre d'un opérateur compact sur un espace de Hilbert}

\subsection{Théorème spectral des opérateurs compacts normaux}

\begin{thm}
  \label{comp-nor}
  Soit $\ev$ un espace de Hilbert et $\op\in\compact(\ev)$. Si $\op$
  est hermitien, il existe un ensemble $\Lambda\subset\corps$ qui est
  fini ou dénombrable avec $0$ comme unique valeur d'adhérence et des
  projections orthogonales $p_\lambda$ sur des espaces vectoriels
  ferm\'es $N_\lambda$ deux \`a deux orthogonaux, de dimension finie
  sauf \'eventuellement pour $\la=0$, tels que
  \begin{equation}
    \label{comp-proj}
    \op=\sum_{\la\in\Lambda}\lambda p_\lambda,
  \end{equation}
  En fait, $\Lambda=\spec \op$, $N_\lambda=\ker\la\id-\op$ et
  $\displaystyle\ev=\overline{\mathop{\bigoplus% \nolimits_2
    }\limits_{\la\in\Lambda}N_\la}$.
  En particulier, $\op$ a une valeur propre de module $\displaystyle\norm{\op}$. 
%=\sup_{\la\in\Lambda}\abs{\la}$. 
  Ce r\'esultat vaut encore si $\op$ est normal lorsque $\corps=\CC$.
\end{thm}

%L'\'equation \eqref{comp-proj} signifie que pour tout $\eps>0$ il existe $\Lambda_1\subset\Lambda$ fini tel que $\Norm{\op-\sum_{\la\in\Lambda_1}\lambda p_\lambda}<\eps$.

\begin{proof}
  Supposons que $\op$ est compact normal.  Soit 
%$\Lambda=\spec
%  \op$, $N_\lambda=\ker\la\id-\op$ et
  \begin{equation*}
    \displaystyle\ev[1]=\bigoplus_{\la\in\spec\op}\ker\la\id-\op.
  \end{equation*}
  Alors
  $\op^*(\ev[1])\subset\ev[1]$ et donc, si $\el\in{\ev[1]}^\perp$ et $\el[1]\in\ev[1]$,
  \begin{math}
    \scal{\op(\el)}{\el[1]}=\scal{\el}{\op^*(\el[1])}=0,
  \end{math}
  c'est-\`a-dire que l'espace de Hilbert ${\ev[1]}^\perp$ est stable par $\op$. Soit
  $\op[1]$ la restriction de $\op$ \`a ${\ev[1]}^\perp$: $\op[1]$ n'a
  pas de valeur propre. Par le th\'eor\`eme spectral des op\'erateurs
  compacts, $\op[1]$ n'a pas de valeur spectrale non nulle.

  Si $\op$ est hermitien, $\op[1]$ est hermitien et le corollaire \ref{herm-norm} montre que
  $\op[1]=0$: donc ${\ev[1]}^\perp\subset\ker\op\subset\ev[1]$, 
  $\ev[1]^\perp=\{0\}$ et $\overline{\ev[1]}=\ev$.

  Si $\op$ est normal, consid\'erons $\op[2]={\op[1]}^*\circ
  {\op[1]}$: $\op[2]$ est compact hermitien et
  $\op[1]\circ\op[2]=\op[2]\circ\op[1]$. Si $\op[2]\ne0$, $\op[2]$
  aurait une valeur propre non nulle $\la$ et
  $\ev[2]=\ker\la\id-\op[2]$ serait stable par $\op[1]$. Mais alors la
  restriction de $\op[1]$ \`a l'espace de dimension finie $\ev[2]$
  aurait une valeur propre et donc $\op[1]$ aurait une valeur propre.
  Donc $\op[2]=0$ et $\op[1]=0$.

  Si $\el$ est une somme finie $\sum\el_\la$ avec $\el_\la\in N_\la$,
  alors $\op(\el)=\sum\la\el_\la$. Soit $\el\in\ev$. Alors
  $\displaystyle\el=\sum_{\la\in\Lambda}\el_\la$ avec $\el_\la\in
  N_\la$.  Comme $\op$ est continu,
  $\displaystyle\op(\el)=\sum_{\la\in\Lambda}\la\el_\la=\sum_{\la\in\Lambda}\la p_\la(\el)$.
  De plus, pour tout $\Lambda_1\subset\Lambda$ fini,
  \begin{align*}
%    \Bigl\lVert\op-\sum_{\la\in\Lambda_1}\la p_\la\Bigr\rVert=
    {\Bigl\lVert\sum_{\la\in\Lambda\setminus\Lambda_1}\la p_\la(\el)\Bigr\rVert}^2
    &=\sum_{\la\in\Lambda\setminus\Lambda_1}{\abs{\la p_\la(\el)}}^2\\
    &\le
    \max_{\la\in\Lambda\setminus\Lambda_1}{\abs{\la}}^2\sum_{\la\in\Lambda\setminus\Lambda_1}{\abs{p_\la(\el)}}^2\\
    &\le
    {\Bigl(\max_{\la\in\Lambda\setminus\Lambda_1}\abs{\la}\Bigr)}^2\ {\norm{\el}}^2.
  \end{align*}
  et donc la s\'erie $\displaystyle\sum_{\la\in\Lambda}\la p_\la$ converge dans $\borne(\ev)$.
%
% soit
%   $a=\Re{\op[1]}=\dfrac{\op[1]+{\op[1]}^*}{2}$ et
%   $b=\Im{\op[1]}=\dfrac{\op[1]-{\op[1]}^*}{2\iu}$. Alors $a$ et $b$
%   sont compacts hermitiens, $a\circ b=b\circ a$ et $\op[1]=a+\iu b$.
%   Soit $\la$ une valeur propre de $a$. Alors $\ker\la\id-a$ est stable
%   par $b$ et soit $\mu$ une valeur propre de la restriction de $b$ \`a
%   $\ker\la\id-a$. 
\end{proof}

%Notons ${\Lambda\mkern-3mu}^*=\Lambda\setminus\{0\}$. 
Choisissons une base
hilbertienne $S_\la$ de $N_\la$ pour chaque $\la\in\Lambda\setminus\{0\}$: alors
$S_\la$ est fini. Soit
$(\el_j)$ une \'enum\'eration de
$\displaystyle\bigcup_{\la\in\Lambda\setminus\{0\}}S_\la$ et soit
$\la_j$ tel que $\el_j\in N_{\la_j}$.
Alors
\begin{equation*}
  \op(\el)=\sum\la_j\scal{\el}{\el_j}\el_j\quad\text{pour tout $\el\in\ev$}:
\end{equation*}
$x$ est la somme d'une s\'erie d'op\'erateurs de rang $1$.

% \subsection{Valeur absolue d'un opérateur compact positif et
%   décomposition polaire d'un opérateur compact}

% \begin{prp}
%   Soit $\op\in\compact(\ev)$ hermitien. Si $\spec\op\subset\R^+$,
%   alors il existe un unique $\op[1]\in\compact(\ev)$ hermitien avec
%   $\spec{\op[1]}\subset\R^+$ tel que $\op={\op[1]}^2$.  En
%   particulier, $\op$ est positif. On note $\op[1]=\sqrt{\op}$.
% \end{prp}

% \begin{proof}
%   $\op$ est de la forme $\sum_{\la\in\Lambda}\la p_\la$ avec
%   $\Lambda\subset\R^{+*}$ et $p_\la$ des projections orthogonales sur des
%   espaces de dimension finie deux \`a deux orthogonaux. Comme les
%   sommes partielles de la s\'erie $\sum_{\la\in\Lambda}\sqrt{\la}
%   p_\la$ sont de rang fini, elle converge vers un op\'erateur compact
%   $\op[1]$. Alors ${\op[1]}^2=\op$ et $\spec{\op[1]}\subset\R^+$. 

%   Soit $\op[2]\in\compact(\ev)$ hermitien tel que
%   $\spec{\op[2]}\subset\R^+$ et $\op={\op[2]}^2$. Alors $\op[2]$ est
%   de la forme $\sum_{\mu\in\mathrm M}\mu q_\mu$ avec $\mathrm
%   M\subset\R^{+*}$ et $q_\mu$ des projections orthogonales sur des
%   espaces de dimension finie deux \`a deux orthogonaux. Donc
%   $\op=\sum_{\mu\in\mathrm M}\mu^2 q_\mu$ et donc chaque $\mu^2$ est
%   valeur propre de $\op$ associ\'e \`a l'espace propre $\im q_\mu$:
%   donc $\op[2]=\op[1]$.
% \end{proof}


\subsection{Théorème spectral des opérateurs compacts}

\begin{thm}
  \label{comp-sp}
  Soit $\op\in\compact(\ev)$. Il existe des syst\`emes orthonorm\'es
  $(\el_j)$ et $({\el[1]}_j)$ et une suite r\'eelle $(s_j)$ qui d\'ecro\^\i t
  vers $0$ tels que
\begin{equation}
  \label{comp-spec}
  \op(\el)=\sum s_j\scal{\el}{\el_j}{\el[1]}_j\quad\text{pour tout $\el\in\ev$}.
\end{equation}
En fait, les $s_j$ sont les valeurs propres de $\abs{\op}$
r\'ep\'et\'ees selon leur multiplicit\'e et associ\'ees avec les
vecteurs propres $\el_j$: ce sont les \emph{valeurs singuli\`eres} de
$\op$.
\end{thm}

\begin{proof}
  Soit $\op=u\circ\abs{\op}$ la d\'ecomposition polaire de $\op$.
  Alors $\abs{\op}$ est compact puisque $\op^*\circ\op$ est compact et
  $\sqrt{\op^*\circ\op}$ est limite de polyn\^omes sans terme constant
  en $\op^*\circ\op$. Donc $\abs{\op}$ est de la forme
  $\abs{\op}=\sum\la_j\scal{\cdot}{\el_j}{\el}_j$, o\`u les $s_j$ sont
  rang\'ees par ordre d\'ecroissant et $(\el_j)$ est une base
  hilbertienne de $\im\abs{\op}$. Comme $u$ est un unitaire de
  $\overline{\im\abs{\op}}$ sur $\overline{\im\op}$, les
  ${\el[1]}_j=u(\el_j)$ forment une base hilbertienne de
  $\overline{\im\op}$: on a la repr\'esentation \eqref{comp-spec}.
\end{proof}

% \begin{thm}
%   Soit $\op\in\compact(\ev)$. Il existe une suite $(s_j)$ qui
%   d\'ecro\^\i t vers $0$ et deux d\'ecompositions de $\ev$ en somme
%   directe
%   $\displaystyle\ev=\overline{\mathop{\bigoplus\nolimits_2}\ev_\la}=\overline{\mathop{\bigoplus\nolimits_2}\ev[1]_\la}$.

% \begin{equation}
%   \label{comp-spec}
%   \op(\el)=\sum s_j\scal{\el}{\el_j}{\el[1]}_j\quad\text{pour tout $\el\in\ev$}.
% \end{equation}
% En fait, les $s_j$ sont les valeurs propres de $\abs{\op}$ compt\'ees
% avec leur multiplicit\'e et associ\'ees avec les vecteurs propres
% $\el_j$: ce sont les \emph{valeurs singuli\`eres} de $\op$.
% \end{thm}

% \begin{proof}
%   Soit $\op=u\circ\abs{\op}$ la d\'ecomposition polaire de $\op$.
%   Alors $\abs{\op}$ est compact puisque $\op^*\circ\op$ est compact et
%   $\sqrt{\op^*\circ\op}$ est limite de polyn\^omes sans terme constant
%   en $\op^*\circ\op$. Donc $\abs{\op}$ est de la forme $\abs{\op}=\sum
%   s_jp_j$, o\`u les $s_j$ sont les valeurs propres de $\abs{\op}$
%   rang\'ees par ordre d\'ecroissant et les $p_j$ sont des
%   projections orthogonales sur des espaces de dimension finie deux \`a
%   deux orthogonaux. Alors $\op=\sum
%   s_ju\circ p_{s_j}$: Comme $u$ est un unitaire de
%   $\overline{\im\abs{\op}}$ sur $\overline{\im\op}$, les
%   ${\el[1]}_j=u(\el_j)$ forment une base hilbertienne de
%   $\overline{\im\op}$: on a la repr\'esentation \eqref{comp-spec}.
% \end{proof}

\begin{cor}
  Tout op\'erateur compact sur un espace de Hilbert est limite d'une
  suite d'op\'erateurs de rang fini.
\end{cor}

\subsection{Opérateur compact sur un espace pr\'ehilbertien}

Soit $\ev$ un espace vectoriel norm\'e et $\op\in\borne(\ev)$. En
munissant l'espace vectoriel $\ev$ d'un produit scalaire, on d\'efinit
une deuxi\`eme norme sur $\ev$: notons $\tilde\ev$ l'espace
pr\'ehilbertien aini d\'efini et $\tilde\op$ l'op\'erateur $\op$
consid\'er\'e comme op\'erateur sur $\tilde\ev$. Supposons que
$\tilde\op$ est compact.  Le compl\'et\'e $\ev[1]$ de $\tilde\ev$ est
un espace de Hilbert; notons $\op[1]$ le prolongement par continuit\'e
de $\tilde\op$ \`a $\ev[1]$. Par la proposition \ref{comp-prol},
$\op[1]$ est compact.  Les th\'eor\`emes \ref{comp-nor} et
\ref{comp-sp} permettent donc d'\'ecrire la d\'ecomposition spectrale
de $\tilde\op$.

% \begin{prp}
%   Soit $\ev$ et $\ev[1]$ deux espaces de Banach. Soient
%   $\ev_0\subset\ev$ et ${\ev[1]}_0\subset\ev[1]$ deux sous-espaces
%   vectoriels denses. Soit $\op_0\in\compact(\ev_0,{\ev[1]}_0)$ et
%   $\op$ son unique prolongement par continuit\'e en un op\'erateur de $\ev$ dans $\ev[1]$. Alors
%   $\op\in\compact(\ev,{\ev[1]})$ et $\im\op_0\subset{\ev[1]}_0$.
% \end{prp}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 

\chapter{Algèbres de Banach complexes}

\section{Fonction holomorphe à valeurs dans un espace de Banach
  complexe}

\subsection{Intégrale curviligne à valeurs dans un espace de Banach }

Si $T$ est un espace compact et $\ev$ est un espace de Banach, notons
$\Cont(T;\ev)$ l'espace de Banach des fonctions continues de $T$ dans
$\ev$.

\begin{dfn}
  \begin{itemize}
  \item Un \emph{chemin} est une application $\gamma\colon[a,b]\to\CC$
    continue et $\Cont^1$ par morceaux. Ce chemin est \emph{fermé}
    si $\gamma(a)=\gamma(b)$. Le \emph{chemin inverse} $\gamma^-$ est
    défini par $\gamma^-(t)=\gamma\bigl(b-(t-a)\bigr)$.
  \item Une \emph{subdivision} $\sigma$ de $\gamma$ est une suite
    $(t_1,\dots,t_n)$ telle que $a=t_1\le\dots\le t_n=b$. On note
    $\sigma_k=\gamma(t_k)$ et $\wideparen{\sigma_k\sigma_l}$ le chemin
    $\rest{\gamma}{[t_k,t_l]}$ si $k\le l$, et
    $\rest{\gamma^-}{[t_l,t_k]}$ sinon. La \emph{longueur} de la ligne
    brisée définie par $\sigma$ est $\displaystyle
    l(\sigma)=\sum_{k=1}^{n-1}\abs{\sigma_{k+1}-\sigma_k}$.
  \item La
    \emph{longueur} de $\gamma$ est
    \begin{math}
      \displaystyle
      l(\gamma)=
      \sup\{l(\sigma):\text{$\sigma$ subdivise $\gamma$}\}=
      \int_a^b\abs{\gamma'(t)}\,\de t.
    \end{math}
%   \item 
%     La \emph{maille} $\norm{\sigma}$ de $\sigma$ est le
%     maximum de $\abs{\sigma_{k+1}-\sigma_k}$ 
%     lorsque $k\in\Entiers1{n-1}$.
  \item 
    La \emph{maille} $\norm{\sigma}$ de $\sigma$ est la longueur
    maximale de $\wideparen{\sigma_k\sigma_{k+1}}$ %  d'extrémités $\sigma_k$ et $\sigma_{k+1}$
    lorsque $k$ parcourt $\Entiers1{n-1}$.
  \item Soit $\ev$ un espace de Banach et
    $f\in\Cont(\im\gamma;\ev)$. La \emph{somme de Riemann} de $f$ sur
    $\sigma$ est
    \begin{equation*}
      \riemann(f,\sigma)=\sum_{k=1}^{n-1}f(\sigma_k)(\sigma_{k+1}-\sigma_k).
    \end{equation*}
  \end{itemize}
\end{dfn}

La longueur de $\wideparen{\sigma_k\sigma_{k+1}}$ tend vers $0$
lorsque $t_{k+1}-t_k$ tend vers $0$.

\begin{thm}
  Soit $\ev$ un espace de Banach, $\gamma$ un chemin et
  $f\in\Cont(\im\gamma;\ev)$.  Lorsque $\norm{\sigma}\to0$,
  $\riemann(f,\sigma)$ converge vers un élément noté
  \begin{math}
    \displaystyle\int_\gamma f(z)\,\de z:
  \end{math}
  c'est l'\emph{in\-té\-grale de Riemann} de $f$ sur $\gamma$. On a
  \begin{enumerate}
  \item 
    \begin{math}
      \displaystyle
      \int_{\gamma^-} f(z)\,\de z=-\int_\gamma f(z)\,\de z:
    \end{math}
  \item   
    \begin{math}
      \displaystyle
      \Norm{\int_\gamma f(z)\,\de z}\le 
      l(\gamma)\max_{z\in\im\gamma}\norm{f(z)}:
    \end{math}
    $\displaystyle\int_\gamma$ est un opérateur borné
    de  $\Cont(\im\gamma;\ev)$ dans $\ev$.
%   \item Si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues de $\im\gamma$
%     dans $\ev$ qui converge uniformément vers $f$, alors
%     \begin{math}
%       \displaystyle
%       \int_\gamma f_n(z)\,\de z\to\int_\gamma f(z)\,\de z.
%     \end{math}
  \item Si $\ev[1]$ est un espace de Banach et $\op\in\borne(\ev,\ev[1])$,
    \begin{equation*}
      \displaystyle\op\left(\int_\gamma f(z)\,\de z\right)=\int_\gamma \op(f(z))\,\de z.
    \end{equation*}
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
  Notons
  $S_\delta=\overline{\{\riemann(f,\sigma):\norm{\sigma}<\delta\}}$.
  Les $S_\delta$ sont des fermés emboîtés; il s'agit de
  montrer que le diamètre de $S_\delta$ est arbitrairement petit.
  Soient $\sigma,\sigma'$ des subdivisions de $\gamma$ telles que
  $\norm{\sigma},\norm{\sigma'}<\delta$. Soit $\tau$ une subdivision
  qui contient $\sigma$ et $\sigma'$ comme sous-suites.  Alors
  $\riemann(f,\sigma')-\riemann(f,\sigma)$ est une somme de termes de
  la forme $(f(\sigma'_j)-f(\sigma_i))(\tau_{k+1}-\tau_k)$, où l'arc
  $\wideparen{\tau_k\tau_{k+1}}$ est inclus dans les arcs
  $\wideparen{\sigma_i\sigma_{i+1}}$ et
  $\wideparen{\sigma'_j\sigma'_{j+1}}$. Alors l'arc
  $\wideparen{\sigma_i\sigma'_{j}}$ % (ou
%   $\wideparen{\sigma'_{k}\sigma_j}$)
  est de longueur inférieure à
  $\delta$; \textit{a fortiori} $\abs{\sigma_i-\sigma'_j}<\delta$.
  Comme $\im\gamma$ est compact, $f$ est uniformément continu: pour
  tout $\eps>0$ on peut choisir $\delta$ de sorte que
  $\abs{f(z')-f(z)}<\eps$ si $\abs{z'-z}<\delta$. Alors
  \begin{equation*}
    \norm{\riemann(f,\sigma')-\riemann(f,\sigma)}<
    \eps\sum_{k=1}^{n-1}\abs{\tau_{k+1}-\tau_k}=\eps l(\tau)\le\eps{l(\gamma)}. 
  \end{equation*}

  $(i)$. Si $\sigma^-$ est une subdivision $(t_1,\dots,t_n)$ de $\gamma^-$,
  notons $\sigma$ la subdivision $(b+a-t_n,\allowbreak\dots,\allowbreak b+a-t_1)$ de
  $\gamma$. Alors $\sigma_k=\gamma(b+a-t_{n+1-k})=\sigma^-_{n+1-k}$ et 
  \begin{gather*}
    \riemann(f,\sigma)
    =\sum_{k=1}^{n-1}(\sigma^-_{n-k}-\sigma^-_{n+1-k})f(\sigma^-_{n+1-k})
    =\sum_{k=1}^{n-1}(\sigma^-_{k}-\sigma^-_{k+1})f(\sigma^-_{k+1})\text.\\
  \begin{split}
    \Norm{\riemann(f,\sigma^-)-\bigl(-\riemann(f,\sigma)\bigr)}
    &=\biggl\lVert
    \sum_{k=1}^{n-1}(\sigma^-_{k+1}-\sigma^-_k)\bigl(f(\sigma^-_k)-f(\sigma^-_{k+1})\bigr)
    \biggr\rVert\\
    &\le l(\sigma^-)\max_{\abs{z'-z}\le\norm{\sigma^-}}{\Norm{f(z')-f(z)}}\text.
  \end{split}
  \end{gather*}

  $(ii)$. Il suffit de noter que $\displaystyle\riemann(f,\sigma)\le
  l(\sigma)\max_{z\in\im\sigma}\norm{f(z)}$ pour toute subdivision $\sigma$. 

  %$(ii)$ découle de $(i)$.

  $(iii)$. Il suffit de noter que
  $x(\riemann(f,\sigma))=\riemann(x\circ f,\sigma)$ pour toute
  subdivision $\sigma$.
\end{proof}

\subsection{Fonctions holomorphes et faiblement holomorphes}

\begin{dfn}
  Soit $\ouv$ un ouvert de $\CC$ et $\ev$ un espace de Banach complexe.
  Une fonction $f\colon \ouv\to\ev$ est \emph{holomorphe} si $f$ se
  développe en série entière à coefficients dans $\ev$ en tout
  point $\la\in \ouv$: il existe $r>0$ et $\el_0,\el_1,\dots\in\ev$ tels
  que si $\abs{\mu-\la}<r$ alors
    \begin{equation}
      \label{hol-dev}
      f(\mu)=\sum_{n=0}^\infty\el_n{(\mu-\la)}^n.
    \end{equation}
\end{dfn}

On a une formule pour le rayon de convergence d'une série entière.

\begin{lem}
  Soit $\ev$ un espace normé et $\el_0,\el_1,\dots\in\ev$. Le rayon
  de convergence de la série entière
  \begin{math}
    \sum\el_n\mu^n
  \end{math}
  est $\displaystyle r=\liminf_{n\to\infty}{\norm{\el_n}^{-1/n}}\in[0,\infty]$: si $|\mu|<r$,
  elle converge normalement; si $\abs\mu>r$, elle diverge.
\end{lem}

\begin{proof}
  Si la série converge, alors $\norm{\el_n}\,\abs{\mu}^n\to0$ et les
  $\norm{\el_n}\,\abs{\mu}^n$ sont donc bornés par un $C$.  Alors
  $\abs\mu\le\dfrac{C^{1/n}}{\norm{\el_n}^{1/n}}$ pour tout $n$.  Si
  $|\mu|<r$, soit $\delta>0$ et $N$ tel que
  $\abs\mu+\delta<1/\norm{\el_n}^{1/n}$ pour $n\ge N$. Alors
  \begin{math}
    \displaystyle \sum_{n=N}^\infty\norm{\el_n}\,\abs{\mu}^n\le
    \sum_{n=N}^\infty{\left(\frac{\abs{\mu}}{\abs{\mu}+\delta}\right)}^n.
  \end{math}
\end{proof}

\begin{prp}
    Soit $\ouv$ un ouvert de $\CC$, $\ev$ un espace de Banach complexe et
  $f\colon \ouv\to\ev$. 
  \begin{enumerate}
  \item Si $f$ est holomorphe, $f$ est dérivable: pour chaque $\la\in \ouv$, il existe un
    élément de $\ev$ noté $f'(\la)$ tel que
    \begin{equation*}
      f(\mu)=f(\la)+(\mu-\la)f'(\la)+o(\mu-\la),
    \end{equation*}
    c'est-à-dire que
    \begin{math}
      \Norm{\dfrac{f(\mu)-f(\la)}{\mu-\la}-f'(\la)}\xrightarrow[\mu\to\la]{}0.
    \end{math}
  \item Si $f$ est dérivable, $l\circ f$ est holomorphe pour toute
    forme linéaire $l\in\ev'$: on dit que $f$ est \emph{faiblement
      holomorphe}.
  \end{enumerate}
\end{prp}

Nous montrerons dans le corollaire \ref{fh->h} qu'une fonction
faiblement holomorphe est holomorphe.

\begin{proof}
  $(i)$. Si $\abs{\mu-\la}\le r_1<r$, alors \eqref{hol-dev} donne
  \begin{align*}
    f(\mu)
    &=\el_0+\el_1(\mu-\la)+O\Biggl(\sum_{n=2}^\infty\norm{\el_n}\,\abs{\mu-\la}^{n}\Biggr)\\
    &=\el_0+\el_1(\mu-\la)+O\biggl(\abs{\mu-\la}^2\sum_{n=2}^\infty\norm{\el_{n}}\,r_1^{n-2}\biggr)\\
    &=f(\la)+(\mu-\la)\el_1+o(\mu-\la).
  \end{align*}
%La série dérivée de \eqref{hol-dev} a le même rayon
%  de convergence que \eqref{hol-dev}

$(ii)$. Si $f$ est dérivable en $\la$, on a
    \begin{math}
      l\circ f(\mu)=l\circ f(\la)+(\mu-\la)l(f'(\la))+o(\mu-\la).
    \end{math}
    c'est-à-dire que $l\circ f$ est dérivable.
% Le développement \eqref{hol-dev} donne
%   $\displaystyle l\circ f(\mu)=\sum_{k=0}^\infty l(\el_n){(\mu-\la)}^n$ et
%   donc $l\circ f$ est holomorphe. 
\end{proof}

% La définition de la notion de compact à bord orienté est donnée en cours
% d'Analyse complexe.
\begin{dfn}
  \begin{itemize}
  \item Soit $\ouv\subset\CC$ ouvert. Un chemin
    $\gamma\colon[a,b]\to\partial\ouv$ est \emph{positivement
      orienté relativement à $\ouv$} si pour tout $t$ tel que
    $\gamma'(t)$ existe et est non nul, il existe $\eps>0$ tel que
    $\mathopen]\gamma(t),\gamma(t)+\iu\eps\gamma'(t)\mathclose[$ soit
    contenu dans $\ouv$ et
    $\mathopen]\gamma(t),\gamma(t)-\iu\eps\gamma'(t)\mathclose[$ ne
    rencontre pas $\overline{\ouv}$: le vecteur normal à $\gamma$ en
    $t$ pointe vers $\ouv$, de sorte que $\ouv$ est à gauche de
    $\gamma$. $\gamma$ est \emph{négativement orienté} si $\gamma^-$
    est positivement orienté.
  \item On dit qu'un compact $L\subset C$ est un \emph{compact à bord
      orienté} si $L$ est l'adhérence de son intérieur et si $\partial
    L$ est réunion d'un nombre fini de chemins fermés injectifs
    $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ positivement orientés et dont
    l'intersection deux à deux est vide ou compos\'ee d'un nombre fini de points.
    On pose alors
    \begin{equation*}
      \displaystyle
      \int_{\partial L} f(z)\,\de z
      =\sum_{k=1}^n\int_{\gamma_k}f(z)\,\de z.
    \end{equation*}
  \end{itemize}
\end{dfn}

\newlength{\gau}
\setlength{\gau}{\linewidth}
\addtolength{\gau}{-2in}
\addtolength{\gau}{-2em}
\begin{minipage}{\gau}
  \begin{rem}
    \label{rem-dec}
    $L$ est encore un compact \`a bord orient\'e si les chemins
    ferm\'es dont $\partial L$ est la réunion ne sont pas injectifs
    mais ont un nombre fini de points doubles. En effet, de tels
    chemins sont la r\'eunion finie de chemins ferm\'es injectifs.
  \end{rem}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{147pt}
  \includegraphics{decomposition}
\end{minipage}

\begin{prp}  
  Soit $f\colon \ouv\to\ev$ faiblement holomorphe.
  \begin{enumerate}
  \item (Théorème de Cauchy.) Si $L$ est un compact à bord
    orienté inclus dans $\ouv$, alors
  \begin{math}
    \displaystyle
    \int_{\partial L}f(z)\,\de z=0.
  \end{math}
  \item (Théorème de Liouville.) Si $\ouv=\CC$ et $f$ est bornée, alors $f$ est constante.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. Pour tout $l\in\ev'$, 
  \begin{math} 
    \displaystyle
    l\left(\int_{\partial L}f(z)\,\de z\right)=\int_{\partial L}l\circ f(z)\,\de z=0
  \end{math}
  par le théorème de Cauchy.

