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\begin{document}
\title{Zénon, les philologues et les scientifiques}
\author{Stefan Neuwirth}
\date{}
\maketitle

Avant de contribuer à l'étude des paradoxes de Zénon, je commence par préciser ma position: celle d'un mathématicien avec une formation philosophique qui enquête sur les circonstances dans lesquelles les mathématiques grecques se sont constituées, et qui découvre un  terrain très controversé dans lequel les sources historiques ne fournissent pas de certitudes.

Cette enquête m'a fait connaitre les quatre fragments que les philologues attribuent à Zénon. %Ce sont, mis à part la \emph{flèche}, 
Trois de ces fragments portent sur la question de la multiplicité: ce qui est, le \og il est\fg, est-il d'un seul tenant, ou peut-on y distinguer une multiplicité de choses qui sont, une multiplicité d'\og étants\fg? Ils ont été moins discutés que les quatre paradoxes du mouvement repris par Aristote dans sa \emph{Physique}: la \emph{dichotomie}, l'\emph{Achille}, la \emph{flèche}, le \emph{stade}.

\section{Introduction. Plaidoyer pour la philologie.}
\label{sec:intr-plaid-pour}

Zénon est un élève de Parménide qui a vécu à Élée sur la mer Tyrrhénienne au 5\ieme\ siècle avant notre ère. Il confronte la pensée du \og il est\fg\ avec les \og opinions des mortels\fg, suscitées par les sensations. Il y a en particulier la sensation d'une multiplicité de choses, qui nourrit l'hypothèse d'une nature discrète de ce qui compose les choses. Zénon mène ses réflexions sous une forme originale qui marque la philosophie au point qu'Aristote le désigne comme le père de la dialectique: il met ces opinions à l'épreuve de la pensée et formule des arguments contradictoires.

Les ouvrages consultés pour cette enquête relèvent davantage de la philologie que de la philosophie: %plutôt que de chercher à reconstruire un système de pensée,
j'ai voulu saisir la matière des fragments dans l'épaisseur de leurs mots. Je chercherai à montrer ainsi combien ils sont toujours utiles à la réflexion contemporaine.

Ces fragments reprennent vie dans les analyses des philologues. Leur profession les oblige à rester constamment accrochés à la question du sens et de la place de chaque mot du texte: ils doivent s'assurer de la leçon des manuscrits.

Les philologues sont aussi plus inventifs et aventureux dans leur interprétation des fragments: c'est peut-être parce qu'ils n'ont de compte à rendre qu'au texte lui-même.

Cette présentation a pour ambition une lecture fraiche et directe de textes fondateurs de la philosophie, et de faire revivre les débats enflammés qui ont vu naitre l'axiomatique léguée par les Grecs, voire de comprendre ce qu'il y a d'intemporel dans les questions posées par Zénon.

%Selon Proclus et Élias, il y a eu quarante paradoxes posés par Zénon. Proclus présente d'ailleurs un \og argument: si un des existants est multiple, le même existant est semblable et dissemblable. Or il n'est pas possible que le même soit semblable et dissemblable. Donc les existants ne sont pas multiples\fg. Pour Aristote, \og les arguments de Zénon contre le mouvement sont au nombre de quatre\fg. Mais il présente aussi les paradoxes sur la multiplicité, qui seront notre objet d'étude, ainsi que celui du \emph{tas de mil}.

%En particulier, le paradoxe le plus connu, \og Achille et la tortue\fg\ n'y apparait pas et correspond à un compte rendu dans la \emph{Physique} d'Aristote qui me semble beaucoup moins élaboré et beaucoup plus empêtré dans la considération d'une situation concrète que ces fragments.

%Je ne suis donc pas convaincu qu'il remonte effectivement à Zénon.

% Voici donc la présentation d'Aristote des quatre arguments de Zénon
% contre le mouvement.
% \begin{quotation}
%   \noindent Zénon propose un paradoxe trompeur: si un objet quelconque est en repos, lorsqu'il ne s'est pas déplacé du lieu qui est égal à ses propres dimensions, et si d'autre part cet objet qui se meut est sans cesse dans le lieu qu'il occupe présentement, la flèche qui se déplace est immobile.  (\emph{Physique}~VI, \textsc{ix}, 239\textit{b}5-9 \cite[page~288]{pr88B}.)
% \end{quotation}

% \begin{quotation}
%   \noindent Les arguments de Zénon contre le mouvement sont au nombre de quatre;
%   ils causent beaucoup de soucis à ceux qui veulent les résoudre. Le
%   premier argument porte sur l'inexistence du \og se mouvoir\fg, compte
%   tenu du fait que le mobile doit d'abord parvenir à la moitié avant
%   d'atteindre le terme de son trajet, argument que nous avons déjà
%   discuté auparavant. (\emph{Physique}~VI, \textsc{ix},
%   239\textit{b}9-14 \cite[page~287]{pr88B}.)
% \end{quotation}

% \begin{quotation}
%   \noindent Le second argument est celui qu'on appelle l'\emph{Achille}. Il
%   consiste à dire que le plus lent à la course ne peut pas être
%   rattrapé par le plus rapide, étant donné que le poursuivant doit
%   nécessairement atteindre le point d'où le poursuivi est parti, de
%   telle sorte que le plus lent doit sans cesse avoir une certaine
%   avance. Cet argument est identique à celui de la dichotomie, à cette
%   différence près que ce n'est pas en deux que se trouve divisée la
%   grandeur restante.  (\emph{Physique}~VI, \textsc{ix},
%   239\textit{b}14-20 \cite[page~288]{pr88B}.)
% \end{quotation}

% \begin{quotation}
%   \noindent Le troisième argument est celui dont nous venons de parler, à savoir
%   que la flèche qui se déplace est immobile. C'est ce qui résulte du
%   fait que l'on admet que le temps est composé d'instants. Que l'on
%   refuse cette prémisse et le raisonnement s'écroulera. (\emph{Physique}~VI,
%   \textsc{ix}, 239\textit{b}30-33 \cite[page~288]{pr88B}.)
% \end{quotation}

% \begin{quotation}
%   Le quatrième argument est celui qui fait appel à deux trains formés
%   d'une succession de masses égales et qui se croisent sur un stade,
%   en passant, l'un comme l'autre, devant un train immobile.  La queue
%   du premier train~(C) est située à l'une des extrémités du stade; la
%   tête de l'autre train~(B) est située au milieu; les deux trains vont
%   à vitesse égale. Pour Zénon, la conséquence est que la moitié du
%   temps est égale au double.

%   La fausseté de l'argument tient à ce que l'on pose qu'une masse met
%   le même temps à passer devant une masse en mouvement et devant une
%   masse immobile. Or c'est cela qui est faux.

%   Soit par exemple le train~AAAA constitué par des masses immobiles,
%   BBBB le train de masses dont la tête est située au milieu du
%   train~AAAA, CCCC le train de masses partant de l'extrémité du stade
%   et qui se déplace en sens contraire du train~BBBB et à égale
%   vitesse.

%   On constate que:

%   1° La tête du train~BBBB atteint l'extrémité~E du stade en même
%   temps que la tête du train~CCCC atteint l'autre extrémité~D.

%   2° Quand le train~CCCC se trouve exactement à la hauteur du
%   train~BBBB, BBBB et CCCC ayant parcouru chacun la longueur d'un
%   train, le train~CCCC n'a parcouru que la moitié du train~AAAA; par
%   conséquent, le temps total est égal à la moitié du temps, car pour
%   chacun des trains en mouvement, le temps mis à passer devant une
%   masse du train~AAAA est égal.

%   3° Mais quand le train~BBBB est passé entièrement devant le
%   train~CCCC, la tête du train~BBBB et la tête du train~CCCC ont
%   atteint en même temps les extrémités du stade; et le temps mis
%   par~BBBB pour traverser le stade est égal au temps de~CCCC, puisque
%   les deux trains défilent devant le train AAAA à vitesse constante.

%   Tel est l'argument de Zénon, et il est faux pour les raisons que
%   nous avons dites. (\emph{Physique}~VI, \textsc{ix},
%   239\textit{b}33-240\textit{a}18 \cite[pages~288-289]{pr88B}.)
% \end{quotation}

% Tels qu'Aristote les présente, ces paradoxes semblent absurdes. Mais
% en fait Zénon remet en question notre mode de \emph{penser} le
% mouvement.  Voici la critique d'Aristote de ces quatre
% arguments. Est-elle recevable selon vous?

