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% \renewcommand{\labelenumi}{$(\alph{enumi})$}
% \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii}.}
% \renewcommand{\labelenumiii}{$(\roman{enumiii})$}


%\newcommand{\eqref}[1]{$(\ref{#1})$}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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\bibliographystyle{../f}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{ldc}[thm]{Lemme de calcul}
\newtheorem{prp}[thm]{Proposition}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{dfn}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{assertion}[thm]{Assertion}
\newtheorem{construction}[thm]{Construction}
\def\dem{{\em D\'emonstration.\/ }} \def\rem{{\bfseries Remarque }}
\def\ie{\hbox{\em i.\,e.\ }} \def\vs{{\em vs.\ }} \def\cad{\hbox{c.-\`a-d.\ }}

\def\({$($}
\def\){$)$} 
\mathchardef\hook="312C
\def\longhook{\mathop{\hook\joinrel\relbar\joinrel\longrightarrow}\limits}
\def\tol{\mathop{\relbar\joinrel\longrightarrow}\limits}
\def\imp{\Rightarrow} \def\ecks{\rule{2mm}{2mm}}
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  \def\rmes{\kern0.5pt\/\barre\kern0.5pt}
  
  \def\sgn{\mathop{\fam0 sgn}\nolimits} \def\osc{\mathop{\fam0 osc}}
  \def\im{\mathop{\fam0 im}\nolimits} \def\suml{\sum\limits}
  \def\prodl{\prod\limits} \def\supl{\sup\limits}
  \def\maxl{\max\limits} \def\Z{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
  \def\sZ{\Z} \def\U{\mathbb{U}}
  \def\sU{\U} \def\T{\ensuremath{\mathbb{T}}}
  \def\sT{\T} \def\N{\ensuremath{\mathbb{N}}}
  \def\sN{\N} \def\R{\mathbb{R}}
  \def\D{\mathbb{D}} \def\C{\mathbb{C}} 
  \def\P#1{\mathop{\mathbb{P}}\nolimits\left[\kern0.5pt{#1}\kern0.5pt\right]}
  \def\E{\mathop{\mathbb{E}}\nolimits} 
  \def\e{\mkern1mu\mathrm e\mkern1mu}
  \def\ii{\mkern1mu\mathrm i\mkern1mu}
  \def\Alpha{\mathrm{A}}
  \def\Zeta{\mathrm{Z}} 
  \def\eps{\varepsilon}
  
  \def\ds{\displaystyle} \def\hoch#1{\mathop{#1}\limits}
  \def\bi#1#2{\bigg(\kern-0.5pt{{#1}\atop{#2}}\kern-0.5pt\bigg)}
  \def\lst#1#2{#1_1,\dots,#1_{#2}}
  \def\lstf#1#2{#1_{#2},#1_{#2+1},\dots}
  \def\lstp#1#2#3{#1_{#2},\dots,#1_{#3}}
  \def\sm#1#2{#1_1+\dots+#1_{#2}} \def\bip#1#2{\left(\kern-3pt
      {{#1}\atop{#2}}\kern-2pt \right)}
  \def\smp#1#2#3{#1_{#2}+\dots+#1_{#3}} \def\bm#1{$(\mathbf{#1})$}
  
  \def\EL#1{\ensuremath{\Lambda(#1)}} \def\SC#1{\mathscr{C}_{#1}(\T)} \def\SCE/{\SC{E}}
  \def\SL#1#2{\ensuremath{L^{#1}_{#2}(\T)}} \def\SLE#1{\SL{#1}{E}}
  \def\SLP#1{\SL{p}{#1}} \def\SLPE/{\SLE{p}}
  \def\DE/{\ensuremath{E\subseteq\Z}}
  \def\DEE/{\ensuremath{E=\{n_k\}\subseteq\Z}}
  \def\DEEE/{\ensuremath{E=\{n_k\}_{k\ge1}\subseteq\Z}}
  \def\DL/{\ensuremath{\Lambda\subseteq\Z}}
  \def\DLL/{\ensuremath{\Lambda=\{\lambda_k\}\subseteq\Z}}
  \def\DLLL/{\ensuremath{\Lambda=\{\lambda_k\}_{k\ge1}\subseteq\Z}}

\def\ud/{uniform\'ement r\'eparti}  

  \title{Ensembles \ud/s et ensembles \EL{p}} \author{Stefan
    Neuwirth}\date{}
  
\pagestyle{plain}
\begin{document}

\maketitle

%
%
%
%
%
\chapter{Introduction}
%
%
%
%
%
Cet expos\'e traite de deux classes de sous-ensembles \DE/: la
premi\`ere provient de la th\'eorie des nombres et indique que $E$ est
suffisamment grand et irr\'egulier; la deuxi\`eme provient de
l'analyse de Fourier classique et indique que $E$ est lacunaire.
Pla\c cons-nous dans le cadre suivant:

\bloc $\T=\{t\in\C:\,|t| = 1\}$ est le cercle unit\'e muni de sa
mesure de Haar $m$ et $\Z$ son groupe dual des entiers. On notera,
pour $n\in\Z$, $\e_n(t)=t^n$ les caract\`eres de \T. Le cardinal de
$\Lambda\subseteq\Z$ est not\'e $\lmes \Lambda \rmes$. On note
$c_0(\T)$ l'espace des suites sur $\T$ qui tendent vers $0$ hors
d'ensembles finis. En particulier, ces suites ont un support
d\'enombrable. 

\bloc Pour un espace $X$ de fonctions int\'egrables sur {\T} et \DE/,
$X_E$ est l'espace des fonctions de $X$ \`a spectre dans $E$:
$X_E=\big\{f\in X: \widehat{f}(n)=\int\e_{-n}f\,dm=0\mbox{ si }n\notin
E\big\}$.

\bloc Nous utiliserons la notation de Hardy: $u_n\preccurlyeq v_n$
(resp.\ $u_n\ll v_n$) s'il existe (resp.\ si pour tout) $C>0$ on a
$|u_n| \le C|v_n|$ au voisinage de $+\infty$.
%
\begin{dfn}
%[\protect{\cite[\S 7]{we16}} et \protect{\cite[definition 1.5]{ru60}}]
%
  Soit $\Lambda\subseteq\Z$.
  
  \bm{i} \(Voir \cite[\S 7]{we16}.\) $\Lambda$ est un ensemble \ud/ si, lorsqu'on l'ordonne
  en une suite $\Lambda=(\lambda_k)_{k\ge1}$ de valeur absolue
  $|\lambda_k|$ croissante,
  $$
  f_n(t)=\frac1n\sum_{k=1}^n\e_{\lambda_k}(t) \ \tol_{n\to\infty}\ 
%f_n(t)=\frac1{\lmes E\cap[0,n]\rmes }\sum_{k\in
%E\cap[0,n]}\e_k(t)\ \tol_{n\to\infty}\ 
  \left\{\begin{array}{l}
      \mbox{$1$ si $t=1$}\\
      \mbox{$0$ sinon.}
\end{array}\right.
$$
Si $f_n$ tend ponctuellement vers une fonction qui d\'efinit un
\'el\'ement de $c_0(\T)$, alors \DL/ est dit \ud/ au sens large.

