Ensembles uniformément répartis et ensembles Λ(p)

Stefan Neuwirth

1 Introduction

Cet exposé traite de deux classes de sous-ensembles E ⊆ ℤ : la première provient de la théorie des nombres et indique que E est suffisamment grand et irrégulier ; la deuxième provient de l’analyse de Fourier classique et indique que E est lacunaire. Plaçons-nous dans le cadre suivant :

𝕋 = {t ∈ ℂ : |t| = 1} est le cercle unité muni de sa mesure de Haar m et ℤ son groupe dual des entiers. On notera, pour n ∈ ℤ, e_{n}(t) = t^{n} les caractères de 𝕋. Le cardinal de Λ ⊆ ℤ est noté Λ . On note c_{0}(𝕋) l’espace des suites sur 𝕋 qui tendent vers 0 hors d’ensembles finis. En particulier, ces suites ont un support dénombrable.

Pour un espace X de fonctions intégrables sur 𝕋 et E ⊆ ℤ, X_{E} est l’espace des fonctions de X à spectre dans E : X_{E} = {f ∈ X : f̂(n) = ∫ e_{−n} f dm = 0 si n ∉ E}.

Nous utiliserons la notation de Hardy : u_{n} ≼ v_{n} (resp. u_{n} ≪ v_{n}) s’il existe (resp. si pour tout) C > 0 on a |u_{n}| ≤ C|v_{n}| au voisinage de +∞.

Définition 1 Soit Λ ⊆ ℤ.

(i) (Voir [20, §7].) Λ est un ensemble uniformément réparti si, lorsqu’on l’ordonne en une suite Λ = (λ_{k})_{k≥1} de valeur absolue |λ_{k}| croissante,

f_{n}(t) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} e_{λ_{k}} (t) −−→_{n→∞} \{ \begin{matrix}1 si t = 1 \\ 0 sinon. \end{matrix}

Si f_{n} tend ponctuellement vers une fonction qui définit un élément de c_{0}(𝕋), alors Λ ⊆ ℤ est dit uniformément réparti au sens large.

(ii) (Voir [19, définition 1.5].) Soit p > 0. Λ est un ensemble Λ(p) si, pour un — ou de manière équivalente si, pour tout — 0 < r < p, L_{Λ}^{p} (𝕋) et L_{Λ}^{r} (𝕋) coïncident :

∃ C_{r} ∀f ∈ L_{E}^{p}(𝕋) ∥f∥_{r} ≤ ∥f∥_{p} ≤ C_{r}∥f∥_{r}.

En particulier, Λ est un ensemble Λ(p) pour tout p si les espaces L_{Λ}^{p} (𝕋) coïncident pour p < ∞.

À titre d’exemple, ℤ et ℕ sont uniformément répartis, les suites arithmétiques, l’ensemble des carrés ([20, th. 9]) et l’ensemble des nombres premiers (Vinogradov) sont uniformément répartis au sens large. Mais il existe des suites de pas borné qui ne sont pas uniformément répartis au sens large ([7, th. 11]). La suite géométrique {3^{k}}, ainsi que plus généralement {3^{k_{1}} + ⋯+ 3^{k_{j}} } pour j ≥ 1 sont Λ(p) pour tout p ([16, th. IV.3]) mais ne sont pas uniformément répartis au sens large ([7, th. 14]).

Toutefois ces deux classes se rencontrent, comme le note Li :

Théorème 2 ([13]) Il existe un ensemble uniformément réparti et à la fois Λ(p) pour tout p.

La preuve de ce théorème passe par la construction aléatoire suivante, découverte par Erdős [5, 6] et introduite en analyse harmonique par Katznelson et Malliavin [11, 12].

Construction 3 Soit Λ ⊆ ℤ et considérons des sélecteurs ξ_{λ} d’espérance δ_{λ} (λ ∈ Λ), c.-à-d. des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans {0, 1} telles que ℙ [ξ_{λ} = 1 ] = δ_{λ}. Alors l’ensemble aléatoire Λ′ est défini par

Λ′ = {λ ∈ Λ : ξ_{λ} = 1}.

Le premier ingrédient de cette preuve est le théorème suivant de Bourgain.