  $(ii)$. Pour tout $l\in\ev'$, $l\circ f$ est entière et bornée;
  par le théorème de Liouville, $l\circ f$ est constante: $l\circ
  f(z)=l\circ f(0)$. Donc $f(z)=f(0)$.
\end{proof}

  

\section{\texorpdfstring{Approximation d'un compact de $\CC$}{Approximation d'un compact de C}}

\begin{prp}
  Soit $K\subset\CC$ compact et $\ouv$ un voisinage ouvert de $K$. Il
  existe un voisinage $L$ de $K$ contenu dans $\ouv$ tel que $L$ est un
  compact à bord orienté. % Le bord orienté de $L$ est noté
%   $\partial L$. 
  On dit que \emph{$L$ est entre $K$ et $\ouv$}.
\end{prp}

\begin{proof}
  Comme $K$ est compact et $\CC\setminus \ouv$ est fermé,
  $\delta=d(K,\CC\setminus \ouv)>0$. Considérons une triangulation du
  plan qui le découpe en triangles \'equilateraux (ferm\'es) de
  c\^ot\'e inf\'erieur \`a $\delta$.  Considérons les triangles qui
  rencontrent $K$. Ils sont en nombre fini et $K$ est contenu dans
  leur réunion $L$ qui ne rencontre pas $\CC\setminus\ouv$. $K$ est en
  fait contenu dans $\mathring L$ car si un point du bord d'un
  triangle est dans $K$, alors il est dans $\mathring L$ parce que $K$
  rencontre aussi l'autre ou les cinq autres triangles dont le bord
  contient ce point.  Les bords des triangles qui rencontrent $K$ ne
  forment pas le bord de $L$ si certains de ces triangles sont
  adjacents: il faut simplifier les c\^ot\'es en commun.

  Montrons par r\'ecurrence sur le nombre $n$ de triangles que toute
  r\'eunion finie $L$ de triangles de la triangulation est un compact \`a bord
  orient\'e. Si cette r\'eunion est vide ou un seul triangle, c'est trivialement vrai.
  Consid\'erons un triangle $T$ de la r\'eunion qui contient un point
  extr\'emal de $L$: au moins un c\^ot\'e de $T$ est sur la
  fronti\`ere de $L$. Soit $\tilde L$ la r\'eunion des autres
  triangles. Par hypoth\`ese de r\'ecurrence, $\tilde L$ est un
  compact \`a bord orient\'e. L'intersection de $\tilde L$ avec $T$
  contient $0$, $1$ ou $2$ c\^ot\'es de $T$.
  \begin{itemize}
  \item Si $\tilde L$ ne contient pas de c\^ot\'e de $T$, le bord
    orient\'e de $L$ est la r\'eunion du bord orient\'e de $\tilde
    L$ et du bord orient\'e de $T$.
  \item Si $T$ contient un c\^ot\'e de $T$, ce c\^ot\'e est
    sur un unique chemin ferm\'e $\gamma$ du bord de $\tilde L$.
    On recolle $\gamma$ et le bord de $T$ en un seul chemin en
    simplifiant le c\^ot\'e commun (figure \ref{uncote}.) Cela donne un chemin simple sauf
    si $\gamma$ contient le sommet oppos\'e au c\^ot\'e commun; dans
    ce cas, on applique la remarque \ref{rem-dec}.
  \item Si $T$ rencontre $\tilde L$ en deux c\^ot\'es, il y a deux possibilit\'es.
    \begin{itemize}
    \item Ces deux c\^ot\'es sont sur le m\^eme chemin $\gamma$ du
      bord de $\tilde L$: on recolle $\gamma$ et le bord de $T$ en un
      seul chemin en simplifiant ces deux c\^ot\'es (figure \ref{deuxcotes}.)
    \item Ces deux c\^ot\'es sont sur deux chemins diff\'erents du
      bord de $\tilde L$: on recolle ces deux chemins et le bord de
      $T$ en un seul chemin en simplifiant ces deux c\^ot\'es (figure
      \ref{deuxcotesdeux}.) Si ces deux chemins se rencontrent en des
      points qui ne sont pas des sommets de $T$, il faut appliquer la
      remarque \ref{rem-dec} au chemin obtenu par recollement.
      \qedhere
  \end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{figure}
  \hfil
  \begin{minipage}[b]{25mm}
    \includegraphics{uncote}
    \caption{un c\^ot\'e}
    \label{uncote}
  \end{minipage}
  \hfil
  \begin{minipage}[b]{32mm}
    \begin{center}
      \includegraphics{deuxcotes}
      \caption{deux c\^ot\'es sur le m\^eme chemin}
    \label{deuxcotes}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfil
  \begin{minipage}[b]{36mm}
    \begin{center}
      \includegraphics{deuxcotesdeux}
      \caption{deux c\^ot\'es sur des chemins diff\'erents}
      \label{deuxcotesdeux}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfil
\end{figure}
%  \end{figure}
% . D'abord, on
  % simplifie successivement les bords orientés de triangles adjacents:
%   le segment commun à ces deux bords orientés est parcouru une fois
%   dans un sens et une fois dans l'autre.
% % \begin{figure}[h]
% %   \includegraphics{cycle1}\centering
% % \end{figure}
% % \begin{figure}[h]
% %   \includegraphics{cycle2}\centering
% % \end{figure}
%   Puis on recolle successivement en un seul chemin les paires de
%   chemins qui se rencontrent en un point.





\section{Formule de Cauchy}

Rappelons que nous avons démontré que si $A$ est une algèbre de
Banach unifère et $\op\in A$, alors $\res\op$ est un voisinage ouvert
de l'infini et la résolvante $\Res(\op)$ de $\op$ se développe en série entière en tout point de 
$\res\op$.

\begin{lem}
  Soit $A$ une algèbre de Banach complexe unifère et $\op\in A$.
  Soit $r$ une fraction rationnelle sans pôle dans $\spec\op$ et $L$
  un compact à bord orienté quelconque entre $\spec\op$ et le complémentaire des
  pôles de $r$. Alors
  \begin{equation}\label{cauchy}
    r(\op)=\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}r(z){(z\un-\op)}^{-1}\,\de z.
  \end{equation}
\end{lem}

\begin{proof}
  Montrons \eqref{cauchy} pour $r=\Un$. Soit $D_\rh$ un disque de
  centre $0$ et de rayon $\rh$ tel que $L\subset\mathring{D_\rh}$.
  Alors $D_\rh\setminus L\subset\res\op$ et
  $\displaystyle\int_{\partial(D_\rh\setminus L)}=\int_{\partial
    D_\rh}-\int_{\partial L}$ car le bord orienté de $D_\rh\setminus
  L$ est la réunion du bord orienté de $D_\rh$ avec le bord de $L$
  négativement orienté.  Comme la résolvante est holomorphe sur
  $\res\op$,
  \begin{math}
    \displaystyle
    \int_{\partial(D_\rh\setminus L)}\Res_z(\op)\,\de z=0.
  \end{math}
  Comme
  \begin{math}
    \Norm{\Res_z(\op)-z^{-1}\un}=o(z^{-1}),
  \end{math}
  $\Res_z(\op)\sim z^{-1}\un$ lorsque $\abs z\to\infty$: on a donc pour $\rh\to\infty$ 
  \begin{align*}
    \displaystyle \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial
      D_\rh}{(z\un-\op)}^{-1}
    \sim\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial D_\rh}z^{-1}\un\,\de z
    =\left(\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial D_\rh}\frac{\de
        z}z\right)\un =\un.
  \end{align*}
  Donc   
  \begin{math}
    \displaystyle
    \int_{\partial L}{(z\un-\op)}^{-1}\,\de z=\un.
  \end{math}
  Montrons \eqref{cauchy} pour $r$ fraction rationnelle sans pôle dans $\spec\op$. On a
  \begin{align*}
    \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}r(z){(z\un-\op)}^{-1}\,\de z-r(\op)&=
    \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}(r(z)-r(\op)){(z\un-\op)}^{-1}\,\de z\\&=
    \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\dfrac{r(z)-r}{z-t}(\op)\,\de z.
  \end{align*}
  Soit $\dfrac pq$ un représentant de $r$ avec $q$ sans zéro dans
  $\spec\op$. 
Comme
\begin{equation*}
  q(z)\dfrac{r(z)-r}{z-t}=\dfrac{p(z)-p}{z-t}-r\dfrac{q(z)-q}{z-t}\text,
\end{equation*}
$z\mapsto\dfrac{r(z)-r}{z-t}(\op)$ est le quotient d'une fonction
polynomiale \`a coefficients dans $A$ par la fonction polynomiale
$z\mapsto q(z)$.  
% La fraction rationnelle
% $q(z)q(t)\dfrac{r(z)-r(t)}{z-t}$ par rapport aux indéterminées $t$ et
% $z$ se simplifie en un polynôme:
% %   \begin{equation*}
% %     \dfrac{r(z)-r}{z-t}=
% %     \frac{p(z)q-pq(z)}{(z-t)q(z)q}=
% %     \frac{p(z)-p}{z-t}\frac{1}{q(z)}-r\frac{q(z)-q}{z-t}
% %   \end{equation*}
%   \begin{align*}
%     q(z)q(t)\dfrac{r(z)-r(t)}{z-t}&=
%     \frac{p(z)q(t)-p(t)q(z)}{z-t}\\&=
%     q(t)\frac{p(z)-p(t)}{z-t}-p(t)\frac{q(z)-q(t)}{z-t}.
% %    \frac{\frac{p(z)}{q(z)}-\frac p{q(z)}}{z-t}-\frac{r-\frac p{q(z)}}{z-t}=
% %    \frac{p(z)-p}{z-t}-r\frac{q(z)-q}{z-t}
%   \end{align*}
Donc $z\mapsto\dfrac{r(z)-r}{z-t}(\op)$ est holomorphe sur $L$ et 
\begin{equation*}
\displaystyle
  \int_{\partial L}\dfrac{r(z)-r}{z-t}(\op)\,\de z=0.\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}

En appliquant ce lemme avec $A=\CC$ et $\op=\la$, on retrouve la
formule de Cauchy.

\begin{cor}
  Pour tout $f$ holomorphe au voisinage d'un compact à bord orienté $L$ et
  tout $\la\in \mathring L$
  \begin{equation*}
    f(\la)=\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{z-\la}\,\de z.
  \end{equation*}
\end{cor}

\begin{proof}
  On vient de le prouver si $f$ est une fonction rationnelle. Si $f$ est holomorphe, alors 
  \begin{equation*}
    \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{{z-\la}}\,\de z-f(\la)=
    \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\dfrac{f(z)-f(\la)}{z-\la}\,\de z=0.
  \end{equation*}
  car $z\mapsto\dfrac{f(z)-f(\la)}{z-\la}$ s'étend en une fonction
  holomorphe au voisinage de $L$.
\end{proof}


\begin{cor}
  \label{fh->h}
  Soit $\ouv$ un ouvert de $\CC$, $\ev$ un espace de Banach complexe et
  $f\colon \ouv\to\ev$ faiblement holomorphe.
  \begin{enumerate}
  \item $f$ est continue.
  \item (Formule de Cauchy.) Pour tout compact à bord orienté $L\subset \ouv$
    et tout $\la\in \mathring L$
    \begin{equation*}
      \displaystyle
      f(\la)=\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial
        L}\frac{f(z)}{z-\la}\,\de z.
    \end{equation*}
  \item $f$ se développe en série entière
    en tout $\la\in \ouv$ sur le plus grand disque ouvert de centre $\la$ contenu
    dans $\ouv$.
  \end{enumerate}
\end{cor}
%On peut en fait démontrer l'équivalence des trois propriétés. 
% \begin{thm}
%   Soit $\ouv$ un ouvert de $\CC$, $\ev$ un espace de Banach complexe et
%   $f\colon \ouv\to\ev$. Les assertions suivantes sont équivalentes.
%   \begin{enumerate}
%   \item $f$ se développe en série entière à coefficients dans
%     $\ev$ en tout point $\la\in \ouv$: il existe $r>0$ et
%     $\el_0,\el_1,\dots\in\ev$ tels que si $\abs{\mu-\la}<r$ alors 
%     \begin{equation}
%       \label{hol-dev}
%       f(\mu)=\sum\limits_{k=0}^\infty\el_n{(\mu-\la)}^n.
%     \end{equation}
%   \item $f$ est dérivable en tout point $\la\in \ouv$: il existe un
%     élément de $\ev$ noté $f'(\la)$ tel que
%     $f(\mu)=f(\la)+(\mu-\la)f'(\la)+o(\mu-\la)$.
%   \item $l\circ f$ est holomorphe pour toute forme linéaire $l\in\ev'$.
%   \end{enumerate}
%   On dit alors que $f$ est holomorphe.
% \end{thm}

\begin{proof}
  $(i)$.  Soit $\la\in \ouv$ et $r>0$. Soit $r_1>r$ tel que le disque
  fermé $D$ de centre $\la$ et de rayon $r_1$ soit dans $\ouv$.  Soit
  \begin{equation*}
    S=\left\{\dfrac{f(\mu)-f(\la)}{\mu-\la}:0<|\mu-\la|<r\right\}.
  \end{equation*}
  Si $l\in\ev'$ et $\abs{\mu-\la}<r$,
  \begin{multline*}
    l\left(\dfrac{f(\mu)-f(\la)}{\mu-\la}\right)=
    \dfrac{l\circ f(\mu)-l\circ f(\la)}{\mu-\la}\\=
    \frac1{\mu-\la}\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial D}\frac{l\circ f(z)}{z-\mu}-\frac{l\circ f(z)}{z-\la}\,\de z=
    \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial D}\frac {l\circ f(z)}{(z-\mu)(z-\la)}\,\de z
  \end{multline*}
  et comme $\abs{(z-\mu)(z-\la)}>(r_1-r)r_1$, $\{l(\el):\el\in S\}$ est
  borné. Par le théorème de Banach-Steinhaus, $S$ est borné.
  Donc $f$ est continue. 

  $(ii)$. Comme $f$ est continue, on peut former l'intégrale de Riemann
  de $\dfrac{f(z)}{z-\la}$: soit $L$ un compact à bord orienté et 
  $\la\in\mathring{L}$. Alors 
  \begin{equation*}
    \displaystyle
    l\left(\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{z-\la}\,\de z\right)=
    \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{l\circ f(z)}{z-\la}\,\de z=l\circ f(\la)
  \end{equation*}
  pour tout $l\in\ev'$ et donc 
  \begin{math}
    \displaystyle
    f(\la)=
    \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{z-\la}\,\de z.
  \end{math}

$(iii)$. 
%   Donc $f$ est dérivable en $\la$, de dérivée   
%   \begin{math}
%     \displaystyle
%     f'(\la)=
%     \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{(z-\la)^2}\,\de z.
%   \end{math}
%
%   Si $f$ est dérivable, $l\circ f$ est holomorphe
%   pour toute forme linéaire $l\in\ev'$. Par le raisonnement
%   précédent, on a une formule de Cauchy pour $f$, de sorte que
Soit $\la\in\ouv$ et $r>0$ tel que le disque fermé $L$ de centre
$\la$ et de rayon $r$ soit inclus dans $\ouv$. Si $\mu\in\mathring L$ et $z\in\partial L$, alors
\begin{equation*}
  \frac1{z-\mu}
  =\frac1{z-\la}\,\frac1{1-\frac{\mu-\la}{z-\la}}
  =\sum_{n=0}^\infty\frac{{(\mu-\la)}^n}{{(z-\la)}^{n+1}}
\end{equation*}
et cette série converge uniformément en $z$. Donc
\begin{equation*}
  f(\mu)
  =\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{z-\mu}\,\de z
  =\sum_{n=0}^\infty\left(
    \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{{(z-\la)}^{n+1}}\,\de z
  \right){(\mu-\la)}^n.\qedhere
\end{equation*}
% Par la formule de Cauchy,
% on a alors
%    \begin{math}
%      \displaystyle
%      \frac{f^{(k)}(\la)}{k!}=
%      \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{(z-\la)^{k+1}}\,\de z
%    \end{math}
%    et de plus, si $\mu\in\mathring L$,
% \begin{align}
%   f(\mu)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(\la)}{k!}{(\mu-\la)}^k
%   &=\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z)\left(\frac{1}{z-\mu}-\sum_{k=0}^n\frac{{(\mu-\la)}^k}{{(z-\la)}^{k+1}}\right)\,\de z\notag\\
%   &=\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z)\left(\frac{1}{z-\mu}-\frac{1-{\left(\frac{\mu-\la}{z-\la}\right)}^{n+1}}{(z-\la)\left(1-\frac{\mu-\la}{z-\la}\right)}\right)\,\de z\notag\\
%   &=\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial
%     L}\frac{f(z)}{(z-\mu){(z-\la)}^{n+1}}\,\de z\ {(\mu-\la)}^{n+1}\label{reste}
% \end{align}
% %    \begin{equation*}
% %      f(\mu)=
% %      f(\la)+f'(\la)(\mu-\la)+\dots+\frac{f^{n}(\la)}{n!}(\mu-\la)^{n}+
% %      \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\frac{f(z)}{(z-\la)^{n+1}(z-\mu)}\,\de z\,(\mu-\la)^{n+1}
% %    \end{equation*}
%    comme dans le cas scalaire.  Soit $L$ un disque fermé de centre
%    $\la$ et de rayon $r$ inclus dans $\ouv$. Alors \eqref{reste} est borné par
%    \begin{math}
%      \displaystyle
%      \frac{\max\limits_{z\in\partial L}\norm{f(z)}\,\abs{\mu-\la}^{n+1}}{r^n(r-\abs{\mu-\la})}.
%    \end{math}
%    On a donc
%    \begin{math}
%      \displaystyle
%      f(\mu)=
%      \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{n}(\la)}{n!}(\mu-\la)^{n}
%    \end{math}
%    pour tout $\mu$ dans  le plus grand disque ouvert de centre $\la$ contenu
%     dans $\ouv$.
 \end{proof}


\section{Calcul fonctionnel holomorphe}


\subsection{Algèbres de fonctions holomorphes}

\begin{exalg}
  Soit $T\subset\CC$ ouvert. Alors l'ensemble $\hol(T)$
  des fonctions holomorphes sur $T$ est une algèbre commutative muni de la multiplication des
  fonctions définie comme en \eqref{mult-c}. L'unité de $\hol(T)$ est $\Un$.
\end{exalg}

\begin{exalg}
  Soit $T\subset\CC$ compact et $\rat(T)$ l'adhérence dans $\Cont(T)$ des
  fonctions rationnelles sans pôle dans $T$. $\rat(T)$ est une
  sous-algèbre de $\Cont(T)$, en général non involutive, qui contient $\Un$.
\end{exalg}

\begin{prp}
  Soit $T\subset\CC$ compact.
  \begin{enumerate}
  \item Si $\op\in\rat(T)$, alors $\rest \op{\mathring T}\in\hol(\mathring T)$. 
  \item Si $\op$ est holomorphe sur un voisinage ouvert $\ouv$ de $T$, alors $\rest \op T\in\rat(T)$.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. $\rest \op{\mathring T}$ est limite, uniforme sur tout compact de $\mathring T$,
  de fonctions holomorphes dans $\mathring T$.

  $(ii)$.  Soit $L$ compact à bord orienté entre $T$ et $\ouv$.
  Alors $\Res_z\in\rat(T)$ pour chaque $z\in\partial L$; notons 
  \begin{math}
    \displaystyle
    f=\int_{\partial L}\op(z)\Res_z\de z\in\rat(T). 
  \end{math}
  Comme l'évaluation en un point $t\in T$ est une forme linéaire continue sur $\rat(T)$, on a
  \begin{math}
    \displaystyle
    f(t)=\int_{\partial L}\dfrac{\op(z)}{z-t}\,\de z=\op(t)
  \end{math}
  par la formule de Cauchy: donc $f=\rest \op T$.
% Donc $\op$ est limite uniforme sur $L$ de sommes de Riemann de la forme
%   \begin{math}
%     \displaystyle
%     \sum_{k=1}^{n-1}(\sigma_{k+1}-\sigma_k)\op(\sigma_k)\Res_{\sigma_k},
%   \end{math}
%   et donc de fonctions rationnelles sans pôle dans $T$.
\end{proof}




\subsection{Calcul fonctionnel holomorphe}


Soit $A$ une algèbre de Banach complexe unifère et $\op\in A$.  Soit
$T$ un voisinage compact de $\spec\op$ et $L$ un compact à bord
orienté entre $\spec\op$ et $\mathring{T}$. Alors, pour toute
fraction rationnelle $r$ sans pôle dans $T$,
\begin{align*}
  \displaystyle \norm{r(\op)}
  =\Norm{\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}r(z){(z\un-\op)}^{-1}\,\de z}
  \le\frac{l(\partial L)}{2\pi}\max_{z\in\partial L}\Norm{{(z\un-\op)}^{-1}}\,\max_{z\in\partial L}\abs{r(z)}.
\end{align*}
Donc le calcul fonctionnel rationnel définit un opérateur borné
sur un sous-espace vectoriel dense de $\rat(T)$ dans $A$. Il s'étend
de manière unique en un opérateur borné de $\rat(T)$ dans
$\borne(\ev)$ qui est encore un morphisme d'algèbres. On peut donc
poser la définition suivante sans ambiguïté.


\begin{dfn}
  Soit $A$ une algèbre de Banach complexe unifère et $\op\in A$. Soit
  $f$ holomorphe sur un voisinage ouvert $\ouv$ de $\spec\op$. Il
  une suite de fractions rationnelles $r_n$ sans pôle dans un
  voisinage compact $T\subset \ouv$ de $\spec\op$ telles que
  \begin{math}
    \displaystyle\max_{t\in T}\abs{r_n(t)-f(t)}\to 0.
  \end{math}
  On pose
  \begin{equation*}
    f(\op)
    =\lim_{n\to\infty}r_n(\op).      
  \end{equation*}
  L'ap\-plication $f\mapsto f(\op)$
  est appelée le \emph{calcul fonctionnel holomorphe de $\op$}.
\end{dfn}

L'\'el\'ement $f(\op)$ ne d\'epend donc que des valeurs de $f$ dans un voisinage arbitrairement petit de $\spec\op$, c'est-\`a-dire du <<~germe de $f$ au voisinage de $\spec\op$.~>>

Si $\op$ est une fonction continue ou une fonction mesurable bornée,
alors $f(\op)$ est la fonction $f\circ\op$. 

On a donc démontré la proposition suivante.

\begin{thm}
  Soit $A$ une algèbre de Banach complexe unifère et $\op\in A$.
  Soit $T$ un voisinage compact de $\spec\op$. Le calcul fonctionnel
  holomorphe de $\op$ est l'unique morphisme d'algèbres de Banach
  unifères de $\rat(T)$ dans $A$ qui transforme la fonction
  $\la\mapsto\la$ en $\op$. Pour toute fonction holomorphe sur un
  voisinage ouvert $\ouv$ de $\spec\op$ et tout compact à bord
  orienté $L$ entre $\spec\op$ et $\ouv$, on a la formule
  \begin{equation*}
    \displaystyle f(\op)
    =\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op)}^{-1}\,\de z.
  \end{equation*}
\end{thm}

La dernière égalité résulte de la continuité de l'intégrale de Riemann.


\begin{thm}
  Soit $A$ une algèbre de Banach unifère complexe, $\op\in A$ et
  $f$ holomorphe au voisinage de $\spec\op$.
  \begin{enumerate}
  \item $\spec f(\op)=f(\spec\op)$.
  \item Si $g$ est holomorphe au voisinage de $\spec f(\op)$,
    $g(f(\op))=(g\circ f)(\op)$.
  \item Si $\mor\colon A\to B$ est un morphisme d'algèbres de Banach
    unifères,
    \begin{math}
      f(\mor(\op))=\mor(f(\op))\text.
    \end{math}
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
  Soit $\ouv$ le domaine d'holomorphie de $f$. 

  $(i)$. %Soit $T\subset \ouv$ un voisinage compact de $\spec\op$.
  Si $\la\in\CC$, il existe $g$ holomorphe sur $\ouv$ tel que
  $f(\la)-f(t)=(\la-t)g(t)$. Alors
  $f(\la)\un-f(\op)=(\la\un-\op)g(\op)$: si $\la\un-\op$ n'est pas
  inversible, $f(\la)\un-f(\op)$ n'est pas inversible.
  Réciproquement, si $\la\notin f(\spec\op)$, $\la\Un-f$ est
  inversible dans $\hol(\ouv)$ et donc $\la\un-f(\op)$ est inversible.