% \begin{quotation}
%   \noindent C'est pourquoi l'argument de Zénon admet une prémisse fausse: qu'il
%   n'est pas possible que les grandeurs illimitées soient chacune
%   parcourue ou touchée une par une par les grandeurs illimitées en un
%   temps limité. En effet, \emph{illimité}, rapporté à la longueur et
%   au temps, se dit en deux sens, de même que rapporté, plus
%   généralement, à tout ce qui est continu: car on peut considérer soit
%   l'infini selon la division, soit l'infini selon les
%   extrémités. Alors qu'il n'est pas possible qu'une chose entre en
%   contact dans un temps limité avec des grandeurs illimitées en
%   quantité, cela est possible si ces grandeurs sont illimitées en
%   division. En effet, du point de vue de la divisibilité, le temps
%   lui-même est illimité. Il en résulte que c'est dans un temps
%   illimité, et non pas dans un temps limité, que s'effectue le
%   parcours de l'illimité et que le contact avec les grandeurs
%   illimitées se fait par des grandeurs illimitées, et non pas par des
%   grandeurs limitées.  (\emph{Physique}~VI, \textsc{ii},
%   233\textit{a}21-31 \cite[page~287]{pr88B}.)
% \end{quotation}

\section{Comment rendre justice aux paradoxes.}
\label{sec:comm-rendre-compte}

Dans cette section, je présente quelques présupposés épistémologiques qui sont susceptibles de conditionner la lecture des fragments de Zénon proposée dans la section suivante. Ces présupposés se trouvent explicitement dans la \emph{Physique} d'Aristote et concernent la distinction
entre l’acte et la puissance, entre le nombre et la grandeur.

%Seuls quatre fragments des écrits de Zénon nous sont parvenus. 
Les quatre fragments originaux de Zénon sont pour nous des moyens d'accéder à l'univers de pensée des éléates. Je propose de les lire au premier degré et de les laisser parler pour eux-mêmes%, au lieu de tenter de construire ou de reconstruire un système de pensée à partir d'eux
. Nous en resterons ainsi à la première étape de la stratégie de Zénon: ébranler nos convictions et nous avertir sur le fonctionnement de notre entendement.

%Je voudrais aussi avertir que 
Ces fragments s'adressent au fondement d'une théorie de la matière et ne proposent pas une forme pour traiter d'un contenu. En référer à un modèle pour leur répliquer, comme à la théorie des séries infinies, de la mesure ou des nombres réels, c'est se boucher les oreilles et s'empêcher de les écouter.

En fait, les stratégies d'évitement des paradoxes de Zénon consistent à refuser le terrain de l'actuel pour se placer sur le terrain du potentiel, % Elles veulent constater que la finitude de notre entendement se retrouve dans la finitude du monde, 
c'est-à-dire que le monde n'est pas tel qu'il est, mais qu'il est en devenir. En particulier, la pensée potentielle peut atomiser le monde sans que cette atomisation aboutisse jamais.

Les philosophes et plus encore les mathématiciens ont vite fait d'insérer la pensée de Zénon plus ou moins grossièrement dans un contexte historique qui la désamorce. %Le cas le plus flagrant reste celui d'
Aristote, quant à lui, résout les paradoxes en soulevant que Zénon confond l'infini du continu --~un segment est infiniment divisible~-- et l'infini des nombres --~il y en a une infinité. Sa définition de l'infini comme un infini en puissance est au fondement de la pensée mathématique de l'infini.

Nous pensons l'infini comme l'abréviation d'un processus inachevé: prenons l'e\-xemple de la \emph{dichotomie}.
\begin{quotation}
  \noindent Le premier argument porte sur l'inexistence du \og se mouvoir\fg, compte tenu du fait que le mobile doit d'abord parvenir à la moitié avant d'atteindre le terme de son trajet\footnote{Aristote, \emph{Physique}, VI~\textsc{ix}~239\textit{b}11-13, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~287.} %, argument que nous avons déjà discuté auparavant.
  [\dots].\nocite{dumont88}
\end{quotation}
Nous pouvons penser soustraire d'une chose la moitié de cette chose, puis penser le reste après soustraction de cette moitié, c'est-à-dire l'autre moitié, qui lui est égale. %Nous pouvons le penser successivement, c'est-à-dire que 
Nous pouvons penser la répétition de cette opération. À chaque étape de la %succession,
répétition, nous pouvons penser la chose comme le tout formé de ces moitiés soustraites et du reste après ces soustractions, qui est égal à la dernière moitié soustraite. Mais que pense-t-on quand on prétend penser l'infinité de toutes ces étapes effectuée, c'est-à-dire la chose comme le tout formé de toutes ces moitiés soustraites, et le reste égal à rien?
\begin{itemize}
\item Dit-on seulement ce qu'on a dit juste auparavant, mais en ajoutant la précision que le reste devient arbitrairement petit?
\item Ou dit-on que la chose est vraiment un tout formé d'une infinité de moitiés soustraites?
\end{itemize}
En termes mathématiques, l'égalité suivante, pour tout nombre entier~$n$,
\[1-\frac12-\frac14-\frac18-\dots-\frac1{2^n}=\frac1{2^n}\]
donne lieu à la constatation que pour tout nombre entier~$k$, on a pour tout~$n$ suffisamment grand (il suffit de prendre $n>k$) l'inégalité suivante entre quantités positives: 
\[1-\frac12-\frac14-\frac18-\dots-\frac1{2^n}<\frac1{2^k}\text,\]
ce qu'on abrège et qu'on idéalise depuis les Grecs jusqu'à nos jours par
\[1=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\text.\]

Est-ce que cette égalité a un autre sens que celui d'une abréviation et d'une idéalisation? A-t-on réellement que l'unité est la somme de l'infinité des puissances successives de la moitié? que
\[
\frac1{2^\infty}=0\text{?}
\]
Qu'entend-on par \og réellement\fg?

Voici un autre exemple d'un processus inachevé dont la contrepartie en acte pose question. Nous pouvons penser une chose comme le tout formé de ses $n$ parties $n$ièmes. Mais que pense-t-on quand on prétend que le tout est formé de l'infinité de ses parties infiniment petites?

En termes mathématiques, l'égalité, pour tout~$n$,
\[1=\frac1n+\frac1n+\dots+\frac1n\text{ ($n$ termes)}\]
s'abrège dans le formalisme leibnizien du calcul infinitésimal, en substituant $dx$ à $\frac1n$, par 
\[1=\int_0^1 dx\]
(lire que le tout, l'intervalle [0,1], est l'union de ses portions infinitésimales et que le tout, 1,
est donc la somme des quantités infinitésimales dx lorsque x varie de 0 à 1). Est-ce que cette égalité a un autre sens que celui d'une abréviation? A-t-on réellement que l'unité est la somme de ses quantités infinitésimales?
Notons qu'on ne se permet pas d'abréviation de la forme
\[1=\frac1\infty+\frac1\infty+\cdots\text{ ($\infty$ termes).}\]

La plupart des comptes rendus consistent ainsi en une neutralisation des paradoxes, c'est-à-dire en l'établissement d'un cadre de pensée dans lequel la formulation des paradoxes se dissout en une vacuité conceptuelle.

On peut même voir l'histoire de la réception des paradoxes de Zénon comme l'histoire de propositions de systèmes qui se mettent à l'abri de ces paradoxes. Ainsi Alfred North Whitehead remarque-t-il que \og %No one has ever touched Zeno without refuting him, and every century thinks it worth wile to refute him
personne n'a jamais effleuré Zénon sans le réfuter, et chaque siècle pense qu'il vaut la peine de le réfuter\footnote{\emph{Symposium in honor of the seventieth birthday of Alfred North Whitehead}, Cambridge, Harvard university press, 1932.\nocite{whitehead32}}\fg{}. Dans ce sens, les paradoxes ont pour objet une limitation de notre entendement à penser les formes de l'espace et du temps.

Du point de vue logique, on aboutit à la conclusion que le système est incompatible avec les paradoxes. Aboutir à cette conclusion est un but légitime pour qui veut se débarrasser des paradoxes pour lui-même ou pour le compte de la théorie qu'il a choisi de défendre.

Mais si on veut rendre justice aux paradoxes, il faut chercher la clé dans le cadre de la pensée de Zénon lui-même. Je propose de lire les paradoxes en amont de toute théorie mathématique et de regarder comment ils conditionnent la mise en place de théories mathématiques. Il faut donc oublier la géométrie euclidienne, suspendre la sommation des séries géométriques, et constater que le texte des paradoxes eux-mêmes ne pose pour seules hypothèses que celles de notre entendement, de notre raison.