Théorème 4 ([3, Prop. 8.2(i)]) Soit Λ = ℕ dans la construction 3. Si δ_{λ} décroît avec λ alors que δ_{λ} ≫ λ^{−1} , alors Λ′ est uniformément réparti presque sûrement.

Le deuxième ingrédient est un résultat annoncé sans preuve par Katznelson.

Assertion 5 ([10, §2]) Posons I_{k} = ]n_{k−1} , n_{k}] avec n_{k} > n_{k−1}^{2} (k ≥ 1). Soit Λ = ℕ dans la construction 3. Il existe un choix de (ℓ_{k}) avec ℓ_{k} ≫ logn_{k} tel qu’en posant δ_{λ} = ℓ_{k}/ I_{k} pour λ ∈ I_{k}, Λ′ est Λ(p) pour tout p presque sûrement.

Li [13] propose d’appliquer la technique de l’assertion 5 avec n_{k} = 2^{k} et ℓ_{k} = k : alors δ_{λ} ≫ λ^{−1} et le théorème 2 dérive du théorème 4.

Dans la suite de l’exposé, je généraliserai les résultats de Katznelson et Li par une démonstration nouvelle qui permet de construire Λ′ dans des ensembles Λ à croissance polynomiale (voir définition 8) et d’obtenir un critère optimal sur (ℓ_{k}). Puis je montrerai une généralisation du théorème 4 qui donne

Théorème 6 Soit Λ uniformément réparti (resp. au sens large) et à croissance polynomiale. Alors il existe un sous-ensemble Λ′ ⊆ Λ uniformément réparti (resp. au sens large) et à la fois Λ(p) pour tout p.

Nous pouvons à présent répondre à une question de Li :

Corollaire 7 Soit S l’ensemble des carrés et P celui des nombres premiers. Pour chacun de ces deux ensembles, il existe un sous-ensemble Λ′ uniformément réparti au sens large et à la fois Λ(p) pour tout p. En particulier (cf. [15, lemme 4]), Λ′ n’est pas un ensemble de Rosenthal : 𝒞_{Λ′} (𝕋) ≠ L_{Λ′}^{∞} (𝕋) alors que tous les espaces L_{Λ′}^{p} (𝕋) coïncident pour p < ∞.

2 Suites à croissance polynomiale

Définition 8 Soit Λ = (λ_{k})_{k≥1} ⊆ ℤ ordonné par valeur absolue croissante et ϕ(n) = E ∩ [−n, n] sa fonction de répartition.

(i) Λ est dit à croissance polynomiale s’il existe 1 ≤ d < ∞ tel que λ_{k} ≼ k^{d}. Cela revient à imposer que ϕ(n) ≽ n^{ε} pour ε = d^{−1} .

(ii) Λ est dit à croissance polynomiale régulière s’il existe c > 1 tel que |λ_{⌈ck⌉}| ≤ 2|λ_{k}| pour k grand. Cela revient à imposer que ϕ(2n) ≥ cϕ(n) pour n grand.

En particulier, les suites polynomiales et, par le théorème de Hadamard et de la Vallée Poussin, la suite des nombres premiers, sont à croissance polynomiale régulière.

Démonstration. (i) Si |λ_{k}| ≤ Ck^{d} pour k grand et que Ck^{d} ≤ n < C(k + 1)^{d}, alors ϕ(n) ≥ k > (n/C)^{ε} − 1. Si ϕ(n) ≥ cn^{ε} pour n grand et que c(n − 1)^{ε} < k ≤ cn^{ε}, alors |λ_{k}| ≤ n < (k/c)^{d} + 1.

(ii) Si |λ_{⌈ck⌉}| ≤ 2|λ_{k}| pour k grand et que k est maximal tel que |λ_{k}| ≤ n, alors ϕ(2n) ≥ ϕ(2|λ_{k}|) ≥ ck = cϕ(n). Si ϕ(2n) ≥ cϕ(n) pour n grand, alors ϕ(|λ_{k}|) ∈ {k, k + 1} et ϕ(2|λ_{k}|) ≥ ck. Donc |λ_{⌈ck⌉}| ≤ 2|λ_{k}|.