  $(ii)$.  Soit $\op[1]=f(\op)$. Soit $T$ un voisinage compact de
  $\spec \op[1]$ inclus dans le domaine d'holomorphie de $g$.
  L'application $g\mapsto (g\circ f)(\op)$ est un morphisme d'algèbres
  de Banach unifères de $\rat(T)$ dans $A$ qui transforme
  la fonction $\la\mapsto \la$ en $\op[1]$. Par unicité,
  c'est le calcul fonctionnel holomorphe de $\op[1]$: donc $g\circ
  f(\op)=g(\op[1])$.

  $(iii)$. Le résultat est vrai si $f\in\CC(t)_{\spec\op}$. Soit
  $T\subset\ouv$ un voisinage compact de $\spec\op$.  Le r\'esultat
  est donc vrai si $f\in\rat(T)$ par continuité du calcul fonctionnel holomorphe.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $A$ une algèbre de Banach unifère complexe et $\op\in A$. Si $f$ est
  holomorphe au voisinage de $\spec^1\op$ et nulle en $0$, alors
  $f(0+\op)\in A$.
\end{cor}

\begin{proof}
    Notons $\delta\colon A^1\to\corps$ le morphisme d'algèbres de Banach unifères
  défini par $\delta(\lambda+\op)=\lambda$. Alors
  \begin{math}
    \delta(f(0+\op))=f(\delta(0+\op))=f(0)=0.
  \end{math}
\end{proof}

\begin{prp} Soit $\ev$ un espace de Banach complexe et
  $\op\in\borne(\ev)$.  Si $\la$ est valeur propre approchée de
  $\op$ associée à $(\el_n)$, alors $f(\la)$ est valeur propre
  approchée de $f(\op)$ associée à $(\el_n)$ pour toute fonction
  $f$ holomorphe au voisinage de $\spec\op$.
\end{prp}


\begin{prp}
  Soit $A$ une algèbre de Banach unifère complexe. Soit
  $\ouv\subset\CC$ ouvert et $f\in\hol(\ouv)$.
  \begin{enumerate}
  \item L'ensemble $\Omega$ des $\op\in A$ tels que $\spec\op\subset
    \ouv$ est ouvert.
  \item L'application qui à $\op\in\Omega$ associe $f(\op)$ est
    continue et dérivable.
  \item Soit $\op\in A$ et $\rh=d(\spec\op,\CC\setminus \ouv)$.  Pour
    tout $\op[1]\in A$ tel que $\op\op[1]=\op[1]\op$ et
    $\rs(\op[1]-\op)<\rh$, on a $\op[1]\in\Omega$,
  \begin{equation}
    \label{dev-x}
    f(\op[1])=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(\op)}{n!}(\op[1]-\op)^n
  \end{equation}
  et cette série converge normalement.
  \end{enumerate}
\end{prp}



\begin{proof}
  $(i)$. Soit $\op\in\Omega$ et $L$ un compact entre $\spec\op$ et
  $\ouv$.  La résolvante de $\op$ est continue
  sur $\CC\setminus\mathring L$ et nulle à l'infini: elle est donc
  majorée sur $\CC\setminus\mathring L$ par un $M$. Si
  $M\norm{\op[1]-\op}<1$ et $z\in\CC\setminus\mathring L$, alors
  \begin{math}
    z\un-\op[1]=\left(\un-(\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}\right)(z\un-\op)
  \end{math}
  est inversible. Donc $\spec\op[1]\subset\mathring L$ et $\op[1]\in\Omega$.

  $(ii)$. Soient $\op,\op[1]\in\Omega$ et $L$ un compact à bord orienté
  entre $\spec\op\cup\spec\op[1]$ et $\ouv$. Comme 
\begin{gather}
  \begin{split}
    {(z\un-\op[1])}^{-1}
    &={(z\un-\op)}^{-1}{\bigl(\un-(\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}\bigr)}^{-1}\\
    &={(z\un-\op)}^{-1}\bigl(\un+(\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}+o(\op[1]-\op)\bigr),
  \end{split}
  \label{z-y}\\
  \begin{split}
    \displaystyle f(\op[1])
    &=\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op[1])}^{-1}\,\de z\\
    &=f(\op)+\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial
      L}f(z){(z\un-\op)}^{-1}(\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}\,\de z+o(\op[1]-\op).
  \end{split}
  \label{f(y)}
  \end{gather}

  $(iii)$. % Soit $T_\eps$ le voisinage compact
%   $\{\la\in\CC:d(\la,\spec\op)\le\eps\}$. Soit $\rh'<\rh$ et $k$ tel
%   que ${\Norm{{(\op[1]-\op)}^{n}}}^{1/n}<\rh'$ pour $n\ge k$. Soit
%   $\rh''\in\mathopen]\rh',\rh\mathclose[$, $\eps<\rh-\rh''$ et $L$ compact à
%   bord orienté entre $T_{\rh''+\eps}$ et $\ouv$. Pour tout $t\in\mathring L$,
%   \begin{equation*}
%     \displaystyle \dfrac{f^{(n)}(t)}{n!}=
%     \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\dfrac{f(z)}{{(z-t)}^{n+1}}\,\de z.
%   \end{equation*}
%   Si $t\in T_\eps$ et $z\in\partial L$, 
%   \begin{math}
%     \abs{z-t}\ge\rh''.
%   \end{math}
%   Donc
%   \begin{math}
%     \displaystyle
%     \max_{t\in T_\eps}\abs{f^{(n)}(t)}
%     \le\frac{l(\partial L)}{2\pi}\max_{z\in\partial L}\abs{f(z)}n!{\rh''}^{-n-1}. 
%   \end{math}
%   Par la continuité du calcul fonctionnel holomorphe, 
%   \begin{equation*}
%     \displaystyle \dfrac{f^{(n)}(\op)}{n!}=
%     \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op)}^{-n-1}\,\de z
%   \end{equation*}
%   et il existe une constante $C_\eps$ telle que
%     \begin{math}
%       \norm{f^{(n)}(\op)}
%       \le C_\eps n!{\rh''}^{-n-1}.
%     \end{math}
%   Donc
%     \begin{equation*}
%       \displaystyle 
%       \Norm{\frac{f^{(n)}(\op)}{n!}(\op[1]-\op)^n}\le C_\eps \rh'^n{\rh''}^{-n-1} 
%     \end{equation*}
%     pour $n\ge k$: la série \eqref{dev-x} converge normalement. L'estimation   
%     \begin{math}
%       \abs{z-t}\ge\rh''
%     \end{math}
%     donne aussi une constante $C_\eps$ telle que
%     \begin{math}
%     \norm{{(z\un-\op)}^{-n}}
%     \le C_\eps\rh''^{-n}.
%   \end{math}
%     Comme $\op\op[1]=\op[1]\op$, le calcul \eqref{reste} montre que
%     \begin{equation*}
%       f(\op[1])-\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(\op)}{j!}(\op[1]-\op)^j
%       =\frac{1}{2\iu\pi}
%       \int_{\partial L}f(z){(z\un-\op[1])}^{-1}{(z\un-\op)}^{-n-1}\,\de z\ 
%       {(\op[1]-\op)}^{n+1}
%     \end{equation*}
%     et on a donc pour $n\ge k$
%      \begin{equation*}
%       \Norm{f(\op[1])-\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(\op)}{j!}(\op[1]-\op)^j}
%       <\frac{l(\partial L)}{2\pi}
%       \max_{z\in\partial L}\Norm{f(z){(z\un-\op[1])}^{-1}}\,
%       C_\eps{\rh''}^{-n-1}{\rh'}^n.\qedhere
%     \end{equation*}
    Soit $T_\eps$ le voisinage compact
    $\{\la\in\CC:d(\la,\spec\op)\le\eps\}$ de $\spec\op$. Soit $\rh'<\rh$ et $k$ tel
    que ${\Norm{{(\op[1]-\op)}^{n}}}^{1/n}<\rh'$ pour $n\ge k$. Soit
    $\rh''\in\mathopen]\rh',\rh\mathclose[$, $\eps<\rh-\rh''$ et $L$ un
    compact à bord orienté entre $T_{\rh''+\eps}$ et $\ouv$.  Si
    $t\in T_\eps$ et $z\in\partial L$,
  \begin{math}
    \abs{z-t}\ge\rh''.
  \end{math}
  Par la continuité du calcul fonctionnel holomorphe, il existe une
  constante $C_\eps$ telle que
    \begin{math}
    \norm{{(z\un-\op)}^{-n}}
    \le C_\eps\rh''^{-n}.
  \end{math}
    Comme $(\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}={(z\un-\op)}^{-1}(\op[1]-\op)$, \eqref{z-y} donne
\begin{equation*}
  {(z\un-\op[1])}^{-1}
%  &={(z\un-\op)}^{-1}{\bigl(\un-(\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}\bigr)}^{-1}\\
  =\sum_{n=0}^\infty{{(z\un-\op)}^{-n-1}}{(\op[1]-\op)}^n
\end{equation*}
et cette série converge normalement. L'\'egalit\'e \eqref{f(y)} donne
\begin{equation*}
  f(\op[1])
%  &=\dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op[1])}^{-1}\,\de z\\
  =\sum_{n=0}^\infty\left(
    \dfrac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op)}^{-n-1}\,\de z
  \right){(\op[1]-\op)}^n.
\end{equation*}
  Par la continuité du calcul fonctionnel holomorphe, 
  \begin{equation*}
    \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op)}^{-n-1}\,\de z
    =\displaystyle \dfrac{f^{(n)}(\op)}{n!}.\qedhere
  \end{equation*}
\end{proof}


% \begin{prp}
%   Soit $A$ une algèbre unifère et $\op\in A$. Soit $f$ holomorphe
%   sur un voisinage ouvert $\ouv$ de $\spec\op$ et
%   $\delta=d(\spec\op,\CC\setminus \ouv)$.
%   \begin{enumerate}
%   \item Pour tout $\eps>0$ il existe $M$ tel que
%     \begin{math}
%       \Norm{{(\la\un-\op)}^{-n}}< M{(d(\la,\spec\op)-\eps)}^{-n}
%     \end{math}
%     lorsque $n\ge1$ et $d(\la,\spec\op)>\eps$.
%   \item Pour tout $\delta'<\delta$ il existe $M$ tel que
%     $\Norm{\dfrac{f^{(n)}(\op)}{n!}}<M{\delta'}^{-n}$ pour tout
%     $n\ge0$.
%   \item Pour tout $\op[1]\in A$ tel que $\op\op[1]=\op[1]\op$ et
%     $\rs(\op[1]-\op)<\delta$, on a $\op[1]\in\Omega$,
%   \begin{equation*}
%     f(\op[1])=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(\op)}{n!}(\op[1]-\op)^n
%   \end{equation*}
%   et cette série converge normalement.
%   \end{enumerate}
% \end{prp}

% \begin{proof}
%   $(i)$. Soit $K_\eps$ le voisinage compact $\{\la\in\CC:d(\la,\spec\op)\le\eps\}$ et soit $L$ un compact à bord orienté entre $\spec\op$ et $\mathring{K_\eps}$. Alors
%   \begin{equation*}
%     \displaystyle
%     \Norm{{(\la\un-\op)}^{-n}}
%     =\Norm{\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}\dfrac{{(z\un-\op)}^{-1}}{{(\la-z)}^{-n}}\,\de z}
%     <\frac{l(\partial L)}{2\pi}\max_{z\in\partial L}\Norm{{(z\un-\op)}^{-1}}(d(\la,\spec\op)-\eps)^{-n}.
%   \end{equation*}

%   $(ii)$. Soit %$\eps\in\mathopen]\delta',\delta\mathclose[$ et soit
%   $L$ un compact à bord orienté entre $K_{\delta'}$ et $\ouv$. Alors
%   \begin{equation*}
%     \displaystyle \dfrac{f^{(n)}(\op)}{n!}=
%     \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op)}^{-n-1}\,\de z
%   \end{equation*}
%   par continuité du calcul fonctionnel holomorphe. Si $z\in\partial
%   L$, $d(z,\spec\op)\ge d(\partial L,\spec\op)>\delta'$. Par $(i)$
%   avec $\eps=d(\partial L,\spec\op)-\delta'$,
%     \begin{equation*}
%       \Norm{\dfrac{f^{(n)}(\op)}{n!}}
%       <\frac{l(\partial L)}{2\pi}\max_{z\in\partial L}\abs{f(z)}\,M{\delta'}^{-n}
%     \end{equation*}

%     $(iii)$. Soit $\delta''<\delta$ et $k$ tel que
%     ${\Norm{{(\op[1]-\op)}^{n}}}^{1/n}<\delta''$ pour $n\ge k$. En
%     prenant $\delta'\in\mathopen]\delta'',\delta\mathclose[$, on voit
%     que la série converge normalement.  Soit $L$ un compact à bord
%     orienté entre $K_{\delta'}$ et $\ouv$.  Comme
%     $\op\op[1]=\op[1]\op$, le calcul \eqref{reste} montre que
%     \begin{equation*}
%       f(\op[1])-\sum_{j=0}^k\frac{f^{(j)}(\op)}{j!}(\op[1]-\op)^j
%       =\frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op[1])}^{-1}{(z\un-\op)}^{-k-1}\,\de z\ {(\op[1]-\op)}^{k+1}
%     \end{equation*}
%     Si $z\in\partial
%   L$, $d(z,\spec\op)\ge d(\partial L,\spec\op)>\delta'$.  Par $(i)$
%   avec $\eps=d(\partial L,\spec\op)-\delta'$,
%      \begin{equation*}
%       \Norm{f(\op[1])-\sum_{j=0}^k\frac{f^{(j)}(\op)}{j!}(\op[1]-\op)^j}
%       <\frac{l(\partial L)}{2\pi}\max_{z\in\partial L}\abs{f(z)}\Norm{{(z\un-\op[1])}^{-1}}\,M{\delta'}^{-n}{\delta''}^n.\qedhere
%     \end{equation*}
% \end{proof}

%     \begin{align*}
%       f(\op[1])-\sum_{j=0}^k\frac{f^{(j)}(\op)}{j!}(\op[1]-\op)^j
%       &=\int_{\partial L}f(z)\left({(z\un-\op[1])}^{-1}-{(z\un-\op)}^{-1}\sum_{j=0}^k{\left((\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}\right)}^j\right)\,\de z\\
%       &=\int_{\partial L}f(z)\left({(z\un-\op[1])}^{-1}-{(z\un-\op)}^{-1}\left(\un-{\left((\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}\right)}^{k+1}\right){\left(\un-\left((\op[1]-\op){(z\un-\op)}^{-1}\right)\right)}^{-1}\right)\,\de z\\
%       &=\int_{\partial L}f(z){(z\un-\op[1])}^{-1}{(z\un-\op)}^{-k-1}\,\de z\ {(\op[1]-\op)}^{k+1}
%     \end{align*}


% \begin{cor}
%   Soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage ouvert $\ouv$ de $\spec\op$. Alors $f(\op)=\sum_{n=0}^\infty$
% \end{cor}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 

\section{La r\'esolvante}



\begin{thm}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach unif\`ere et $\op\in A$.
  \begin{enumerate}
  \item Le spectre de $\op$ est une partie compacte  contenue
    dans le disque de centre $0$ et de rayon $\rs(\op)$.
  \item $\op$ a une valeur spectrale de module $\rs(\op)$: donc
    $\spec\op$ est non vide et $\displaystyle\rs(\op)=\max_{\la\in\spec\op}\abs\la$.
  \item
    ${\norm{\op^n}}^{1/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\rs(\op)$.
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
  Consid\'erons la fonction
  \begin{equation*}
    f\colon
    \begin{aligned}[t]
      \{\mu\in\CC:\mu=0\text{ ou }\mu^{-1}\in\res\op\}&\to A\\
      \mu&\mapsto{(1-\mu\op)}^{-1}.
      \end{aligned}
    \end{equation*}
    Elle est holomorphe et son d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere en
    $0$ est $\sum\op^n\mu^n$, dont le rayon de convergence est
    $r=\liminf\limits_{n\to\infty}{\norm{\op^n}^{-1/n}}$.  Si
    $r<\infty$, alors il existe $\mu$ de module $r$ tel que
    $\mu^{-1}\in\spec\op$: donc
    \begin{equation*}
      \liminf\limits_{n\to\infty}{\norm{\op^n}}^{1/n}
      \ge\inf\limits_{n\ge1}{\norm{\op^n}}^{1/n}
      =\rs(\op)
      \ge \frac1r
      =\limsup\limits_{n\to\infty}{\norm{\op^n}}^{1/n} 
    \end{equation*}
    % De plus, si $\la\in\spec\op$, alors
%     $\la^n\in\spec\op^n$ et donc $\abs{\la^n}\le{\norm{\op^n}}$: donc
%     $\abs\la\le\inf\limits_{n\ge1}{\norm{\op^n}}^{1/n}$ et
%     $\limsup\limits_{n\to\infty}{\norm{\op^n}}^{1/n}\le\inf\limits_{n\ge1}{\norm{\op^n}}^{1/n}$
    et donc ${\norm{\op^n}}^{1/n}$ converge vers $\rs(\op)$. Si
    $r=\infty$, ${\norm{\op^n}}^{1/n}\to0$ puisqu'alors
    \begin{equation*}
      \liminf\limits_{n\to\infty}{\norm{\op^n}}^{1/n}
      =\limsup\limits_{n\to\infty}{\norm{\op^n}}^{1/n}
      =0\text;
  \end{equation*}
    donc aussi $\rs(\op)=0$.
%Si $r=\infty$, alors $f$ est enti\`ere et $\res\op$ est 
% Nous avons d\'ej\`a montr\'e $(i)$ en
%   consid\'erant la s\'erie $\sum\op^n\la^n$ qui a pour rayon de
%   convergence $1/\rs(\op)$ et qui converge vers
%   ${(1-\la\op)}^{-1}=\la^{-1}{(\la^{-1}-\op)}^{-1}$. Si $\rs(\op)>0$,
%   alors il existe $\la$ de module $1/rs(\op)$ tel que
%   $\la^{-1}\in\spec\op$. Comme
%   $\norm{{(1-\la\op)}^{-1}}\le1/(1-\abs\la\,\norm{\op})$,
%   $\norm{(\la-\op)^{-1}}\le1/(\abs{\la}-\norm{\op})$ et la
%   r\'esolvante tend vers $0$ \`a l'infini. 
    Si $\spec\op$ \'etait vide, alors la r\'esolvante de $\op$ serait
    une fonction enti\`ere, et elle serait born\'ee puisqu'elle tend
    vers $0$ \`a l'infini: par le th\'eor\`eme de Liouville, elle
    serait constante et donc nulle. C'est absurde. En particulier, si
    $\rs(\op)=0$, $0$ est valeur spectrale.
\end{proof}

\begin{rem}
  La convergence de ${\norm{\op^n}}^{1/n}$ vers
  $\inf\limits_{n\ge1}{\norm{\op^n}}^{1/n}$ est en fait un corollaire
  du fait suivant. Si $(a_n)_{n\ge1}$ est une suite de r\'eels positifs qui est 
  sous-multiplicative au sens que $a_{n+m}\le a_na_m$, alors
  $a_n^{1/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\inf\limits_{n\ge1}a_n^{1/n}$.
\end{rem}

\begin{cor}[Th\'eor\`eme de Gelfand-Mazur]
  Une alg\`ebre de Banach unif\`ere complexe qui est un corps est isomorphe \`a $\CC$.
\end{cor}

\begin{proof}
  Montrons que le morphisme d'alg\`ebres de Banach unif\`eres injectif   
  \begin{equation*}
    \mor\colon
    \begin{aligned}[t]
      \CC&\to A\\
      \lambda&\mapsto\lambda\un.
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est surjectif. Si $\op\in A$, $\spec\op$ est non vide: soit
  $\la\in\CC$ tel que $\la\un-\op$ n'est pas inversible. Comme $A$ est
  un corps, $\la\un-\op=0$ et donc $\op=\mor(\la)$.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach et $\op\in A$. Alors $\spec^1\op$
  est une partie compacte contenue dans le disque de centre
  $0$ et de rayon $\rs(\op)$, et $0+\op$ a une valeur spectrale de module $\rs(\op)$.
\end{cor}



\section{Transformation de Gelfand}

\subsection{Caract\`ere d'alg\`ebre}



\begin{dfn}
  Soit $A$ une $\corps$-alg\`ebre.
  \begin{enumerate}
  \item L'ensemble des morphismes d'alg\`ebres de $A$ dans $\corps$
    est not\'e $\spec^1A$.
  \item On appelle \emph{caract\`ere} de $A$ un morphisme d'alg\`ebres
    de $A$ dans $\corps$ non nul. Le \emph{spectre} (ou \emph{espace
      de Gelfand}) de $A$ est $\spec A=\spec^1A\setminus\{0\}$.
  \item Si $A$ est une alg\`ebre involutive, on appelle
    \emph{caract\`ere involutif} de $A$ un morphisme
    d'alg\`ebres involutives de $A$ dans $\corps$ non nul.
  \item La \emph{transform\'ee de Gelfand} de $\op\in A$ est la
    fonction $\hat\op\colon\spec A\to\corps$ d\'efinie par
    $\hat\op(\car)=\car(\op)$.
  \end{enumerate}
\end{dfn}

La proposition suivante rend ces notations transparentes.

\begin{prp}
  \label{car-1}
  Soit $A$ une $\corps$-alg\`ebre.
  \begin{enumerate}
  \item Si $A$ admet une unit\'e $\un$, $\spec A$ est l'ensemble des
    morphismes d'alg\`ebres unif\`eres de $A$ dans $\corps$: $\spec
    A=\left\{\car\in\spec^1 A:\car(\un)=1\right\}$.
  \item Si $\car\in\spec^1A$, il existe un unique
    $\car^1\in\spec A^1$ tel que $\rest{\car^1}{A}=\car$,
    d\'efini par $\car^1(\la+\op)=\la+\car(\op)$.
  \item Si $A$ est une $\CC$-alg\`ebre involutive, $\car$ est un
    caract\`ere involutif si et seulement si $\car(\op)$ est r\'eel
    pour tout \'el\'ement hermitien $\op$.
\end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. Si $\car\in\spec A$, soit $\op\in A$ tel que
  $\car(\op)\ne0$. Comme $\car(\op)=\car(\un)\car(\op)$,
  $\car(\un)=1$.

  $(ii)$. Si $\car\in\spec^1A$ et $\car^1\in\spec A^1$ est tel
  que $\rest{\car^1}{A}=\car$, alors $\car^1(1+0)=1$ par
  $(i)$ et $\car^1(0+\op)=0+\car(\op)$ et donc
  $\car^1(\la+\op)=\la+\car(\op)$. R\'eciproquement, cette
  condition d\'efinit bien un morphisme d'alg\`ebres unif\`eres de
  $A^1$ dans $\corps$.

  $(iii)$. Soit $\op\in A$. Alors 
  \begin{math}
    \op=\Re\op+\iu\Im\op
  \end{math}
  avec $\Re\op=\dfrac{\op+\op^*}2$ et $\Im\op=\dfrac{\op-\op^*}{2\iu}$
  hermitiens. Comme
  \begin{math}
    x^*=\Re\op-\iu\Im\op,
  \end{math}
  \begin{align*}
    \car(\op^*)
    =\car(\Re\op)-\iu\car(\Im\op)
    =\overline{\car(\Re\op)+\iu\car(\Im\op)}
    =\overline{\car(\op)}.
  \end{align*}

\end{proof}

\begin{prp}
  \label{car-spec}
  Soit $A$ une alg\`ebre unif\`ere. Alors
  \begin{equation*}
    \{\hat\op(\car):\car\in\spec A\}\subset\spec\op.
  \end{equation*}
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\hat\op(\car)=\lambda$, alors $\car(\la\un-\op)=0$ et donc
  $\la\un-\op$ n'est pas inversible.
\end{proof}



\subsection{Id\'eal maximal}

\begin{dfn}
  Soit $A$ une alg\`ebre et $I$ un id\'eal de $A$.
  \begin{enumerate}
  \item $I$ est \emph{propre} si $I\ne A$.
  \item $I$ est maximal si $I$ est un \'el\'ement maximal de
    l'ensemble des id\'eaux propres ordonn\'e par l'inclusion:
    $I\subset J\ne A\ \imp\ I=J$.
  \end{enumerate}
\end{dfn}

En particulier, un id\'eal de codimension $1$ est maximal.

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre unif\`ere et $I$ un id\'eal de $A$.
  \begin{enumerate}
  \item $I$ est propre si et seulement si $I\subset A\setminus A^{-1}$.
  \item Tout id\'eal propre de $A$ est inclus dans un id\'eal maximal.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$.  Si $I$ contient un \'el\'ement inversible $\op$, 
  $\op^{-1}\op=\un\in I$ et $A=I$.

  $(ii)$ r\'esulte du lemme de Zorn appliqu\'e \`a l'ensemble des
  id\'eaux propres de $A$ qui con\-tiennent $I$.
\end{proof}

Supposons que $A$ est une alg\`ebre commutative unif\`ere. Pour
\'etudier la r\'eciproque de la proposition \ref{car-spec}, notons que
si $\la\un-\op$ n'est pas inversible, cet \'el\'ement engendre un
id\'eal propre $I$ de $A$. La proposition suivant montre que si $I$
est contenu dans un id\'eal de codimension $1$, alors $\la\un-\op$ est
annul\'e par un caract\`ere de $A$.