Un test qui me parait très utile est de vérifier si nous nous efforçons de penser les paradoxes comme des descriptions de ce qui est et si nous ne les confrontons pas à une image théorique que nous nous sommes faite de ce qui est. Les avertissements suivants par rapport à certaines
théories mathématiques illustrent cet écueil.
\begin{itemize}
\item %Un intervalle fermé~$[a,b]$ n'est pas la réunion d'un intervalle fermé~$[a,c]$ et d'
Un intervalle ouvert à gauche~$\mathopen]a,b]$, %parce que ce qu'on veut appeler l'intervalle~$\mathopen]c,b]$, 
s'il est réellement une chose étante, doit contenir un plus petit élément~$a'$ plus grand que~\(a\) et est donc un intervalle fermé~$[a',b]$. Mais alors comment rendre compte de ce qui sépare $a$~et~$a'$? Voir le début de la section~\ref{sec:les-math-des}.
\item Les nombres réels comme contrepartie mathématique des grandeurs ne sont pas des choses étantes. Un intervalle n'est pas l'ensemble de ses points. Les points géométriques ne sont pas des choses étantes, et même les lignes et les surfaces géométriques n'en sont pas; elles peuvent être pensées comme des limites de choses étantes. Seuls les corps géométriques peuvent prétendre être. Voir la section~\ref{sec:atome}.
\end{itemize}

J'ai donc mis à profit les travaux des philologues pour proposer une traduction plus neutre des fragments qui permet de réfléchir au sens qu'on peut leur donner. J'avertis que le mot grec ἄπειρος, qu'on traduit soit par \og infini\fg{} soit par \og illimité\fg{}, veut littéralement dire \og sans fin\fg{} ou \og sans limite\fg{}; on pourrait le traduire par \og non borné\fg{} pour ne pas conditionner la lecture par une des deux traductions traditionnelles.

Le but de cet article sera atteint s'il permet à ses lecteurs de lire ou de relire les fragments qui suivent d'une manière vivante et ouverte.

\section{Les trois fragments sur la question de la multiplicité.}
\label{sec:le-texte}

 
Je présente ces fragments dans l'ordre dans lequel Simplicius de Cilicie (490-560) en a rendu compte dans ses \emph{Commentaires sur la Physique d'Aristote}, un millénaire après qu'ils ont été composés par Zénon. On ne sait rien de la transmission de ces fragments jusqu'à Simplicius et ils présentent jusqu'à aujourd'hui de grands problèmes philologiques;
%posés par les textes qui nous proviennent du haut Moyen Âge; de plus, 
comment comparer le besoin d'authenticité %, ainsi que son besoin, 
entre la fin de l'Antiquité et aujourd'hui?

La traduction que je propose est issue de la comparaison de
traductions existantes \citep{za50,fr55b,un62,vlastos95,ca82,dumont88,simplicius11}.

\begin{quotation}
  \noindent \hfil Fragment~B~2\nopagebreak\smallskip

  Si [un étant qui n'a ni grandeur ni épaisseur ni
  masse]
%\footnote{Les crochets contiennent des ajouts au texte pour la clarté ou l'équilibre de la phrase.} 
était ajouté à un autre
  étant, il ne le rendrait en rien plus grand. Car si un étant sans
  grandeur est ajouté à un autre, il n'est pas possible que celui-ci
  gagne en grandeur. Et déjà il s'ensuit que l'ajout égale rien. Puis,
  si la soustraction de quelque chose n'a pas pour effet de rendre
  l'autre chose plus petite, et que son ajout n'a pas pour effet de la
  rendre plus grande, il est clair que l'ajouté comme le retranché
  égalent rien.
\end{quotation}

\begin{quotation}
  \noindent \hfil Fragment~B~3\nopagebreak\smallskip

  Si les étants sont multiples, il est nécessaire que les étants
  soient juste autant qu'ils sont% réellement
  , c'est-à-dire ni plus ni
  moins. Mais si les étants sont juste autant qu'ils sont, ils
  devraient être limités.

  Si les étants sont multiples, les étants sont illimités: en effet,
  il y a toujours d'autres étants entre les étants, et à nouveau entre
  ceux-là d'autres encore.  Et ainsi les étants seront illimités.
\end{quotation}


\begin{quotation}
  \noindent \hfil Fragment~B~1\nopagebreak\smallskip

  Si l'étant n'avait pas de grandeur, il ne saurait même pas être.

  Mais s'il est, il est nécessaire que chaque étant ait quelque
  grandeur et quelque épaisseur et que l'un se distingue de
  l'autre. Même raisonnement pour l'étant qui surgit. Celui-ci aura
  aussi une grandeur et une autre partie de lui surgira. Or le dire une fois
  revient à le dire sans cesse. Car aucun de ceux-ci ne sera l'ultime,
  ni l'un ne sera sans relation avec un autre. Donc, si les étants sont
  multiples, il est nécessaire qu'ils soient à la fois petits et
  grands, petits au point de ne pas avoir de grandeur et grands au
  point d'être illimités.
\end{quotation}

\section{Le nombre dans les paradoxes.}
\label{sec:les-math-des}

Zénon nous défie de penser la multiplicité. Qu'est-ce que cela veut dire
d'avoir plusieurs choses devant nous? Comment pouvons-nous arriver au
jugement que les étants sont multiples? Nous devons les imaginer
devant nous comme des lentilles dans une amphore et pouvoir les saisir dans
leur multiplicité en acte, c'est-à-dire d'un coup, dans leur présence. 

%Zénon nous accorde la possibilité de connaitre en acte et cela précise la signification de la condition d'appréhension de la multiplicité: il faut pouvoir embrasser les étants dans la pensée, de sorte qu'il n'en reste pas à ajouter et qu'on n'en ait pas compté de trop. Il faut donc pouvoir les compter et le mot limité ici veut dire limité en nombre.

Le premier paragraphe du fragment~B~3 nous rappelle que ce qui est, est en acte et non pas en puissance: il nous invite à embrasser les étants dans la pensée, de
sorte qu'il n'en reste pas à ajouter et qu'on n'en ait pas compté de
trop%concevoir les étants d'un coup, dans leur présence
. Alors les étants sont en nombre fini. Dire qu'il y en a plus qu'il n'y en a n'a pas de sens. Notons que l'hypothèse de la multiplicité n'a pas été utilisée.

En termes mathématiques, Zénon constate que c'est dans la nature du nombre d'être fini. Lorsqu'il exprime que \og si les étants sont multiples, il est nécessaire que les étants soient juste autant qu'ils sont réellement, c'est-à-dire ni plus ni moins\fg, il rappelle dans quelles circonstances un dénombrement fait sens: il faut que les étants à dénombrer soient discernables et donnés avant que l'opération de dénombrement ne commence. Par exemple, une amphore de lentilles contiendra autant de lentilles qu'il y en a, ni plus ni moins.

Le deuxième paragraphe du fragment~B~3 considère l'opération de la pensée qui consiste à distinguer, entre deux étants, un autre étant: \og il y a [\dots] d'autres étants entre les étants\fg. Reportons l'étude de la dimension spatiale de cette opération à la section~\ref{sec:la-topologie-de} et concentrons-nous ici sur le fait qu'une opération a été conçue, ainsi que sa répétition.

Il s'agit ici d'une constatation que je rattache au nombre: chaque nombre a un successeur, et l'opération qui fait passer d'un nombre à son successeur est la version abstraite de toute opération qui peut être répétée. Lorsqu'il mentionne cette opération, Zénon désigne expressément cette répétibilité:
\begin{itemize}
\item \og en effet, il y a toujours d'autres étants entre les étants, et à nouveau entre ceux-là d'autres encore\fg\ (fragment~B~3);
\item \og or le dire une fois revient à le dire sans cesse\fg\ (fragment~B~1).
\end{itemize}
Surtout cette deuxième assertion peut être considérée comme l’essence du principe de récurrence: l'opération qu'on a faite une fois peut être faite sans cesse. Mais notons déjà que cette opération est dite et non faite, c'est-à-dire que c'est une opération que l'esprit conçoit alors que le \og il est\fg\ reste égal à lui-même: il y a une rupture entre la pensée et les étants.

Citons à ce propos un passage célèbre de Poincaré.
\begin{quotation}
  On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que la règle du
raisonnement par récurrence est irréductible au principe de
contradiction.