\bm{ii} \(Voir \cite[d\'efinition 1.5]{ru60}.\) 
Soit $p>0$. $\Lambda$ est un ensemble \EL{p} si, pour un ---
ou de mani\`ere \'equivalente si, pour tout --- $0<r<p$,
$\SLP{\Lambda}$ et $\SL{r}{\Lambda}$ co\"\i ncident:
$$
\exists\,C_r\quad\forall f\in\SLPE/\qquad\|f\|_r\le\|f\|_p\le
C_r\|f\|_r.
$$
En particulier, $\Lambda$ est un ensemble \EL{p} pour tout $p$ si
les espaces $\SLP{\Lambda}$ co\"\i ncident pour $p<\infty$.
%
\end{dfn}
%
\`A titre d'exemple, {\Z} et {\N} sont \ud/s, les suites
arithm\'etiques, l'ensemble des
carr\'es (\cite[th.\ 9]{we16}) 
et l'ensemble des nombres premiers (Vinogradov) sont \ud/s au sens
large. Mais il existe des suites de pas born\'e qui ne sont pas \ud/s
au sens large (\cite[th.\ 11]{et57}). La suite g\'eom\'etrique $\{3^k\}$, ainsi que plus
g\'en\'eralement $\{3^{k_1}+\dots+3^{k_j}\}$ pour $j\ge1$ sont \EL{p}
pour tout $p$ (\cite[th.\ IV.3]{me68}) mais ne sont pas \ud/s au
sens large (\cite[th.\ 14]{et57}).

Toutefois ces deux classes se rencontrent, comme le note Li:
%
\begin{thm}[\cite{li98}]\label{li}
%
  Il existe un ensemble \ud/ et \`a la fois \EL{p} pour tout $p$.
%
\end{thm}
%
La preuve de ce th\'eor\`eme passe par la construction al\'eatoire
suivante, d\'ecouverte par Erd\H{o}s \cite{er56,er60} et introduite en
analyse harmonique par Katznelson et Malliavin \cite{km65,km66}.
%
\begin{construction}\label{constr}
%
  Soit $\Lambda\subseteq\Z$ et consid\'erons des s\'electeurs
  $\xi_\lambda$ d'esp\'erance $\delta_\lambda$ $(\lambda\in\Lambda)$,
  \cad des variables al\'eatoires ind\'ependantes \`a valeurs dans
  $\{0,1\}$ telles que $\P{\xi_\lambda=1}=\delta_\lambda$. Alors
  l'ensemble al\'eatoire $\Lambda'$ est d\'efini par
  $$
  \Lambda'=\{\lambda\in\Lambda:\ \xi_\lambda=1\}.
  $$
%
\end{construction}
%
Le premier ingr\'edient de cette preuve est le th\'eor\`eme suivant de
Bourgain.
%
\begin{thm}[\protect{\cite[Prop.\ 8.2(i)]{bo88}}]\label{bourgain}
%
  Soit $\Lambda=\N$ dans la construction \ref{constr}. Si
  $\delta_\lambda$ d\'ecro\^\i t avec $\lambda$ alors que
  $\delta_\lambda\gg\lambda^{-1}$, alors $\Lambda'$ est \ud/
  presque s\^urement.
%
\end{thm}
%
Le deuxi\`eme ingr\'edient est un r\'esultat annonc\'e sans preuve par
Katznelson.
%
\begin{assertion}[\protect{\cite[\S 2]{ka73}}]\label{katz}
%
  Posons $I_k=\mathopen]n_{k-1},n_k ]$ avec $n_k >n_{k-1}^2$ $(k\ge1)$.  Soit
  $\Lambda=\N$ dans la construction \ref{constr}. Il existe un choix
  de $(\ell_k)$ avec $\ell_k\gg\log n_k$ tel qu'en posant
  $\delta_\lambda=\ell_k/\lmes I_k\rmes $ pour $\lambda\in I_k$,
  $\Lambda'$ est \EL{p} pour tout $p$ presque s\^urement.
%
\end{assertion}
%
Li \cite{li98} propose 
%(en fournissant des indications \`a la place d'une preuve) 
d'app\-li\-quer la technique de l'assertion \ref{katz}
avec $n_k=2^k$ et $\ell_k=k$: alors $\delta_\lambda\gg\lambda^{-1}$ et
le th\'eor\`eme \ref{li} d\'erive du th\'eor\`eme \ref{bourgain}.
% et $\ref{katz}$. 

Dans la suite de l'expos\'e, je g\'en\'eraliserai les r\'esultats de
Katznelson et Li par une d\'emonstration nouvelle qui permet de
construire $\Lambda'$ dans des ensembles $\Lambda$ \`a croissance
polynomiale (voir d\'efinition \ref{polydef}) et d'obtenir un
crit\`ere optimal sur $(\ell_k)$.
% qui s'av\`ere optimal. 
Puis je montrerai une g\'en\'eralisation du th\'eor\`eme
\ref{bourgain} qui donne
%
\begin{thm}\label{thg}
%
  Soit $\Lambda$
%=(\,|\lambda_1|\le|\lambda_2|\le\dots\,)$ 
  \ud/ \(resp.\ au sens large\) et \`a croissance
  po\-ly\-no\-miale.
% r\'eguli\`ere.
%: il existe $C$ et $d$ tels que 
%$\lambda_n\le Cn^d$ pour $n$ suffisamment grand. 
Alors il existe un
sous-ensemble $\Lambda'\subseteq\Lambda$ \ud/ \(resp.\ au sens
large\) et \`a la fois $\Lambda(p)$ pour
tout $p$.
%
\end{thm}
%
Nous pouvons \`a pr\'esent r\'epondre \`a une question de Li:
%
\begin{cor}\label{corg}
%
Soit $S$ l'ensemble des carr\'es et $P$ celui des nombres
premiers. Pour chacun de 
ces deux ensembles, il existe un sous-ensemble $\Lambda'$
\ud/ au sens large et \`a la fois \EL{p} pour tout $p$. 
En particulier \(cf.\ \cite[lemme 4]{lu81}\),
$\Lambda'$  n'est pas un ensemble de Rosenthal: 
$\SC{\Lambda'} \ne \SL{\infty}{\Lambda'}$ 
alors que tous les espaces $\SL{p}{\Lambda'}$
co\"\i ncident pour $p<\infty$. 
%il existe une fonction de 
%$L^{\infty}_{\Lambda}(\T)$ qui n'est pas \'egale presque partout \`a une
%fonction continue. 
%
\end{cor}

%
%
%
%
\chapter{Suites \`a croissance polynomiale}

%
%
%
%
\begin{dfn}\label{polydef}
%
Soit $\Lambda=(\lambda_k)_{k\ge1}\subseteq\Z$ ordonn\'e par valeur absolue
croissante et $\phi(n)=\lmes E\cap[-n,n]\rmes $ sa fonction de r\'epartition. 