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre commutative unif\`ere. L'application
  $\car\mapsto\ker\car$ est une bijection de $\spec A$ sur
  l'ensemble des id\'eaux de codimension $1$ de $A$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $\car\in\spec A$, $\ker\car$ est bien un id\'eal de codimension
  $1$. Soit $I$ un id\'eal de codimension $1$ et $\pi\colon A\to A/I$
  l'application quotient canonique. Si $\car\in\spec A$ est de noyau
  $I$, alors la factorisation canonique $\car=\tilde\car\circ\pi$
  d\'efinit un morphisme d'alg\`ebres unif\`eres $\tilde\car\colon
  A/I\to\corps$ et donc $\tilde\car(\un+I)=1$: $\car$ est unique.
  Comme $\un\notin I$, $A=\corps\un+I$ et on peut
  d\'efinir un morphisme d'alg\`ebres unif\`eres $\tilde\car\colon
  A/I\to\corps$ en posant $\tilde\car(\la\un+I)=\la$: donc
  $\car=\tilde\car\circ\pi$ est un morphisme d'alg\`ebres
  unif\`eres de noyau $I$.
\end{proof}

\subsection{Transformation de Gelfand d'une alg\`ebre de Banach complexe}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach. Alors tout morphisme d'alg\`ebres
  $\car$ de $A$ dans $\corps$ est continu et $\norm{\car}\le1$.
\end{prp}


\begin{proof}
  Soit $\op\in A$. Alors $\spec^1\car(\op)\subset\spec^1\op$; or
  $\spec\car(\op)=\{\car(\op)\}$. Donc
  $\abs{\car(\op)}\le\rs(\op)\le\norm{\op}$.
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach.
  \begin{enumerate}
  \item $\spec^1A$ est compact muni de la topologie induite par
    $(\ball_{A'},w^*)$. Donc $\spec A$ est localement compact et son
    compactifi\'e d'Ale\-xan\-droff est hom\'eomorphe \`a $\spec^1 A$
    avec $0$ comme point \`a l'infini.
  \item Si $A$ est unif\`ere, $\spec A$ est compact et $0$ est un point isol\'e de
    $\spec^1A$.
  \item Pour tout $\op\in A$ on a $\hat\op\in\Cont_0(\spec A)$.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. On a
  \begin{math}
    \displaystyle
    \spec^1A=
    \bigcap_{\op,\op[1]\in A}\{\car\in A':\car(\op\op[1])-\car(\op)\car(\op[1])=0\}.
  \end{math}

  $(ii)$. On a
  \begin{math}
    \displaystyle
    \spec A=
    \spec^1A\cap\{\car\in A':\car(\un)=1\}.
  \end{math}

  $(iii)$. La topologie $(\ball_{A'},w^*)$ est la topologie la plus
  faible qui rend continues toutes les applications $\ball_{A'}\to\corps$, $l\mapsto l(\op)$
  lorsque $\op$ parcourt $A$. Si
  $\car=0$, $\car(\op)=0$. Donc
  \begin{equation*}
    \displaystyle
    \lim_{\car\to0}\car(\op)=0.\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{dfn}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach commutative. La
  \emph{transformation de Gelfand} de $A$ est
  \begin{equation*}
    \gel\colon
    \begin{aligned}[t]
      A&\to\Cont_0(\spec A)\\
      \op&\mapsto\Bigl(\car\mapsto\car(\op)\Bigr).
    \end{aligned}
\end{equation*}
\end{dfn}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach commutative unif\`ere complexe et
  $I$ un id\'eal maximal. $I$ est un espace vectoriel ferm\'e de
  codimension $1$.
\end{prp}

\begin{proof}
  Comme $I$ est propre, $I$ ne contient pas $\{\un-\op\in
  A:\norm{\op}<1\}$: donc $d(\un,I)=1$. Mais alors
  $d(\un,\bar I)=1$ et donc $\bar I$ est propre. Comme $I$
  est maximal, $\bar I=I$. Montrons que l'alg\`ebre de Banach
  $A/I$ est un corps: alors $A/I$ est de dimension $1$ par le
  th\'eor\`eme de Gelfand-Mazur. Soit $\op\in A\setminus I$ et
  cherchons $\op[1]\in A$ tel que $\op\op[1]+I=\un+I$. Or
  $J=\{\op\op[1]+\op[2]:\op[1]\in A,\op[2]\in I\}$ est un id\'eal
  parce que $A$ est commutatif et $I\varsubsetneq J$: donc $J=A$ et
  $\un\in J$.
\end{proof}

\begin{thm}
  \label{spec-gel}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach commutative complexe et $\op\in A$.
  \begin{enumerate}
  \item $\spec^1\op=\{0\}\cup\{\hat\op(\car):\car\in\spec A\}$.
  \item Si $A$ est unif\`ere, alors
    $\spec\op=\{\hat\op(\car):\car\in\spec A\}$.
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
  Si $A$ est unif\`ere et $\la\un-\op$ n'est pas inversible, alors
  $\la\un-\op$ engendre un id\'eal propre inclus dans un id\'eal
  maximal qui est de codimension $1$ et donc le noyau d'un
  caract\`ere. Si $A$ n'est pas unif\`ere, nous avons donc prouv\'e
  que $\spec^1\op=\{\car^1(0+\op):\car^1\in\spec
  A^1\}=\{\car(\op):\car\in\spec^1A \}$
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach complexe et $\op,\op[1]\in A$ tels que $\op\op[1]=\op[1]\op$.
  \begin{itemize}
  \item $\spec^1\op+\op[1]\subset\spec^1\op+\spec^1\op[1]$ et
    $\spec^1\op\op[1]\subset(\spec^1\op)(\spec^1\op[1])$.
  \item Si $A$ est unif\`ere, $\spec\op+\op[1]\subset\spec\op+\spec\op[1]$ et
    $\spec\op\op[1]\subset(\spec\op)(\spec\op[1])$.
  \end{itemize}
\end{prp}

\begin{proof}
  Supposons que $A$ admet une unit\'e $\un$. Soit $B$ l'adh\'erence de
  l'alg\`ebre unif\`ere engendr\'ee par
  $\op$, les ${(\la\un-\op)}^{-1}$ lorsque $\la$ parcourt $\res\op$, $\op[1]$ et les ${(\la\un-\op[1])}^{-1}$ lorsque $\la$ parcourt $\res\op[1]$:
  $B$ est une alg\`ebre de Banach commutative telle que
  $\spec_A\op=\spec_B\op$ et $\spec_A\op[1]=\spec_B\op[1]$. De plus,
  $\spec_A\op+\op[1]\subset\spec_B\op+\op[1]$ et
  $\spec_A\op\op[1]\subset\spec_B\op\op[1]$. Pour tout $\car\in\spec
  B$, on a $\car(\op+\op[1])=\car(\op)+\car(\op[1])$ et
  $\car(\op\op[1])=\car(\op)\car(\op[1])$. Donc
  $\spec_B\op+\op[1]\subset\spec_B\op+\spec_B\op[1]$ et
  $\spec_B\op\op[1]\subset(\spec_B\op)(\spec_B\op[1])$.
\end{proof}

\begin{dfn}
  On dit qu'une $\CC$-alg\`ebre involutive $A$ est une alg\`ebre
  \emph{hermitienne} si le spectre de tout \'el\'ement hermitien de
  $A$ est r\'eel.
\end{dfn}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach commutative involutive complexe.
  $A$ est hermitienne si et seulement si tous les caract\`eres de $A$
  sont involutifs.
\end{prp}

\begin{proof}
  Cela r\'esulte de la proposition \ref{car-1}$(iii)$ et du th\'eor\`eme \ref{spec-gel}.
\end{proof}

% \begin{dfn}
%   Soit $A$ une alg\`ebre. Le \emph{radical} de $A$ est l'ensemble des
%   \'el\'ements de $A$ dont le spectre est r\'eduit \`a $\{0\}$. Si le
%   radical de $A$ est r\'eduit \`a $\{0\}$, on dit que $A$ est
%   \emph{semi-simple}.
% \end{dfn}

\begin{thm}
  \label{rep-gel}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach commutative complexe. La
  transformation de Gelfand $\gel$ de $A$ est un morphisme
  d'alg\`ebres de Banach. Soit $\op\in A$. Alors
  $\norm{\hat\op}=\rs(\op)$ et $\spec^1\op=\spec^1\hat\op$. % Le
%   noyau de $\gel$ est le radical de $A$; $A$ est semi-simple si et
%   seulement si $\gel$ est injective.
  \begin{itemize}
  \item Si $A$ est une alg\`ebre unif\`ere, $\gel$ est un morphisme
    d'alg\`ebres unif\`eres et $\spec\op=\spec\hat\op$.
  \item Si $A$ est une alg\`ebre involutive hermitienne, $\gel$
    est un morphisme d'alg\`ebres involutives et l'image de la
    transformation de Gelfand est dense dans $\Cont_0(\spec A)$.
  \end{itemize}
\end{thm}

\begin{proof}
  L'\'etude des alg\`ebres de fonctions continues a donn\'e
  \begin{equation*}
    \spec^1\hat\op=\{0\}\cup\{\hat\op(\car):\car\in\spec A\}
  \end{equation*}
%   Donc 
%     donc $\hat\op=\rs(\hat\op)$. 
  et on a  par d\'efinition  
  \begin{equation*}
    \norm{\hat\op}=\sup_{\car\in\spec A}\abs{\hat\op(\car)}.
  \end{equation*}
  Si $A$ est
  unif\`ere, alors $\spec A$ est compact et
  $\spec\hat\op=\{\hat\op(\car):\car\in\spec A\}$. Si $\car_1$ et
  $\car_2$ sont deux points distincts de $\spec A$, il existe $\op$
  tel que $\car_1(\op)\ne\car_2(\op)$: donc $\im\gel$ s\'epare les
  points de $\spec A$. Notons aussi que pour chaque $\car\in\spec A$
  il existe $\op\in A$ tel que $\hat\op(\car)\ne0$. Si $A$ est une
  alg\`ebre involutive hermitienne, alors
  $\car(\op^*)=\overline{\car(\op)}$ pour tout $\car\in\spec A$: donc
  $\widehat{\op^*}={\hat\op}^*$. En particulier, $\im\gel$ est une
  sous-alg\`ebre involutive de $\Cont_0(\spec A)$: elle est dense par
  le th\'eor\`eme de Stone-Weierstrass.
\end{proof}



\subsection{Spectre des alg\`ebres de groupe}

D\'eterminons le spectre de $\ell^1(\Z)$. Soit $\op$ la suite dont
tous termes sont nuls sauf le terme d'indice $1$, qui vaut $1$. Alors
l'alg\`ebre pleine engendr\'ee par $\op$ est dense dans $\ell^1(\Z)$.
Un caract\`ere $\car$ de $\ell^1(\Z)$ est donc d\'etermin\'e par
$\car(\op)$. Comme $\norm{\op}=\norm{\op^{-1}}=1$, $\car(\op)\in\T$.
R\'eciproquement, si $t\in\T$, alors
$\car_t\colon\op[1]\mapsto\hat{\op[1]}(t)$ est un caract\`ere tel que
$\car_t(\op)=t$. L'application 
\begin{equation*}
  \begin{aligned}[t]
    \T&\to\spec\ell^1(\Z)\\
    t&\mapsto\car_t
  \end{aligned}
\end{equation*}
est donc bijective, et continue par d\'efinition de la topologie
pr\'efaible: $\hat{\op[1]}$ est continue pour chaque $\op[1]$. Comme
$\T$ est compact, cette application est un hom\'eomorphisme entre $\T$
et $\spec\ell^1(\Z)$ qui permet d'identifier la transformation de
Gelfand de $\ell^1(\Z)$ avec la transformation de Fourier de $\Z$. % En
% particulier, $\ell^1(\Z)$ est semi-simple. 
Si $f$ est une fonction
holomorphe sur $\spec\op$, alors $f(\hat\op)=\widehat{f(\op)}$. On
peut formuler notre r\'esultat comme suit.


\begin{thm}
  [th\'eor\`eme de Wiener-L\'evy] Soit $\op\in\Cont(\T)$ une fonction dont la
  s\'erie de Fourier converge normalement. Si
  $\op$ ne s'annule pas, alors la s\'erie de Fourier de $1/\op$
  converge normalement. Plus g\'en\'eralement, si $f$ est holomorphe
  au voisinage de $\op(\T)$, alors la s\'erie de Fourier de
  $f\circ\op$ converge normalement.
\end{thm}

D\'eterminons le spectre de $\Ell^1(\T)$. Notons $\e_n$ la classe de
la fonction $t\mapsto t^n$. Alors l'espace $\vect\{\e_n:n\in\Z\}$ des
polyn\^omes trigonom\'etriques est dense dans $\Ell^1(\T)$. Un
\'el\'ement $\car\in\spec^1\Ell^1(\T)$ est donc d\'etermin\'e par
${\bigl(\car(\e_n)\bigr)}_{n\in\Z}$. Comme
\begin{math}
  \displaystyle
  \e_k*\e_l(s)
  =\int_{\T}t^k{(t^{-1}s)}^l\,\de t
  =\delta_{kl}\e_k(s)
\end{math}
presque partout,
$\car(\e_k)\car(\e_l)=\car(\e_k*\e_l)=\delta_{kl}\car(\e_k)$. Si
$\car\ne 0$, il existe $k\in\Z$ tel que $\car(\e_k)\ne0$. Alors on
d\'eduit que $\car(\e_k)=1$ et $\car(\e_l)=0$ pour tout $l\ne k$.
R\'eciproquement, si $k\in\Z$, alors
$\car_k\colon\op[1]\mapsto\hat{\op[1]}(k)$ est un caract\`ere tel que
$\car_k(\e_l)=\delta_{kl}$. L'application
\begin{equation*}
  \begin{aligned}[t]
    \tilde\Z&\to\spec^1\Ell^1(\T)\\
    k&\mapsto
    \begin{cases}
      \car_k&\text{si $k\in\Z$}\\
      0&\text{si $k=\infty$}
    \end{cases}
  \end{aligned}
\end{equation*}
est donc bijective, et continue puisque
$\car_k(\op[1])=\hat{\op[1]}(k)\xrightarrow[\abs k\to\infty]{}0$ pour
chaque $\op[1]$. Comme $\tilde\Z$ est compact, cette
application induit un hom\'eomorphisme entre $\Z$ et $\spec\Ell^1(\T)$
qui permet d'identifier la transformation de Gelfand de $\Ell^1(\T)$
avec la transformation de Fourier de $\T$. % En
% particulier, $\Ell^1(\T)$ est semi-simple.


\begin{thm}
  Soit $\sum a_n\e_n$ la s\'erie de Fourier d'une fonction
  int\'egrable. Si $f$ est une fonction holomorphe au voisinage de $0$
  nulle en $0$, $\sum f(a_n)\e_n$ est la s\'erie de Fourier d'une
  fonction int\'egrable.
\end{thm}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 
\section{Alg\`ebre stellaire}

\subsection{Adjonction d'une unit\'e}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire. Alors il existe une norme pour
  laquelle $A^1$ est une alg\`ebre stellaire.
\end{prp}

\begin{proof}
  Si $A$ est unif\`ere, alors
  \begin{equation*}
    \begin{aligned}[t]
      A^1&\to\corps\times A\\
      \lambda+\op&\mapsto(\lambda,\lambda\un+\op)
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est un isomorphisme d'alg\`ebres de Banach involutives unif\`eres et
  il suffit de poser $\norm{\la+\op}=\max(\abs\la,\norm{\la\un+\op})$.
  Si $A$ n'est pas unif\`ere, soit $\Left\colon A^1\to\borne(A)$ le
  morphisme d'alg\`ebres de Banach d\'efini par
  $\Left_{\la+\op}(\op[1])=\la\op[1]+\op\op[1]$ et munissons $A^1$ de
  la semi-norme donn\'ee par $\norm{\la+\op}=\norm{\Left_{\la+\op}}$.
  Or
  \begin{align*}
    \norm{\Left_{\la+\op}}=0\quad&\ssi\quad\forall\,\op[1]\in A\ \la\op[1]+\op\op[1]=0\\
    &\ssi\quad(\la=0\text{ et }\op\op^*=0)\text{ ou
    }\forall\,\op[1]\in A\left(-\frac \op\la\right)\op[1]=\op[1]
  \end{align*}
  Dans le premier cas, $\la+\op=0$. Dans le deuxi\`eme cas, $-\dfrac
  \op\la$ serait une unit\'e \`a gauche de $A$ et alors $-\dfrac
  {\op^*}{\bar\la}$ serait une unit\'e \`a droite de $A$: mais alors
  $A$ serait unif\`ere. Donc $A^1$ est un espace de Banach. De plus,
  \begin{align*}
    {\norm{\Left_{\la+\op}}}^2=
    \sup_{\op[1]\in\ball_A}{\norm{\Left_{\la+\op}(\op[1])}}^2&=
    \sup_{\op[1]\in\ball_A}{\norm{{(\Left_{\la+\op}(\op[1]))}^*\Left_{\la+\op}(\op[1])}}\\
    &=\sup_{\op[1]\in\ball_A}\norm{(\bar\la{\op[1]}^*+{\op[1]}^*\op^*)(\la\op[1]+\op\op[1])}\\
    &=\sup_{\op[1]\in\ball_A}\norm{{\op[1]}^*\Left_{{(\la+\op)}^*(\la+\op)}(\op[1])}\le
    \norm{\Left_{{(\la+\op)}^*(\la+\op)}}.
  \end{align*}
  et donc ${\norm{\la+\op}}^2\le\norm{{(\la+\op)}^*(\la+\op)}$. La
  remarque \ref{stell-ineg} montre donc que $A^1$ est une alg\`ebre
  stellaire.

\end{proof}

\subsection{\'El\'ement normal et \'el\'ement hermitien d'une alg\`ebre stellaire}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire et $\op\in A$.
  \begin{enumerate}
  \item Si $\op$ est normal, $\norm{\op^2}={\norm{\op}}^2$ et $\rs(\op)=\norm{\op}$.
  \item Si $\op$ est hermitien, $\spec^1\op\in\R$. Donc $A$ est une
    alg\`ebre hermitienne.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$. 
  \begin{math}
    {\norm{\op^2}}^2=
    \norm{\op^*\op^*\op\op}=
    \norm{\op^*\op\op^*\op}=
    \norm{{(\op^*\op)}^*(\op^*\op)}=
    {\norm{\op^*\op}}^2={\norm{\op}}^4.
  \end{math} 
  Donc $\norm{\op^{2^n}}={\norm{\op}}^{2^n}$ pour tout $n$ et 
  $\rs(\op)=\norm{\op}$.

  $(ii)$. Soit $a+\iu b\in\spec^1\op$ et montrons que $b=0$. Si
  $\la\in\R$, alors $a+\iu(b+\la)$ est dans le spectre de $\iu\la+\op$
  relativement \`a $A^1$ et donc
  $\abs{a+\iu(b+\la)}\le\norm{\iu\la+\op}$. Donc
  \begin{equation*}
    a^2+b^2+2b\la+\la^2
    \le{\norm{\iu\la+\op}}^2
    =\norm{(-\iu\la+\op)(\iu\la+\op)}
    =\norm{\la^2+\op^2}
    \le\la^2+\norm{\op^2}
  \end{equation*}
  et $a^2+b^2+2b\la\le\norm{\op^2}$ pour tout $\la\in\R$: donc $b=0$.
\end{proof}

\begin{cor}
  \label{mor-cont}
  Soit $A$ une alg\`ebre involutive et $B$ une alg\`ebre stellaire, et
  soit $\mor\colon A\to B$ un morphisme d'alg\`ebres involutives.
  Alors $\mor$ est continu et $\norm\mor\le1$.
\end{cor}

\begin{proof}
  On a $\spec^1\mor(\op)\subset\spec^1\op$: si $\op$ est normal,
  $\mor(\op)$ est normal et
  $\norm{\mor(\op)}=\rs(\mor(\op))\le\rs(\op)\le\norm{\op}$. Si $\op$ est
  quelconque,
  ${\norm{\mor(\op)}}^2=\norm{\mor(\op^*\op)}\le\norm{\op^*\op}\le{\norm{\op}}^2$.
\end{proof}

Cela montre qu'une alg\`ebre involutive admet au plus une norme d'alg\`ebre stellaire.

\subsection{Permanence spectrale}


\begin{lem}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach munie d'une unit\'e $\un$, $B$ une
  sous-alg\`ebre ferm\'ee contenant $\un$ et $\op\in B$. Alors
  $\spec_B\op$ est la r\'eunion de $\spec_A\op$ avec certaines
  composantes connexes born\'ees de $\corps\setminus\spec_A\op$.
\end{lem}

\begin{proof}
  Comme la r\'esolvante de $\op$ relativement \`a $A$ est continue et
  $A\setminus B$ est ouvert,
  \begin{equation*}
    \spec_B\op\setminus\spec_A\op=
    \{\la\in\res_A\op:{(\la\un-\op)}^{-1}\in A\setminus B\}
\end{equation*}
est ouvert. Donc l'intersection de $\spec_B\op$ avec chaque composante
con\-nexe $C$ de $\corps\setminus\spec_A\op$ est ouverte et ferm\'ee
dans $C$.
\end{proof}

\begin{prp}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire, $B$ une sous-alg\`ebre stellaire et $\op\in B$.
  \begin{enumerate}
  \item $\spec^1_B\op=\spec^1_A\op$.
  \item Si $A$ admet une unit\'e $\un$ et $\un\in B$, $\spec_B\op=\spec_A\op$.
  \end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
  $(i)$ r\'esulte de $(ii)$ par adjonction d'une unit\'e.

  $(ii)$ Un \'el\'ement inversible dans $B$ est inversible dans $A$.
  Donc $\spec_A\op\subset\spec_B\op$. R\'eciproquement, supposons
  d'abord que $\op$ est hermitien. Comme $\spec_A\op\subset\R$,
  $\CC\setminus\spec_A\op$ est connexe et donc $\spec_B\op=\spec_A\op$.
  Supposons $\op\in B$ quelconque. Si $\op$ est inversible dans $A$,
  $\op^*$ est inversible dans $A$: alors $\op\op^*$ et $\op^*\op$ sont
  inversibles dans $A$ et comme ils sont hermitiens, il le sont dans
  $B$: il existe $\op[1],\op[2]\in B$ tels que $\op\op^*\op[1]=\un$ et
  $\op[2]\op^*\op=\un$. Donc $\op$ est inversible \`a gauche et \`a
  droite dans $B$: donc $\op$ est inversible dans $B$.
\end{proof}

\subsection{Th\'eor\`eme de Gelfand-Naimark}

\begin{thm}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire commutative. La transformation de
  Gelfand $\gel\colon A\to\Cont_0(\spec A)$ est un isomorphisme
  isom\'etrique d'alg\`ebres de Banach involutives. Si $A$ admet une
  unit\'e $\un$, $\gel(\un)=\Un$.
\end{thm}

\begin{proof}
  Soit $\op\in A$. Comme $A$ est commutative, $\op$ est normal et donc
  $\norm{\op}=\rs(\op)=\norm{\hat\op}$. Donc $\gel$ est une
  isom\'etrie et d'image ferm\'ee. Comme $A$ est une alg\`ebre
  hermitienne, l'image de $\gel$ est dense. % Montrons que
%   $\widehat{\op^*}={\hat\op}^*$. Si $\op$ est hermitien, alors
%   $\hat\op$ est \`a valeurs r\'eelles et donc ${\hat\op}^*=\hat\op$.
%   Sinon,
%   \begin{math}
%     \op=\Re\op+\iu\Im\op
%   \end{math}
%   avec $\Re\op=\dfrac{\op+\op^*}2$ et $\Im\op=\dfrac{\op-\op^*}{2\iu}$
%   hermitiens. Alors
% %   \begin{math}
% %     x^*=\Re\op-\iu\Im\op
% %   \end{math}
% %   et
%   \begin{math}
%     \widehat{\op^*}=
%     \widehat{\Re\op}-\iu\widehat{\Im\op}=
%     {\left(\widehat{\Re\op}+\iu\widehat{\Im\op}\right)}^*=
%     {\hat\op}^*.
%   \end{math}
%   Il reste \`a montrer que $\gel$ est d'image dense. Or l'image de
%   $\gel$ est une alg\`ebre involutive qui satisfait les hypoth\`eses du th\'eor\`eme de
%   Stone-Weierstrass par le th\'eor\`eme \ref{rep-gel}.
\end{proof}

\begin{thm}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire unif\`ere et $\op\in A$ normal.
  Soit $B$ l'alg\`ebre stellaire unif\`ere engendr\'ee par $\op$.
  Alors $B$ est commutative et la transform\'ee de Gelfand de $\op$
  relativement \`a $B$ d\'efinit un hom\'eomorphisme de $\spec B$ sur
  $\spec\op$.
\end{thm}

\begin{proof}
  On a $\spec\op=\spec_B\op$. La transform\'ee de Gelfand de $\op$
  relativement \`a $B$ d\'efinit une application continue surjective
  du compact $\spec B$ sur $\spec\op$. Montrons qu'elle est injective
  et supposons que $\hat\op(\car_1)=\hat\op(\car_2)$. Alors
  $\widehat{\op^*}(\car_1)=\hat\op^*(\car_1)=\overline{\hat\op(\car_1)}=\widehat{\op^*}(\car_2)$.
  Par cons\'equent, $\car_1$ et $\car_2$ co\"\i ncident sur l'alg\`ebre
  des polyn\^omes en $\op$ et $\op^*$ qui est dense dans $B$. Donc
  $\car_1=\car_2$. Or l'application r\'eciproque d'une bijection
  continue entre compacts est continue.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire unif\`ere et $\op\in A$ normal. Il
  existe un unique morphisme d'alg\`ebres involutives unif\`eres
  $\mor$ de $\Cont(\spec\op)$ dans $A$ qui transforme la fonction
  $t\mapsto t$ en $\op$: c'est le \emph{calcul fonctionnel continu} de
  $\op$. Le calcul fonctionnel continu est une isom\'etrie et son
  image est l'alg\`ebre stellaire unif\`ere engendr\'ee par $\op$.
  Soit $f$ une fonction continue sur $\spec\op$: On note $\mor(\rest{f}{\spec\op})=f(\op)$.
\end{cor}

\begin{proof}
  Notons $t$ la fonction $t\mapsto t$. Posons
  $\mor(f)=\gel^{-1}(f\circ\hat\op)$. Alors $\mor$ est un morphisme
  d'alg\`ebres involutives unif\`eres isom\'etrique et
  $\mor(t)=\gel^{-1}(\hat\op)=\op$. Si $\mor$ est un morphisme
  d'alg\`ebres involutives qui transforme $t$ en $\op$, alors $\mor$
  est continu et pour toute fonction polynomiale $f\colon t\mapsto\sum\sum
  a_{ij}t^i{\bar t}^j$ on a $\mor(f)=\sum\sum
  a_{ij}\op^i{\op^*}^j$. Or ces fonctions sont denses dans
  $\Cont(\spec\op)$ par le th\'eor\`eme de Stone-Weierstrass. Donc
  $\mor$ est unique.
\end{proof}

\begin{cor}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire et $\op\in A$ normal.
  \begin{enumerate}
  \item Soit $B$ l'alg\`ebre stellaire engendr\'ee par
    $\op$.  Alors $B$ est commutative et la transform\'ee de Gelfand
    de $\op$ relativement \`a $B$ d\'efinit un hom\'eomorphisme de
    $\spec B$ sur $\spec^1\op\setminus\{0\}$.
  \item Il existe un unique morphisme d'alg\`ebres involutives
    $\mor\colon\Cont_0(\spec^1\op\setminus\{0\})\to A$ qui transforme
    la fonction $t\mapsto t$ en $\op$: c'est le \emph{calcul
      fonctionnel continu} de $\op$. Son image est $B$. Soit $f$ une
    fonction continue sur $\spec^1\op\setminus\{0\}$ dont la limite en
    $0$ vaut $0$: on note
    $\mor(\rest{f}{\spec^1\op\setminus\{0\}})=f(\op)$. Alors
    $\norm{f(\op)}=\norm{f}$.
  \end{enumerate}
\end{cor}

\begin{proof}
  $(i)$. On a $\spec^1\op=\spec_{B^1}(0+\op)$ et la transform\'ee de
  Gelfand de $0+\op$ d\'efinit un hom\'eomorphisme entre $\spec B^1$
  et $\spec^1\op$ qui transforme le caract\`ere
  $\car^1_0\colon\la+\op\mapsto\la$ en $0$. Alors
  $\widehat{0+\op}(\car^1)=\hat\op(\rest{\car^1}{B})$ pour tout
  $\car^1\in\spec B^1\setminus\{\car^1_0\}$. La transform\'ee de
  Gelfand de $\op$ est la restriction de cet hom\'eomorphisme \`a
  $\spec B$.