(ii) implique (i) ; la réciproque est fausse comme le montre E = ⋃ ]2^{2^{2k}} , 2^{2^{2k} +1} ], qui vérifie ϕ(n) ≽ n^{1/4} tandis que ϕ(2n) = ϕ(n) infiniment souvent. Donc ici, croissance polynomiale régulière de Λ veut dire que cette suite est répartie régulièrement vis-à-vis de la partition annulaire dyadique de ℤ

𝒫 = {[−n_{0}, n_{0}], I_{k} = [−n_{k}, −n_{k−1} [ ∪]n_{k−1} , n_{k}]}_{k≥1} engendrée par n_{k} = 2^{k}  (1)

et E montre qu’il existe des suites à croissance polynomiale qui ne sont pas réparties régulièrement vis-à-vis de la partition engendrée par n_{k} = 2^{2^{k}} . Par contre, la partition encore plus grossière

𝒫 = {[−n_{0}, n_{0}], I_{k} = [−n_{k}, −n_{k−1} [ ∪]n_{k−1} , n_{k}]}_{k≥1} où logn_{k} ≫ logn_{k−1}  (2)

a une croissance suffisante pour forcer cette régularité ; on pourra considérer n_{k} = 2^{2^{2^{k}}} . On a Proposition 9 Soit Λ ⊆ ℤ, {I_{k}} une partition de ℤ et Λ_{k} = Λ ∩ I_{k}. Alors log Λ_{k} ≽ log I_{k} dans les deux cas suivants :

(i) si Λ est à croissance polynomiale régulière et {I_{k}} est la partition (1), ou

(ii) si Λ est à croissance polynomiale et {I_{k}} est la partition (2).

Démonstration. (i) Il existe donc K et c > 1 tels que ϕ(2^{k}) ≥ cϕ(2^{k−1} ) et ϕ(2^{k}) ≥ c′c^{k} pour k ≥ K et une constante c′ > 0. Alors

Λ_{k} = ϕ(2^{k}) − ϕ(2^{k−1} ) ≥ (1 − c^{−1} )ϕ(2^{k}) ≥ c′(1 − c^{−1} )c^{k} ≽ 2^{k log c}.

(ii) Donc n_{k}^{ε} ≫ n_{k−1} quel que soit ε > 0. Or il existe c et ε > 0 tels que pour k grand

Λ_{k} = ϕ(n_{k}) − ϕ(n_{k−1} ) ≥ cn_{k}^{ε} − (2n_{k−1} + 1) ≽ n_{k}^{ε} ≽ I_{k} ^{ε}.

3 Ensembles Λ(p) pour tout p

Les ensembles Λ(p) se décrivent naturellement en terme d’inconditionnalité. Nous utiliserons aussi une propriété combinatoire plus élémentaire que [19, 4.5(b)] : à cette fin, notons Z_{s}^{m} l’ensemble de relations arithmétiques

Z_{s}^{m} = {ζ ∈ ℤ^{∗}^{m} : ζ_{1} + ⋯+ ζ_{m} = 0 et |ζ_{1}| + ⋯+ |ζ_{m}| ≤ 2s}.

Notons que Z_{s}^{1} et Z_{s}^{m} pour m > 2s sont vides, et que tout ζ ∈ Z_{s}^{2} est de la forme ζ_{1} · (1, −1) : c’est la relation d’identité.

Définition 10 Soit 1 ≤ p < ∞, s ≥ 1 et Λ ⊆ ℤ.

(i) (Voir [9].) Λ est une suite basique inconditionnelle dans L^{p}(𝕋) s’il existe C < ∞ telle que

sup_{±} ∥ ∑_{n∈Λ} ±a_{λ} e_{λ} ∥_{p} ≤ C∥ ∑_{λ∈Λ} a_{λ} e_{λ} ∥_{p}.

Si on peut prendre C = 1, Λ est une suite basique 1-inconditionnelle dans L^{p}(𝕋).

(ii) Λ est s-indépendant si ∑ ζ_{i}p_{i} ≠ 0 pour tous 3 ≤ m ≤ 2s, ζ ∈ Z_{s}^{m} et p_{1}, …, p_{m} ∈ Λ distincts.