\bm{i}
$\Lambda$ est dit \`a croissance polynomiale s'il existe 
$1 \le d < \infty$ tel que
$\lambda_k\preccurlyeq k^d$. Cela revient \`a imposer que 
$\phi(n)\succcurlyeq n^\eps$ pour $\eps=d^{-1}$.

\bm{ii}
$\Lambda$ est dit \`a croissance polynomiale
r\'eguli\`ere s'il existe $c>1$ tel que 
$|\lambda_{\lceil ck\rceil}| \le 2|\lambda_k|$ 
pour $k$ grand.  Cela revient \`a imposer que
%'il existe $c>1$ tel que 
$\phi(2n) \ge c\phi(n)$ pour $n$ 
grand. 
%
%
%\begin{equation}\label{poly}
%1 < 
%%\underline{\lim}
%\liminf\frac{\phi(2n)}{\phi(n)} \le
%%\overline{\lim}
%\limsup\frac{\phi(2n)}{\phi(n)} < \infty.
%\end{equation}
%%
\end{dfn}
% 
En parti\-cu\-lier, les suites polynomiales et, par le th\'eor\`eme
de Hadamard et de la Vall\'ee Poussin, la suite des nombres
premiers, sont \`a croissance polynomiale r\'eguli\`ere.

\dem
$(i)$ 
Si $|\lambda_k| \le  C k^d$ pour $k$ grand et que $C k^d \le  n < C (k+1)^d$,
alors $\phi(n) \ge k > (n/C)^\eps-1$. Si $\phi(n) \ge c n^\eps$ pour
$n$ grand et que $c (n-1)^\eps < k \le c n^\eps$, alors 
$|\lambda_k| \le  n < (k/c)^d+1$.

$(ii)$
Si $|\lambda_{\lceil ck\rceil}| \le  2|\lambda_k|$ 
pour $k$ grand et que $k$ est maximal tel que $|\lambda_k|\le n$, alors
$\phi(2n) \ge \phi(2|\lambda_k|) \ge c k = c \phi(n)$. Si $\phi(2n)
\ge c\phi(n)$ pour $n$ grand, alors $\phi(|\lambda_k|)
\in \{k,k+1\}$ et $\phi(2|\lambda_k|)\ge c k$. Donc 
$|\lambda_{\lceil ck\rceil}| \le  2|\lambda_k|$.
\eck

%\lambda_{\lceil c n^\eps \rceil} < n$
$(ii)$ implique $(i)$; la r\'eciproque est fausse comme le montre
$E=\bigcup \mathopen]2^{2^{2k}},2^{2^{2k}+1}]$, qui v\'erifie
$\phi(n) \succcurlyeq n^{1/4}$ tandis que $\phi(2n)=\phi(n)$ infiniment souvent.
%implique que $\Lambda$ est \`a croissance
%polynomiale: 
%si on indexe $\Lambda=(\lambda_k)$ avec
%$|\lambda_{k+1}|\ge|\lambda_k|$, alors il existe $C,d$ tels que
%$|\lambda_k|\le Ck^d$. 
Donc ici, croissance polynomiale r\'eguli\`ere de $\Lambda$ 
veut dire que cette suite est r\'epartie r\'eguli\`erement vis-\`a-vis
de la partition annulaire dyadique de $\Z$
%
\begin{equation}\label{lpp}
%
{\mathscr P}=\big\{
[ -n_0,n_0],I_k=[
-n_k ,-n_{k-1}\mathclose[\cup\mathopen]n_{k-1},n_k]
\big\}_{k\ge1}\mbox{ engendr\'ee par }
n_k=2^k
%
\end{equation} 
%
et $E$ montre qu'il existe des suites \`a croissance polynomiale
qui ne sont pas r\'eparties r\'eguli\`erement vis-\`a-vis de la
partition engendr\'ee par $n_k=2^{2^k}$.
%$\Z = \{-1,0,1\} \cup \bigcup_{k\ge0} 
%\mathopen]-2^{2^{k+1}},-2^{2^k}]  \cup  [2^{2^k},2^{2^{k+1}}\mathclose[.$
Par contre, la partition encore plus grossi\`ere 
%
\begin{equation}\label{lppg}
%
{\mathscr P}=\big\{
[ -n_0,n_0 ],I_k=[
-n_k ,-n_{k-1}\mathclose[\cup\mathopen]n_{k-1},n_k]
\big\}_{k\ge1}\mbox{ o\`u }
\log n_k \gg\log n_{k-1}
%{\cal P}'=\big\{\{-2,-1,0,1,2\}\},\,P'_k\,(k\ge0)\Big\}\quad\mbox{
%o\`u  }
%P'_k=\mathopen]-2^{2^{2^{k+1}}},-2^{2^{2^k}}] \cup 
%[2^{2^{2^k}},2^{2^{2^{k+1}}}\mathclose[
%
\end{equation} 
%
a une croissance suffisante pour forcer cette r\'egularit\'e; on pourra
consid\'erer $n_k=2^{2^{2^k}}$. On a 
%
\begin{prp}\label{repreg}
%
Soit $\Lambda\subseteq\Z$, $\{I_k\}$ une partition de $\Z$ et
$\Lambda_k=\Lambda\cap I_k$. Alors $\log \lmes \Lambda_k \rmes
\succcurlyeq \log \lmes I_k \rmes$ dans les deux cas suivants:  

\bm{i}
si $\Lambda$ est \`a croissance polynomiale r\'eguli\`ere et
$\{I_k\}$ est la partition \eqref{lpp}, ou 