Cette règle ne peut non plus nous venir de l'expérience; ce que
l'expérience pourrait nous apprendre, c'est que la règle est vraie
pour les 10, pour les 100 premiers nombres, par exemple; elle ne
peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une
portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite.

Or, s'il ne s'agissait que de cela, le principe de contradiction
suffirait; il nous permettrait toujours de développer autant de
syllogismes que nous voudrions; c'est seulement quand il s'agit d'en
enfermer une infinité dans une seule formule, c'est seulement devant
l'infini que ce principe échoue; c'est également là que l'expérience
devient impuissante.  Cette règle, inaccessible à la démonstration
analytique et à l'expérience, est le véritable type du jugement syn%
thétique à priori. On ne saurait d'autre part songer à y voir une con%
vention, comme pour quelques-uns des postulats de la géométrie.

Pourquoi donc ce jugement s'impose-t-il à nous avec une irrésis%
tible évidence?  C'est qu'il n'est que l'affirmation de la puissance de
l'esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d'un
même acte dès que cet acte est une fois possible. L'esprit a de cette
puissance une intuition directe et l'expérience ne peut être pour lui
qu'une occasion de s'en servir et par là d'en prendre conscience\footnote{Henri Poincaré, Sur la nature du raisonnement math{\'e}matique, \emph{Revue de m{\'e}taphysique et de morale}~2, 1894, pages~381-382.}.\nocite{poincare94}
\end{quotation}

%On peut rapprocher ces réflexions de l'étude d'un passage du \emph{Parménide} de Platon par Fabio \citet{acerbi00} qui décrit un raisonnement par récurrence en bonne et due forme. 
La nécessité d'expliciter les articulations d'un raisonnement mathématique comme la récurrence provient de ce que ce dont on traite n'est pas accessible à la sensibilité: il s'agit d'une réflexion suggérée par l'objet de l'étude, les choses étantes.

Je constate à ce niveau le contenu mathématique suivant des paradoxes de Zénon sur la multiplicité.
\begin{itemize}
\item Si un étant ou une multiplicité d'étants admet une opération qui fait augmenter le nombre d'étants, on est en contradiction avec l'assertion que les étants sont juste autant qu'ils sont. En d'autres mots, on ne peut pas penser ce qui est donné comme consubstantiel à une opération qui l'augmente, qui l'altère.
\item La pensée d'une opération qui peut être répétée n'a pas de borne et cette répétition s'étend aussitôt en une succession illimitée de ces opérations. Cela fait apparaitre au grand jour la rupture entre la pensée en puissance et les étants en acte.
\end{itemize}


\section{La grandeur dans les paradoxes.}
\label{sec:atome}

Le premier paragraphe du fragment~B~1 rappelle qu'un étant participe à l'être seulement dans la mesure où il participe à la grandeur. Il s'agit d'expliquer l'étendue, l'extension, la grandeur des choses étantes.

Le fragment~B~2 cherche à penser un étant sans grandeur ni épaisseur ni
masse. C'est un étant hypothétique qui aurait les propriétés du point
géométrique. Or la grandeur, l'épaisseur, la masse sont des propriétés
communes aux objets que nous percevons. Zénon demande quelle serait la contribution d'un étant sans grandeur à un étant qui a quelque grandeur: % et se convainc qu'il n'y en a pas. 
ajouté ou enlevé, un étant sans grandeur ne pourrait altérer
l'autre parce qu'il ne peut pas contribuer à sa grandeur; il est donc littéralement rien.

La conclusion de ce raisonnement pose de grandes difficultés. Elles sont très bien décrites par Aristote.
\begin{quotation}
  Admettons que [ce corps] soit divisé. Que sera le reste? une grandeur? Impossible, car il y aurait quelque chose de non divisé alors que le corps était totalement divisible. Or, si le reste ne consiste ni en un corps ni en une grandeur, et que pour autant la division existe, ou bien le corps sera formé de points, et ses constituants seront des éléments dépourvus de grandeur, ou bien ce ne sera rien du tout; ce qui reviendrait à dire qu'il aurait été engendré et se trouverait composé à partir du néant, et que le tout ne serait rien d'autre qu'un fantôme phénoménal\footnote{Aristote, \emph{De la génération et de la corruption}, I, \textsc{ii}, 316~\emph{a}~13, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~773.}.
\end{quotation}
On peut même se demander si Zénon ne se fait pas l'avocat d'une analyse logique pure qui mène à l'impossibilité de toute image qu'on serait tenté de se faire: il propose un raisonnement limpide qui s'applique à toute image potentielle d'un corps divisible et l'abolit. Je vais néanmoins essayer de décrire de telles images spatiales sur la base du texte de Zénon.

La première image qu'on voudrait pouvoir se faire est celle d'un étant sans grandeur. Lorsqu'on casse une mine de tungstène, la pointe en est un unique atome de tungstène: c'est un étant très petit, et pourtant sa taille limite la résolution des microscopes à effet tunnel: il a une certaine grandeur, de l'ordre de l'ångström ($10^{-10}$~m). Une autre image pourrait être celle de la particule élémentaire, dont je peux seulement constater que la question de son extension spatiale me laisse perplexe.

Les mathématiciens proposent des objets mathématiques qui n'ont \og ni grandeur ni épaisseur ni masse\fg: les surfaces, les lignes, les points. Il s'agit de concepts qui sont l'idéalisation de limites de solides, de limites de surfaces, de limites de lignes. Le fragment~B~2 montre que même si notre entendement use de ces idéalisations avec une grande facilité, elles ne participent certainement pas aux étants: elles n'ont pas de grandeur et si on les retranche en pensée à un étant, on retranche littéralement rien.

La théorie mathématique actuelle qui cherche à répondre à ces questions est la théorie de la mesure. Pour elle aussi, un ensemble a une grandeur seulement si ses constituants en ont une. On peut chercher à constituer un objet à partir de très petits objets, comme des tranches, mais penser ces tranches comme des plans comme le fait la méthode des indivisibles de Cavalieri est une idéalisation qui n'a pas lieu en acte.

\section{Vérité et opinion chez Parménide.}
\label{sec:la-philosophie-des}

Le témoignage d'Aristote dans la \emph{Métaphysique} que \og c'est donc à bon droit que celui qui, le premier, trouva un art quelconque, dégagé des sensations communes, excita l'admiration des hommes\footnote{Aristote, \emph{Métaphysique}, 981\emph{b}13-15, voir Jules Tricot, 1953, page~8.}\fg\nocite{ar86} nous pousse à rechercher l'origine des mathématiques grecques dans des préoccupations métaphysiques et en particulier à voir un lien entre la méfiance vis-à-vis des sensations et le projet de théories déductives.

Les historiens de la philosophie font remonter ces préoccupations au
poème de Parménide, né à Élée à la fin du 6\ieme\ siècle avant notre
ère. Ce poème est considéré comme l'œuvre inaugurale de la métaphysique. Il
raconte une initiation. 

% \subsection{Le discours de la déesse}
% \label{sec:le-discours-de}

Après un long voyage qu'il décrit minutieusement, Parménide rencontre
la déesse.
\begin{quotation}%\parindent0pt\obeylines%
% La déesse, avec bienveillance, me reçut.
% Elle prit ma main droite en sa main et me dit:
\og Jeune homme, toi qui viens ici, accompagné

De cochers immortels, portés par des cavales,
% Salut! Car ce n'est point une Moire ennemie,
% Qui t'a poussé sur cette voie (hors des sentiers
% Qu'on voit communément les hommes emprunter),
% Mais Thémis et Dikè.

Salut! [\dots] Apprends donc toutes choses,

Et aussi bien le cœur exempt de tremblement

Propre à la vérité bellement circulaire,                        

Que les opinions des mortels, dans lesquelles

Il n'est rien qui soit vrai ni digne de crédit;

Mais cependant aussi j'aurai soin de t'apprendre

Comment il conviendrait que soient, quant à leur être,

En toute vraisemblance, lesdites opinions, 

Qui toutes vont passant toujours\footnote{Parménide, fragment~B~1~28-32, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~256.}.
\end{quotation}
% Les Moires sont les divinités du destin. Thémis et Dikè sont
% respectivement les déesses de la justice divine et humaine, mais il faut les voir ici comme représentations de la
% \og nécessité par nature\fg, c'est-à-dire que Parménide a accédé à un état
% et à des forces qui lui permettent d'emprunter la voie de la
% connaissance (voir \cite[partie~\textsc{iii}]{fr55}). 