On a alors (cf. [18, prop. 2.5])

Proposition 11 Soit 1 ≤ p < ∞, s ≥ 1 entier et Λ ⊆ ℤ.

(i) Λ est un ensemble Λ(max(p, 2)) si et seulement si Λ est une suite basique inconditionnelle dans L^{p}(𝕋).

(ii) Λ est une suite basique 1-inconditionnelle dans L^{2s} (𝕋) si et seulement si Λ est s-indépendant.

Introduisons une deuxième notion d’inconditionnalité classique corollaire de la théorie de Littlewood– Paley :

Définition 12 ([8]) Soit 𝒫 = {I_{k}} une partition de ℤ en intervalles finis. Alors 𝒫 est une partition de Littlewood–Paley si pour tout 1 < p < ∞ il existe C_{p} tel que

∀f ∈ L^{p}(𝕋) sup_{±} ∥ ∑ ±f_{k} ∥_{p} ≤ C_{p}∥f∥_{p} avec f̂_{k} = \{ \begin{matrix}f̂ sur I_{k} \\ 0 ailleurs. \end{matrix}  (3)

Par l’inégalité de Khintchine, ceci veut encore dire que

∀f ∈ L^{p}(𝕋) ∥f∥_{p} ≈ ∥( ∑ |f_{k}|^{2})^{1/2} ∥_{p}.

En particulier, la partition dyadique (1) et la partition grossière (2) sont des partitions de Littlewood– Paley [14].

On a donc, par la proposition (11) et par (3)

Proposition 13 Soit {I_{k}} une partition de Littlewood–Paley et Λ_{k} ⊆ I_{k}. Si Λ_{k} est s-indépendant pour chaque k, alors Λ = ⋃ Λ_{k} est une suite basique inconditionnelle dans L^{2s} (𝕋) et forme par conséquent un ensemble Λ(2s).

Généralisons à présent l’assertion 5.

Lemme 14 Soit s ≥ 2 entier, Λ ⊆ ℤ fini et 0 ≤ ℓ ≤ Λ . Soit δ_{λ} = ℓ/ Λ dans la construction 3, de sorte que les variables aléatoires indépendantes ξ_{λ} sont équidistribuées. Alors il existe une constante C(s) qui ne dépend que de s telle que

ℙ [Λ′ est s-dépendant ]≤ C(s)\frac{ℓ^{2s}}{Λ} .

Démonstration. Il faut calculer la probabilité qu’il existe 3 ≤ m ≤ 2s, ζ ∈ Z_{s}^{m} et p_{1}, …, p_{m} ∈ Λ′ distincts tels que ∑ ζ_{i}p_{i} = 0. Comme le nombre C(s) de relations arithmétiques ζ ∈ Z_{s}^{m} (3 ≤ m ≤ 2s) est fini et ne dépend que de s, il suffit de calculer, pour m et ζ ∈ Z_{s}^{m} fixés,

ℙ [∃p_{1}, …, p_{m} ∈ Λ′ distincts : ∑ ζ_{i}p_{i} = 0 ]
= ℙ [ ∃p_{1}, …, p_{m−1} ∈ Λ′ distincts : −ζ_{m}^{−1} ∑_{i=1}^{m−1} ζ_{i}p_{i} ∈ Λ′\ {p_{1}, …, p_{m−1} } ]

= ℙ [ ⋃_{\begin{matrix}p_{1} ,...,p_{m−1} \\ ∈Λ′ distincts \end{matrix}}[ − ζ_{m}^{−1} ∑_{i=1}^{m−1} ζ_{i}p_{i} ∈ Λ′\ \{p_{1}, …, p_{m−1} \}] ]

= ℙ [ ⋃_{\begin{matrix}p_{1} ,...,p_{m−1} \\ ∈Λ distincts \end{matrix}}[p_{m} = −ζ_{m}^{−1} ∑_{i=1}^{m−1} ζ_{i}p_{i} ∈ Λ \ \{p_{i}\}_{1}^{m−1} et ξ_{p_{1}} = ⋯= ξ_{p_{m}} = 1] ]