\bm{ii} 
si $\Lambda$ est \`a croissance polynomiale et $\{I_k\}$ est la
partition \eqref{lppg}.
%
%alors $\log \lmes \Lambda_k \rmes \succcurlyeq \log \lmes I_k \rmes$.
%
\end{prp}
%
\dem
$(i)$ Il existe donc $K$ et $c>1$ tels que $\phi(2^k) \ge c\phi(2^{k-1})$
et $\phi(2^k) \ge c'c^k$
pour $k\ge K$ et une constante $c'>0$. Alors 
$$
\lmes \Lambda_k \rmes = \phi(2^k) - \phi(2^{k-1}) \ge  
(1-c^{-1})\phi(2^k) \ge c'(1-c^{-1})c^k \succcurlyeq 2^{k\log c}.
$$
$(ii)$ Donc $n_k ^\eps \gg n_{k-1}$ quel que soit $\eps>0$. Or 
%Si on pose $2^{2^{2^k}}=n_k$, on a $n_0=4$ et
%$\log_2n_{k+1}=(\log_2n_k)^2$. 
il existe $c$ et $\eps>0$ tels que pour
$k$ grand
$$
\lmes \Lambda_k \rmes = \phi(n_k ) - \phi(n_{k-1}) \ge cn_k ^\eps -
(2n_{k-1} +1) \succcurlyeq n_k ^\eps \succcurlyeq \lmes I_k \rmes ^\eps.
\eqno{\eck}
%= cn_{k+1}^\eps (1 - 2/c \cdot
%2^{(\log_2n_{k+1})^{1/2}-\eps\log_2n_{k+1}}
$$
%et comme le terme entre parenth\`eses tend vers $0$, $\log \lmes
%\Lambda_k \rmes \succcurlyeq \log n_{k+1} > \lmes I_k \rmes$.\eck
%
%
%
%
%
%
\chapter{\texorpdfstring{Ensembles \EL{p} pour tout $p$}{Ensembles \textLambda(p) pour tout p}}
%
%
%
%
%
%
Les ensembles \EL{p} se d\'ecrivent naturellement en terme
d'inconditionnalit\'e. Nous utiliserons aussi une propri\'et\'e
combinatoire plus \'el\'ementaire que \cite[4.5(b)]{ru60}: \`a cette fin,
notons $\Zeta_s^m$ l'ensemble de relations arithm\'etiques 
$$
\Zeta_s^m=\big\{\zeta\in{\Z^*}^m:\,\sm\zeta m=0\mbox{ et }
|\zeta_1|+\dots+|\zeta_m|\le 2s\big\}. 
$$
Notons que $\Zeta_s^1$ et $\Zeta_s^m$ pour $m>2s$ sont vides, et que tout
$\zeta\in\Zeta_s^2$ est de la forme $\zeta_1\cdot(1,-1)$: c'est la
relation d'identit\'e.

% Alors \DL/ est $s$-ind\'ependant si et seulement si
%$\sum\zeta_ip_i\ne0$ pour tous $3\le m\le 2s$, 
%$\zeta\in\Zeta_s^m$ et $\lst pm\in E$ distincts.
%
%(En fait on peut m\^eme supposer $3\le m\le 2s$. ) 
%Il suffit en effet de consid\'erer $3\le m\le 2s$, puisque 
%

%
\begin{dfn}
% et \cite{dr75}
%
Soit $1\le p<\infty$, $s\ge1$ et \DL/.

\bm{i} \(Voir \cite{ka48}.\) 
$\Lambda$ est une suite basique inconditionnelle dans
\SLP{} s'il exis\-te $C<\infty$ telle que 
%
$$
%\begin{equation*}\label{ubs}
\sup_{\pm}\bigg\|\sum_{n\in\Lambda}\pm a_\lambda\e_\lambda\bigg\|_p\le
C\bigg\|\sum_{\lambda\in \Lambda}a_\lambda\e_\lambda\bigg\|_p.
%\end{equation*}
$$
%
Si on peut prendre $C=1$, $\Lambda$ est une suite basique 
$1$-inconditionnelle dans \SLP{}.

\bm{ii} 
$\Lambda$ est $s$-ind\'ependant si 
$\sum\zeta_ip_i\ne0$ pour tous $3\le m\le 2s$, 
$\zeta\in\Zeta_s^m$ et $\lst pm\in\Lambda$ distincts.
%
\end{dfn}
%
On a alors (cf.\ \cite[prop.\ 2.5]{ne98})
%
\begin{prp}\label{incond}
%
Soit $1\le p<\infty$, $s\ge1$ entier et \DL/.

\bm{i}
$\Lambda$ est un ensemble \EL{\max(p,2)} si et seulement 
si $\Lambda$ est une suite basique inconditionnelle dans \SLP{}.
%

\bm{ii}
$\Lambda$ est une suite basique
$1$-in\-con\-di\-tion\-nel\-le  
dans \SL{2s}{} si et seulement
si $\Lambda$ est $s$-ind\'ependant. 
%
\end{prp}
%
%\dem
%Si $E$ est une suite basique inconditionnelle,
%alors, par l'in\'egalit\'e de Khintchine,
%$$
%\Big\|\sum_{n\in E} a_n\e_n\Big\|_p^p\approx
%\mbox{moyenne\,}
%\Big\|\sum_{n\in E}\pm a_n\e_n\Big\|_p^p\approx
%\Big(\sum_{n\in E}|a_n|^2\Big)^{p/2}=
%\Big\|\sum_{n\in E} a_n\e_n\Big\|_2^p.
%$$
%Inversement, si $E$ est
%\EL{\max(p,2)}, alors $\|\sum_{n\in E}
%a_n\e_n\|\approx(\sum_{n\in E}|a_n|^2)^{1/2}$. 
%\eck
%
%Les suites basiques $1$-inconditionnelles se caract\'erisent facilement
%par une propri\'et\'e combinatoire dans le cas o\`u $p=2s$ avec $s\ge1$
%entier. \`A cette fin, introduisons les relations arithm\'etiques
%$\Alpha_s^m$ et leur coefficient multinomial associ\'e, 
%$$
%\Alpha_s^m=\Big\{\alpha\in\N^m:\ \sm\alpha m=s\Big\}\quad\mbox{et}\quad
%\bi s\alpha=\frac{s!}{\alpha_1!\,\cdots\,\alpha_m!}.
%$$
%Calculons, pour $\lst pm\in E$ distincts 
%$$
%%\begin{equation*}
%\nonumber\Big\|\sum_{i=1}^ma_i\e_{p_i}\Big\|_{2s}^{2s}
%=\int\Big|\sum_{i=1}^ma_i\e_{p_i}\Big|^{2s}dm=
%\int\Big|\sum_{\alpha\in\Alpha_s^m}
%\bi s\alpha\prod_{i=1}^ma_i^{\alpha_i}\,
%\e_
%%{\lower1pt\hbox{$\Sigma$}
%{\mathop{\Sigma}\alpha_ip_i}\Big|^2dm
%%\end{equation*}
%$$
%par la formule multinomiale.
%Si chaque $n\in\Z$ se repr\'esente d'au plus une mani\`ere comme 
%$n=\sum\alpha_ip_i$ avec $\lst pm\in E$ distincts 
%--- on dira que $E$ est $s$-ind\'ependant --- , 
%alors 
%$$
%\Big\|\sum_{i=1}^ma_i\e_{p_i}\Big\|_{2s}^{2s}=
%\sum_{\alpha\in\Alpha_s^m}{\bi s\alpha}^2\prod_{i=1}^m|a_i|^{2\alpha_i}.
%$$
%En fait, on obtient
%
%
Introduisons une deuxi\`eme notion d'inconditionnalit\'e classique
corollaire de la th\'eorie de Littlewood--Paley:
%
\begin{dfn}[\cite{hk89}]
%
Soit ${\mathscr P }=\{I_k\}$ une partition de
{\Z} en intervalles finis. Alors ${\mathscr P}$ est une partition de
Littlewood--Paley si pour tout $1<p<\infty$ il existe $C_p$ tel que  
\begin{equation}\label{paley}
\forall f\in\SLP{}\quad
\sup_{\pm}\Big\|\sum\pm f_k\Big\|_p\le C_p\|f\|_p\quad
\mbox{avec }\widehat{f_k}=
\left\{\begin{array}{l}\widehat{f}\mbox{ sur }I_k\\
0\mbox{ ailleurs.}\end{array}\right. 
\end{equation}
%
\end{dfn}
%
Par l'in\'egalit\'e de Khintchine, ceci veut encore dire que 
$$
\forall f\in\SLP{}\quad
\|f\|_p\approx\Big\|\Big(\sum|f_k|^2\Big)^{1/2}\Big\|_p.
$$
En particulier, la partition dyadique \eqref{lpp} et la partition
grossi\`ere \eqref{lppg} sont des partitions de Littlewood--Paley
\cite{lp31}. 
%
%\begin{equation}\label{lpp}
%{\cal P}=\big\{\{0\},I_k:\,k\ge0\Big\}\quad\mbox{avec }
%I_k=\mathopen]-2^{k+1},-2^k] \cup [2^k,2^{k+1}\mathclose[
%\end{equation} 
%est une partition de Littlewood--Paley \cite{lp31}. Nous utiliserons
%aussi la la partition bien plus grossi\`ere 
%\begin{equation}\label{lppg}
%{\cal P}'=\big\{\{-2,-1,0,1,2\}\},I'_k:\,k\ge0\Big\}\quad\mbox{avec }
%I'_k=\mathopen]-2^{2^{2^{k+1}}},-2^{2^{2^k}}] \cup 
%[2^{2^{2^k}},2^{2^{2^{k+1}}}\mathclose[
%\end{equation} 