La vérité se dit ἀλήθεια %(al\=etheia)
en grec et signifie
\og dévoilement\fg\ au sens propre; l'opinion se dit δόξα%(doxa)
, mot qui a donné le suffixe \og -doxe\fg\ en français. La déesse oppose donc
l'une à l'autre: l'une est \og exempte de tremblement\fg, les autres \og vont
passant toujours\fg.  L'opinion se base sur les sensations et
l'apparence; pour accéder à la vérité, à ce qui est (dans un sens
absolu), il faut chercher à le penser. La déesse propose de les enseigner
toutes les deux, mais les quatre derniers vers sont surprenants: les
opinions peuvent être vraisemblables et l'homme peut les organiser de
manière à les rendre probables; la déesse lui enseignera aussi la
manière dont les opinions peuvent prendre cette forme convenable. Cela
reste une nécessité pour l'homme qui, même si on lui a dévoilé la
vérité, continuera à user de ses cinq sens et voudra donner de la
vraisemblance à ses sensations.

D'un autre côté, les opinions peuvent seulement prétendre à la vraisemblance et elles sont changeantes.

% \subsection{Le \og il est\fg}
% \label{sec:le-il-est}


La déesse présente ainsi la
vérité dévoilée.
\begin{quotation}%\parindent0pt\obeylines%
Mais il ne reste plus à présent qu'une voie

Dont on puisse parler: c'est celle du \og il est\footnote{Parménide, fragment~B~8~1-2, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~261.}\fg.
\end{quotation}

Guido Calogero propose d'accéder à la leçon de Parménide par une
analyse logique des assertions: \og [la pensée] ne peut s'effectuer sans
prendre corps dans une affirmation, dont le verbe être est le
constituant essentiel, parce qu'il est la forme commune et universelle
de toute qualification ou prédicat possible, qui ne peut être pensé
sans celle-ci, alors que celle-ci peut réciproquement être pensée pour
elle-même et sans aucun ajout\footnote{Guido Calogero, \emph{Studi sull'eleatismo}, Florence, La nuova Italia, 1977, pages~8-9, ma traduction.}\nocite{ca77}\fg.  Je suis pour
ma part la voie de Parménide en concentrant ma pensée sur le fait même
d'être en faisant abstraction des étants. 

Reportons l'étude de la voie du \og il est\fg\ à la section suivante et lisons comment la déesse introduit aux opinions des mortels.

% Puis Parménide semble énoncer l'identité du penser et de l'être.
% \begin{quotation}\obeylines\indent%
% Or le penser est identique à ce en vue\parindent0pt
% De quoi une pensée singulière se forme.
% On chercherait en vain le penser sans son être,
% En qui il est un être à l'état proféré.
% Car rien d'autre jamais et n'est et ne sera
% À l'exception de l'être, en vertu du décret
% Dicté par le Destin de toujours demeurer
% Immobile en son tout. C'est pourquoi ne sera
% Qu'entité nominale \textlangle et pur jeu de langage\textrangle
% Tout ce que les mortels, croyant que c'était vrai,
% Ont d'un nom désigné: tel naitre ou bien périr,
% Être et puis n'être pas, changer de position,
% Et changer d'apparence au gré de la couleur. (B~8~34-41 \cite[pages~262-263]{pr88B}.)
% \end{quotation}
% Pour Hermann Fränkel, ce passage exprime plutôt que \og le penser aussi,
% libéré de ses scories, n'est rien d'autre qu'être conscient\fg\ et que
% \og connaitre est identique à la connaissance du ``il est''\fg; \og au lieu
% de la confrontation entre sujet et objet subsiste une conscience
% uniforme de l'être de lui-même\fg\ \cite[page~195]{fr55}.

% Pour rendre ce texte moins fantastique, je propose deux approches.
% \begin{itemize}
% \item Essayez vous-même de penser ce que c'est que l'être et étudiez,
%   l'un après l'autre, les arguments du poème et demandez-vous s'ils
%   sont vrais. Par exemple, Parménide apprend que l'être ne provient
%   pas du non-être: imaginez qu'il n'y ait rien et demandez-vous pour
%   quelle raison quelque chose aurait commencé spontanément à être.
% \end{itemize}

% \subsection{L'opinion des mortels}
% \label{sec:lopinion-des-mortels}


\begin{quotation}%\obeylines
\indent Mais ici je mets fin au discours assuré%\parindent0pt

Ainsi qu'à la pensée visant la vérité.

Désormais apprends donc l'opinion des mortels

En ouvrant ton oreille à l'ordre harmonieux

Du discours composé pour ton enchantement\footnote{Parménide, fragment~B~8~50-52, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~263.}.
% Ils ont, par convention, en effet assigné
% À deux formes des noms; mais des deux cependant
% Un n'en est pas digne ---~et c'est bien en cela
% Qu'ils se sont fourvoyés. Car ils ont estimé
% Contraires leurs aspects, et leur ont assigné
% Des signes qui fondaient leur distinction mutuelle.
% Des deux, l'une est le feu éthéré de la flamme,
% C'est le feu caressant et c'est le feu subtil,
% Identique à lui-même en toutes directions,
% Mais qui à l'autre forme identique n'est pas;
% L'autre par son essence à l'exact opposé,
% C'est la nuit sans clarté, dense et lourde d'aspect.
% Voici, tel qu'il nous semble en sa totalité,
% Le système du monde et son arrangement
% Que je vais te décrire, afin que nul mortel
% N'en sache plus que toi. 
\end{quotation}
Comme promis, la déesse enseigne à présent l'opinion, le monde des
sensations. L'opposition par Parménide de la vérité aux opinions
continue à enflammer les philologues et les philosophes. % On comprend
% qu'il condamne l'idée que l'être se décrive avec l'aide du non-être,
% ou que ce qui est soit un mélange d'être et de non-être. Or, aux vers
% 31-32 du premier fragment, il soutient que les opinions puissent être
% formées \og en toute vraisemblance\fg. Les opinions ont donc leur place
% dans le discours de Parménide. 
Ce n'est pas un discours de vérité,
mais ce discours est nécessaire pour rendre compte de la nature, des
sensations, du temps. 

Mario Untersteiner % note d'ailleurs que le
% jour/feu et la nuit sans clarté sont deux formes du temps; il 
soutient
que le discours de l'opinion qui suit le fragment~B~8 n'est
pas l'objet de la condamnation de Parménide: être et opinion sont sur
une même voie qui mène l'être à la vérité et l'opinion à la
vraisemblance. La vérité est définitive; la vraisemblance en revanche
est un chemin pour toujours inachevé.

Il replace les fragments de Zénon dans le contexte de
la pensée de Parménide. Selon lui, les paradoxes s'appliquent à la
δόξα (l'opinion) et non à l'ἀλήθεια (la vérité dévoilée): les opinions ne se décrivent pas rationnellement à l'aide de la multiplicité\footnote{Mario Untersteiner, \emph{Zenone. Testimonianze e frammenti}, Florence, La nuova Italia, 1962, pages~186-187.}\nocite{un62}.

\section{La description du \og il est\fg\ chez Parménide.}
\label{sec:la-physique-des}

%La deuxième image qu'on veut se faire est celle d'un étant tout court. C'est peut-être le bon moment pour citer quelques extraits du poème de Parménide.

% Je cite de longs passages du poème pour leur donner une cohérence interne. 
% Dans ce poème, la déesse indique la voie de la vérité: c'est celle du \og il est\fg.
%, c'est-à-dire de l'être en soi (et non des étants) paraitra fantastique. 

Pour parler de la voie du \og il est\fg, la déesse en fournit une description à laquelle nous accédons par notre intuition de l'espace.
\begin{quotation}%\parindent0pt\obeylines%
Sur cette voie il est de fort nombreux repères,

Indiquant qu'échappant à la génération,

Il est en même temps exempt de destruction:

Car il est justement formé tout d'une pièce,

Exempt de tremblement et dépourvu de fin.

Et jamais il ne fut, et jamais ne sera,

Puisque au présent il est, tout entier à la fois,

Un et un continu. Car comment pourrait-on

Origine quelconque assigner au \og il est\fg?