  $(ii)$. On pose encore $\mor(f)=\gel^{-1}(f\circ\hat\op)$ et on
  utilise que les fonctions polynomiales $t\mapsto\sum\sum
  a_{ij}t^i{\bar t}^j$ sans terme constant sont denses dans
  $\Cont_0(\spec^1\op\setminus\{0\})$.
\end{proof}

\begin{thm}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire unif\`ere. Soit $\op\in A$ normal et $f\in\Cont(\spec\op)$.
  \begin{enumerate}
  \item $\spec f(\op)=f(\spec\op)$.
  \item Si $g\in\Cont(\spec f(\op))$, $g(f(\op))=g\circ f(\op)$.
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
  $(i)$. Soit $B$ l'alg\`ebre stellaire unif\`ere engendr\'ee par
  $\op$. Alors
  \begin{equation*}
    \spec f(\op)=\spec_B f(\op)=\spec_{\Cont(\spec\op)}f=f(\spec\op).
  \end{equation*}

  $(ii)$. Soit $\op[1]=f(\op)$. L'application $g\mapsto g\circ f(\op)$
  est un morphisme d'alg\`ebres involutives unif\`eres de $\Cont(\spec
  \op[1])$ dans $A$ qui transforme $t$ en $\op[1]$. Par unicit\'e,
  c'est le calcul fonctionnel continu de $\op[1]$: donc $g\circ f(\op)=g(\op[1])$.
\end{proof}

\begin{thm}
  Soient $A$ et $B$ deux alg\`ebres stellaires et $\mor\colon A\to B$
  un morphisme d'alg\`ebres involutives.
  \begin{enumerate}
  \item Si $\op$ est normal et
    $f\in\Cont_0(\spec^1\op\setminus\{0\})$, alors
    $f(\mor(\op))=\mor(f(\op))$.
  \item Si $\mor$ est injectif, alors $\mor$ est une isom\'etrie.
  \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof} Nous savons d\'ej\`a que $\mor$ est continu et
  $\norm\mor\le1$.

  $(i)$. Les morphismes d'alg\`ebres involutives $f\mapsto
  f(\mor(\op))$ et $f\mapsto\mor(f(\op))$ co\"\i ncident sur les
  fonctions polynomiales en $t$ et $t^*$ sans terme constant qui sont
  denses dans $\Cont_0(\spec^1\op\setminus\{0\})$.

  $(ii)$. Soit $f$ la fonction de distance \`a
  $\spec^1_B\mor(\op)\setminus\{0\}$.  Alors
  $\mor(f(\op))=f(\mor(\op))=0$ et $f(\op)=0$ et donc $f$ est nulle
  sur $\spec^1\op\setminus\{0\}$. Donc
  $\spec^1\op\subset\spec^1_B\mor(\op)$. On en d\'eduit que
  $\norm{\mor(\op)}=\norm{\op}$ comme dans la d\'emonstration du corollaire
  \ref{mor-cont}.
\end{proof}

\subsection{\'El\'ement positif d'une alg\`ebre stellaire}

\begin{lem}
  Soit $A$ une alg\`ebre et $\op,\op[1]\in A$. Alors
  $\spec^1\op\op[1]=\spec^1\op[1]\op$.
\end{lem}

\begin{proof}
  Soit $\la\ne0$ tel que $\la-\op\op[1]$ admet un inverse $\op[2]$ dans $A^1$. Alors
  \begin{align*}
    (\la-\op[1]\op)(1-\op[1]\op[2]\op)
    &=\la-(\la\op[1]\op[2]\op+\op[1]\op-\op[1]\op\op[1]\op[2]\op)\\
    &=\la-\op[1](\la+\op[2]^{-1}-\op\op[1])\op[2]\op=\la+0
  \end{align*}
  et de m\^eme $(1-\op[1]\op[2]\op)(\la-\op[1]\op)=\la+0$. % Donc $
%   \la-\op[1]\op$ est inversible dans $A^1$.
\end{proof}

\begin{lem}
  Soit $A$ une alg\`ebre et $\op,\op[1]\in A$ hermitiens. Si le
  spectre de $\op$ et de $\op[1]$ est positif, alors le spectre de
  $\op+\op[1]$ est positif.
\end{lem}

\begin{proof}
  Il suffit de montrer que le spectre de l'\'el\'ement hermitien
  $\op[2]=\dfrac{\op+\op[1]}2$ est positif.  On peut supposer que
  $\norm{\op},\norm{\op[1]}\le1$. Alors
  $\spec^1\op,\spec^1\op[1]\subset[0,1]$ et donc
  $\spec_{A^1}(1-\op),\spec_{A^1}(1-\op[1])\subset[0,1]$. Alors
  $\norm{1-\op},\norm{1-\op[1]}\le1$ et $\norm{1-\op[2]}\le1$. Donc
  $\spec^1\op[2]\subset\{\la\in\R:\abs{1-\la}\le1\}=[0,2]$.
\end{proof}

\begin{lem}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire et $\op\in A$. Si le spectre de
  $\op^*\op$ est n\'egatif, alors $\op=0$.
\end{lem}

\begin{proof}
  Comme le spectre de $-\op^*\op$ et de $-\op\op^*$ est positif,
  le spectre de $-\op^*\op-\op\op^*$ est positif. Or
  \begin{align*}
    \op^*\op+\op\op^*
    &=(\Re\op-\iu\Im\op)(\Re\op+\iu\Im\op)+(\Re\op+\iu\Im\op)(\Re\op-\iu\Im\op)\\
    &=2{(\Re\op)}^2+2{(\Im\op)}^2.
  \end{align*}
  Donc le spectre de $-{(\Re\op)}^2-{(\Im\op)}^2$ est positif.  Comme
  le spectre de ${(\Re\op)}^2$ et de ${(\Im\op)}^2$ est positif, le
  spectre de $-{(\Re\op)}^2$ et de $-{(\Im\op)}^2$ est dans
  $\R^+\cap\R^-=\{0\}$. Donc $\Re\op=\Im\op=0$ et donc $\op=0$.
\end{proof}

\begin{thm}
  Soit $A$ une alg\`ebre stellaire et $\op\in A$. Les assertions suivantes sont \'equivalentes.
  \begin{enumerate}
  \item $\op$ est positif.
  \item $\op$ est hermitien et de spectre positif.
  \item Il existe $\op[1]$ hermitien tel que $\op=\op[1]^2$.
  \end{enumerate}
  On peut de plus supposer que $\op[1]$ est positif et alors $\op[1]$
  est unique: c'est la racine carr\'ee de $\op$.
\end{thm}

\begin{proof}
  $(i)\imp(ii)$.  Il suffit de montrer que si $\op[1]\in A$, alors le
  spectre de $\op[2]=\op[1]^*\op[1]$ est positif. Utilisons le calcul
  fonctionnel continu pour d\'efinir ${\op[2]}_+=\max(\op[2],0)$ et
  ${\op[2]}_-=\max(-\op[2],0)$: alors ${\op[2]}={\op[2]}_+-{\op[2]}_-$,
  ${\op[2]}_+{\op[2]}_-={\op[2]}_-{\op[2]}_+=0$ et le spectre de
  ${\op[2]}_+$ et de ${\op[2]}_-$ est positif. Il s'agit de montrer
  que ${\op[2]}_-=0$. Or
  \begin{math}
    {(\op[1]{\op[2]}_-)}^*{(\op[1]{\op[2]}_-)}
    ={\op[2]}_-({\op[2]}_+-{\op[2]}_-){\op[2]}_-
    =-{\op[2]}_-^3
  \end{math}
  et donc $\op[1]{\op[2]}_-=0$ et alors ${\op[2]}_-^3=0$. Donc
  ${\op[2]}_-=0$ et $\op[2]={\op[2]}_+$.

  $(ii)\imp(iii)$ se d\'emontre comme dans le cas o\`u $\op$ est un
  op\'erateur sur un espace de Hilbert.
\end{proof}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 


\renewcommand{\bibname}{Livres consultés pour ce cours}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode ---\ }
\providecommand{\og}{``}
\providecommand{\fg}{''}
\providecommand{\smfandname}{et}
\providecommand{\smfedsname}{\'eds.}
\providecommand{\smfedname}{\'ed.}
\providecommand{\smfmastersthesisname}{M\'emoire}
\providecommand{\smfphdthesisname}{Th\`ese}
\begin{thebibliography}{1}

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{\scshape N.~Bourbaki} -- \emph{\'{E}l\'ements de math\'ematique. {F}asc.
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\end{thebibliography}




% % \part{Travaux dirigés}
% \appendix

% %  \pagestyle{empty}

% \renewcommand{\appendixname}{Travaux dirigés}

\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\chapterstyle{app}
\setcounter{chapter}{0}
\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}






\chapter{Endomorphismes admettant un polynôme annulateur scin\-dé}



\section{Cas particulier: les zéros du polyn\^ome sont sim\-ples}

\label{diagonalisation}


Soit $\corps$ un corps commutatif.  Soit $\ev$ un $\corps$-espace
vectoriel et $\op\in\lin(\ev)$. Supposons qu'il existe un polynôme de la
forme
\begin{equation*}
  p_0=\prod_{k=1}^n(t-\lambda_k)\quad
  \text{avec $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\corps$}
\end{equation*}
qui annule $\op$: $p_0$ est scindé et tous ses zéros sont simples.

\begin{enumerate}

\item Soient
  \begin{equation*}
    l_k\colon
    \begin{aligned}[t]
      \corps[t]&\to\corps\\
      p&\mapsto p(\lambda_k)
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  $n$ formes linéaires. Montrer que l'orthogonal de $\{l_k\}_{1\le
    k\le n}$ dans $\corps[t]$ est $p_0\corps[t]$:
  \begin{equation*}
    \forall\,k\in\Entiers1n\quad l_k(p)=0\qquad\Longleftrightarrow 
    \qquad p_0\mid p
  \end{equation*}

\item En déduire que les $l_k$ restreints à $\corps_{n-1}[t]$ forment
  une base du dual de $\corps_{n-1}[t]$.

\item En déduire qu'il existe des polynômes $p_j$ tels que
  \begin{equation*}
    l_k(p_j)=\delta_{kj}=
    \begin{cases}
      1&\text{si $k=j$}\\
      0&\text{sinon.}
    \end{cases}
  \end{equation*}
\item Trouver une expression pour les $p_j$.
\item Soit $p\in\corps[t]$ et $r$ le reste de la division de $p$ par
  $p_0$.
  \begin{itemize}
  \item Montrer que
    \begin{math}\displaystyle
      r=\sum_{k=1}^n p(\lambda_k)p_k
    \end{math}
  \item Montrer que
    \begin{math}\displaystyle
      p(\op)=\sum_{k=1}^n p(\lambda_k)p_k(\op).
    \end{math}
  \end{itemize}
  
\item Notons $\op_k=p_k(\op)$. Montrer que
  \begin{itemize}
  \item $\op_k\circ\op_j=0$ si $k\ne j$,
  \item $\displaystyle\sum_{k=1}^n \op_k=\id$,
  \item $\op_k^2=\op_k$.
  \end{itemize}
  Nous avons donc montré que $\op$ est \emph{diagonalisable}: $\op$ est
  une combinaison linéaire de projections associées.

\item Montrer que $\ev$ est la somme directe des noyaux des
  $\lambda_k\id-\op$ et que $\op_k$ est la projection sur $\ker(\lambda_k\id-\op)$
  parallèlement à $\displaystyle\bigoplus_{j\ne
    k}\ker(\lambda_j\id-\op)$.
\item Soit $A=\corps^{\{\lambda_k\}_{1\le k\le n}}$ l'algèbre des
  fonctions de $\{\lambda_k\}_{1\le k\le n}$ dans $\corps$.
  Considérons
  \begin{equation*}
    \Phi:
    \begin{aligned}[t]
      A&\to\corps[\op]\\
      f&\mapsto\sum_{k=1}^n f(\lambda_k)\op_k.
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme d'algèbres tel que
  $\Phi(\Un)=\id$ et $\Phi(t)=\op$, où $t$ désigne la fonction
  $\lambda\mapsto\lambda$. $\Phi$ est le \emph{calcul fonctionnel de
    $\op$}.
\end{enumerate}


\section{Cas g\'en\'eral}


Soit $\corps$ un corps commutatif.  Soit $\ev$ un $\corps$-espace
vectoriel et $\op\in\lin(\ev)$. Supposons qu'il existe un polynôme de la
forme
\begin{equation*}
  p_0=\prod_{k=1}^r(t-\lambda_k)^{\alpha_k}\quad
  \text{avec $\lambda_1,\dots,\lambda_r\in\corps$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_r\in\N^*$}
\end{equation*}
qui annule $\op$: $p_0$ est scindé. Notons $n=\alpha_1+\dots+\alpha_r$.

\begin{enumerate}

\item Pour $k\in\Entiers1r$ et $j\in\Entiers1{\alpha_k-1}$ soit
  \begin{equation*}
    l_{kj}\colon
    \begin{aligned}[t]
      \corps[t]&\to\corps\\
      p&\mapsto\frac{p^{(j)}(\lambda_k)}{j!}.
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  Montrer que l'orthogonal des $l_{kj}$ dans $\corps[t]$ est
  $p_0\corps[t]$:
  \begin{equation*}
    \forall\,k\in\Entiers1r\ \forall\,j\in\Entiers1{\alpha_k-1}\quad l_{kj}(p)=0\qquad\Longleftrightarrow 
    \qquad p_0\mid p
  \end{equation*}

\item En déduire que les $l_k$ restreints à $\corps_{n-1}[t]$ forment
  une base du dual de $\corps_{n-1}[t]$.

\item En déduire qu'il existe des polynômes $p_{kj}$ tels que
  \begin{equation*}
    l_{kj}(p_{k'j'})=\delta_{(k,j),(j,j')}=
    \begin{cases}
      1&\text{si $k=k'$ et $j=j'$}\\
      0&\text{sinon.}
    \end{cases}
  \end{equation*}
\item Montrer que
  \begin{math}\displaystyle
    \prod_{\substack{k=1\\k\ne k'}}^r(t-\lambda_k)^{\alpha_k}\mid
    p_{k'0}.
  \end{math}
\item Soit $p\in\corps[t]$ et $r$ le reste de la division de $p$ par
  $p_0$.
  \begin{itemize}
  \item Montrer que
    \begin{math}\displaystyle
      r=\sum_{k=1}^r\sum_{j=0}^{\alpha_k}\frac{p^{(j)}(\lambda_k)}{j!}p_{kj}
    \end{math}
  \item Montrer que
    \begin{math}\displaystyle
      p(\op)=\sum_{k=1}^r\sum_{j=0}^{\alpha_k}\frac{p^{(j)}(\lambda_k)}{j!}p_{kj}(\op).
    \end{math}
  \end{itemize}
\item Considérons
  \begin{equation*}
    \Phi:
    \begin{aligned}[t]
      \hol(\{\lambda_1,\dots,\lambda_r\})&\to\corps[\op]\\
      f&\mapsto\sum_{k=1}^r\sum_{j=0}^{\alpha_k}\frac{f^{(j)}(\lambda_k)}{j!}p_{kj}(\op).
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  Montrer que $\Phi$ est un morphisme d'algèbres tel que
  $\Phi(\Un)=\id$ et $\Phi(t)=\op$, où $\Un$ et $t$ désignent
  respectivement les germes des fonctions $\lambda\mapsto1$ et
  $\lambda\mapsto\lambda$ au voisinage de
  $\{\lambda_1,\dots,\lambda_r\}$. $\Phi$ est le \emph{calcul
    fonctionnel holomorphe de $\op$}. Notons $\Phi(f)=f(\op)$.

\item Notons $\op_k=p_{k0}(\op)$. Montrer que
  \begin{itemize}
  \item $\op_k\circ\op_j=0$ si $k\ne j$,
  \item $\displaystyle\sum_{k=1}^r \op_k=\id$,
  \item $\op_k^2=\op_k$.
  \end{itemize}
\item Montrer que $\ev$ est la somme directe des noyaux des
  $(\lambda_k\id-\op)^{\alpha_k}$ et que $\op_k$ est la projection sur
  $\ker(\lambda_k\id-\op)^{\alpha_k}$ parallèlement à
  $\displaystyle\bigoplus_{j\ne
    k}\ker(\lambda_{j}\id-\op)^{\alpha_{j}}$.
\item Montrer que pour tout $f\in\hol(\{\lambda_1,\dots,\lambda_r\})$
  on a
  \begin{equation*}\displaystyle
    f(\op)= \sum_{k=1}^r\Biggl(
    \sum_{j=0}^{\alpha_k}\frac{f^{(j)}(\lambda_k)}{j!}(\op-\lambda_k\id)^j
    \Biggr)\op_k.
  \end{equation*}
\item Soit
  \begin{math}\displaystyle
    d=\sum_{k=1}^r\lambda_k\op_k
  \end{math}
  et $n=\op-d$: $d$ et $n$ sont des polynômes en $\op$. Montrer que
  \begin{itemize}
  \item $\op=d+n$,
  \item $dn=nd$,
  \item $d$ est diagonalisable,
  \item $n$ est nilpotente.
  \end{itemize}
  Montrer que $d$ et $n$ sont caractérisés par ces 4 propriétés.
\end{enumerate}


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%%% mode: latex
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%%% End: 



\chapter{Quelques op\'erateurs}

\section{Op\'erateur de multiplication \`a gauche}

\begin{enumerate}
\item Soit $A$ une alg\`ebre munie d'une unit\'e $\un$ et consid\'erons $L\colon
  A\mapsto\lin(A)$ définie par $L_{\op}(\op[1])=\op\op[1]$. Montrer
  que $L$ est un morphisme d'algèbres unif\`eres injectif.
\item Montrer que $L_{\op}$ est inversible si $\op$ est inversible.
\item Supposons que $L_{\op}$ admet un inverse $M$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\op M(\un)=\un$.
  \item Montrer que $M(\op)=M(\un)\op$.
  \item Montrer que $\op$ est inversible.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}
\section{Op\'erateur diff\'erentiel du premier ordre}

\begin{enumerate}
\item Consid\'erons l'\'equation diff\'erentielle lin\'eaire du premier ordre
\begin{align*}
   \left\{
    \begin{aligned}
      &\el'+q\el=\el[1]\\
      &\el(0)=0
    \end{aligned}
  \right.
\end{align*}
où $q\in\Cont[0,1]$: il s'agit de trouver $\el\in\Cont^1[0,1]$ en
fonction du \emph{terme inhomogène} $\el[1]\in\Cont[0,1]$.
R\'esoudre cette \'equation diff\'erentielle en introduisant une primitive $p$ de $q$.
\item Soit $\ev=\{\el\in\Cont^1[0,1]:\el(0)=0\}$ et notons $\iota_{\ev}\colon\ev\to\Cont[0,1]$ l'inclusion de $\ev$ dans $\Cont^1[0,1]$. % : c'est un sous-espace
%   vectoriel de $\Cont[0,1]$, qu'on munit de la norme du supremum.
  Consid\'erons l'opérateur différentiel
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \op\colon \ev&\to\Cont[0,1]\\
    \el&\mapsto\el'+q\el.
  \end{aligned}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item $\op$ est-il un op\'erateur born\'e?
\item Si on munit $E$ de la norme d\'efinie par
  $\|\el\|_{E}=\norm{\el'}$, $\op$ est-il un
    op\'erateur born\'e?
  \item Montrer que $\op$ est un op\'erateur inversible. Soit
    $\op[1]=\iota_{\ev}\circ\op^{-1}\in\lin(\Cont[0,1])$.  $\op[1]$
    est-il born\'e~?
\end{enumerate}
\item Montrer que $\Cont[0,1]$ est un espace préhilbertien muni du
  produit scalaire défini par
\begin{equation*}
  \langle \el,\el[1]\rangle=\int_0^1\el(t)\overline{\el[1](t)}\,\de t.
\end{equation*}
\item $\op[1]$ est-il adjoignable? Si c'est le cas, $\op[1]$ est-il normal?
\end{enumerate}

\section{Op\'erateur de Volterra}
\begin{enumerate}
\item Soit $k\in\Cont([0,1]\times[0,1])$. Pour tout
  $\el[1]\in\Cont[0,1]$ soit
  \begin{equation*}
    \el(s)=\int_0^sk(s,t)\el[1](t)\,\de t.
  \end{equation*}
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\el$ est une fonction continue.
  \item Noter que $\el(0)=0$. Trouver une condition g\'en\'erale
    sur $k$ pour que $\el\in\Cont^1[0,1]$.
  \item Conclure sur l'application lin\'eaire ${\op[1]}$ qui \`a
    $\el[1]$ associe $\el$, appel\'ee \emph{op\'erateur de Volterra de
      noyau int\'egral $k$}.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $|\el(s)|\le s\|k\|\,\|\el[1]\|$.
  \item Montrer que pour tout $n\in\N$ on a
    $\abs{({\op[1]}^n(\el[1]))(s)}\le\dfrac{s^n}{n!}\norm{k}^n\norm{\el[1]}$.
  \item Estimer la norme de ${\op[1]}$ et de ${\op[1]}^n$.
  \item Calculer la norme de ${\op[1]}$. On pourra consid\'erer les fonctions 
    \begin{equation*}
      {\el[1]}_{sn}(t)=\dfrac{\overline{k(s,t)}}{\abs{k(s,t)}+1/n}\text{ pour chaque
    $s\in[0,1]$ et chaque $n\ge1$.}
  \end{equation*}
  \end{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs propres \'eventuelles de ${\op[1]}$?
\item Si $l\in\Cont([0,1]\times[0,1])$, notons ${\op[1]}_l$
  l'op\'erateur qui \`a $\el[1]\in\Cont[0,1]$ associe la fonction
  d\'efinie par
  \begin{equation*}
    \displaystyle
    \el(s)=\int_0^1l(s,t)\el[1](t)\,\de t\text.
  \end{equation*}  
  On montre comme pr\'ec\'edemment que ${\op[1]}_l$ est
  un op\'erateur born\'e sur $\Cont[0,1]$ et que sa norme est
  \begin{equation*}
    \norm{{\op[1]}_l}
    =\max_{s\in[0,1]}\int_0^1l(s,t)\,\de t\text.
  \end{equation*}
  \begin{enumerate}
  \item Supposons momentan\'ement que $l$ est une fonction polynomiale
    \`a deux variables: il existe $N\in\N$ et $a_{nm}\in\corps$ tels
    que
    \begin{equation*}
      l(s,t)=\sum_{n=0}^{N}\sum_{m=0}^{N}a_{nm}s^nt^m.
    \end{equation*}
    Montrer qu'alors ${\op[1]}_l(\el[1])$ est une fonction polynomiale
    de degr\'e au plus $N$.
  \item Montrer que $\op[1]_l$ est limite d'une suite d'op\'erateurs de rang fini.
%   \item Donner un op\'erateur born\'e sur $\Cont[0,1]$ qui n'est pas
%     limite d'une suite d'op\'erateurs de rang fini.
  \item Existe-t-il une fonction continue
    $l\in\Cont([0,1]\times[0,1])$ telle que $\op[1]={\op[1]}_l$~?
  \item Montrer que pour tout $\eps>0$ il existe
    $l\in\Cont([0,1]\times[0,1])$ telle que $\norm{l}\le\norm{k}$ et
    $\norm{\op[1]-{\op[1]}_l}<\eps$.  En d\'eduire que $\op[1]$ est
    limite d'une suite d'op\'erateurs de rang fini.