%On sait que $|I_k\rmes $ cro\^\i tsurpolynomialement. 

On a donc, par la proposition \eqref{incond} et par \eqref{paley}
%
\begin{prp}\label{union}
%
Soit $\{I_k\}$ une partition de Littlewood--Paley et
$\Lambda_k\subseteq I_k$. Si $\Lambda_k$ est $s$-ind\'ependant pour
chaque $k$, alors
$\Lambda=\bigcup\Lambda_k$ est une suite basique 
inconditionnelle dans \SL{2s}{}
et forme par cons\'equent un ensemble \EL{2s}.
%
\end{prp}
%
%Reformulons \`a pr\'esent la notion de $s$-ind\'ependance pour lui
%donner une efficacit\'e calculatoire. 
%
%\begin{prp}
%
%Soit %
%
G\'en\'eralisons \`a pr\'esent l'assertion \ref{katz}. 
%
\begin{lem}\label{estimation}
%
Soit $s\ge2$ entier, $\Lambda\subseteq\Z$ fini et $0\le\ell\le\lmes \Lambda\rmes $. 
Soit $\delta_\lambda=\ell/\lmes \Lambda\rmes $ dans la construction \ref{constr},
de sorte que les variables al\'eatoires ind\'ependantes $\xi_\lambda$ 
sont \'equidistribu\'ees. Alors il existe une constante $C(s)$ qui ne
d\'epend que de $s$ telle que
$$
\P{\Lambda'\mbox{ est $s$-d\'ependant\/}} \le 
C(s)\frac{\ell^{2s}}{\lmes \Lambda\rmes }.
$$
%
\end{lem}
%
\dem
Il faut calculer la probabilit\'e qu'il existe $3\le m\le 2s$,
$\zeta\in\Zeta_s^m$ et $\lst pm\in\Lambda'$ distincts tels que
$\sum\zeta_ip_i=0$. Comme le nombre $C(s)$ de relations arithm\'etiques 
$\zeta\in\Zeta_s^m$ ($3\le m\le 2s$) est fini et ne d\'epend que de
$s$, il suffit de calculer, pour $m$ et $\zeta\in\Zeta_s^m$ fix\'es,
%
\begin{eqnarray*}
%
\lefteqn{\P{\exists\lst pm\in\Lambda'\mbox{ distincts}:\,
\sum\zeta_ip_i=0}}\\
&=&\P{\exists\lst p{m-1}\in\Lambda'\mbox{ distincts}:\,
-\zeta_m^{-1}\sum_{i=1}^{m-1}\zeta_ip_i\in
\Lambda'\setminus\{\lst p{m-1}\}}\\
&=&\P{\bigcup_
{\substack{\lst p{m-1}\\\in\Lambda'\,distincts}}\hskip-1em
\Big[-\zeta_m^{-1}\sum_{i=1}^{m-1}\zeta_ip_i\in
\Lambda'\setminus\{\lst p{m-1}\}\Big]}\\
&=&\P{\bigcup_
{\substack{\lst p{m-1}\\\in\Lambda\,distincts}}\hskip-1em
\Big[p_m=-\zeta_m^{-1}\sum_{i=1}^{m-1}\zeta_ip_i\in
\Lambda\setminus\{p_i\}_1^{m-1}\mbox{ et }
\xi_{p_1}=\dots=\xi_{p_m}=1\Big]}
%
\end{eqnarray*}
%
L'union ci-dessus porte sur 
$$
\frac{\lmes \Lambda\rmes !}{(\lmes \Lambda\rmes -m+1)!}\le\lmes \Lambda\rmes ^{m-1}
$$
$(m-1)$-uplets. De plus, l'\'ev\'enement entre petits crochets implique que
$m$ variables al\'eatoires donn\'ees parmi $(\xi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$
valent $1$, et a donc une probabilit\'e major\'ee par $(\ell/\lmes \Lambda\rmes )^m$.
Donc 
$$
\P{\Lambda'\mbox{ est $s$-d\'ependant}}\le
C(s)\max_{3\le m\le 2s}\lmes \Lambda\rmes ^{m-1}\frac{\ell^m}{\lmes
\Lambda \rmes ^m}\le
C(s)\frac{\ell^{2s}}{\lmes \Lambda\rmes }.\eqno{\eck}
$$
On fait alors la construction al\'eatoire suivante:
%
\begin{construction}\label{constrk}
%
Soit $\Lambda\subseteq\Z$.
% \`a croissance polynomiale r\'eguli\`ere. 
Soit $\{I_k\}$ une partition de
Little\-wood--Paley
% dyadique $(\ref{lpp})$ 
et $\Lambda_k=\Lambda\cap I_k$. Soit $(\ell_k)_{k\ge1}$ avec 
$0\le\ell_k\le\lmes \Lambda_k\rmes $ et posons
$$
\P{\xi_\lambda=1}=\delta_\lambda=\ell_k/\lmes \Lambda_k\rmes 
\mbox{  pour }\lambda\in\Lambda_k
$$
dans la
construction \ref{constr}. On pose alors 
$$
\Lambda'_k=\Lambda'\cap I_k=\{\lambda\in\Lambda_k:\ \xi_\lambda=1\}.
$$
%
\end{construction}
%
\begin{thm}\label{katzg}
%
Soit $\Lambda\subseteq\Z$ \`a croissance polynomiale \(resp.\ r\'eguli\`ere\) et
$\{I_k\}$ la partition de
Little\-wood--Paley grossi\`ere \eqref{lppg} 
\(resp.\ dyadique \eqref{lpp}\). 
Soit la construction \ref{constrk}. Les assertions
suivantes 
%sur $\Lambda'=\bigcup\Lambda'_k$ donn\'e par 
sont \'equivalentes.