Comment s'accroitrait-il et d'où s'accroitrait-il\footnote{Parménide, fragment~B~8~2-7, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~261.}?
% Je t'interdis de dire ou même de penser
% Que le \og il est\fg\ pourrait provenir du non-être,
% Car on ne peut pas dire ou penser qu'il n'est pas.
% Quelle nécessité l'aurait poussé à être
% Ou plus tard ou plus tôt, si c'était le néant
% Qu'il avait pour principe? Aussi faut-il admettre
% Qu'il est absolument, ou qu'il n'est pas du tout.
% Jamais non plus la force attachée au discours
% Ne pourra concéder que du néant procède
% Un être susceptible à lui de s'ajouter;
% Aussi Dikè lui a, l'enserrant dans ses liens,
% De naitre ou de périr ôté toute licence:
% En fait elle le tient. 
% L'arrêt en la matière
% Stipule simplement: il est ou il n'est pas.
% Il est donc notifié, de par nécessité,
% Qu'il faut abandonner la voie de l'impensé,
% Que l'on ne peut nommer (car celle-ci n'est pas
% La voie qui conduirait jusqu'à la vérité),
% Et tenir l'autre voie pour la voie authentique,
% Réelle et existante. Et comment aussi l'être
% Pourrait-il donc périr? Comment pourrait-il naitre?
% S'il est né en effet, c'est qu'alors il n'est pas,
% Et s'il n'est pas non plus, s'il lui faut être un jour:
% Son naitre s'évanouit, et sa disparition
% Apparait impossible.
\end{quotation}
On accède au \og il est\fg\ par une méditation et celle-ci a lieu dans une étendue qui permet au \og il est\fg\ d'être pensé comme \og un et un continu\fg. %Mais dans ce passage, l'accent est mis sur son rapport au temps et sur l'impossibilité de penser le changement.
Nous nous concentrerons sur le passage suivant qui étudie %son rapport à l'espace.
sa topologie.

\begin{quotation}%\parindent0pt\obeylines%
\leavevmode\hphantom{Apparait impossible. }Et il n'est pas non plus

Divisible en effet, puisqu'il est en entier,

Sans avoir çà ou là quelconque chose en plus

Qui pourrait s'opposer à sa cohésion,

Ou quelque chose en moins. Il est tout rempli d'être.

Aussi est-il tout continu. En effet, l'être

Embrasse au plus près l'être\footnote{Parménide, fragment~B~8~22-25, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~262.}. 
\end{quotation}
Reprenons les termes qui décrivent le \og il est\fg\ dans son extension. Il
est \og tout rempli d'être\fg, \og tout entier à la fois\fg, \og tout continu\fg,
\og formé tout d'une pièce\fg, rien ne \og pourrait s'opposer à sa
cohésion\fg. Il n'est \og pas non plus divisible\fg. Ernst Cassirer constate qu'\og en vertu de cette conclusion, le concept mathématique de l'espace
``vide'', tel qu'il a été pensé par les pythagoriciens comme
``écartement'' (διάστημα) entre les corps, est dévalué ontologiquement et aboli\footnote{Ernst Cassirer, \emph{Die Philosophie der Griechen von den Anf\"angen bis Platon}, Berlin, Ullstein, 1925, page~42, ma traduction.}\fg\nocite{ca25}.
\begin{quotation}%\parindent0pt\obeylines%
% \leavevmode\hphantom{Embrasse au plus près l'être. }Or il est immobile,
% Pris dans les limites de formidables liens;
% Il est sans commencement et il est sans fin,
% Car la génération comme la destruction
% Ont été écartées loin de lui, et la foi
% Véridique les a, elle aussi, rejetées.
% Identique à lui-même en lui-même il repose,
% Il est là en lui-même immobile en son lieu;
Car la Nécessité puissante le retient

Dans les liens l'enchainant à sa propre limite;

C'est pourquoi la sentence a été décrétée

Que l'être ne saurait se dispenser de fin. 

Il ne manque de rien, en effet% À rebours,
\footnote{Parménide, fragment~B~8~30-33, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~262.}.
% En n'étant pas, de tout il serait dépourvu. 
\end{quotation}

\begin{quotation}%\obeylines
\indent Mais puisque existe aussi une limite extrême,%\parindent0pt

Il est de toutes parts borné et achevé\footnote{Parménide, fragment~B~8~42-43, voir Jean-Paul Dumont, 1988, page~262.} [\dots]

%Et gonflé à l'instar d'une balle bien ronde,

%Du centre vers les bords en parfait équilibre. 
% Car aussi bien en plus et aussi bien en moins,
% Aucune variation ici ou là n'existe.
% Car il n'est nul non-être à même d'empêcher
% Qu'il atteigne partout son parfait équilibre,
% Ni être qui en lui soit en plus ou en moins,
% Étant donné qu'il est tout entier inviolable.
\end{quotation}

% \begin{quotation}\obeylines\indent%
% En toutes directions il s'égale à lui-même,
% Et de même façon il touche à ses limites.  (B~8~42-49 \cite[page~261]{pr88B}.)
% \end{quotation}
% Nous verrons dans la partie sur Philolaos combien les limites et le caractère borné sont des propriétés essentielles pour pouvoir accéder à la connaissance. 
% Soulignons en tout cas que Parménide crée et utilise des concepts mathématiques pour décrire l'être. 

%Paula Philippson associe cette description à la mythologie grecque de l'océan: \og [Okeanos], genèse de toute chose et de tout phénomène qu'il renferme, n'a dans son circuit fermé ni début ni fin. [\dots{}] Son flux égal et calme, qui le fait apparaitre partout identique à lui-même dans toute son extension, le flux s'accomplissant en lui-même du Ὠκεανοῖο τελήεντος ποταμοῖο [Océan fleuve parfait] (Hésiode, \emph{Théogonie}~959) entre limites (πείρατα) qu'Océan-même constitue comme sa forme circulaire et qui pourtant l'attachent lui-même à son lieu\fg\ \citep[pages~175-176, citée par \citealt{un58}]{ph44}

% \begin{itemize}
% \item Osez l'anachronisme qui consiste à penser l'espace-temps,
%   c'est-à-dire les quatre dimensions d'Albert Einstein. On se rend
%   compte alors que nombre de propriétés de l'être parménidien
%   mélangent l'espace et le temps.
% \end{itemize}

%En quoi ce texte est-il métaphysique, et en quoi a-t-il un rapport aux mathématiques? Parménide apprend de la déesse que pour accéder à la vérité, il faut laisser de côté les sensations, les apparences, les opinions et chercher à \emph{penser} l'être. 
La première leçon de cette expérience est que le néant, le non-être ne peut pas être pensé: il n'est donc pas. Donc l'être est formé d'un seul tenant. % Essayons de classer les propriétés de l'être selon qu'elles concernent
% \begin{itemize}
% \item l'espace:
%   \begin{itemize}
%   \item \og formé tout d'une pièce\fg,
%   \item \og dépourvu de fin\fg,
%   \item \og tout entier à la fois\fg,
%   \item \og pas non plus divisible\fg,
%   \item \og cohésion\fg,
%   \item \og tout rempli d'être\fg,
%   \item \og tout continu\fg,
%   \item \og ne saurait se dispenser de fin\fg,
%   \item \og existe une limite extrême\fg,
%   \item \og de toutes parts borné et achevé\fg,
%   \item \og gonflé à l'instar d'une balle bien ronde\fg,
%   \item \og du centre vers les bords en parfait équilibre\fg
%   \end{itemize}
% \end{itemize}
%
De même,
\begin{itemize}
\item il échappe à la génération et à la destruction; il est immobile;
%\item il est fait d'un seul tenant;
\item il est exempt de tremblement, un continu indivisible, gonflé à l'instar d'une balle bien ronde;
\item il est sans commencement et sans fin;
\item il est de toutes parts borné et achevé avec une limite extrême.
\end{itemize}


Le \og il est\fg\ fait ainsi émerger %la notion de lieu mathématique 
des concepts topologiques: %et les qualificatifs choisis évoquent les grandes questions de la topologie: 
les oppositions continu\slash discret, à
bord\slash sans bord, limité\slash illimité, connexe\slash formé de plusieurs parties. %La pensée de ce qui est devient une modélisation du réel.

\section{La description de la multiplicité chez Zénon.}
\label{sec:la-topologie-de}

Dans le deuxième paragraphe du fragment~B~3, on cherche à concevoir qu'il y a au moins deux étants. Comment va-t-on les concevoir? Nous dirions aujourd'hui qu'on les conçoit spatialement, selon leur extension. Mais alors cela veut dire que nous les concevons séparés, que l'un est ici, et l'autre là. %une séparation se situe entre les étants. Cette séparation sera 
Cet écartement correspond à un troisième étant et nous sommes ainsi obligés de penser un étant supplémentaire.