L’union ci-dessus porte sur

\frac{Λ !}{( Λ − m + 1)!} ≤ Λ^{m−1}

(m−1)-uplets. De plus, l’événement entre petits crochets implique que m variables aléatoires données parmi (ξ_{λ})_{λ∈Λ} valent 1, et a donc une probabilité majorée par (ℓ/ Λ )^{m}. Donc

ℙ [Λ′ est s-dépendant ]≤ C(s) max_{3≤m≤2s} Λ^{m−1} \frac{ℓ^{m}}{Λ^{m}} ≤ C(s)\frac{ℓ^{2s}}{Λ} .

On fait alors la construction aléatoire suivante :

Construction 15 Soit Λ ⊆ ℤ. Soit {I_{k}} une partition de Littlewood–Paley et Λ_{k} = Λ ∩ I_{k}. Soit (ℓ_{k})_{k≥1} avec 0 ≤ ℓ_{k} ≤ Λ_{k} et posons

ℙ [ξ_{λ} = 1 ]= δ_{λ} = ℓ_{k}/ Λ_{k} pour λ ∈ Λ_{k}

dans la construction 3. On pose alors

Λ′_{k} = Λ′∩ I_{k} = {λ ∈ Λ_{k} : ξ_{λ} = 1}.

Théorème 16 Soit Λ ⊆ ℤ à croissance polynomiale (resp. régulière) et {I_{k}} la partition de Littlewood–Paley grossière (2) (resp. dyadique (1)). Soit la construction 15. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) logℓ_{k} ≪ log I_{k} , c.-à-d. logℓ_{k} ≪ logn_{k} (resp. logℓ_{k} ≪ k) ; (ii) Λ′ est un ensemble Λ(p) pour tout p presque sûrement.

Démonstration. Notons que par la proposition 9, il existe α > 0 tel que Λ_{k} > I_{k} ^{α} pour k grand. (i) ⇒ (ii) Par la proposition 14,

∑_{k=1}^{∞} ℙ [Λ′_{k} est s-dépendant ]≤ C(s) ∑_{k=1}^{∞} \frac{ℓ_{k}^{2s}}{Λ_{k}} .

Pour tout η > 0, ℓ_{k} ≤ I_{k} ^{η} pour k suffisamment grand. Choisissons η < α/2s. Mais alors le terme général de la série ci-dessus vérifie

\frac{ℓ_{k}^{2s}}{Λ_{k}} ≤ I_{k} ^{2sη−α} pour k grand.

Comme I_{k} ≽ 2^{k}, cette série converge : par le lemme de Borel–Cantelli, Λ′_{k} est presque sûrement s-indépendant pour k suffisamment grand. Par conséquent, pour chaque entier s, Λ′ est presque sûrement union d’un ensemble fini et d’un ensemble Λ(2s) par la proposition 13. Par [19, 4.4(a)], Λ′ est lui-même un ensemble Λ(2s).

(ii) ⇒ (i) Si Λ′ est un ensemble Λ(2s), alors, par [19, théorème 3.5] ou plus simplement par [4, (1.12)], il existe C_{s} tel que Λ′_{k} < C_{s} I_{k} ^{1/s} . Or lim Λ′k /ℓ_{k} = 1 presque sûrement par la loi des grands nombres (cf. le lemme 17 suivant) et donc nécessairement logℓ_{k} ≪ log I_{k} .

Remarque De la même manière, il apparaît que la bonne formulation de l’assertion 5 de Katznelson est la suivante. Soit Λ = ℕ et I_{k} = ]n_{k−1} , n_{k}] avec n_{k} > cn_{k−1} pour un c > 1 dans la construction 15. Alors Λ′ est un ensemble Λ(p) pour tout p si et seulement si logℓ_{k} ≪ logn_{k}.

4 Ensembles uniformément répartis

Nous cherchons à présent à adapter la démonstration du théorème 4 dans [3]. En passant par deux lemmes, nous obtiendrons l’énoncé plus général du théorème 19.