\bm{i} 
$\log \ell_k \ll \log \lmes I_k \rmes $, \cad 
$\log \ell_k \ll \log n_k $ \(resp.\ $\log \ell_k \ll k$\);

\bm{ii} 
$\Lambda'$ est un ensemble $\Lambda(p)$ 
pour tout $p$ presque s\^urement.
%
\end{thm}
\dem 
Notons que par la proposition \ref{repreg}, il existe $\alpha>0$ tel
que $\lmes \Lambda_k\rmes >\lmes I_k\rmes ^{\alpha}$ 
%--- et en particulier, $\lmes \Lambda_k\rmes > c^k$ pour un $c>1$ ---
pour $k$ grand. 
%si la croissance de $\Lambda$ est polynomiale
%r\'eguli\`ere, alors il existe $c>1$ tel que 
%$\lmes \Lambda_k\rmes >c^k=\lmes I_k\rmes ^{\alpha}$ (avec $\alpha=\log c/\log 2$)
%pour $k$ suffisamment grand. 
%
%Si la croissance de $\Lambda$ est simplement polynomiale, alors il
%existe aussi $\alpha>0$ tel que $\lmes \Lambda_k\rmes >\lmes I_k\rmes ^{\alpha}$. A
%fortiori $\lmes \Lambda_k\rmes >c^k$.
% 
%On sait que $\lmes I_k\rmes $ cro\^\i t g\'eom\'etriquement. 
%Pour simplifier les notations, on va supposer que $\lmes I_k\rmes \ge2^k$.

$(i)\imp(ii)$ Par la proposition \ref{estimation}, 
$$
\sum_{k=1}^\infty\P{\Lambda'_k\mbox{ est $s$-d\'ependant}}\le
C(s)\sum_{k=1}^\infty\frac{\ell_k^{2s}}{\lmes \Lambda_k\rmes }.
$$
%Puisque $\Lambda$ cro\^\i t polynomialement, il existe $\eps>0$
%tel que $\lmes \Lambda_k\rmes >(1+\eps)^k$ 
% et que $\lmes I_k\rmes $ cro\^\i t
%g\'eom\'etriquement, il existe $\gamma>1$ tel
%que $\lmes \Lambda_k\rmes \ge k^\gamma$ 
%pour $k$ suffisamment grand. De plus,
Pour tout $\eta>0$, $\ell_k\le\lmes I_k\rmes ^\eta$ pour $k$ suffisamment
grand. Choisissons $\eta<\alpha/2s$. 
Mais alors le terme g\'en\'eral de la s\'erie ci-dessus v\'erifie 
$$
\frac{\ell_k^{2s}}{\lmes \Lambda_k\rmes }\le\lmes I_k\rmes
^{2s\eta-\alpha} 
%<c^{k(2s\eta-1)}
\mbox{ pour $k$ grand}.
$$
Comme $\lmes I_k\rmes \succcurlyeq 2^k$, cette s\'erie converge: 
par le lemme de
Borel--Cantelli,  $\Lambda'_k$ est presque s\^urement
$s$-ind\'ependant pour $k$ suffisamment grand. Par cons\'equent, pour chaque
entier $s$, $\Lambda'$
est presque s\^urement union d'un ensemble fini et d'un ensemble
$\Lambda(2s)$ par la proposition \ref{union}. Par \cite[4.4(a)]{ru60},
$\Lambda'$ est lui-m\^eme un ensemble $\Lambda(2s)$. 

$(ii)\imp(i)$ Si $\Lambda'$ est un ensemble \EL{2s}, alors, 
par \cite[th\'eor\`eme 3.5]{ru60} ou plus simplement par 
\cite[(1.12)]{bo89a}, il existe $C_s$ tel que 
$\lmes \Lambda'_k\rmes <C_s\lmes I_k\rmes ^{1/s}
%<C_s\lmes \Lambda_k\rmes ^{1/\alpha s}
$. 
%Comme $\Lambda$ cro\^\i t
%polynomialement, il existe $d$ tel que
%$\lmes \Lambda_k\rmes ^d\ge\lmes I_k\rmes $ et donc $\lmes \Lambda'_k\rmes \le
%C_s\lmes \Lambda_k\rmes ^{d/s}$. 
Or $\lim\lmes \Lambda'k\rmes /\ell_k=1$ presque s\^urement par la loi des grands
nombres (cf.\ le lemme
\ref{lem1} suivant) et donc 
n\'ecessairement $\log \ell_k \ll \log \lmes I_k \rmes$.
\eck

\rem
De la m\^eme mani\`ere, il appara\^\i t que la bonne formulation de
l'assertion \ref{katz} de Katznelson est la suivante. Soit
$\Lambda=\N$ et $I_k=\mathopen]n_{k-1},n_k ]$ avec $n_k >cn_{k-1}$ pour
un $c>1$ dans la construction \ref{constrk}. Alors $\Lambda'$ est un
ensemble $\Lambda(p)$ pour tout $p$ si et seulement si 
$\log \ell_k \ll \log n_k$. 
%
%
%
%
\chapter{Ensembles \ud/s}
%
%
%
%