  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{\texorpdfstring{Op\'erateur de multiplication sur $\ell_2(\N)$}{Op\'erateur de multiplication sur l\texttwosuperior(N)}}

Soit $(\e_n)_{n\in \N}$ la base canonique de $\ell_2(\N)$ et soit
$\op=(\op_n)_{n\in \N}$ une suite dans $\corps$.
\begin{enumerate}
\item Dans quel cas existe-t-il un op\'erateur ${\op[1]}$ born\'e sur
  $\ell_2(\N)$ tel que ${\op[1]}(\e_n)=\op_n\e_n$ pour tout $n\in \N$?
\item Calculer alors ${\op[1]}(\el)$ pour tout $\el\in\ell_2(\N)$.
%\item ${\op[1]}$ est-il un op\'erateur born\'e?
\item Calculer l'adjoint de ${\op[1]}$; ${\op[1]}$ est-il normal?
  Donner des conditions n\'ecessaires et suffisantes pour que
  ${\op[1]}$ soit hermitien, positif, unitaire.
\item Si $\op\in\ell_\infty(\N)$, $\op[1]$ est un op\'erateur born\'e.
  Soit $\mor\colon\ell_\infty(\N)\to\borne(\ell_2(\N))$
  l'application qui \`a $\op$ associe ${\op[1]}$. Montrer que
  $\mor$ est un morphisme d'alg\`ebres involutives unif\`eres.
\item Soit \`a pr\'esent $(T,\mu)$ un espace mesur\'e et
  $\op\in\ELL^\infty(\mu)$. Si $\el$ est une fonction de carr\'e
  int\'egrable, montrer que la fonction $\op\el$ est encore de carr\'e
  int\'egrable. Montrer que si $\el$ ou $\op$ est une fonction
  mesurable nulle presque partout, la fonction $\op\el$ est aussi
  nulle presque partout. On en d\'eduit qu'on peut associer \`a tout
  $\op\in\Ell^\infty(\mu)$ un unique op\'erateur $\op[1]$ sur $\Ell^2(\mu)$ tel que
  \begin{equation*}
    (\op[1](\el))(t)=\op(t)\el(t)\quad\text{presque partout.}
  \end{equation*}
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\op[1]$ est born\'e et estimer sa norme.
  \item Montrer que l'application $\mor$ qui \`a $\op$ associe ${\op[1]}$ est
  un morphisme d'alg\`ebres involutives unif\`eres.
\item Montrer que $\mor(\op)$ est un op\'erateur born\'e inversible
  si et seulement si $\op$ est inversible.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


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\chapter{Op\'erateurs compacts}

\section{\texorpdfstring{Op\'erateur de Volterra et op\'erateur de Fredholm sur $\Cont[0,1]$}{Op\'erateur de Volterra et op\'erateur de Fredholm sur C[0,1]}}
Soit $k\in\Cont([0,1]\times[0,1])$. 
  \begin{itemize}
   \item On rappelle que l'op\'erateur de Volterra de noyau int\'egral
    $k$ est l'op\'erateur $\op_k$ d\'efini par
  \begin{equation*}
    \op_k(\el)(s)=\int_0^sk(s,t)\el(t)\,\de t\text.
  \end{equation*}
  Nous avons montr\'e que  $\op_k$  est
  un op\'erateur born\'e sur $\Cont[0,1]$ et que sa norme est
  \begin{equation*}
    \op_k
    =\max_{s\in[0,1]}\int_0^s\abs{k(s,t)}\,\de t\text.
  \end{equation*}
  \item L'op\'erateur de Fredholm de noyau $k$ est l'op\'erateur ${\op[1]}_k$
    d\'efini par
    \begin{equation*}
      {\op[1]}_k(\el)(s)=\int_0^1k(s,t)\el(t)\,\de t\text.
    \end{equation*}
  On montre comme pour l'op\'erateur de Volterra que ${\op[1]}_k$ est
  un op\'erateur born\'e sur $\Cont[0,1]$ et que sa norme est
  \begin{equation*}
    \norm{{\op[1]}_k}
    =\max_{s\in[0,1]}\int_0^1\abs{k(s,t)}\,\de t\text.
  \end{equation*}
  \end{itemize}
  \begin{enumerate}
  \item Supposons momentan\'ement que $k$ est une fonction polynomiale
    \`a deux variables: il existe $N\in\N$ et $a_{nm}\in\corps$ tels
    que
    \begin{equation*}
      k(s,t)=\sum_{n=0}^{N}\sum_{m=0}^{N}a_{nm}s^nt^m.
    \end{equation*}
    Montrer que ${\op[1]}_k(\el)$ est une fonction polynomiale
    de degr\'e au plus $N$.
  \item Montrer que $\op[1]_k$ est dans l'adh\'erence des op\'erateurs
    de rang fini.
%   \item Donner un op\'erateur born\'e sur $\Cont[0,1]$ qui n'est pas
%     limite d'une suite d'op\'erateurs de rang fini.
  \item Existe-t-il une fonction continue
    $l\in\Cont([0,1]\times[0,1])$ telle que $\op_k={\op[1]}_l$~?
  \item Montrer que pour tout $\eps>0$ il existe
    $l\in\Cont([0,1]\times[0,1])$ telle que $\norm{l}\le\norm{k}$ et
    $\norm{\op_k-{\op[1]}_l}<\eps$.  En d\'eduire que $\op_k$ est
     dans l'adh\'erence des op\'erateurs de rang fini.
   \item On en d\'eduit que $\op_k$ et ${\op[1]}_k$ sont compacts.
     Comment peut-on d\'emontrer cela directement~?
  \end{enumerate}

Munissons $\Cont[0,1]$ du produit scalaire défini par
\begin{equation*}
  \langle \el,\el[1]\rangle=\int_0^1\el(t)\overline{\el[1](t)}\,\de t
\end{equation*}
et notons $\ev$ l'espace vectoriel $\Cont[0,1]$ muni de la norme
d\'efinie par ${\lVert \el\rVert}_2^2=\langle \el,\el\rangle$. Montrer
que $\op_k$ et ${\op[1]}_k$ sont des op\'erateurs compacts de $\ev$ dans
$\Cont[0,1]$.

\section{\texorpdfstring{Op\'erateur  de Fredholm sur $\Ell^2([0,1])$}{Op\'erateur  de Fredholm sur L\texttwosuperior([0,1])}}
Soit $k$ une fonction bor\'elienne sur $[0,1]\times[0,1]$ de carr\'e
  int\'egrable.  L'op\'erateur int\'egral de noyau $k$ est
  l'op\'erateur $\op_k$ d\'efini par
    \begin{equation*}
      \label{op-int-compact}
      \op_k(\el)(s)=\int_0^1k(s,t)\el(t)\,\de t\text{ presque partout.}
    \end{equation*}
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\el\in\Ell^2[0,1]$, alors il existe une
    fonction mesurable $\el$ sur $[0,1]$ telle que \eqref{op-int-compact}
    vaut pour tout $s$ hors d'un ensemble de mesure nulle.
  \item Montrer que $\el$ est de carr\'e int\'egrable et que
    l'op\'erateur $\op[1]$ qui \`a $\el[1]$ associe la classe de $\el$ est
    born\'e.
  \item Supposons momentan\'ement que $k$ est une fonction \'etag\'ee:
    il existe des parties bor\'eliennes $A_1$, $\ldots\,$,~$A_N$,
    $B_1$, $\ldots\,$,~$B_M$ de $[0,1]$ et $a_{nm}\in\corps$ tels que
    \begin{equation*}
      k(s,t)=\sum_{n=0}^{N}\sum_{m=0}^{M}a_{nm}\chi_{A_n}(s)\chi_{B_m}(t).
    \end{equation*}
    Calculer $\op_k(\el)$.
  \item Montrer que $\op_k$ est dans l'adh\'erence des op\'erateurs
    de rang fini.
  \end{enumerate}
\section{\texorpdfstring{Op\'erateur de multiplication sur $\ell_2(\N)$}{Op\'erateur de multiplication sur l\texttwosuperior(N)}}

Soit $(\e_n)_{n\in \N}$ la base canonique de $\ell_2(\N)$. Soit
$\op\in\ell_\infty(\N)$ et soit ${\op[1]}$ l'op\'erateur d\'efini par
${\op[1]}(\e_n)=\op_n\e_n$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le spectre de $\op[1]$~?
\item Quelles sont les valeurs propres et vecteurs propres de $\op[1]$~?
\item Pour quels $\op$ $\op[1]$ est-il compact~?
\end{enumerate}

\section{\texorpdfstring{Op\'erateur de multiplication sur $\Ell^2(\mu)$}{Op\'erateur de multiplication sur L\texttwosuperior(\textmu)}}

Soit $(T,\mu)$ un espace mesur\'e. Soit $\op\in\ELL^\infty(\mu)$ et
$\op[1]$ l'op\'erateur sur $\Ell^2(\mu)$ d\'efini par
\begin{equation*}
  (\op[1](\el))(t)=\op(t)\el(t)\quad\text{presque partout.}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Quel est le spectre de $\op[1]$~?
\item Quelles sont les valeurs propres et vecteurs propres de $\op[1]$~?
\item Pour quels $\op$ $\op[1]$ est-il compact~?
\end{enumerate}



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\chapter{Probl\`eme de Sturm-Liouville}

\setcounter{equation}{0}

\section{L'\'equation des ondes}

Soit $(E_\la)$ l'\'equation
  \begin{equation}
    \label{ondes}
    \left\{
      \begin{aligned}
        &\el''=\la\el+\el[1]\\
        &\el(0)=\el(1)=0.
      \end{aligned}
      \right.
  \end{equation}
  \begin{enumerate}
  \item R\'esoudre l'\'equation homog\`ene associ\'ee, c'est-\`a-dire
    que $\el[1]=0$. Pour quel $\la$ a-t-elle une solution non nulle?
  \item R\'esoudre $(E_0)$ et construire une fonction
    $k\colon[0,1]\times[0,1]\to\R$ telle que
    \begin{equation*}
      (E_0)\ssi\el=\int_0^1k(\cdot,t)\el[1](t)\,\de t.
    \end{equation*}
  \item R\'esoudre $(E_\la)$. D\'ecrire l'ensemble des solutions selon $\la$. 
  \end{enumerate}

\section{Forme hermitienne d'une \'equation diff\'erentielle du deuxi\`eme ordre}


Consid\'erons l'\'equation $A\el''+B\el'+C\el=D$ sur l'intervalle
$[a,b]$ avec $A$, $B$, $C$ et $D$ des fonctions continues et $A$ est
strictement positive sur $[a,b]$. D\'eterminer des fonctions $p$, $q$
et $\el[1]$ telles que cette \'equation est \'equivalente \`a
l'\'equation ${(p\el')}'+q\el=\el[1]$.

\section{Op\'erateur associ\'e au probl\`eme de Sturm-Liouville}



  Soit $(F_\la)$ l'\'equation
\begin{align}
  %\label{sturm-td}
  \left\{
    \begin{aligned}
      &(p\el')'+q\el=r(\lambda \el+\el[1])\\
      &\alpha \el(a)+\alpha'\el'(a)=0\\
      &\beta \el(b)+\beta'\el'(b)=0
    \end{aligned}
  \right.
\end{align}
où $p\in\Cont^1[a,b]$ est strictement positive, $q\in\Cont[a,b]$ est
réelle, le \emph{poids} $r\in\Cont[a,b]$ est strictement positif et
$(\alpha,\alpha'),(\beta,\beta')\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$: il s'agit
de trouver $\el\in\Cont^2[a,b]$ en fonction du paramètre
$\lambda\in\CC$ et du \emph{terme inhomogène} $\el[1]\in\Cont[a,b]$.
Notons $\ev$ le sous-espace de $\Cont[a,b]$ form\'e des
$\el\in\Cont^2[a,b]$ tels que $\alpha \el(a)+\alpha'\el'(a)=\beta
\el(b)+\beta'\el'(b)=0$ et $\iota_{\ev}\colon\ev\to\Cont[0,1]$ l'inclusion de $\ev$ dans $\Cont[0,1]$. Consid\'erons l'opérateur différentiel
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \op\colon \ev&\to\Cont[a,b]\\
    \el&\mapsto\frac{(p\el')'+q\el}r.
  \end{aligned}
\end{equation*}
Munissons $\Cont[a,b]$ du produit scalaire défini par
\begin{equation*}
  \langle \el,\el[1]\rangle=\int_a^b\el(t)\overline{\el[1](t)}(r(t)\,\de t).
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le probl\`eme de Sturm-Liouville en
termes de $\op[1]$.
\item $\op$ est-il born\'e?
\item Montrer que chaque espace propre de $\op$ est de dimension $1$.
\item Nous voulons montrer que $\la$ n'est pas valeur propre de $\op$
  si $\la$ est suffisamment grand. Nous allons seulement traiter le
  cas particulier $\alpha'=\beta'=0$ et donc $\el(a)=\el(b)=0$. Soit $\la>\max\dfrac qr$ et
  supposons que $\el$ est un vecteur propre pour $\la$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\el'(a)=0$, alors $\el=0$.
  \item Montrer que $(p\el')'$ est du signe de $\el$
  \item Supposons que $\el'(a)\ne0$. Montrer que $u$ est monotone.
  \item Conclure. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

  Quitte \`a soustraire un multiple de $r$ \`a $q$, ce qui ne change
  pas la nature du probl\`eme, on peut supposer, et nous allons le
  faire dans toute la suite du probl\`eme, que $0$ n'est pas valeur
  propre de $\op$.

\section{Fonction de Green}


 La \emph{fonction de Green} associ\'ee au probl\`eme de
  Sturm-Liouville est une fonction $k$ continue sur $[a,b]$ \`a valeurs r\'eelles telle que
  \begin{itemize}
  \item $k_s\colon t\mapsto k(s,t)$ est $\Cont^2$ sur $[a,s]$ et sur
    $[s,b]$ et satisfait l'\'equation ${(p\el')}'+q\el=0$ sur chacun
    de ces intervalles,
  \item $k_s$ satisfait les conditions aux limites $\alpha
    \el(a)+\alpha'\el'(a)=0$ et $\beta \el(b)+\beta'\el'(b)=0$,
  \item $k_s$ a des d\'eriv\'ees \`a droite et \`a gauche de $s$ dont
    la diff\'erence vaut $\dfrac1{p(s)}$.
  \end{itemize}
  Pour construire cette fonction, proc\'edons comme suit.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer l'existence de fonctions r\'eelles $\el_a$ et $\el_b$
    non proportionnelles telles que
    \begin{equation*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      &(p\el_a')'+q\el_a=0\\
      &\alpha \el_a(a)+\alpha'\el_a'(a)=0
    \end{aligned}
  \right.
  \quad\text{et}\quad   
  \left\{
    \begin{aligned}
      &(p\el_b')'+q\el_b=0\\
      &\beta \el_b(b)+\beta'\el_b'(b)=0
    \end{aligned}
  \right.
\end{equation*}
\item Montrer que $p(\el_a\el'_b-\el'_a\el_b)$ est constant et non
  nul.
\item Construire $k$ \`a partir de $\el_a$ et $\el_b$.
\end{enumerate}

\section{\texorpdfstring{Inverser $\op$}{Inverser l'op\'erateur}}


\begin{enumerate}
\item Montrer que $\scal{\op(\el)}{k_s}=\el(s)$ pour tout $\el\in\ev$.
\item Montrer que $\el$ est solution du probl\`eme de Sturm-Liouville
  avec $\la=0$ si et seulement si
  \begin{equation}
    \label{op-int-sturm}
    \el(s)=\int_a^bk(s,t)\el[1](t)r(t)\,\de t.
  \end{equation}
\item En d\'eduire une expression de $\op^{-1}$. Soit
  $\op[1]=\iota_{\ev}\circ\op^{-1}\in\lin(\Cont[a,b])$.
  $\op[1]$ est-il born\'e?
\item Soit $\la\ne0$. \'Ecrire le probl\`eme de
  Sturm-Liouville en termes de $\op[1]$.
\item Quel rapport y a-t-il entre
  valeurs propres de $\op$ et valeurs propres de $\op[1]$?
\end{enumerate}

\section{\texorpdfstring{$\op[1]$ est hermitien}{L'op\'erateur est hermitien}}


  \begin{enumerate}
  \item Montrer la fonction de Green est sym\'etrique: $k(t,s)=k(s,t)$.
  \item Montrer que $\op[1]$ est hermitien.
  \item Que peut-on dire alors des
    valeurs propres et des espaces propres de $\op[1]$ et de $\op$?
  \end{enumerate}

\section{\texorpdfstring{Op\'erateur int\'egral sur $\Cont[a,b]$}{Op\'erateur int\'egral sur C[a,b]}}


Supposons dans cette question que $k$ soit une fonction continue sur
  $[a,b]\times[a,b]$ quelconque.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\el[1]\in\Cont[a,b]$, alors la fonction $\el$
    d\'efinie par \eqref{op-int-sturm} est aussi dans $\Cont[a,b]$.
  \item Soit $\op[1]$ l'op\'erateur qui \`a $\el[1]$ associe $\el$.
    \begin{enumerate}
    \item $\op[1]$ est-il born\'e?
    \item $\op[1]$ est-il compact?
    \item Que peut-on dire alors des valeurs propres et des vecteurs
      propres de $\op[1]$?
    \item Que peut-on dire des solutions $\el[1]$ de
      l'\'equation $\op[1](\el[1])=\la\el[1]+\el$?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\section{Conclusion}

Qu'avons-nous d\'emontr\'e au sujet de $(F_\la)$?

\section{\texorpdfstring{Op\'erateur int\'egral sur $\Ell^2[a,b]$}{Op\'erateur int\'egral sur L\texttwosuperior[a,b]}}


Supposons dans cette question que $k$ soit une fonction de carr\'e int\'egrable sur
  $[a,b]\times[a,b]$ quelconque.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\el[1]\in\Ell^2[a,b]$, alors il existe une
    fonction mesurable $\el$ sur $[a,b]$ telle que \eqref{op-int-sturm}
    vaut pour tout $s$ hors d'un ensemble de mesure nulle.
  \item Montrer que $\el$ est de carr\'e int\'egrable et que
    l'op\'erateur $\op[1]$ qui \`a $\el[1]$ associe la classe de $\el$ est
    born\'e.
  \item $\op[1]$ est-il compact?
  \item Que peut-on dire de la norme de $\op[1]$?
  \end{enumerate}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 


% \renewcommand{\labelenumi}{$(\roman{enumi})$}


% \subsection{Algèbre $\Ell^1({\R})$}

% \begin{exalg}\label{R}
%   Soit
%   $\Ell^1({\R})$ l'espace de Banach des classes de fonctions
%   intégrables. 
%   Si
%   $\op,\op[1]\in\Ell^1({\R})$, alors
%   \begin{equation*}
%     \op*\op[1](s)=\int_{-\infty}^\infty \op(t)\op[1](-t+s)\,\de t
%   \end{equation*}
%   existe pour presque tout $s$ et définit un élément de
%   $\Ell^1({\R})$: c'est la \emph{convolée} de $\op$ et $\op[1]$.  Muni de la
%   convolution, $\Ell^1({\R})$ est une algèbre commutative. 
%   L'application définie par
%   \begin{equation*}
%     \op^*(t)=\overline{\op(-t)}\text{ presque partout}
%   \end{equation*}
%   est une involution de $\Ell^1({\R})$. Considérons l'application
%   \begin{equation*}
%     \fourier\colon
%     \begin{aligned}[t]
%       \Ell^1({\R})&\to\Cont_0(\R)\\
%       \op&\mapsto\Bigl(\hat \op\colon\vartheta\mapsto\int_{-\infty}^\infty
%       \op(t)\e^{-\iu \vartheta t}\,\de t\Bigr).
%     \end{aligned}
%   \end{equation*}
%   Elle est bien définie par le th\'eor\`eme de convergence domin\'ee
%   et le lemme de Riemann-Lebesgue. $\fourier$ est la
%   \emph{transformation de Fourier} du groupe localement compact
%   $(\R,+)$.  On a
%   \begin{gather*}
%     \widehat{\op*\op[1]}(\vartheta) 
%     =\widehat{\op}(\vartheta)\widehat{\op[1]}(\vartheta),\\
%     \widehat{\op^*}(\vartheta) = 
%     {\hat\op}^*(\vartheta):
%   \end{gather*}
%   donc $\fourier$ est un morphisme d'algèbres involutives de
%   $\Ell^1({\R})$ dans $\Cont_0(\R)$. Son image est l'algèbre
%   involutive des fonctions continues nulles en l'infini dont la
%   transformée de Fourier est intégrable. Elle sépare les points de
%   $\R$ puisqu'elle contient les fonctions $\widehat{\chi_{[-s,s]}}
%   \colon \vartheta \mapsto 2\dfrac {\sin(s\vartheta)} \vartheta$ pour
%   tout $s\in\R$.  Par le théorème de Stone-Weierstrass, $\im\fourier$
%   est dense dans $\Cont_0(\R)$. Un calcul similaire \`a
%   \eqref{dual-fourier} montre que si $\hat \op=0$ alors $\op$ est
%   dans l'orthogonal de $\Cont_0(\R)$ dans $\Ell^1({\R})$ et donc
%   $\op=0$.

%   Si $\Ell^1({\R})$ avait une unit\'e $u$, alors $\hat u(\vartheta)=1$
%   pour tout $\vartheta$, ce qui est impossible.
% \end{exalg}

\chapter{\texorpdfstring{Algèbre $\Ell^1({\R^{+*}})$}{Algèbre L\textonesuperior(R*)}}

\begin{exalg}
  \label{R+*}
  L'application $t\mapsto\ln t$ est un morphisme du groupe
  $G=(\R^{+*},\cdot)$ sur le groupe $(\R,+)$ dont l'inverse est
  $s\mapsto\e^s$.  Munissons $\R^{+*}$ de la mesure d\'efinie par
  $\mu(A)=m\left[s\in\R:\e^s\in A\right]$, où $m$ est la mesure de
  Lebesgue sur $\R$: c'est la \emph{mesure de Haar normalis\'ee} de
  $G$.  Si $f$ est une fonction int\'egrable sur $G$, alors
  \begin{equation*}
    \int_{G}f(t)\,\de t
    =\int_{-\infty}^\infty f\left(\e^{s}\right)\,\de s
    =\int_0^\infty f(t)\,\frac{\de t}t
  \end{equation*}
  et si $s\in G$,
  \begin{gather*}
    \int_{G}f(st)\,\de t
    =\int_0^\infty f(st)\,\frac{\de t}t
    =\int_0^\infty f(t)\,\frac{\de s^{-1}t}{s^{-1}t}
    =    \int_{G}f(t)\,\de t,\\
    \int_{G}f(t^{-1})\,\de t
    =\int_0^\infty f(t^{-1})\,\frac{\de t}t
    =\int_\infty^0 f(t)\,\frac{\de(t^{-1})}{t^{-1}}
    =    \int_{G}f(t)\,\de t.
  \end{gather*}
 Soit $\Ell^1(G)$ l'espace
  de Banach des classes de fonctions intégrables sur $(G,\de\mu)$.  Si
  $\op,\op[1]\in\Ell^1({G})$, % alors
%   \begin{align*}
%     \int_{G}\de t\,\lvert \op(t)\rvert\int_{G}\de s\,\lvert \op[1](s)\rvert &=
%     \int_{G}\de t\,\lvert \op(t)\rvert\int_{G}\de s\,\lvert \op[1](t^{-1}s)\rvert \\&=
%     \int_{G}\de s\int_{G}\de t\,\lvert \op(t)\rvert\,\lvert \op[1](t^{-1}s)\rvert
%   \end{align*}
%   par le théorème de Fubini.  Donc
  \begin{equation*}
    \op*\op[1](s)=\int_{G} \op(t)\op[1](t^{-1}s)\,\de t
  \end{equation*}
  existe pour presque tout $s$ et définit un élément de
  $\Ell^1({G})$: c'est la \emph{convolée} de $\op$ et $\op[1]$.  Muni de la
  convolution, $\Ell^1({G})$ est une algèbre commutative.
  L'application définie par
  \begin{equation*}
    \op^*(t)=\overline{\op(t^{-1})}\text{ presque partout}
  \end{equation*}
  est une involution de $\Ell^1({G})$. Considérons l'application
  \begin{equation*}
    \fourier_{G}\colon
    \begin{aligned}[t]
      \Ell^1({G})&\to\Cont_0(G)\\
      \op&\mapsto\Bigl(\hat \op\colon\vartheta\mapsto\int_{G}
      \op(t)t^{\iu\ln\vartheta}\,\de t\Bigr).
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  Elle est bien définie par le th\'eor\`eme de convergence domin\'ee
  et le lemme de Riemann-Lebesgue. $\fourier_{G}$
  est la \emph{transformation de Fourier} du groupe localement compact
  $G$.  On a encore 
  \begin{gather*}
    \widehat{\op*\op[1]}(\vartheta) % &= \int_{G}\de s
%     \biggl(
%     \int_{G}\de t\, \op(t)\op[1](t^{-1}s)\biggr)s^{\iu\ln\vth}\\
%     &=\int_{G}\de s \int_{G}\de
%     t\,\bigl(\op(t)t^{\iu\ln\vth}\bigr)
%     \bigl(\op[1](t^{-1}s)(t^{-1}s)^{\iu\ln\vth}\bigr)\\
%     &=\int_{G}\de t\,\op(t)t^{\iu\ln\vth}
%     \int_{G}\de s\,\op[1](s)s^{\iu\ln\vth}
    =
    \hat\op(\vartheta)\hat{\op[1]}(\vartheta)\\
%   \end{align*}
%   par le théorème de Fubini et
%   \begin{equation*}
    \widehat{\op^*}(\vartheta)=
%     \int_{G}\overline{\op(t^{-1})}t^{\iu\ln\vth}\,\de t =
%     \overline{\int_{G} \op(t^{-1}){(t^{-1})}^{\iu\ln\vth},\de t} =
%     \overline{\int_{G} \op(t)t^{\iu\ln\vth}\,\de t} =
    {\hat\op}^*(\vartheta):
  \end{gather*}
  donc $\fourier_{G}$ est un morphisme d'algèbres involutives de
  $\Ell^1({G})$ dans $\Cont_0(G)$.  Son image est l'algèbre involutive
  des fonctions continues nulles en l'infini dont la transformée de
  Fourier est intégrable: nous verrons qu'elle est dense dans
  $\Cont_0(G)$.  Si $\op,l\in\Ell^1(G)$, alors
  \begin{equation}\label{dual-fourier}
    \int_{G} l(t)\hat \op(\vartheta)\,\de t =
    \int_{G} l(t)\int_{G} \op(t)t^{\iu\ln\vth}\,\de\vartheta =
    \int_{G}\left(\int_{G} l(t)t^{\iu\ln\vth}\right)\op(t)\,\de t =
    \int_{G}\hat l(\vartheta)\op(t)\,\de t.
  \end{equation}
  En consid\'erant $l$ comme une forme lin\'eaire sur
  $\Cont_0(G)$, $\fourier_{G}'(l)$ est donc la classe de
  $\hat l$.  On d\'eduit de \eqref{dual-fourier} que si $\hat \op=0$
  alors $\op$ est dans l'orthogonal de l'image de
  $\fourier_{G}$ dans $\Ell^1({G})$ et donc $\op=0$.
  Donc $\fourier_{{G}}$ est injective.

%  Un
%   calcul similaire \`a \eqref{dual-fourier} montre que si $\hat \op=0$
%   alors $\op$ est dans l'orthogonal de $\Cont_0(\R)$ dans $\Ell^1({\R})$
%   et donc $\op=0$.

  Si $\Ell^1({G})$ avait une unit\'e $u$, alors $\hat u(\vartheta)=1$
  pour tout $\vartheta\in G$, ce qui est impossible.
\end{exalg}



L'exemple \ref{R+*} est l'\emph{algèbre de groupe} du groupe
localement compact $(\R^{+*},\cdot)$. La même construction peut être
faite dans tout groupe localement compact non nécessairement
commutatif.