Lemme 17 Soient X_{1}, …, X_{n} des variables aléatoires indépendantes complexes telles que

|X_{i}| ≤ 1 et 𝔼 X_{i} = 0 et 𝔼 |X_{1}|^{2} + ⋯+ 𝔼 |X_{n}|^{2} ≤ σ.  (4)

Alors, pour tout a > 0,

ℙ [|X_{1} + ⋯+ X_{n}| ≥ a ]< 4 exp(−a^{2}/4(σ + a)).  (5)

Démonstration. Il s’agit de la variation de Bennett sur l’inégalité probabiliste de Bernstein [2]. Considérons d’abord le cas d’une variable aléatoire réelle. Par [1, (8b)],

ℙ [X_{1} + ⋯+ X_{n} ≥ a ]< exp(a − (σ + a) log(1 + a/σ)),

et comme log(1 − u) ≤ −u − u^{2}/2 pour 0 ≤ u < 1,

ℙ [X_{1} + ⋯+ X_{n} ≥ a ]< exp(−a^{2}/2(σ + a))

On en déduit (5) puisque chaque z ∈ ℂ vérifie

|z| > a ⟹ min(ℜz, −ℜz, ℑz, −ℑz) > a/\sqrt{2}.

Lemme 18 Soit la construction 3. Notons Λ = (λ_{k}) l’arrangement de Λ par valeur absolue croissante et σ_{n} = δ_{λ_{1}} + ⋯+ δ_{λ_{n}} . Si σ_{n} ≫ log|λ_{n}|, alors presque sûrement

ψ(n) = ∥ \frac{1}{Λ′∩ \{λ_{1}, …, λ_{n}\}} ∑_{Λ′∩\{λ_{1} ,...,λ_{n} \}}e_{λ} − \frac{1}{σ_{n}} ∑_{k=1}^{n} δ_{λ_{k}} e_{λ_{k}} ∥_{∞} −−→_{n→∞} 0.  (6)

Démonstration. On a ∑ _{Λ′∩{λ_{1} ,...,λ_{n} }} e_{λ} = ∑ _{k=1}^{n} ξ_{λ_{k}} e_{λ_{k}} et Λ′∩ {λ_{1}, …, λ_{n}} = ∑ _{k=1}^{n} ξ_{λ_{k}} . Centrons les ξ_{λ} en posant f = ∑ _{k=1}^{n} (ξ_{λ_{k}} − δ_{λ_{k}} )e_{λ_{k}} . Donc

ψ(n) ≤ ∥( Λ′∩ {λ_{1}, …, λ_{n}}^{−1} − σ_{n}^{−1} ) ∑_{k=1}^{n} ξ_{λ_{k}} e_{λ_{k}} ∥_{∞} + ∥σ_{n}^{−1} f∥_{∞}

≤ σ_{n}^{−1} | \frac{δ_{λ_{1}} + ⋯+ δ_{λ_{n}}}{ξ_{λ_{1}} + ⋯+ ξ_{λ_{n}}} − 1| ∑_{k=1}^{n} ξ_{λ_{k}} + σ_{n}^{−1} ∥f∥_{∞} ≤ 2σ_{n}^{−1} ∥f∥_{∞} .

Soit R = {t ∈ 𝕋 : t^{4|λ_{n} |} = 1} et u ∈ 𝕋 tel que |f(u)| = ∥f∥_{∞} . Soit t ∈ R à distance minimale de u : alors |t − u| ≤ π/4|λ_{n}|. Par le théorème de Bernstein,

∥f∥_{∞} − |f(t)| ≤ |f(u) − f(t)| ≤ |t − u| ∥f′∥_{∞} ≤ \frac{4}{5}∥f∥_{∞}

∥f∥_{∞} ≤ 5 sup_{t∈R}|f(t)|.

(Pour une majoration optimale, voir [17, § I.4, lemme 8].) Comme R = 4|λ_{n}| et que, pour chaque t ∈ R, les variables aléatoires X_{k} = (ξ_{λ_{k}} −δ_{λ_{k}} )e_{λ_{k}} (t) vérifient (4), on a ℙ [|f(t)| ≥ a ]< 4 exp(−a^{2}/4σ_{n}) et

ℙ [∥f∥_{∞} ≥ 5a ]≤ ℙ [ sup_{t∈R}|f(t)| ≥ a ] < 4|λ_{n}| · 4 exp(−a^{2}/4σ_{n}).