Voici comment Hermann \citet{fr55b} analyse ce fragment.
\begin{quotation}
  Selon Zeller [\emph{La philosophie des Grecs considérée dans son développement historique}, volume~2, page~75] et d'autres, Zénon veut dire: deux choses ne pourraient être deux que si l'une est séparée de l'autre, et s'il faut qu'elles soient séparées, quelque troisième chose doit se trouver entre elles. Autant que je voie, il n'y a pas de support pour une telle explication et elle ne parait pas probable non plus. Nulle part les éléates nient que deux choses, s'il y avait multiplicité, ne pourraient être en contact. Et si Zénon parle de multiplicité, il inclut toujours la divisibilité; mais par divisibilité il n'entend pas seulement la séparabilité physique, mais aussi la possibilité d'une distinction mentale entre parties ou domaines à l'intérieur de l'objet d'un seul tenant. Il n'y a donc littéralement pas d'espace pour l'insertion d'un diaphragme physique qui tiendrait séparés deux domaines limitrophes; et il n'existe à fortiori pas de raison logique de postuler qu'une troisième chose s'interpose quand il faut en différencier deux. \emph{Res rem finire videtur [l'objet limite l'objet% les corps sont limités par les corps
    ]} (Lucrèce [De la nature] I~998).

  Pour expliquer la deuxième partie du fragment, il ne reste donc que l'autre alternative, c'est-à-dire d'opérer avec des choses (ou des parties) de grandeur indéfinie. Si nous attribuons à quelque unité multiplicité, c.-à-d.\ divisibilité, une certaine partie de celle-ci est ici et une autre là. Mais même si l'ici et le là sont très proches l'un de l'autre, nous sommes libres de poser le quelque chose ici et le quelque chose là si petits qu'on peut encore coincer un troisième entre les deux. Cette opération peut être répétée un nombre quelconque de fois sans qu'une limite soit jamais atteinte. Car la prémisse de la multiplicité et de la divisibilité (mentale) ne permet pas l'hypothèse d'une ultime unité indivisible, et une logique stricte n'autorise pas une transition progressive du très petit vers le sans extension. Car c'est le point essentiel de beaucoup d'arguments de Zénon, que l'absence de grandeur doit être strictement différenciée de toute grandeur, aussi petite soit-elle\footnote{Hermann Fränkel, \emph{Zenon von Elea im Kampf gegen die Idee der Vielheit}, dans \emph{Wege und Formen fr\"uhgriechischen Denkens}, Munich, C. H. Beck, 1955, pages~201-202, ma traduction.}.\nocite{fr55b}
\end{quotation}

Le deuxième paragraphe du fragment~B~3 approfondit la pensée de la multiplicité. On peut aussi l'interpréter ainsi: à partir du moment où on pense que l'être est divisé en étants, cette divisibilité de l'être s'appliquera de manière homogène à chaque étant. Donc la pensée de la divisibilité désintègre immédiatement l'être en une infinité d'étants!

Les fragments décrivent donc deux mouvements d'analyse de l'étant: des parties données vers le tout et du tout vers ses parties. Ils démontrent que chacun de ces mouvements d'analyse est infini.

% Il faut pouvoir penser les étants comme des entités séparées. Or
%   penser des entités séparées nous amène à penser l'espace qui les
%   sépare et leur bord. Cet espace est un étant, qui est encore
%   séparé des étants qu'il sépare. Penser le multiple amène donc à
%   penser toujours davantage d'étants qu'on ne croyait: on en aura
%   toujours oublié.

Le deuxième paragraphe du fragment~B~1 est lui aussi sujet à deux interprétations contradictoires qui mènent à deux traductions différentes.
\begin{itemize}
\item Les étants se distinguent et on peut penser ce qui est
  à côté d'un étant. Mais alors les étants s'étendent à l'infini et la
  multiplicité d'étants est illimitée.
\item On peut y voir une description matérielle de la deuxième interprétation du fragment~B~3. Dans ce cas, chaque étant est pensé comme composé de deux parties distinctes qui se côtoient et le \og même raisonnement\fg\ est appliqué à une des deux parties. On aboutit à un nombre illimité de parties. On a à nouveau une descente infinie; dans cette interprétation,  les deuxièmes paragraphes des fragments~B~1 et~B~3 se rejoignent.
\end{itemize}

Hermann \citet[pages~223-225]{fr55b} propose une interprétation étonnante du fragment~B~1: selon lui,
Zénon considère successivement la surface de l'étant, la surface de sa
surface, etc.\ comme des pellicules enchâssées et montre ainsi que l'étant n'a pas de limite ultime.
% La difficulté d'une mathématisation du continu se retrouve dans la
% \emph{Physique} d'Aristote.
% \begin{quotation}
%   \noindent Le continu est dans le genre du contigu; je dis qu'il y a
%   continuité, quand les limites par où deux choses se touchent ne sont
%   qu'une seule et même chose, et, comme l'indique le nom, tiennent
%   ensemble. (\emph{Physique}~VI, 227\textit{a}10-12 \cite{ar31B}.)
% \end{quotation}
% \begin{quotation}
%   \noindent Or, dès qu'on aura montré que tout instant est tel en soi et
%   identique, il sera par là-même évident qu'il est aussi
%   indivisible. Il est, dis-je, nécessaire qu'il soit identique, étant
%   l'extrémité de l'un et de l'autre temps; en effet, s'il y avait deux
%   instants différents, l'un ne serait pas consécutif à l'autre, pour
%   cette raison qu'un continu n'est pas composé d'éléments sans parties:
%   et, s'ils sont mutuellement séparés, il y aura du temps dans
%   l'intervalle; car tout continu est tel qu'il y a quelque chose de
%   synonyme entre les limites. (\emph{Physique}~VI, 234\textit{a}3-9 \cite{ar31B}.)
% \end{quotation}
\begin{quotation}
  Comme l'épaisseur est nommée, l'écartement réfère ici à l'extension en profondeur de l'objet, et les parties en contraste seront les faces opposées ou surfaces du corps dans la direction du regard: devant et derrière. L'épaisseur suppose, dit Zénon, un certain écartement entre l'avant et l'arrière. Cette explication est confirmée par la parallèle dans la deuxième phrase. Zénon ne parle certes ici que de μέγεθος [grandeur] seule, sans ajouter καὶ πάχος [et profondeur] pour spécifier la dimension; mais à la place du ἀπέχει \og est à l'écart de\fg{} neutre, il utilise cette fois-ci προέχει \og s'élance, est situé plus à l'avant\fg{} -- une expression qui réfère spécialement à l'extension et à l'écartement en profondeur.

  De ce parallélisme résulte de plus que αὐτοῦ [même] a la même fonction dans la deuxième version que dans la première et la troisième. Il ne se rattache pas à προέξει (\og quelque chose sera plus à l'avant que ceci\fg{}), mais à τι et est partitif-possessif: \og quelque chose de lui (c.-à-d.\ du προέχον [se situant plus à l'avant]) se situera plus à l'avant (qu'une autre partie du προέχον)\fg{}. La face avant de l'objet a donc elle-même de nouveau une face avant ou surface, qui se situe plus à l'avant que la face arrière de la face avant de l'objet. Selon la prémisse que tout ce qui existe a trois dimensions, la surface d'un corps, si elle existe, doit être comprise comme une couche ou peau, et a elle-même à nouveau une surface ou peau. Bien sûr que c'est ridicule; mais nous ne devons pas oublier que c'était justement l'intention de Zénon de ridiculiser la théorie de la multiplicité\footnote{\emph{Ibid.}, pages~223-225, ma traduction.}.
\end{quotation}



Ces fragments posent davantage de questions qu'ils ne suggèrent de réponses! Le lieu est un étant comme un autre, contrairement à notre conception de l'espace comme un réceptacle neutre.