Nous cherchons \`a pr\'esent \`a adapter la d\'emonstration du th\'eor\`eme
\ref{bourgain} dans \cite{bo88}. En passant par deux lemmes, 
nous obtiendrons l'\'enonc\'e plus
g\'en\'eral du th\'eor\`eme \ref{bourgaing}.
%
\begin{lem}\label{lem1}
%
Soient $\lst Xn$ des variables al\'eatoires ind\'ependantes complexes
telles que
%
\begin{equation}\label{hyplem1}
|X_i|\le1\quad\mbox{et}\quad\E X_i=0\quad\mbox{et}\quad
\E|X_1|^2+\dots+\E|X_n|^2\le\sigma.
\end{equation}
%
Alors, pour tout $a>0$,
%
\begin{equation}\label{conclem1}
%
\P{|X_1+\dots+X_n| \ge a}<4\exp(-a^2/4(\sigma+a)).
%
\end{equation}
%
\end{lem}
%
\dem
Il s'agit de la variation de Bennett 
sur l'in\'egalit\'e probabiliste de
Bernstein \cite{be64}. Consid\'erons d'abord le cas d'une variable
al\'eatoire r\'eelle. Par \cite[(8b)]{be62},
%\cite[(8b)]{be62}, on a
%pour $\gamma>0$, par l'in\'egalit\'e de Markov,
%$$
%\P{X_1+\dots+X_n>a}=\P{\e^{\gamma X_1}\cdot\dots\cdot\e^{\gamma
%  X_n}>\e^{\gamma a}}<\e^{-\gamma a}\E\e^{\gamma
%  X_1}\cdot\dots\cdot\E\e^{\gamma X_n}
%$$
%Or, par $(\ref{hyplem1})$,
%$$
%\E\e^{\gamma X_i}=\sum_{k\ge0}\frac{\gamma^k}{k!}\E
%X_i^k\le1+(\e^\gamma-\gamma-1)\E X_i^2
%$$
%$$
%\E\e^{\gamma X_1}\cdot\dots\cdot\E\e^{\gamma
%  X_n}\le\exp\sigma(\e^\gamma-\gamma-1).
%$$
%En posant $\gamma=\log(1+a/\sigma)$, on obtient donc
$$
\P{X_1+\dots+X_n \ge a}<
%\exp(-\gamma a+\sigma(\e^\gamma-\gamma-1))=
\exp(a-(\sigma+a)\log(1+a/\sigma)),
$$
et comme $\log(1-u)\le-u-u^2/2$ pour $0 \le u < 1$,
$$
\P{X_1+\dots+X_n \ge a}<\exp(-a^2/2(\sigma+a))
$$
On en d\'eduit \eqref{conclem1} puisque chaque $z\in\C$ v\'erifie  
$$
|z|>a\quad\Longrightarrow\quad
%\Re z>a/\sqrt{2}\mbox{ ou }-\Re z>a/\sqrt{2}\mbox{ ou }
%\Im z>a/\sqrt{2}\mbox{ ou }-\Im z>a/\sqrt{2}.\eqno{\eck}
\min(\Re z,-\Re z,\Im z,-\Im z)>a/\sqrt{2}.\eqno{\eck}
$$
%
\begin{lem}\label{lem2}
%
Soit la construction \ref{constr}. Notons $\Lambda=(\lambda_k)$
l'arrangement de $\Lambda$ par valeur absolue croissante et 
$\sigma_n=\delta_{\lambda_1}+\dots+\delta_{\lambda_n}$. 
Si $\sigma_n \gg \log |\lambda_n|$, alors
presque s\^urement
\begin{equation}\label{conclem2}
\psi(n)=\bigg\|
\frac1{\lmes \Lambda'\cap\{\lst\lambda n\}\rmes }
\sum_{\Lambda'\cap\{\lst\lambda n\}}\hspace{-1em}\e_\lambda-
\frac 1{\sigma_n}\sum_{k=1}^n\delta_{\lambda_k}\e_{\lambda_k}
\bigg\|_\infty\tol_{n\to\infty}0.
\end{equation}
%
\end{lem}
%
\dem
On a 
$\sum_{\Lambda'\cap\{\lst\lambda n\}}\e_\lambda = 
\sum_{k=1}^n\xi_{\lambda_k}\e_{\lambda_k}$
et $\lmes \Lambda'\cap\{\lst\lambda n\}\rmes
=\sum_{k=1}^n\xi_{\lambda_k}$. Centrons les $\xi_\lambda$ en posant 
$f=\sum_{k=1}^n(\xi_{\lambda_k}-\delta_{\lambda_k})\e_{\lambda_k}$. Donc
%
\begin{eqnarray*}
   \psi(n)&\le&\bigg\|
\Big(\lmes \Lambda'\cap\{\lst\lambda n\}\rmes ^{-1}-\sigma_n^{-1}\Big)
\sum_{k=1}^n\xi_{\lambda_k}\e_{\lambda_k}\bigg\|_\infty+
\|\sigma_n^{-1}f\|_\infty\\
%\sum_{k=1}^n
%(\xi_{\lambda_k}-\delta_{\lambda_k})\e_{\lambda_k}\bigg\|_\infty\\
&\le&
%\sigma_n^{-1}
%\bigg|\sum_{k=1}^n\xi_{\lambda_k}-\delta_{\lambda_k}\bigg|+
\sigma_n^{-1}\,\bigg|\frac {\delta_{\lambda_1}+\dots+\delta_{\lambda_n}}
{\xi_{\lambda_1}+\dots+\xi_{\lambda_n}} - 1\bigg|\ 
\sum_{k=1}^n\xi_{\lambda_k}+
\sigma_n^{-1}\|f\|_\infty
%\bigg\|
%\sum_{k=1}^n(\xi_{\lambda_k}-\delta_{\lambda_k})\e_{\lambda_k}
%\bigg\|_\infty\\
\le2\sigma_n^{-1}\|f\|_\infty.
%\bigg\|
%\sum_{k=1}^n(\xi_{\lambda_k}-\delta_{\lambda_k})\e_{\lambda_k}
%\bigg\|_\infty
\end{eqnarray*}
%
Soit $R=\{t\in\T:\,t^{4|\lambda_n|}=1\}$ et $u\in\T$ tel que
$|f(u)|=\|f\|_\infty$. Soit $t\in R$ \`a
distance minimale de $u$: alors $|t-u|\le\pi/4|\lambda_n|$. Par
le th\'eor\`eme de Bernstein,
$$
\|f\|_\infty-|f(t)| \le |f(u)-f(t)| \le |t-u| \, \|f'\|_\infty \le
\frac45 \|f\|_\infty
$$
$$
\|f\|_\infty\le5\sup_{t\in R}|f(t)|.
$$
(Pour une majoration optimale, voir \cite[\S\,I.4, lemme 8]{me72}.) 
Comme $\lmes R \rmes = 4|\lambda_n|$ et que, pour chaque $t\in R$, 
les variables al\'eatoires 
$X_k=(\xi_{\lambda_k}-\delta_{\lambda_k})\e_{\lambda_k}(t)$ v\'erifient 
\eqref{hyplem1}, on a $\P{|f(t)| \ge a}<4\exp(-a^2/4\sigma_n)$ et 
$$
\P{\|f\|_\infty \ge 5a}\le\P{\sup_{t\in
  R}|f(t)| \ge a}<4|\lambda_n|\cdot4\exp(-a^2/4\sigma_n).
$$
Posons $a_n=(24\sigma_n\log |\lambda_n|)^{1/2}$. Alors
$a_n\ll\sigma_n$: soit $N$ tel que $a_n\le\sigma_n$ pour $n\ge N$. Donc
$$
\forall n\ge N\qquad\P{\|f\|_\infty \ge 5a_n} < 16|\lambda_n|^{-2}
$$
et par le lemme de Borel--Cantelli, 
$$
\sigma_n^{-1}\|f\|_\infty\preccurlyeq a_n/\sigma_n\tol0.\eqno{\eck}
$$

\rem
Notons que l'hypoth\`ese du lemme \ref{lem2} contient implicitement une
restriction sur la lacunarit\'e de $\Lambda$. Si 
$\sigma_n \gg \log |\lambda_n|$, alors n\'ecessairement $\log
|\lambda_n| \ll n$ et $\phi(n) \gg \log n$. En particulier, $\Lambda$
ne peut pas \^etre un ensemble de Sidon par \cite[(3.6.2)]{ru60}.

\begin{thm}\label{bourgaing}
%
Soit $\Lambda=(\lambda_k)$ \ud/ \(resp.\
au sens large\), ordonn\'e par valeur absolue croissante.
%et \`a croissance 
%sous-exponentielle.
%po\-ly\-no\-miale.
%il existe $C$ et $d$ tels que $\lambda_n\le Cn^d$ pour $n$
%suffisamment grand.
Soit la construction \ref{constr}. 
%Indexons $\Lambda=(\lambda_k)$ avec
%$|\lambda_{k+1}| \ge |\lambda_k|$ et 
Posons 
$\sigma_n=\delta_{\lambda_1}+\dots+\delta_{\lambda_n}$. On suppose que
$\delta_{\lambda_k}$ d\'ecro\^\i t avec $k$.  