Posons a_{n} = (24σ_{n} log|λ_{n}|)^{1/2} . Alors a_{n} ≪ σ_{n} : soit N tel que a_{n} ≤ σ_{n} pour n ≥ N. Donc

∀n ≥ N ℙ [∥f∥_{∞} ≥ 5a_{n} ]< 16|λ_{n}|^{−2}

et par le lemme de Borel–Cantelli,

σ_{n}^{−1} ∥f∥_{∞} ≼ a_{n}/σ_{n} −−→ 0.

Remarque Notons que l’hypothèse du lemme 18 contient implicitement une restriction sur la lacunarité de Λ. Si σ_{n} ≫ log|λ_{n}|, alors nécessairement log|λ_{n}| ≪ n et ϕ(n) ≫ logn. En particulier, Λ ne peut pas être un ensemble de Sidon par [19, (3.6.2)].

Théorème 19 Soit Λ = (λ_{k}) uniformément réparti (resp. au sens large), ordonné par valeur absolue croissante. Soit la construction 3. Posons σ_{n} = δ_{λ_{1}} + ⋯+ δ_{λ_{n}} . On suppose que δ_{λ_{k}} décroît avec k.

(i) Si σ_{n} ≫ log|λ_{n}|, alors Λ′ est uniformément réparti (resp. au sens large) presque sûrement. C’est le cas notamment lorsque

(ii) δ_{λ_{n}} ≫ \frac{|λ_{n}| − |λ_{n−1} |}{|λ_{n−1} |} ;

(iii) Λ est à croissance polynomiale et δ_{λ_{n}} ≫ n^{−1} .

Démonstration. (i) Le lemme 18 montre qu’on a presque sûrement (6). Il suffit donc de montrer que

lim \frac{1}{σ_{n}} ∑_{k=1}^{n} δ_{λ_{k}} e_{λ_{k}} = lim \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} e_{λ_{k}} ,

c.-à-d. que la méthode de sommation de matrice (a_{n,k} ) donnée par

a_{n,k} = \{ \begin{matrix}δ_{λ_{k}} /σ_{n} & si k ≤ n \\ 0 & sinon \end{matrix}

est régulière et plus forte que la méthode C_{1} par moyenne arithmétique. En effet, a_{n,k} ≥ 0, ∑ _{k} a_{n,k} = 1 et (cf. [21, § 52, théorème I])

∀n ∑_{k} k|a_{n,k} − a_{n,k+1} | = ∑_{k} k(a_{n,k} − a_{n,k+1} ) = 1 < ∞.

puisque (a_{n,k} ) décroît avec k pour chaque n.

(ii) Dans ce cas, δ_{λ_{n}} ≫ log|λ_{n}| − log|λ_{n−1} | et donc σ_{n} ≫ log|λ_{n}|.

(iii) Dans ce cas, σ_{n} ≫ logn ≽ log|λ_{n}|.

Les théorèmes 16 et 19 donnent donc :

Corollaire 20 Soit Λ uniformément réparti (resp. au sens large) et la construction 15. On suppose que ℓ_{k}/ Λ_{k} décroît avec k. Alors Λ′ est presque sûrement un ensemble uniformément réparti (resp. au sens large) et à la fois Λ(p) pour tout p dans les deux cas suivants :

(i) si Λ est à croissance polynomiale régulière et I_{k} est la décomposition de Littlewood–Paley dyadique (1) et 1 ≪ logℓ_{k} ≪ k;

(ii) si Λ est à croissance polynomiale et I_{k} est la décomposition de Littlewood–Paley grossière

(2) et ℓ_{k} ≫ logn_{k+1} alors que logℓ_{k} ≪ logn_{k}. On pourra prendre par exemple n_{k} = 2^{2^{2^{k}}} et ℓ_{k} = min(2^{2^{k+2}} , Λ_{k} ).