Voici un tableau de traductions de trois mots clés des fragments de Zénon.\bigskip

\centerline{\footnotesize\setlength\tabcolsep{3pt}%
  \begin{tabular}{@{}rlll@{}}
    \toprule
    &ὄντα&ἀπέχειν&προέξει\\
    &étants&se distinguer&surgir\\\midrule
    \citet{fairbanks98}&things&to be separated&to precede\\
    \citet{Lee36}&things&to be at a certain distance&to be beyond\\
    \citet{za50}&choses&se trouver à une certaine distance&être situé en avant\\
    \citet{dielskranz51}&seiende Dinge&Abstand haben&davor liegen\\
    \citet{fr55b}&seiende Dinge&Abstand haben&nach vorne liegen\\
    \citet{un62}&realtà&distinguersi&estendersi accanto\\
    Vlastos (1971)&existents&to extend beyond&to project\\
    \citet{ca82}&étants&être en-dehors de&précéder\\
    Dumont (1988)&existants&avoir une certaine distance&être devant lui\\
    \citet{verelst06}&beings&to keep away&to jut out\\
    \citet{koehler14}&Dinge&an anderer Stelle liegen&weiter vorn liegen\\
    \citet{laksmost16}&things&to be distinct&to be more\\
    \citet{laksmost16}&choses&être distinct de&être en surplus\\\bottomrule
  \end{tabular}}\bigskip


Et voici les tentatives de traduction de la préposition πρὸς dans un syntagme dont Fränkel affirme qu'il est clair, mais qu'il ne se laisse pas traduire de manière satisfaisante\footnote{\emph{Ibid.}, page~225, note~4.}. Aucun traducteur ne tente d'exploiter un autre sens de cette préposition, le sens spatial de \og vers\fg.\bigskip

\centerline{\footnotesize\setlength\tabcolsep{3pt}%
  \begin{tabular}{@{}rl@{}}
    \toprule
    &ἕτερον πρὸς ἕτερον οὐκ ἔσται\\
    &ni l'un ne sera sans relation avec un autre\\\midrule
    \citet{fairbanks98}&nor will one thing differ from another\\
    \citet{Lee36}&nor out of relation to another\\
    \citet{za50}&et il n'arrivera jamais qu'on ne puisse opposer une de ces parties à\\
    &une autre\\
    \citet{dielskranz51}&nie wird der eine ohne Beziehung zum anderen sein\\
    \citet{fr55b}&noch wird es dahin kommen, daß eine Gegenübersetzung zweier Dinge\\
    &unmöglich ist\\
    \citet{un62}&né una di esse non avrà relazione con l'altra\\
    Vlastos (1971)&or without one [part] similarly related to the other [part]\\
    \citet{ca82}&ni telle qu'il n'y ait pas de relation d'une de ses parties à l'autre\\
    Dumont (1988)&et il n'est aucun existant qui n'existe pas en relation avec un autre\\
    \citet{verelst06}&nor the one will be unrelated to another one\\
    \citet{koehler14}&noch wird eines nicht in Beziehung zu einem anderen stehen\\
    \citet{laksmost16}&nor will there be any part of it that will not be in relation with another\\
    \citet{laksmost16}&et il n’y aura rien qui ne soit en relation avec un autre\\\bottomrule
  \end{tabular}
}

\section{Les constats incompatibles.}
\label{sec:les-const-incomp}

Notre lecture de Zénon donne que penser la chose étante, en acte, aboutit à ce qu'elle
\begin{itemize}
\item n'est pas discrète parce que sinon la chose étante est atomisée en indivisibles sans grandeur,
\item et n'est même pas formée de plusieurs étants. Elle est \emph{une} et \emph{d'un seul tenant}.
\end{itemize}

Les théories physiques et mathématiques qui passent outre deviennent donc irréalistes sur un de ces trois points au moins:
\begin{itemize}
\item les étants sont infinis, en acte;
\item des individus sans grandeur constituent de la grandeur;
\item elles décrivent le réel comme un devenir, en puissance et non en acte.
\end{itemize}


\section{Conclusion. La place des paradoxes dans l'histoire des mathématiques.}
\label{sec:la-place-des}

La rareté et la forme sèche des fragments présocratiques discutés ici n'empêchent pas de saisir le continu et l'illimité comme défis majeurs pour les éléates et les pythagoriciens. Les paradoxes de Zénon ont décrit très tôt les obstacles d'une description vraisemblable du rapport entre le continu et ses constituants. %De même, le nombre comme instrument de connaissance s'est tôt heurté à la découverte de l'incommensurabilité en géométrie.

Proposer un exposé sur les paradoxes de Zénon à une conférence d'histoire des mathématiques est cependant un exercice risqué. Il doit naviguer entre deux écueils, le point de vue exprimé par Árpád \citet{sz69,sz00} qui défend l'idée d'une philosophie éléate déterminante pour la constitution des mathématiques grecques, et le point de vue de G. E. L.~\citet{owen57}, qui le réfute.

Plusieurs historiens ont voulu retracer les circonstances de
l'élaboration des \emph{Éléments} d'Euclide. Parmi ceux-ci, Szabó se démarque en considérant la structure axiomatique
des \emph{Éléments} comme une réaction à la philosophie de Parménide.

L'impact de la philosophie éléate sur les mathématiques grecques a été un sujet d'intenses discussions dont le point culminant sont peut-être les débats de la section~II de la conférence de Pise de 1978 \citep{hintikkagruenderagazzi81}, \emph{The early history of the
axiomatic method}%, autour des protagonistes Szabó et Wilbur Knorr
.

Les traces du monde sensible dans le monument de la science grecque que sont les \emph{Éléments} d'Euclide sont circonscrites aux premières définitions: \og un \emph{point} est ce dont il n'y a aucune partie\fg, \og une \emph{ligne} est une longueur sans largeur\fg, \og les \emph{limites d'une ligne} sont des points\fg, \og une \emph{ligne droite} est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle\fg, etc.\ et à la septième notion commune du premier livre: \og les choses qui s'ajustent les unes sur les autres sont égales entre elles\footnote{Euclide d'Alexandrie, \emph{Les \'El\'ements}, Paris, Presses universitaires de France, 1990-2001, tome~1, pages~150-154 et~178.}\fg\nocite{vitrac9001}.  La perfection de la géométrie d'Euclide est allée de pair avec le développement d'une philosophie qui exclut le réel de la construction des mathématiques.

% Nous allons donc commencer par relire les fragments du poème de Parménide, des
% paradoxes de Zénon d'Élée et du traité du pythagoricien Philolaos de
% Crotone comme des entreprises de penser le réel. Parménide et Zénon
% enseignent qu'on ne peut penser que le continu; Philolaos soutient
% qu'on ne peut connaitre que par le discret.

Les mathématiques grecques rendent compte dans leur forme d'un mode de présentation dont on est en droit de présumer qu'il est une réponse à un problème épistémologique concret. C'est d'autant plus le cas que  %Pour ce qui est des \emph{Éléments} d'Euclide,
les définitions des objets de la géométrie %(le \emph{point}, la \emph{ligne}, l'\emph{angle}, la \emph{surface}, le \emph{solide})
sont davantage des descriptions et se révèlent inertes pour le discours mathématique.
Ils sont \og là\fg\ et on peut même supposer qu'Euclide a fait un effort particulier pour les décrire de manière statique et non construite.

Les nombres, quant à eux, résultent d'une construction consciente: pour paraphraser les deux
premières définitions du septième livre des \emph{Éléments}, il faut \og dire qu'une chose est une\fg\ pour avoir affaire à une unité; il faut \og former une multitude d'unités\footnote{Ibid., tome~2, page~247.}\fg\ pour avoir affaire à un nombre.

Et pourtant, on peut présumer que la question de ce que c'est qu'être un point, une ligne, etc., a agité les mathématiciens grecs. La réponse opératoire qui consiste à dire que les objets sont définis par leur utilisation, par la manière dont on opère sur eux dans les démonstrations, est certainement un renoncement. 

Les postulats des \emph{Éléments} sont des \og demandes\fg\ qui posent le cadre de la validité des raisonnements et ne signifient pas un engagement sur la nature des objets de la géométrie: on peut davantage les lire comme un avertissement sur les limitations de l'application de la géométrie à l'espace sensible. Les raisonnements eux-mêmes réussissent à se placer à un niveau purement discursif et ne font qu'opérer sur les objets sans interroger leur nature ni les rapports qu'ils entretiennent entre eux.

Les témoignages de ce renoncement sont rares et c'est aussi à ce titre que les paradoxes de Zénon sont précieux.

Il apparait ainsi que la science mathématique tout entière est du domaine des opinions et que
le rapport des mathématiques à la vraisemblance est celui d'un devenir%ou au monde restera un problème philosophique majeur
. La forme axiomatique de la géométrie d'Euclide peut être comprise dans ce sens comme une manière d'organiser les opinions sur le monde sensible de manière vraisemblable sans jamais s'exprimer sur la nature du continu, c'est-à-dire sur le rapport entre l'espace et ses parties%, et en émancipant la géométrie de l'arithmétique
.

% Les conséquences d'une approche historique et philosophique de la
% méthode axiomatique sur la didactique des mathématiques sont discutés
% par Gilbert Arsac \cite{ar87}.

\bibliography{parmenide-zenon,references-href,Biblio-histoire-des-maths}

\end{document}