\bm{i}
Si $\sigma_n \gg \log|\lambda_n|$, alors $\Lambda'$ est \ud/ \(resp.\
au sens large\) presque s\^urement.  
C'est le cas notamment lorsque 

\bm{ii}
%$$
%\delta_{\lambda}\frac{|\lambda|}{\Delta|\lambda|}
%\tol_{\lambda\in\Lambda\atop\lambda\to\infty}\infty\qquad
%\mbox{o\`u }
%\Delta|\lambda|=
%\min_{\mu\in\Lambda\atop|\mu|<|\lambda|}|\lambda-\mu|,
%$$
$\ds\delta_{\lambda_n} \gg \frac {|\lambda_n|-|\lambda_{n-1}|}
{|\lambda_{n-1}|}$; 

\bm{iii}
$\Lambda$ est \`a croissance po\-ly\-no\-miale et
$\delta_{\lambda_n}\gg n^{-1}$.
%
\end{thm}
%
\dem
%Comme $\sigma_n \gg \log|\lambda_n|$ implique que $s_n \gg
%\log\lmes \max\Lambda\cap[-n,n]\rmes $ et l
$(i)$ 
Le lemme \ref{lem2} montre qu'on a presque
s\^urement \eqref{conclem2}. Il suffit donc de montrer que
%$$ 
%\lim \frac 1 {s_n}\sum_{\Lambda\cap[-n,n]}\delta_\lambda\e_\lambda =
%\lim\lmes \Lambda\cap[-n,n]\rmes ^{-1}\sum_{\Lambda\cap[-n,n]}\e_\lambda,
%$$
$$
\lim \frac 1 {\sigma_n}\sum_{k=1}^n\delta_{\lambda_k}\e_{\lambda_k} = \lim
\frac 1{n} \sum_{k=1}^n\e_{\lambda_k}, 
$$
\cad que la m\'ethode de sommation de matrice 
$(a_{n,k})$ donn\'ee par
$$
a_{n,k}=\left\{
\begin{array}{ll}
\delta_{\lambda_k}/\sigma_n&\mbox{ si }k\le n\\
0&\mbox{ sinon}
\end{array}\right.
$$
est r\'eguli\`ere et plus forte que la m\'ethode
$C_1$ par moyenne arithm\'etique. En effet, $a_{n,k}\ge0$,
$\sum_ka_{n,k}=1$ et (cf.\ \cite[\S\,52, th\'eor\`eme I]{ze58}) 
$$
\forall n\quad\sum_k k|a_{n,k}-a_{n,k+1}|=\sum_k k(a_{n,k}-a_{n,k+1})=1<\infty.
$$
puisque $(a_{n,k})$ d\'ecro\^\i t avec $k$ pour chaque $n$.

$(ii)$ Dans ce cas, $\delta_{\lambda_n} \gg
\log|\lambda_n|-\log|\lambda_{n-1}|$ et donc $\sigma_n \gg
\log|\lambda_n|$. 
%puisque $\log|\lambda_n|$ diverge.

$(iii)$ Dans ce cas, $\sigma_n \gg \log n \succcurlyeq \log
|\lambda_n|$.\eck

Les th\'eor\`emes \ref{katzg} et \ref{bourgaing} donnent donc:
%
\begin{cor}
%
Soit $\Lambda$ \ud/ \(resp.\ au sens large\) et 
la construction \ref{constrk}. On suppose que $\ell_k/\lmes
\Lambda_k\rmes $
d\'ecro\^\i t avec $k$. Alors $\Lambda'$ est presque s\^urement un ensemble
\ud/ \(resp.\ au sens large\) et \`a la fois \EL{p} pour tout $p$ 
dans les deux cas suivants:

\bm{i}
si $\Lambda$ est \`a croissance polynomiale r\'eguli\`ere et 
$I_k$ est la d\'ecomposition de Littlewood--Paley dyadique
\eqref{lpp} et $1 \ll \log\ell_k \ll k
%\log\lmes \Lambda_k\rmes 
$;

\bm{ii} 
si $\Lambda$ est \`a croissance polynomiale et $I_k$ est la 
d\'ecomposition de Littlewood--Paley grossi\`ere
\eqref{lppg} et $\ell_k \gg \log n_{k+1}$ alors que 
$\log\ell_k \ll \log n_k $. On pourra prendre par exemple
$n_k=2^{2^{2^k}}$ et $\ell_k=\min(2^{2^{k+2}},\lmes \Lambda_k
\rmes)$. 
%
\end{cor}
%
\dem
Dans les deux cas consid\'er\'es $\log\ell_k \ll \log\lmes
I_k\rmes$. 
V\'erifions que les hypoth\`eses du th\'eor\`eme \ref{bourgaing}
sont v\'erifi\'ees. 
%Si $\ell_k\to\infty$, alors $\sm\ell k \gg k$. Or, si
Si $\lambda_n\in\Lambda_k\subseteq I_k$, alors $|\lambda_n|\le n_k $ et 
$$
\sigma_n\ge\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{\lambda\in\Lambda_j}\delta_\lambda=
\sm\ell{k-1}
% \gg k \ge c\log|\lambda_n|.\eqno{\ecks}
$$
et dans les deux cas, 
$\ell_{k-1} \gg \log n_k -\log n_{k-1}$.\eck

\def\cprime{$'$}\def\bibmath{disponible \`a la biblioth\`eque de
  math\'ematiques}\def\bibirem{disponible \`a la biblioth\`eque de
  l'IREM}\def\BUL{disponible \`a la BU Lettres}\def\BUS{disponible \`a la BU
  Sciences}\ifx\iflanguage\undefined\def\iflanguage#1#2#3{#3}\fi
\providecommand{\bysame}{\leavevmode ---\ }
\providecommand{\og}{``}
\providecommand{\fg}{''}
\providecommand{\smfandname}{et}
\providecommand{\smfedsname}{\'eds.}
\providecommand{\smfedname}{\'ed.}
\providecommand{\smfmastersthesisname}{M\'emoire}
\providecommand{\smfphdthesisname}{Th\`ese}
\begin{thebibliography}{10}

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George Bennett -- {\og \href{http://dx.doi.org/10.2307/2282438} {Probability
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