Démonstration. Dans les deux cas considérés logℓ_{k} ≪ log I_{k} . Vérifions que les hypothèses du théorème 19 sont vérifiées. Si λ_{n} ∈ Λ_{k} ⊆ I_{k}, alors |λ_{n}| ≤ n_{k} et

σ_{n} ≥ ∑_{j=1}^{k−1} ∑_{λ∈Λ_{j}} δ_{λ} = ℓ_{1} + ⋯+ ℓ_{k−1}

et dans les deux cas, ℓ_{k−1} ≫ logn_{k} − logn_{k−1} .

Bibliographie

[1] George Bennett – « Probability inequalities for the sum of independent random variables », J. Amer. Statist. Assoc. 57 (1962), p. 33–45. (p. 5).

[2] S. N. Bernšteĭn – « On a modification of Chebyshev’s inequality and on the deviation in Laplace’s formula », Collected Works IV. Theory of probability and mathematical statistics (1911–1946), Nauka, 1964, Russian, p. 71–79. (p. 5).

[3] J. Bourgain – « On the maximal ergodic theorem for certain subsets of the integers », Israel J. Math. 61 (1988), no. 1, p. 39–72. (pp. 2 et 5).

[4] — , « On Λ(p)-subsets of squares », Israel J. Math. 67 (1989), no. 3, p. 291–311. (p. 5).

[5] Paul Erdős – « Problems and results in additive number theory », Colloque sur la théorie des nombres (Bruxelles, 1955), Georges Thone, 1956, p. 127–137. (p. 1).

[6] P. Erdős et A. Rényi – « Additive properties of random sequences of positive integers », Acta Arith. 6 (1960), p. 83–110. (p. 1).

[7] P. Erdős et S. J. Taylor – « On the set of points of convergence of a lacunary trigonometric series and the equidistribution properties of related sequences », Proc. London Math. Soc. (3) 7 (1957), p. 598–615. (p. 1).

[8] Kathryn E. Hare et Ivo Klemes – « Properties of Littlewood-Paley sets », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 105 (1989), no. 3, p. 485–494. (p. 3).

[9] S. Karlin – « Bases in Banach spaces », Duke Math. J. 15 (1948), p. 971–985. (p. 3).

[10] Yitzhak Katznelson – « Suites aléatoires d’entiers », L’analyse harmonique dans le domaine complexe (Montpellier, 1972) (E. J. Akutowicz, éd.), Lect. Notes Math. 336, Springer, 1973, p. 148–152. (p. 2).

[11] Yitzhak Katznelson et Paul Malliavin – « Un critère d’analyticité pour les algèbres de restriction », C. R. Acad. Sci. Paris 261 (1965), p. 4964–4967. (p. 1).

[12] — , « Vérification statistique de la conjecture de la dichotomie sur une classe d’algèbres de restriction », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 262 (1966), p. A490–A492. (p. 1).

[13] Daniel Li – « A remark about Λ(p)-sets and Rosenthal sets », Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), p. 3329–3333. (pp. 1 et 2).

[14] J. E. Littlewood et R. E. A. C. Paley – « Theorems on Fourier series and power series », J. London Math. Soc. 6 (1931), p. 230–233. (p. 3).

[15] Françoise Lust-Piquard – « Éléments ergodiques et totalement ergodiques dans L^{∞} (Γ) », Studia Math. 69 (1981), no. 3, p. 191–225. (p. 2).

[16] Yves Meyer – « Endomorphismes des idéaux fermés de L^{1}(G), classes de Hardy et séries de Fourier lacunaires », Ann. sci. École Norm. Sup. (4) 1 (1968), p. 499–580. (p. 1).

[17] — , Algebraic numbers and harmonic analysis, North-Holland, 1972. (p. 6).

[18] Stefan Neuwirth – « Metric unconditionality and Fourier analysis », Studia Math. 131 (1998), p. 19–62. (p. 3).

[19] Walter Rudin – « Trigonometric series with gaps », J. Math. Mech. 9 (1960), p. 203–228. (pp. 1, 3, 5 et 6).

[20] Hermann Weyl – « Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins », Math. Ann. 77 (1916), p. 313–352. (p. 1).

[21] Karl Zeller – Theorie der Limitierungsverfahren, Springer, 1958, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (Neue Folge) 15. (p. 6).