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\chapter{Algèbre du disque}\label{td-algdisque}

\section{Algèbre du disque}


\begin{enumerate}
\item On note $\D=\{t\in\CC:\abs t\le 1\}$ le disque unit\'e ferm\'e du
  plan complexe.  Montrer que $\D$ est un compact \`a bord orient\'e.
\item Soit $\op[1]\in\Cont(\T)$ et $n\in\Z$. On note 
  \begin{math}
    \displaystyle
    \hat {\op[1]}(n) =
    \int_{\T} {\op[1]}(t)t^{-n}\,\de t\text.
  \end{math}
  Montrer que
  \begin{math}
    \displaystyle
    \hat {\op[1]}(n) =
    \frac{1}{2\iu\pi}\int_{\partial\D}\frac{{\op[1]}(z)}{z^{n+1}}\,\de z\text.
  \end{math}
\item Soit $\op\in\Cont(\D)$ et posons $\op[1]=\rest\op\T$. On veut
  montrer que les assertions suivantes sont \'equivalentes:
    \begin{enumerate}
      \renewcommand{\labelenumii}{$(\roman{enumii})$}
    \item $\op\in\rat(\D)$.
    \item $\op$ est holomorphe sur $\mathring \D$.
    \item Les coefficients de Fourier
      $\hat{\op[1]}(n)$ de $\op[1]$ sont nuls pour $n<0$.
    \item $\op$ est limite uniforme de fonctions polyn\^omes sur $\D$.
    \end{enumerate}
    \begin{enumerate}
    \item 
      Montrer que 
  \begin{math}
    \displaystyle
    \hat{\op[1]}(n)
    =\lim_{r\to1^{-}}\int_{\T}\op(rt)t^{-n}\,\de t
  \end{math}.  En d\'eduire que si $\op$ est holomorphe sur $\mathring
  \D$, alors $\hat{\op[1]}(n)=0$ pour tout $n\le-1$.
\item Supposons que $\hat{\op[1]}(n)=0$ pour tout $n\le-1$. Montrer
  que pour tout $\eps>0$ il existe $p\in\corps[t]$ tel que
  \begin{math}
    \displaystyle
    \max_{t\in\T}\abs{\op[1](t)-p(t)}<\eps.
  \end{math}
  En d\'eduire que   
  \begin{math}
    \displaystyle
    \max_{t\in\D}\abs{\op(t)-p(t)}<\eps
  \end{math}.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\item Notons $\disk$ l'espace des fonctions $\op[1]\in\Cont(\T)$ dont
  les coefficients de Fourier $\hat{\op[1]}(n)$ sont nuls pour $n<0$.
  Montrer que $\disk$ est une sous-alg\`ebre de
  $\Cont(\T)$ et que l'application
\begin{equation*}
  \mor\colon\begin{aligned}[t]
    \rat(\D)&\to\disk\\
    \op&\mapsto\rest\op\T
  \end{aligned}
\end{equation*}
est un isomorphisme isom\'etrique d'alg\`ebres de Banach unif\`eres.
\item Montrer que si $\op$ est une fonction continue sur $\D$
  holomorphe sur $\mathring\D$ dont le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere
  en $0$ est 
  \begin{math} 
    \displaystyle 
    \sum_{n=0}^\infty a_nt^n,
  \end{math}
  alors $\hat{\op}(n)=a_n$. En d\'eduire l'inverse $\mor[1]$ de
  $\mor$. Montrer que si $r\in[0,1\mathopen[$ et $t\in\T$, alors
  \begin{math}
    \mor[1](\op[1])(rt)=(P_r*\op[1])(t)\text,
  \end{math}
  o\`u $P_r$ est le \emph{noyau de Poisson} d\'efini par
  $P_r(t)=\dfrac{1-r^2}{{\abs{1-rt}}^2}$.
\item Soit $\op[1]\in\disk$. D\'ecrire le spectre de $\op[1]$.
\item Montrer que l'application définie par
  ${\op[1]}^*(t)=\overline{{\op[1]}(t^{-1})}$ est une involution de
  $\disk$. Que peut-on dire du spectre d'un \'el\'ement hermitien de
  $\disk$~? 
\end{enumerate}

Nous montrerons que le spectre de tout élément
$\op$ de $\disk$ est la réunion du spectre de $\op$ dans $\Cont(\T)$
avec toutes les composantes connexes bornées de
$\CC\setminus\spec_{\Cont(\T)}\op$: c'est l'intérieur de la courbe
paramétrée définie par $\op$ dans le plan complexe.

\section{Unit\'e approch\'ee}

Une \emph{unit\'e approch\'ee de $\Ell^1(\T)$} est une suite de
fonctions continues $u_n$ sur $\T$ telles que
\begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{$(\roman{enumi})$}
\item $\displaystyle\int_{\T}u_n(t)\,\de t=\widehat{u_n}(0)=1$,
\item les $\displaystyle\int_{\T}\abs{u_n(t)}\,\de t$ sont uniform\'ement born\'es,
\item pour tout voisinage $V$ de $1$ dans $\T$ on a
  $\displaystyle\int_{\T}\abs{u_n(t)}\Un_{V^{\mathrm c}}(t)\,\de
  t\xrightarrow[n\to\infty]{}0$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $t\in\T$, soit $\tau_t$ l'op\'erateur d\'efini sur
  $\Ell^1(\T)$ par $(\tau_t(\op))(s)=\op(t^{-1}s)$ presque partout.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\op$ est une fonction continue, alors
    $\displaystyle\max_{s\in\T}\abs{\op(t^{-1}s)-\op(s)}\xrightarrow[t\to1]{}0$.
  \item Montrer que si $\op\in\Ell^1(\T)$, alors l'application qui \`a
    $t$ associe $\tau_t(\op)$ est continue.
  \end{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ une unit\'e approch\'ee.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\op\in\Ell^1(\T)$,
    $u_n*\op\xrightarrow[n\to\infty]{}\op$ dans $\Ell^1(\T)$.
\item Montrer que si $\op\in\Ell^\infty(\T)$,
  $u_n*\op\xrightarrow[n\to\infty]{}\op$ pour la topologie
  $\sigma(\Ell^\infty(\T),\Ell^1(\T))$.
  \end{enumerate}
\item Montrer que pour toute suite de nombres $r_n\in[0,1\mathclose[$
  qui tend vers $1$, $(P_{r_n})$ est une unit\'e approch\'ee.
\end{enumerate}


\section{Alg\`ebre des fonctions holomorphes born\'ees du disque}



On note $\hardy^\infty(\D)$ l'espace vectoriel des fonctions holomorphes
sur $\mathring\D$ qui sont born\'ees, muni de la norme du supremum.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\hardy^\infty(\D)$ est une alg\`ebre de Banach.
\item Soit $\op\in\hardy^\infty(\D)$ et notons ${\op[1]}_r$ la fonction
  d\'efinie par ${\op[1]}_r(t)=\op(rt)$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer qu'il existe une suite de nombres
    $r_n\in[0,1\mathclose[$ telle que la classe de ${\op[1]}_{r_n}$
    converge vers un \'el\'ement $\op[1]\in\Ell^\infty(\T)$ pour la
    topologie $\sigma(\Ell^\infty(\T),\Ell^1(\T))$.
  \item Montrer que $\op(rt)=(P_r*\op[1])(t)$ pour tout
    $r\in[0,1\mathopen[$ et $t\in\T$.
%   \item Montrer que si $f\in\Ell^1(\T)$ et $g\in\Ell^\infty(\T)$, alors, pour tout
%     $r\in[0,1\mathopen[$ et $t\in\T$,
%     \begin{equation*}
%       \int_{\T}(P_r*f)(t)g(t)\,\de t=\int_{\T}f(t)(P_r*g)(t)\,\de t
%     \end{equation*}
  \item Montrer que la classe de ${\op[1]}_r$ tend vers $\op[1]$ pour
    la topologie $\sigma(\Ell^\infty(\T),\Ell^1(\T))$ lorsque $r$ tend
    vers $1$ par valeurs inf\'erieures.
  \item Montrer que les coefficients de Fourier $\hat{\op[1]}(n)$ de
    $\op[1]$ sont nuls pour $n<0$.
  \end{enumerate}
\item On note $\hardy^\infty(\T)$ le sous-espace vectoriel de
  $\Ell^\infty(\T)$ formé des classes de fonctions $\op[1]$ dont les
  coefficients de Fourier $\hat {\op[1]}(n)$ sont nuls pour $n<0$.
  Montrer que l'application qui \`a $\op$ associe $\op[1]$ construite
  \`a la question pr\'ec\'edente est un isomorphisme isom\'etrique
  d'alg\`ebres de Banach unif\`eres.
\end{enumerate}




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\setcounter{chapter}{0}
\renewcommand{\thechapter}{\alph{chapter}}
\chapterstyle{ds}

\chapter{Projet de contr\^ole continu de mai 2005}

Soit $A$ une alg\`ebre de Banach unif\`ere. Un \'el\'ement $p\in A$
est \textit{idempotent} si $p^2=p$. Pour chaque idempotent $p$, soit
$A_p$ l'ensemble des $pap$ lorsque $a$ parcourt $A$ et
$\phi_p:\vtop{\halign{ #\cr$A\to A_p$\cr$a\mapsto pap$\cr}}$~.
\begin{itemize}
\item [I.]
\begin{itemize}
\item [1.] Montrer que $A_p$ est une sous-alg\`ebre ferm\'ee de $A$.
\item [2.] D\'eterminer l'unit\'e de l'alg\`ebre $A_p$.
\item [3.] Comment munir $A_p$ d'une norme qui en fait une alg\`ebre de Banach
  unif\`ere~?
\end{itemize}
\item [II.] Soit $p$ un idempotent et $a$ un \'el\'ement de $A$ qui commute avec $p$:
  $ap=pa$. 
\begin{itemize}
\item [1.] Soit $q=\mathds{1}-p$.  Montrer que
  $q$ est un idempotent et que $pq=0$.
\item [2.] Montrer que $a$ est inversible dans $A$ si et seulement si
  $\phi_p(a)$ est inversible dans $A_p$ et $\phi_q(a)$ est inversible
  dans $A_q$.
\item [3.] Montrer que le spectre de $a$ est la r\'eunion des spectres
  de $\phi_p(a)$ et de $\phi_q(a)$.
\end{itemize}
\item [III.] Soit $a$ un \'el\'ement de $A$ et $K$ une partie de
  $\spec a$ qui est \`a la fois ouverte et ferm\'ee dans
  $\spec a$: il existe des voisinages de $K$ et
  de $L=\spec a\setminus K$ qui sont disjoints.
\begin{itemize}
\item [1.] Montrer qu'il existe une fonction holomorphe $\chi$ \'egale
  \`a $1$ au voisinage de $K$ et \'egale \`a $0$ au voisinage de
  $L$.
\item [2.] Soit $p=\chi(a)$. Montrer que $p$ est un idempotent et que
  $ap=pa$. 
\item [3.] Soit $\lambda\notin K$. Montrer qu'il existe une fonction
  $\psi$ holomorphe au voisinage de $\spec a$ telle que
  $\psi(t)=1/(\lambda-t)$ pour $t$ dans un voisinage de $K$. 
\item [4.] En d\'eduire que $\spec\phi_p(a)=K$ et
  $\spec\phi_q(a)=L$, o\`u
  $q=\mathds{1}-p$.
\item [5.] Montrer que pour toute fonction holomorphe $f$ au voisinage
  de $K$, $f(\phi_p(a))=\phi_p(\hat f(a))$, o\`u $\hat f$ est n'importe
  quelle fonction holomorphe au voisinage de $\spec a$
  \'egale \`a $f$ dans un voisinage de $K$.
\end{itemize}
\end{itemize} 


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\chapter{Devoir \`a la maison en th\'eorie des op\'erateurs du 26 mai 2005}

La notation privil\'egiera celui qui traite des questions enti\`eres:
seules compteront pour la note les sept questions les mieux
trait\'ees.\bigskip



Ce probl\`eme \'etudie des notions analogues \`a l'injectivit\'e et
\`a la surjectivit\'e d'un op\'erateur born\'e dans une alg\`ebre de
Banach unif\`ere $A$ (voir les questions 8 et 9.) Il donne des
informations sur la topologie de $\text{GL}(A)$ qui contreviennent \`a
l'intuition de la topologie de $\mathds{C}$ (voir les questions 3,4 et
5.) Il approfondit le ph\'enom\`ene de permanence spectrale vu en
travaux dirig\'es (voir la question 7.) \bigskip

Soit $E$ une partie d'un espace topologique $X$. On note $\partial
E=\overline{E}\cap\overline{X\setminus E}$ le bord de $E$. Si
$X$ est un espace m\'etrique et si $x\in\partial E$, il existe une
suite $(x_n)$ dans $E$ et une suite $(y_n)$ dans $X\setminus E$ qui
tendent vers $x$. \medskip

Soit $A$ une alg\`ebre de Banach unif\`ere et $x\in A$.
\begin{itemize}
\item $x$ est \textit{inversible \`a droite} (resp.~\textit{\`a
    gauche}) s'il existe $y\in A$ tel que $xy=\mathds{1}$
  (resp.~$yx=\mathds{1}$.) On note $x\in A^{-1}_\text{d}$ (resp.~$x\in
  A^{-1}_\text{g}$.)
\item $x$ est un \textit{diviseur de z\'ero} (un \textit{dz}, par
  abr\'eviation) \textit{\`a gauche} (resp.~\textit{\`a droite}) s'il
  existe $y\in A\setminus\{0\}$ tel que $xy=0$ (resp.~$yx=0$.)
\item $x$ est un \textit{diviseur de z\'ero topologique} (un
  \textit{dzt}, par abr\'eviation) \textit{\`a gauche}
  (resp.~\textit{\`a droite}) s'il existe une suite d'\'el\'ements
  $y_n\in A$ de norme $1$ telle que $xy_n\to0$ (resp.~$y_nx\to0$.)
\end{itemize}

\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{-1}
\item
  \begin {enumerate}
  \item Montrer que si $x$ admet un inverse \`a droite $y$ et un
    inverse \`a gauche $z$, alors $y=z$ et $x$ est inversible:
    $\text{GL}(A)=A^{-1}_\text{d}\cap A^{-1}_\text{g}$.
  \item Montrer que si $x$ est un dz \`a gauche, $x$ est un dzt \`a
    gauche.
  \item Montrer que si $x$ est un dzt \`a gauche, $x$ n'est pas
    inversible \`a gauche.
  \end{enumerate}
  
\item Soit $A$ l'alg\`ebre de Banach unif\`ere commutative des
  fonctions continues $2\pi$-p\'e\-rio\-di\-ques, muni de la norme du
  supremum: $A=\mathscr{C}(\mathds{R}/2\pi\mathds{Z})$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si l'int\'erieur de $x^{-1}(0)$ est vide, alors
    $x$ n'est pas un dz. R\'e\-ci\-proque~?
  \item Montrer que si $x$ s'annule, alors $x$ est un dzt.
  \item Conclure.
  \end{enumerate}
\item Soit $A$ le sous-espace vectoriel norm\'e de
  $\mathscr{C}(\mathds{R}/2\pi\mathds{Z})$ form\'e des fonctions $y$
  dont les coefficients de Fourier $\hat y(n)$ sont nuls pour $n<0$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $A$ est une alg\`ebre de Banach unif\`ere.
  \item Nous avons montr\'e dans le TD~\ref{td-algdisque} que $\mathop\text{spec}A$ est
    hom\'eomorphe au disque unit\'e ferm\'e $\mathds{D}$ de
    $\mathds{C}$. D\'ecrire la transformation de Gelfand
    $\mathscr{G}\colon A\to\mathscr{C}(\mathds{D})$ qui r\'esulte
    de cette identification.
  \item Montrer que le seul diviseur de z\'ero de $A$ est $0$.
  \item Montrer que la fonction $x\colon \lambda\mapsto\text{e}^{\iu\lambda}$ est un \'el\'ement non inversible de $A$, alors que $x$ n'est pas un
    dzt.
  \end{enumerate}
\item Soit $\gamma:A\to\mathds{R}$ d\'efinie par
  $\gamma(x)=\inf\{\|xy\|:\|y\|=1\}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $x$ est un dzt \`a gauche si et seulement si
    $\gamma(x)=0$.
  \item Montrer que $|\gamma(x_1)-\gamma(x)|\leqslant\|x_1-x\|$.
  \item Montrer que l'ensemble des dzt \`a gauche est ferm\'e.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $x_1$ admet un inverse \`a droite $z_1$ et que
    $\|x-x_1\|<1/\|z_1\|$, alors $x$ est inversible \`a droite:
    $A^{-1}_\text{d}$ est ouvert. De m\^eme, $A^{-1}_\text{g}$ est
    ouvert.
  \item Montrer que si $x$ est limite d'\'el\'ements $x_n$ ayant un
    inverse \`a droite $z_n$ et que la suite des $\|z_n\|$ ne tend pas
    vers l'infini,
    alors $x$ est inversible \`a droite.
  \item Montrer que si $x\in\partial A^{-1}_\text{d}$, alors $x$ est
    un dzt \`a gauche.
%: en particulier, $x\notin A^{-1}_\text{g}$. 
De
    m\^eme, si $x\in\partial A^{-1}_\text{g}$, alors $x$ est un dzt
    \`a droite.
% et donc $x\notin A^{-1}_\text{d}$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\partial\text{GL}(A)\subset\partial
    A^{-1}_\text{g}\cap\partial A^{-1}_\text{d}$.
  \item Montrer que si $x\in\partial\text{GL}(A)$, alors $x$ est un
    dzt \`a gauche et \`a droite.
                                %\item Montrer que $A^{-1}_\text{d}\setminus A^{-1}_\text{g}$ est ouvert.
  \item Montrer que l'ensemble des \'el\'ements qui ne sont ni
    inversibles ni dzt \`a gauche est ouvert. De m\^eme, l'ensemble
    des \'el\'ements qui ne sont ni inversibles ni dzt \`a droite est
    ouvert.
  \item Montrer que si $\lambda\in\partial\mathop\text{spec}x$, alors
    $\lambda\mathds{1}-x$ est un dzt \`a gauche et \`a droite.
  \item Montrer que si le seul dzt \`a gauche ou \`a droite est $0$, alors
    $A=\mathds{C1}$.
  \end{enumerate}
\item Supposons que $A$ est une C$^*$-alg\`ebre unif\`ere.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $x$ est autoadjoint non inversible, alors $x$
    est un dzt \`a gauche et \`a droite.
  \item Si $x$ est normal non inversible, montrer que
    \begin{enumerate}
    \item $x^*x$ n'est pas inversible;
    \item $x$ est un dzt \`a gauche et \`a droite.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\item Soit $\phi:A\to B$ un morphisme d'alg\`ebres de Banach
  unif\`eres injectif et d'image ferm\'ee.
  \begin{enumerate}
  \item Donner la d\'emonstration que
    $\phi(\text{GL}(A))\subset\text{GL}(B)$ et $\spec\phi(x)\subset\mathop\text{spec}x$.
  \item Montrer qu'il existe une constante $c>0$ telle que
    $\|\phi(x)\|\ge c\|x\|$ pour tout $x\in A$.
  \item Montrer que si $x$ est un dzt \`a gauche, alors $\phi(x)$ est
    un dzt \`a gauche.
  \item Montrer que $\phi(\partial\text{GL}(A))\subset\partial\text{GL}(B)$.
  \item Montrer que
    $\partial\mathop\text{spec}x\subset\partial\mathop\text{spec}\phi(x)$.
  \end{enumerate}
\item[]  Dans la suite du probl\`eme, $X$ est un espace de Banach et $A=B(X)$.
  Soit $T\in A$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que si $T$ est injectif, alors $T$ n'est pas un dz \`a
      gauche. R\'eciproque~?
    \item Montrer que si $T$ est injectif et d'image ferm\'ee, alors $T$
      n'est pas un dzt \`a gauche. R\'eciproque~?
    \item Montrer que si l'image de $T$ est dense, alors $T$
      n'est pas un dz \`a droite. R\'e\-ci\-proque~?
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que si $T$ est surjectif, alors $T$ n'est pas un dzt
      \`a droite. R\'e\-ci\-pro\-que\-ment, si $T$ n'est pas surjectif, la fin
      de la d\'emonstration du th\'eor\`eme de l'application ouverte
      montre que $n^{-1}\text B_X\not\subset\overline{T(\text B_X)}$ pour
        tout $n\ge1$.
    \begin{enumerate}
    \item En d\'eduire des formes lin\'eaires $l_n$ de norme $1$
      telles que $|l_n(T(x))|\le1/n$ pour $\|x\|\le1$.
    \item Montrer que $T$ est un dzt \`a droite.
    \end{enumerate}
  \item Conclure.
  \item Montrer que l'ensemble des op\'erateurs injectifs et d'image
    ferm\'ee distincte de $X$ est ouvert.
  \item Montrer que l'ensemble des op\'erateurs surjectifs non
    injectifs est ouvert.
  \item Que signifient ces r\'esultats lorsque $X$ est de
    dimension finie~?
  \end{enumerate}
\item[] \textit{Indication:} pour chacune des r\'eciproques, on pourra
  consid\'erer les op\'erateurs $U_{l,y}$ de rang $1$ d\'efinis par
  $U_{l,y}(x)=l(x)y$, o\`u $(l,y)\in X'\times X$.
\end{enumerate}


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\def\sgn{\mathop\text{sgn}}
\chapter{Examen terminal en th\'eorie des op\'erateurs du 30 mai 2005}

Soit $\sgn$ la fonction signe: 
$\sgn(t)=
  \begin{cases}
    -1&\text{si $t<0$}\\
    1&\text{si $t\ge0$}~.
  \end{cases}
$\bigskip

\textbf{Exercice 1. }Un op\'erateur de multiplication.
\begin{enumerate}
\item (2 points) Montrer que l'\'egalit\'e
  \begin{equation*}
    (T(x))(t)=\sgn(t)x(t)\text{ presque partout}
  \end{equation*}
  d\'efinit un op\'erateur born\'e sur $\text{L}^2(\mathds R)$ et
  calculer sa norme.
\item (1 point) Est-ce que $T$ admet un polyn\^ome annulateur non nul~?
\item (1 point) $T$ est-il compact~?
\item (2 points) Quelles sont les valeurs spectrales de $T$~?
\item (3 points) Quelles sont les valeurs propres de $T$~?
  D\'eterminer les espaces propres
  associ\'es.
\item (4 points) Montrer que $T$ est autoadjoint. Soit $g$ une
  fonction continue sur le spectre de $T$. Calculer $g(T)$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 2. }Un op\'erateur de convolution.
\begin{enumerate}
\item (2 points)  Montrer que l'\'egalit\'e
  \begin{equation*}
    (T(x))(t)=\int_{-\pi}^\pi \sgn(t-s)x(s)\,\text{d}s
  \end{equation*}
  d\'efinit un op\'erateur born\'e sur $\mathscr{C}[-\pi,\pi]$ et
  calculer sa norme. Existe-t-il une fonction $x$ non nulle telle que
  $\|T(x)\|=\|T\|\,\|x\|$~?
\item (1 point) Montrer que $T(x)$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle lin\'eaire du premier ordre
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      &y'(t)=2x(t)\\
      &y(-\pi)+y(\pi)=0~.
    \end{aligned}
  \right.
\end{equation*}
\item (2 points) D\'ecrire le noyau et l'image de $T$~.
\item  (2 points) $T$ est-il compact~?
\item (4 points) Quelles sont les valeurs propres de $T$~?
  D\'eterminer les espaces propres associ\'es.
\item (2 points) Quel est le rayon spectral de $T$~?
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3. }Soit $A$ l'alg\`ebre de Wiener: $A$ est l'espace
de Banach des fonctions
con\-ti\-nues $2\pi$-p\'eriodiques sur $\mathds R$ dont la s\'erie de
Fourier converge normalement, muni de la norme d\'efinie par
$\|x\|=\sum_{k\in\mathds Z}|\hat x(k)|$, et muni du produit d\'efini par
$(xy)(t)=x(t)y(t)$. Notons $\text e_k(t)=\text
e^{\text ikt}$ pour $k\in\mathds Z$. Alors $\text e_0$ est l'unit\'e
de $A$.
\begin{enumerate}
\item (3 points)  Montrer que $A$ est une alg\`ebre de Banach
  unif\`ere commutative.
\item (2 points)  Trouver un morphisme d'alg\`ebres non nul de $A$ dans
  $\mathds C$.
\item Soit $\phi\colon A\to\mathds C$ un morphisme d'alg\`ebres non nul. 
  \begin{enumerate}
  \item (4 points) Question de cours. Quelle est la valeur de
    $\phi(\text e_0)$~? D\'emonstration. Est-ce que $\phi$ est continu~?  D\'emonstration. 
  \item (3 points) Soit $\lambda=\phi(\text e_1)$. Calculer
    $\phi(\text e_{-1})$ puis $\phi(\text e_k)$ pour tout
    $k\in\mathds Z$. Montrer que $|\lambda|=1$. Il existe donc
    $\vartheta\in[0,2\pi\mathclose[$ tel que $\lambda=\text e^{\text
      i\vartheta}$.
  \item (1 point) Soit $x\in A$: $x$ est la somme de sa s\'erie de Fourier
    $\sum_{k\in\mathds Z}\hat x(k)\text e_k$. Calculer $\phi(x)$.
  \item (2 points) D\'ecrire tous les morphismes d'alg\`ebres non nuls de $A$ dans $\mathds
    C$. 
  \end{enumerate}
\item (3 points) Soit $x\in A$. D\'ecrire le spectre de $x$. 
  En d\'eduire que si $x$ ne s'annule pas, alors $x$ est inversible dans
  $A$: la s\'erie de Fourier de la fonction $1/x$ converge normalement. 
\item Soit $x\in A$ et $f$ une fonction holomorphe au voisinage du
  spectre de $x$. Nous voulons d\'emontrer que l'\'el\'ement $f(x)$, d\'efini par le
    calcul fonctionnel holomorphe, est \'egal \`a $f\circ x$.
  \begin{enumerate}
  \item (2 points) Premi\`ere d\'emonstration. D\'eduire ceci de l'unicit\'e du calcul fonctionnel holomorphe.
  \item (4 points) Deuxi\`eme d\'emonstration. Exprimer l'\'el\'ement $f(x)$ d\'efini par le
    calcul fonctionnel holomorphe. Soit $\delta_t$ la forme lin\'eaire
    sur $A$ d\'efinie par $\delta_t(x)=x(t)$. Calculer
    $\delta_t(f(x))$. Conclure. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate} 


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\chapter{Contr\^ole continu en th\'eorie des
  op\'erateurs du 4 mai 2006.}

\begin{Ex}
  Soit $\op$ l'op\'erateur de multiplication d\'efini sur l'espace vectoriel $\Cont[0,1]$
  par $(\op(\el))(t)=t\el(t)$ pour tout $\el\in\Cont[0,1]$ et tout $t\in[0,1]$.
  \begin{enumerate}
  \item Calculez la norme de $\op$.
  \item Trouvez les valeurs propres de $\op$.
  \item Calculez le spectre de $\op$.
  \end{enumerate}
\end{Ex}

\begin{Ex}
  Soit $A$ une alg\`ebre munie d'une unit\'e $\un$. Un \'el\'ement
  $\op\in A$ est \emph{idempotent} si $\op^2=\op$.  Un \'el\'ement
  $\op[1]\in A$ est une \emph{sym\'etrie} si $\op[1]^2=\un$.
  \begin{enumerate}
  \item Soit $\op[1]$ une sym\'etrie.
    \begin{enumerate}
    \item D\'eterminez les projecteurs spectraux $\op$ associ\'es \`a $\op[1]$.
    \item Quel rapport y a-t-il entre le spectre de $\op[1]$ et le spectre de $\op$~?
    \end{enumerate}
  \item Proposez un espace vectoriel $\ev$ et trois op\'erateurs
    distincts $\op_1$, $\op_2$ et $\op_3$ sur $\ev$ qui sont
    idempotents. D\'eterminez les valeurs propres de ces trois op\'erateurs.
  \item Que peut-on dire du spectre d'un \'el\'ement idempotent~?
  \item Que peut-on dire du spectre d'une sym\'etrie~?
  \item Soit $\op$ un \'el\'ement idempotent de
    l'alg\`ebre $\Cont(\T)$ des fonctions complexes continues sur le
    groupe $\T$ des nombres complexes de module $1$, munie de la
    multiplication des fonctions.
    \begin{enumerate}
    \item Quelles valeurs la fonction $\op$ peut-elle prendre~?
    \item Quels sont les idempotents de $\Cont(\T)$~?
  \end{enumerate}
  \item Soit $\op$ un \'el\'ement idempotent de l'alg\`ebre
    $\ell^1(\Z)$ munie de la convolution.
    \begin{enumerate}
    \item Que peut-on dire de la transform\'ee de Fourier de $\op$
      (c'est-\`a-dire de la somme de la s\'erie de Fourier dont les
      coefficients sont les termes de $\op$)~?
    \item Quels sont les idempotents de $\ell^1(\Z)$~?
    \end{enumerate}
  \item Soit $\op$ un \'el\'ement idempotent de l'alg\`ebre
    $\Ell^1(\T)$ munie de la convolution.
    \begin{enumerate}
    \item Que peut-on dire de la transform\'ee de Fourier de $\op$
      (c'est-\`a-dire de la suite des coefficients de Fourier de $\op$)~?
    \item Quels sont les idempotents de $\Ell^1(\T)$~?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Ex}

\begin{Ex}
  Soit $\ev$ un
  espace de Hilbert. Soit $\op$ une isom\'etrie non surjective de
  $\ev$: on a $\norm{\op(\el)}=\norm{\el}$ pour tout $\el\in\ev$ et
  $\im\op\ne\ev$.
  \begin{enumerate}
  \item Soit $\op^*$ l'adjoint de $\op$. Calculez $\op^*\circ\op$.
  \item Que peut-on dire au sujet de $\op\circ\op^*$~?
  \item Montrez qu'il existe un \'el\'ement $\e_0\in\ev$ de norme $1$ et orthogonal \`a $\im\op$.
  \item Posons $\e_n=\op^n(\e_0)$ pour tout $n\ge1$. Montrez que
    $\e_0$ est orthogonal \`a $\e_n$ pour tout $n\ge1$.
  \item Montrez que les $\e_n$, $n\ge0$, forment un syst\`eme orthonorm\'e.
  \item Montrez que $\op^*(\e_0)=0$.
  \item Montrez que $\op^*(\e_1)=\e_0$.
  \item Calculez $\op^*(\e_n)$ pour tout $n\ge1$.
  \item Montrez que tout nombre $\la$ de module strictement
    inf\'erieur \`a $1$ est valeur propre de $\op^*$.
  \item Que peut-on dire du spectre de $\op$~?
  \end{enumerate}
\end{Ex}

\begin{Ex}
  Soit $\T$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Si $\el$ et
  $\el[1]$ sont deux classes de fonctions complexes int\'egrables sur
  $\T$, on d\'efinit la classe $\el*\el[1]$ d'une fonction
  int\'egrable sur $\T$ en posant
  \begin{equation*}
    \el*\el[1](s)=\int_{\T}\el(t)\el[1](t^{-1}s)\,\de t\text{ presque partout.}
  \end{equation*}
  Soit $\Ell^1(\T)$ l'alg\`ebre involutive des classes de fonctions
  complexes int\'egrables munie du produit de convolution $*$ et de
  l'involution d\'efinie par
  \begin{equation*}
    \op^*(t)=\overline{\op(t^{-1})}\text{ presque partout.}
  \end{equation*}
  L'espace vectoriel $\Ell^1(\T)$ est un espace de
  Banach muni de la norme d\'efinie par
  \begin{equation*}
    \norm{\op}=\int_{\T}\abs{\op(t)}\,\de t=\int_0^1\abs{\op(\e^{2\pi\iu s})}\,\de s\text.
  \end{equation*}
  Soit $\op\in\Ell^1(\T)$. Pour tout $n\in\Z$, on note
  $\displaystyle\hat\op(n)=\int_{\T}\op(t)t^{-n}\,\de t$ et $\e_n$ la
  classe de la fonction $t\mapsto t^n$. 
  \begin{enumerate}
  \item Justifiez pourquoi on d\'efinit un op\'erateur born\'e
    $\op[1]$ sur $\Ell^1(\T)$ en posant $\op[1](\el)=\op*\el$ pour
    tout $\el\in\Ell^1(\T)$. L'op\'erateur $\op[1]$ est l'\emph{op\'erateur
    de convolution avec $\op$ sur $\Ell^1(\T)$}. Que peut-on dire sur
    la norme de $\op[1]$~?
    \item Soit $\varphi\colon\Ell^1(\T)\to\borne(\Ell^1(\T))$
      l'application qui \`a $\op$ associe $\op[1]$. Montrez que
      $\varphi$ est un morphisme d'alg\`ebres.
    \item Soit $\el\in\Ell^1(\T)$. Calculez $\widehat{\op[1](\el)}$.
    \item Soit $\la$ une valeur propre de $\op[1]$ associ\'ee au
      vecteur propre $\el$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrez que $\la\in\{\hat\op(n):n\in\Z\}$.
      \item Que peut-on dire du vecteur propre $\el$ lorsque
        $\la=\hat\op(n)$~?
      \end{enumerate}
    \item Montrez que $\op[1](\e_n)\to0$.
    \item L'op\'erateur $\op[1]$ est-il inversible~?
    \item Que peut-on dire du spectre de $\op[1]$~?
    \item Le dual de $\Ell^1(\T)$ est identifi\'e avec l'espace de
      Banach $\Ell^\infty(\T)$ des classes de fonctions bor\'eliennes
      born\'ees.
      \begin{enumerate}
      \item Calculez l'op\'erateur $\op[1]'$ transpos\'e de $\op[1]$.
      \item Que peut-on dire du spectre de $\op[1]'$~?
      \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Ex}


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\chapter{Examen terminal en th\'eorie des op\'erateurs du 26 mai 2006}

  \begin{Pb}
    Soit $\T$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit
    $\Ell^2(\T)$ l'espace de Hilbert des classes de fonctions
    complexes de carr\'e int\'egrable sur $\T$, muni du produit scalaire
    d\'efini par
    \begin{equation*}
      \scal{\el}{\el[1]}=\int_{\T}\el(t)\overline{\el[1](t)}\,\de t
      =\int_0^1\el(\e^{2\pi\iu s})\overline{\el[1](\e^{2\pi\iu s})}\,\de s\text.
    \end{equation*}
%     \begin{equation*}
%       \norm{\el}=\int_{\T}{\abs{\el(t)}}^2\de t=\int_0^1{\abs{\el(\e^{2\pi\iu s})}}^2\de s\text.
%     \end{equation*}
    Pour tout $n\in\Z$, on note
    $\displaystyle\hat\el(n)=\int_{\T}\el(t)t^{-n}\,\de
    t=\int_0^1\el(\e^{2\pi\iu s})\e^{-2\pi\iu ns}\,\de s$ et $\e_n$ la
    classe de la fonction $t\mapsto t^n$. Nous avons vu que
    ${(\e_n)}_{n\in\Z}$ est une base hilbertienne de $\Ell^2(\T)$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrez qu'on d\'efinit une isom\'etrie $\op$ sur
      $\Ell^2(\T)$ en posant $\op(\el)=\e_1\cdot\el$, c'est-\`a-dire
      $(\op(\el))(t)=t\el(t)$ pour tout $\el\in\Ell^2(\T)$ et
      presque tout $t\in\T$: $\op$ est \emph{l'op\'erateur de multiplication par $\e_1$.}
    \item Calculez $\op(\e_n)$ pour tout $n\in\Z$.
    \item Calculez $\op^n$ pour tout $n\in\Z$.
    \item Soit $p\in\CC[t]$ un polyn\^ome.  Montrez que $p(\op)$ est
      l'op\'erateur de multiplication par la fonction polynomiale
      d\'efinie sur $\T$ par $t\mapsto p(t)$.
    \item Soit $f$ une fonction holomorphe au voisinage de
      $\{z\in\CC:\abs z\le1\}$.
      \begin{enumerate}
      \item Pourquoi l'op\'erateur de multiplication par $\rest f{\T}$
        est-il born\'e sur $\Ell^2(\T)$~?
      \item Montrez que $f(\op)$ est l'op\'erateur de multiplication par $\rest f{\T}$.
      \item Soit $\displaystyle\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$ le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere
        de $f$ en $0$.
        \begin{enumerate}
        \item Quel rapport y a-t-il entre $f^{(n)}(0)$ et $\widehat{\rest f{\T}}(n)$~?
        \item Calculez $\scal{(f(\op))(\e_n)}{\e_m}$ pour tout
          $(n,m)\in\Z^2$.
        \end{enumerate}
      \end{enumerate}
    \item Calculez l'adjoint de $\op$.
    \item Est-ce que $\op$ est normal~?
      Est-ce que $\op$ est hermitien~?
      Est-ce que $\op$ est unitaire~? Que peut-on en d\'eduire pour le spectre de $\op$~?
    \item Montrez que si $\la\in\spec\op$, alors il existe des
      \'el\'ements $\el_n$ de norme $1$ dans $\Ell^2(\T)$ tels que
      $\op(\el_n)-\la\el_n\to0$: \emph{$\la$ est une valeur propre
        approch\'ee et $(v_n)$ est un vecteur propre approch\'e de
        $\op$ pour $\la$.}
    \item Si $\el\in\Ell^2(\T)$ et $s\in\T$, notons $\el_s$
      l'\'el\'ement d\'efini par $\el_s(t)=\el(st)$ pour presque tout
      $t\in T$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrez que $\norm{\el_s}=\norm\el$.
      \item Montrez que $(\op(\el))_s=s\op(\el_s)$.
      \end{enumerate}
    \item Montrez que si $\la$ est valeur spectrale de $\op$, alors
      tout nombre complexe de module $\la$ est valeur spectrale de
      $\op$.
    \item Calculez le spectre de $\op$.
    \item On note $\hardy^2(\T)$ le sous-espace vectoriel de
      $\Ell^2(\T)$ form\'e des \'el\'ements $\el$ tels que
      $\hat\el(n)=0$ pour $n\le-1$: $\hardy^2(\T)$ est un \emph{espace de Hardy.}
      \begin{enumerate}
      \item Montrez que $\hardy^2(\T)$ est un sous-espace ferm\'e de
        $\Ell^2(\T)$. On note $P$ la projection orthogonale de
        $\Ell^2(\T)$ sur $\hardy^2(\T)$.
      \item Montrez que ${(\e_n)}_{n\in\N}$ est une base hilbertienne
        de $\hardy^2(\T)$.
      \item Notons $B\colon\ell^2(\N)\to\hardy^2(\T)$
        l'op\'erateur d\'efini par
        $B((a_n)_{n\in\N})=\sum_{n\in\N}a_n\e_n$. Quel est l'inverse
        de $B$~?
      \end{enumerate}
    \item Montrez que $\hardy^2(\T)$ est stable par $\op$. Notons
      $\op[1]=\rest\op{\hardy^2(\T)}$ la restriction de $\op$ \`a
      $\hardy^2(\T)$.
    \item D\'ecrivez l'op\'erateur $B^{-1}\circ\op[1]\circ B$
      (c'est-\`a-dire \emph{la matrice de $\op[1]$ pour la base ${(\e_n)}_{n\in\N}$.})  
    \item Calculez l'adjoint de $\op[1]$.
    \item Est-ce que $\op[1]$ est normal~?  Est-ce que $\op[1]$ est
      hermitien~?  Est-ce que $\op[1]$ est unitaire~? Peut-on en
      d\'eduire des informations sur le spectre de $\op[1]$~?
    \item Soit $f$ une fonction holomorphe au voisinage de
      $\{z\in\CC:\abs z\le1\}$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrez que $\hardy^2(\T)$ est stable par $f(\op)$.
      \item Calculez $f(\op[1])$.
      \item Soit $\sum a_nz^n$ le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere
        de $f$ en $0$. D\'ecrivez la matrice de $f(\op[1])$ pour la base ${(\e_n)}_{n\in\N}$.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{Pb}


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\chapter{Contr\^ole continu en th\'eorie des op\'erateurs du 30 mai 2006}

\begin{Pb}
  Soit $A$ une alg\`ebre de Banach complexe munie d'une unit\'e $\un$.
  Soit $\exp\colon\CC\to\CC$ la fonction exponentielle: elle admet comme
  d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere en $0$
  \begin{equation*}
    \e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\text.
  \end{equation*}
  Comme $\exp$ est une fonction enti\`ere, on peut d\'efinir $\e^{\op}$
  pour tout $\op\in A$ par le calcul fonctionnel holomorphe et on a
  \begin{equation*}
    \e^{\op}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\op^n}{n!}\text.
  \end{equation*}
  Le but de ce probl\`eme est de d\'eterminer les \'el\'ements $\op\in
  A$ tels que $\e^{\op}=\un$.
  \begin{enumerate}
  \item Rappelez quels sont les nombres complexes $z$ tels que $\e^
    z=1$.
  \item Soit $\op$ un idempotent de $A$: on a $\op^2=\op$. Calculez
    $\e^{2\iu\pi\op}$.
  \item Soient $\op$ et $\op[1]$ deux \'el\'ements de $A$ tels que
    $\op\op[1]=\op[1]\op$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrez que $\e^{\op}\e^{\op[1]}=\e^{\op+\op[1]}$.
    \item Montrez que $\e^{\op}$ est inversible.
    \item Montrez qu'il existe une fonction enti\`ere $f$ non nulle en
      $0$ telle que $\e^z-1=zf(z)$ pour tout $z\in\CC$.
    \item En d\'eduire que
      $\e^{\op+\op[1]}-\e^{\op}=\e^{\op}\op[1]f(\op[1])$.
    \item Supposons que $\e^{\op}=\e^{\op[1]}=\un$. Que vaut
      $\e^{\op+\op[1]}$~?
    \end{enumerate}
  \item Soit $n\ge1$ et soit $\op$ un \'el\'ement de $A$ dont le
    spectre est la r\'eunion de $n$ parties compactes disjointes
    $K_1,\dots,K_n$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrez qu'il existe des ouverts disjoints $T_1,\dots,T_n$
      tels que $T_l$ est un voisinage de $K_l$ pour chaque
      $l\in\{1,\dots,n\}$.
    \item Pourquoi les fonctions $f_1,\dots,f_n$ d\'efinies sur
      $T=T_1\cup\dots\cup T_n$ par
      \begin{equation*}
        f_l(z)=
        \begin{cases}
          1&\text{si $z\in T_l$}\\
          0&\text{sinon}
        \end{cases}
        \quad\text{pour chaque  $l\in\{1,\dots,n\}$}
      \end{equation*}
      sont-elles holomorphes dans $T$~? Calculez $f_1+\dots+f_n$ et $f_lf_m$
      pour $(l,m)\in{\{1,\dots,n\}}^2$.
    \item Posons $\e_l=f_l(\op)$ pour chaque $l\in\{1,\dots,n\}$.
      Montrez que ce sont des idempotents associ\'es au sens que
      $\e_l^2=\e_l$ pour chaque $l\in\{1,\dots,n\}$,
      $\e_1+\dots+\e_n=\un$ et $\e_l\e_m=0$ pour $l\ne m$.
%     \item Soit $l\in\{1,\dots,n\}$. Posons $\op_l=\e_l\op$ et
%       $A_l=\{a\in A:\e_la=a\e_l=a\}$.
%       \begin{enumerate}
%       \item Calculez le spectre de $\op_l$.
%       \item Montrez que $A_l$ est une sous-alg\`ebre ferm\'ee de $A$
%         dont l'unit\'e est $\e_l$. $A_l$ est-il un id\'eal~?
%       \item Soit $\la\notin K_l$. D\'eterminez une fonction $f$
%         holomorphe sur un voisinage ouvert de $\spec\op$ telle que
%         $f(z)(\la-z)=\e_l(z)$ pour tout $z$ dans un voisinage ouvert
%         de $\spec\op$.
%       \item Montrez que le spectre de $\op_l$ dans $A_l$ est \'egal
%         \`a $K_l$.
%       \end{enumerate}
%     \item Soit $g$ une fonction holomorphe au voisinage de $K$. Pour
%       chaque $l\in\{1,\dots,n\}$, soit $g_l$ une fonction holomorphe
%       qui co\"{\i}ncide avec $g$ dans un voisinage de $K_l$. Montrez
%       que si on d\'efinit, pour chaque $l\in\{1,\dots,n\}$,
%       $g_l(\op_l)$ par le calcul fonctionnel holomorphe dans $A_l$, on
%       a
%       \begin{equation*}
%         g(\op)=g_1(\op_1)+\dots+g_n(\op_n)\text,
%       \end{equation*}
    \item Soit $\phi\colon\Cont\{1,\dots,n\}\to A$ l'application
      d\'efinie par $\phi(g)=g(1)\e_1+\dots+g(n)\e_n$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrez que $\phi$ est un morphisme d'alg\`ebres de Banach
        unif\`eres.
      \item Rappelez quel est le spectre d'un \'el\'ement
        $g\in\Cont\{1,\dots,n\}$.
      \item Soient $z_1,\dots,z_n\in\CC$. Montrez que $\spec
        z_1\e_1+\dots+z_n\e_n=\{z_1,\dots,z_n\}$ et que pour toute
        fonction $h$ holomorphe au voisinage de $\{z_1,\dots,z_n\}$ on
        a
      \begin{equation*}
        h(z_1\e_1+\dots+z_n\e_n)=h(z_1)\e_1+\dots+h(z_n)\e_n\text.
      \end{equation*}
      \end{enumerate}
    \item Supposons que pour chaque $l\in\{1,\dots,n\}$, $K_l$ est le
      singleton $\{z_l\}$ et soit $\tilde\op=z_1\e_1+\dots+z_n\e_n$.
      \begin{enumerate}
      \item Trouvez une fonction $h$ holomorphe au voisinage de
        $\spec\op$ telle que $\tilde\op-\op=h(\op)$.
      \item Montrez que $\spec(\tilde\op-\op)=\{0\}$.
      \item A-t-on en g\'en\'eral $\tilde\op=\op$~? Motivez votre r\'eponse.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \item Soit $\op\in A$ tel que $\e^{\op}=\un$.
    \begin{enumerate}
    \item Que peut-on dire du spectre de $\op$~?
    \item Pourquoi le spectre de $\op$ est-il un ensemble fini~? Soit
      $n$ son cardinal et notons $z_1,\dots,z_n$ ses \'el\'ements, et
      posons $K_l=\{z_l\}$ pour chaque $l\in\{1,\dots,n\}$.
    \item En utilisant les notations de la question 4, soit
      $\tilde\op=z_1\e_1+\dots+z_n\e_n$. Nous voulons montrer que $\tilde\op=\op$. Soit
      $\op[1]=\tilde\op-\op$.
      \begin{enumerate}
      \item Calculez $\e^{\tilde\op}$.
      \item Utilisez la question 4.e.ii pour montrer que $f(\op[1])$
        est inversible, o\`u $f$ est la fonction de la question 3.c.
      \item D\'eduisez-en que $\op[1]=0$.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \item Caract\'erisez les \'el\'ements $\op\in A$ tels que
    $\e^{\op}=\un$. (Vous pourrez utiliser les questions 2, 3.e et 5.c.)
  \item Voici une autre d\'emarche pour la question 2. Soit $\op$ un
    idempotent de $A$ et soit $\psi\colon\CC\to A$ l'application
    d\'efinie par $\psi(\la)=\la\op$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrez que $\psi$ est un morphisme d'alg\`ebres.
    \item Montrez que pour toute fonction holomorphe $h$ au voisinage
      de $\{0\}\cup\spec\op$ nulle en $0$ on a $h(\op)=h(1)\op$.
    \item Appliquez ce r\'esultat avec $h\colon z\mapsto\e^z-1$.
    \end{enumerate}
  \item Soit $A=\mat_2$ l'alg\`ebre des matrices $2\times2$.
    \begin{enumerate}
    \item D\'eterminez deux idempotents $\op$ et $\op[1]$ de $A$ tels
      que $\op\op[1]\ne\op[1]\op$.
    \item Est-ce que
      $\e^{2\iu\pi(\op+\op[1])}=\id$~?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Pb}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 

\chapter{Examen terminal en th\'eorie des op\'erateurs du 26 juin
  2006}

\begin{enumerate}
\item Soit $E$ un espace de Banach et $y\in\borne(E)$. On note
  $y'\in\borne(E')$ l'op\'erateur transpos\'e de $y$ d\'efini par
  $y'(l)=l\circ y$ pour tout $l\in E'$. Si $S$ est une partie de $E$,
  on note $S^\perp=\{l\in E':\forall\,v\in S\ l(v)=0\}$. Si $S$ est
  une partie de $E'$, on note $S_\perp=\{v\in E:\forall\,l\in S\
  l(v)=0\}$.
  \begin{enumerate}
  \item Quel rapport y a-t-il $\ker y$ et $\im y'$~? D\'emontrez-le.
  \item Quel rapport y a-t-il $\ker y'$ et $\im y$~? D\'emontrez-le.
  \item Montrez que si $y$ est surjectif, alors $y'$ est injectif.
  \item Montrez que si $y'$ est injectif, alors $y$ est d'image
    dense.
  \end{enumerate}
\item Soit $A$ une alg\`ebre de Banach munie d'une unit\'e $u$ et
  soit $x\in A$. Soit $y$ l'op\'erateur de multiplication \`a gauche
  par $x$ d\'efini par $y(v)=xv$ pour tout $v\in A$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrez que $y\in\borne(A)$ et calculez $\norm y$.
  \item On note $A^{-1}$ l'ensemble des \'el\'ements inversibles de
    $A$. Montrez que $A^{-1}$ contient la boule ouverte de centre
    $u$ et de rayon $1$.
  \item Supposons que $y'$ est injectif. On veut montrer que $y$ est surjectif.
    \begin{enumerate}
    \item Montrez que l'image de $y$ contient un \'el\'ement inversible.
    \item Montrez que $y$ est surjectif. 
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\item Soit $A=(\ell^1(\Z),+,*)$ l'alg\`ebre de Banach unif\`ere des
  s\'eries bi-infinies complexes absolument convergentes
  $x={(x_n)}_{n\in\Z}$, munie de la norme d\'efinie par
  $\displaystyle\norm x=\sum_{n=-\infty}^\infty\abs{x_n}$ et du
  produit de convolution d\'efini par
  \begin{equation}
    {(x*v)}_n
    =\sum_{i=-\infty}^\infty x_iv_{n-i}
    =\sum_{j=-\infty}^\infty x_{n-j}v_j
    =\sum_{i+j=n}x_iv_{j}.\label{*}
  \end{equation}
  La transform\'ee de Fourier de $x\in A$ est la fonction $\hat
  x\in\Cont(\T)$ d\'efinie par $\displaystyle\hat x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty
  x_nt^n$.  Si $x\in A$, on note $\check x$ l'\'el\'ement d\'efini par
  $\check x_n=x_{-n}$. L'application
  \begin{equation*}
    \begin{aligned}
      \ell^\infty(\Z)&\to A'\\
      l&\mapsto\biggl(\langle l,\cdot\rangle\colon
        x\mapsto \langle l,x\rangle=\sum_{n=-\infty}^\infty l_nx_n\biggr)
    \end{aligned}
  \end{equation*}
  est une isom\'etrie surjective qui permet d'identifier le dual de
  $A$ avec l'espace de Banach $\ell^\infty(\Z)$.
  \begin{enumerate}
  \item Rappelez quelle est l'unit\'e $u$ de $A$.
  \item Montrez que $x*v$ est un \'el\'ement de $\ell^\infty(\Z)$ bien
    d\'efini par l'\'equation \eqref{*} lorsque $x\in\ell^1(\Z)$ et
    $v\in\ell^\infty(\Z)$.
  \item Soit $x\in A$ et $y$ l'op\'erateur de convolution par $x$
    d\'efini par $y(v)=x*v$ pour tout $v\in A$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrez que $y$ est surjectif si et seulement si $x$ est inversible.
    \item Montrez que si $x$ est inversible, alors $y$ est injectif.
    \item On s'int\'eresse \`a la r\'eciproque: on veut savoir si $x$
      est inversible lorsque $y$ est injectif. 
      \begin{itemize}
      \item Montrez que si $x$ est inversible, alors $\hat x$ ne
        s'annule pas. Que pensez-vous de la r\'eciproque~?
      \item Montrez que si le noyau de $y$ contient un \'el\'ement $v$
        non nul, alors $\hat x$ s'annule sur une partie de $\T$
        d'int\'erieur non vide. Que pensez-vous de la r\'eciproque~?
      \item Montrez par un exemple que $y$ peut \^etre injectif sans
        \^etre surjectif.
      \end{itemize}
    \item Montrez que $y'$ est l'op\'erateur de convolution par
      $\check x$ d\'efini par $y'(l)=\check x*l$ pour tout
      $l\in\ell^\infty(\Z)$.
    \end{enumerate}
  \item Soit $x\in A$ et $T$ l'op\'erateur de convolution par $x$
    d\'efini par $T(l)=x*l$ pour tout $l\in\ell^\infty(\Z)$.
    \begin{enumerate}
  \item Montrez que $T$ est l'op\'erateur transpos\'e d'un op\'erateur
    $y\in\borne(A)$ que l'on d\'eterminera.
  \item Montrez que $T$ est surjectif si et seulement si $x$ est
    inversible.
    \item Montrez que si $x$ est inversible, alors $T$ est injectif.
    \item Montrez que si $T$ est injectif, alors $x$ est inversible.
    \item On a donc montr\'e sans utiliser la th\'eorie de Gelfand que
      si $x$ n'est pas inversible, alors il existe
      $l\in\ell^\infty(\Z)$ telle que $x*l=0$. Comment le th\'eor\`eme
      de Wiener-L\'evy permet-il de d\'emontrer directement que si $x$
      n'est pas inversible, alors il existe une suite $l$ bi-infinie
      de nombres complexes de module $1$ telle que $x*l=0$~?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% une s\'erie bi-infinie absolument
%   convergente telle que $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty x_nt^n$ s'annule pour
%   un nombre complexe $t$ de module $1$, alors il existe une suite
%   born\'ee $l$ telle que $x*l=0$.
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "theorie-spectrale"
%%% End: 
\chapterstyle{thsp}

\clearpage\tableofcontents
\end{document}

